数学实验之四数列与级数省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,数学试验之四数列与级数,陈发来,中国科学技术大学数学系,第1页,2025/5/4 周日,1,、数列与级数,数列,级数,数列与级数关系,给定数列（,1,），令 ，则数列（,1,）等价于级数（,2,）。反之，给定级数（,2,）,令 则级数（,2,）等价于数列（,1,）。,第2页,2025/5/4 周日,给定数列（,1,），回答以下问题：,1,、数列有什么规律与性质？,2,、数列极限是否存在有限？,3,、假如数列极限趋于无穷，那么它趋于无穷阶是多大？,4,、假如数列极限不存在，那它在无穷大时极限状态又怎样？,第3页,2025/5/4 周日,2,、,Fibonacci,数列,Fibonacci,数列由递推关系,确定。其前十项为：,1,，,1,，,2,，,3,，,5,，,8,，,13,，,21,，,34,，,55,1,2,3,4,5,第4页,2025/5/4 周日,为研究,Fibonacci,数列规律，我们在二维平面,上画出顺次连接点列 折,线图。,第5页,2025/5/4 周日,易知,故有 阶在 与 之间。,为深入研究 特征，在平面坐标系中画连接,折线图。然后用直线去拟,合之.,第6页,2025/5/4 周日,第7页,2025/5/4 周日,猜测,将上式代入递推公式中得,由此,然而,上式并不满足,深入猜测,第8页,2025/5/4 周日,由此得,能够验证上式是,Fibonacci,数列通项.由此，,Fibonacci,数列趋于无穷阶为,第9页,2025/5/4 周日,普通地,给定数列递推关系,假设,则 满足,第10页,2025/5/4 周日,所以,通项为,其中 是上述方程根。,第11页,2025/5/4 周日,3、调和级数,调和级数,研究数列,极限阶.,第12页,2025/5/4 周日,首先研究 折线图.,第13页,2025/5/4 周日,因为,下面研究 极限.,从上图猜测,极限 存在.,实际上,易知,第14页,2025/5/4 周日,故知极限存在.进而,由此猜测,用数据拟合发觉,称为,Euler,常数.,第15页,2025/5/4 周日,也能够直接从数列 出发.,猜测,第16页,2025/5/4 周日,4,、,3N+1,问题,问题：任给自然数,n,，假如,n,是偶数，则将,n,除,2,；假如,n,是奇数，则将,n,乘,3,加,1,。重复上述过程得到一个无穷数列。比如，,上述数列可递归地定义为,假如,n,为偶,假如,n,为奇,第17页,2025/5/4 周日,我们来研究上述数列规律。先从简单示例开始。,第18页,2025/5/4 周日,用,Mathematica,编程验证：,1,、是否对任意,n,，从,n,开始产生数列最终都落于,4,21,循环中？,2,、数列在落于,4,21,循环之前，有什么规律,？,第19页,2025/5/4 周日,对,n=27,得,第20页,2025/5/4 周日,第21页,2025/5/4 周日,该问题起源于,20,世纪,50,年代，被称为,Syracuse,猜测，角谷猜测，,Collatz,问题，,Hasse,算法问题，,Ulam,问题，,Thwaites,猜测，简称,3x+1,问题。,当前有些人验证到,猜测依然成立。,第22页,2025/5/4 周日,一些观察：,假如 ，则,对 ，为奇数，则,第23页,2025/5/4 周日,假如对每个,n,数列中有某一项小于,n,则猜测成立。,对,n=4k+1,有,对,n=16k+3,有,第24页,2025/5/4 周日,假如猜测不成立，则只有以下两种情况之一,1,、数列落于有别于,4,21,循环中；,2,、不存在循环。此时，数列总趋势会越来越大。,第25页,2025/5/4 周日,引入一些概念：,航班：从,n,开始迭代产生数列（直至,1,为止）。如第,5,次航班为,5,168421,航程：航班长度。如航班,5,168421,长度为,5,最大飞行高度：一个航班中最大数字。如第,5,航班最大飞行高度为,16,第26页,2025/5/4 周日,保持高度航程：从起点起连续大于起点数字个数。如,3,105168421,保持高度航程为,5,。假如全部航班保持高度航程有限，则,3n+1,问题成立。,航程统计航班：航程大于全部它前面航班航程。如第,7,航班，它航程为,16,。,保持高度航程统计航班：保持高度航程大于全部前面航班保持高度航程。,第27页,2025/5/4 周日,最大飞行高度统计航班：最大飞行高度大于全部它前面航班最大飞行高度。,对于一个固定航班N,考虑它着陆前表示奇变换。其中除2变换称为偶变换，乘3加1变换成为奇变换。用E(N)表示偶变换数，O(N)表示奇变换数。,第28页,2025/5/4 周日,一些统计：,保持高度航程：N=118303688851791519,G(N)=1471,留数：N=993,R(N)=1.253142,航程：N=1269884180266527,F(N)=2039,第29页,2025/5/4 周日,显然3N+1问题与以下问题等价：,1）全部航班航程有限；,2）全部航班保持高度航程有限；,3）对全部N,E(N)有限；,4）对全部N,O(N)有限。,第30页,2025/5/4 周日,一些探索：,1,）航程与起点关系。,第31页,2025/5/4 周日,上述图形中有没有规律？,用f(n)表示航班n航程。f(n)上界与n存在什么样函数关系？比如，当n适当大后，是否有f(n)2p.,一些保持高度航程统计：,G(3)=6,G(7)=11,G(27)=96,G(703)=132.,第34页,2025/5/4 周日,3,）最大飞行高度与起点关系。,第35页,2025/5/4 周日,用t(n)表示航班n最高飞行高度。上述图形中有什么规律？t(n)与n关系怎样？比如，是否有t(n)K*n*n?,第36页,2025/5/4 周日,偶变换与奇变换关系：,第37页,2025/5/4 周日,O(N)/E(N),上界是什么？当,N,趋于无穷时，,O(N)/E(N),极限是什么？,简单分析：,其中,R(N),称为留数，它是全部形如,项积，这里,a_i,是航程中奇数。比如，,第38页,2025/5/4 周日,对于航班,3,105168421,E(3)=5,O(3)=2,R(3)=(1+1/9)(1+1/15),取对数得,故,第39页,2025/5/4 周日,且,假如,则,第40页,2025/5/4 周日,一些猜测：,（1）R(N)=R(993),(2)令 C(N)=O(N)/E(N),则 C(N)C,Clog2/log3为常数。,第41页,2025/5/4 周日,启发式论证：,注意每一次奇变换后必定是偶变换，但每一次偶变换后能够是奇变换，也可能是偶变换。假设这种可能性是一样。从某一个N开始，我们考查航班高度改变：,（1）奇变换后做偶变换结果为奇数，可能性1/2，高度变换 3/2；,（2）奇变换后做偶变换结果为偶数，可能,第42页,2025/5/4 周日,性为,1/4,，高度改变,3/4,；,奇变换后再作三次偶改变，可能性,1/8,，高度改变,3/8,；,.,平均改变高度：,高度最终下降。,第43页,2025/5/4 周日,用c 表示保持高度航程中奇变换次数平均值。利用上述模型能够证实，c=3.49265.对3到000000之间航班保持高度航程中奇次变换取平均值，可得到3.4926。这两个结果惊人一致性使我们相信上述启发式模型正确性。,第44页,2025/5/4 周日,一些理论结果：,（,1,）,R.Terra,和,C.Evertt,证实了：几乎全部航班都会下降到它起点以下。,（,2,）存在常数,c,当,n,足够大时，在比,n,小航班中，能够在,1,上着陆航班个数大于或等于,nc.1978,年，,R.Crandal,首先给出,c=0.05;1989,年,I.Krasikov,得到,c=0.43;1993,年,G.Wirsching,给出,c=0.48;1995,年,D.Applegate,和,J.Lagarias,得到,c=0.81.,第45页,2025/5/4 周日,会不会永远证不出来？,自从哥德尔发表他著名不完备定理以来，每次数学家碰到一个困难问题，都会疑神疑鬼这会不会证不出来？,哥德尔不完备定理，在包含皮亚诺自然数公理系统中，总有不可证实命题存在。因而3N+1问题有可能不能证实，即使它是错误。比如，我们可能发觉一个航班，,第46页,2025/5/4 周日,它非得越来越高，但不论怎样不能证实它永远也不会着陆到,1,。,数学家,J.Conway,（创造了生命游戏）定义了一个类似,3N+1,问题不可证实命题。但他方法依然不能说明,3N+1,是否能够证实。,第47页,2025/5/4 周日,各种改变与推广,（,1,）推广到负数。能够有三个不一样循环：,-1,-2-1,-5-14-7-20-10-5,-17-50-25-74-37-110-55-164-82-41-122-61-182-91-272-136-68-34-17,是否有更多循环？,第48页,2025/5/4 周日,（,2,）,5N+1,问题。又存在几个循环：,6,3164216,13663316683416208104522613,1786432161085427136683417,不过第航班似乎老实在往上飞，谁也不知道它是否会降落下来。,第49页,2025/5/4 周日,The End,Thank you very much for your presence.,第50页,2025/5/4 周日,