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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,层次分析法,河北师范大学数学与信息科学学院,第1页,目 录,基本步骤,1,建模举例,2,优点和不足,3,正互反阵最大特征值和,特征向量实用算法,4,第2页,层次分析法建模,日常生活中有许多决议问题。决议是指在面临各种方案时需要依据一定标准选择某一个方案。,例,1,购物,买钢笔，普通要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面原因选择某一支钢笔。,买饭，则要依据色、香、味、价格等方面原因选择某种饭菜。,例,2,旅游,假期旅游，是去风光秀丽苏州，还是去迷人北戴河，或者是去山水甲天下桂林，普通会依据景色、费用、食宿条件、旅途等原因选择去哪个地方。,第3页,例,3,择业,面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位能够去,选择，普通依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条,件等原因择业。,例,4,科研课题选择,因为经费等原因，有时不能同时开展几个课题，普通依,据课题可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等原因,进行选题。,第4页,面临各种各样方案，要进行比较、判断、评价、最终,作出决议。这个过程主观原因占有相当比重给用数学方法,处理问题带来不便。,T.L.saaty,等人,20,世纪在七十年代提出了,一个能有效处理这类问题实用方法。,层次分析法,（,Analytic Hierarchy Process,AHP),这是,一个定性和定量相结合、系统化、层次化分析方法。,过去研究自然和社会现象主要有,机理分析法和统计分析法,两,种方法，前者用,经典数学,工具分析现象因果关系，后者,以,随机数学,为工具，经过大量观察数据寻求统计规律。近,年发展系统分析是又一个方法，而,层次分析法,是系统分析,数学工具之一。,第5页,Thomas L.Saaty,(,Arabic,:,)(,born 1926,Mosul,Iraq,),saaty,全名,Thomas L.Saaty,，汉字名萨蒂，男，,1926,生，美国国家工程院院士，宾夕法尼亚大学沃顿商学院教授，匹斯堡大学出色教授，层次分析法（,AHP,）和网络程序法（,ANP,）创始人。,第6页,层次分析法基本思绪：,与人们对某一复杂决议问题思维、判断过程大致一致。,选择钢笔,质量、颜色、价格、外形、实用,钢笔,1,、钢笔,2,、钢笔,3,、钢笔,4,质量、颜色、价格、外形、实用进行排序,将各个钢笔质量、颜色、价格、外形、实用进行排序,经综合分析决定买哪支钢笔,第7页,一 层次分析法基本步骤,1,建立层次结构模型,普通分为三层，最上面为,目标层,，最下面为,方案层,，中,间是,准则层或指标层,。,例,1,层次结构模型,准则层,方案层,目标层,买钢笔,质量,颜色,价格,外形,实用,可供选择的笔,第8页,例,2,层次结构模型,准则层,A,方案层,B,目标层,Z,若上层每个原因都支配着下一层全部原因，或被下一层所,有原因影响，称为完全层次结构，不然称为不完全层次结构。,选择,旅游地,景色,费用,居住,饮食,旅途,苏州、杭州、,桂林,第9页,设某层有个原因，,2,结构成对比较矩阵,要比较它们对上一层某一准则（或目标）影响程度，确定,在该层中相对于某一准则所占比重。（即把个原因对上,层某一目标影响程度排序）,用 表示第个原因相对于第个原因比较结果，则,则称为,成对比较矩阵,。,上述比较是两两原因之间进行比较，比较时取,19,尺度。,第10页,尺度,第,个原因与第 个原因影响相同,第,个原因比第 个原因影响稍强,第 个原因比第 个原因影响强,第 个原因比第 个原因影响明强,第 个原因比第 个原因影响绝对地强,含义,比较尺度,：（,19,尺度,含义）,2,4,6,8,表示第个原因相对于第个原因影响介于上述,两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数含义，,依据,。,第11页,由上述定义知，成对比较矩阵,则称为,正互反阵,。,比如，例,2,旅游问题中，第二层,A,各原因对目标层,Z,影响两两比较结果以下：,满足一下性质,Z,A,1,A,2,A,3,A,4,A,5,A,1,A,2,A,3,A,4,A,5,1,1/2,4,3,3,2,1,7,5,5,1/4,1/7,1,1/2,1/3,1/3,1/5,2,1,1,1/3,1/5,3,1,1,分别表示,景色、费用、居住、饮食、旅途。,第12页,由上表，可得成对比较矩阵,旅游问题成对比较矩阵共有,6,个（一个,5,阶，,5,个,3,阶）。,问题：,两两进行比较后，怎样才能知道，下层各原因对上,层某原因影响程度排序结果呢？,第13页,3,层次单排序及一致性检验,层次单排序：,确定下层各原因对上层某原因影响程度过程。,用权值表示影响程度，先从一个简单例子看怎样确定权值。,比如 一块石头重量记为,1,，打坏分成 各小块，各块重量,分别记为：,则可得成对比较矩阵,由右面矩阵能够看出，,第14页,即，,但在例,2,成对比较矩阵中，,在正互反矩阵 中，若,则称 为一致阵。,一致阵性质：,5.,任一列,(,行,),都是对应于特征根 特征向量。,第15页,若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最,大特征根 归一化特征向量 ，且,定理,：阶互反阵 最大特征根 ，当且仅,当 时，为一致阵。,表示下层第 个原因对上层某原因影响程度权值。,若成对比较矩阵不是一致阵，,Saaty,等人提议用其最大,特征根对应归一化特征向量作为权向量 ，则,这么确定权向量方法称为,特征根法,.,第16页,因为 连续依赖于 ，则 比 大越多，不,一致性越严重。用最大特征值对应特征向量作为被比较,原因对上层某原因影响程度权向量，其不一致程度越大，,引发判断误差越大。因而能够用 数值大小来衡量,不一致程度。,定义,一致性指标,其中 为 对角线元素之和，也为 特征根之和。,第17页,则可得一致性指标,定义,随机一致性指标,随机结构,500,个成对比较矩阵,随机一致性指标,RI,数值：,n,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,RI,0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49,1.51,第18页,一致性检验,：利用一致性指标和一致性比率,0.1,及随机,一致性指标数值表，对 进行检验过程。,普通，当一致性比率,不一致程度在允许范围之内，可用其归一化特征向量,作为权向量，不然要重新结构成对比较矩阵，对 加,以调整。,时，认为,第19页,4,层次总排序及其一致性检验,确定某层全部原因对于总目标相对主要性排序权值过程，,称为,层次总排序,从最高层到最低层逐层进行。设：,对总目标,Z,排序为,层次单排序为,第20页,即 层第 个原因对,总目标权值为：,层层次总排序为：,B层层次,总排序,A,B,第21页,层次总排序一致性检验,设 层 对上层,(,层,),中原因,层次单排序一致性指标为 ，随机一致性指为 ，,则层次总排序一致性比率为：,当 时，认为层次总排序经过一致性检验。到,此，依据最下层（决议层）层次总排序做出最终决议。,第22页,1.,建立层次结构模型,该结构图包含目标层，准则层，方案层。,层次分析法,基本步骤,归纳以下,3.,计算单排序权向量并做一致性检验,2.,结构成对比较矩阵,从第二层开始用成对比较矩阵和,19,尺度。,对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验经过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不经过，需要重新结构成对比较矩阵。,第23页,计算最下层对最上层总排序权向量。,4.,计算总排序权向量并做一致性检验,进行检验。若经过，则可按照总排序权向量表示结果进行决议，不然需要重新考虑模型或重新结构那些一致性比率 较大成对比较矩阵。,利用总排序一致性比率,第24页,二 层次分析法建模举例,旅游问题,(1),建立模型,分别分别表示景色、费用、,居住、饮食、旅途。,分别表示苏杭、北戴河、桂林。,第25页,（,2,）结构成对比较矩阵,第26页,(3),计算层次单排序权向量和一致性检验,成对比较矩阵 最大特征值,表明 经过了一致性验证。,故,则,该特征值对应归一化特征向量,第27页,对成对比较矩阵 能够求层次,总排序权向量并进行一致性检验，结果以下：,计算 可知 经过一致性检验。,第28页,对总目标权值为：,（,4,）计算层次总排序权值和一致性检验,又,决议层对总目标权向量为：,同理得，对总目标权值分别为：,故，层次总排序经过一致性检验。,第29页,可作为最终决议依据。,故最终决议应为去,桂林,。,又 分别表示苏杭、北戴河、桂林，,即各方案权重排序为,第30页,（,5,）,MatLab,编程计算,1,.,结构成对比较矩阵形成文本文件,1 1/2 4 3 3,2 1 7 5 5,1/4 1/7 1 1/2 1/3,1/3 1/5 2 1 1,1/3 1/5 3 1 1,1 2 5,1/2 1 2,1/5 1/2 1,1 1/3 1/8,3 1 1/3,8 3 1,1 1 3,1 1 3,1/3 1/3 1,1 3 4,1/3 1 1,1/4 1 1,1 1 1/4,1 1 1/4,4 4 1,第31页,clc,clear,fid=fopen(txt3.txt,r);,n1=5;n2=3;,a=;,for i=1:n1,tmp=str2num(fgetl(fid);,a=a;tmp;%,读准则层判断矩阵,end,for i=1:n1,str1=char(b,int2str(i),=;);,str2=char(b,int2str(i),=b,int2str(i),;tmp;);,eval(str1);,for j=1:n2,tmp=str2num(fgetl(fid);,eval(str2);%,读方案层判断矩阵,end,end,2,.,编写代码读入数据文件,第32页,ri=0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45;%,一致性指标,x,y=eig(a);,lamda=max(diag(y);,num=find(diag(y)=lamda);,w0=x(:,num)/sum(x(:,num);,cr0=(lamda-n1)/(n1-1)/ri(n1),（,3,）计算层次总排序权值和一致性检验,for i=1:n1,x,y=eig(eval(char(b,int2str(i);,lamda=max(diag(y);,num=find(diag(y)=lamda);,w1(:,i)=x(:,num)/sum(x(:,num);,cr1(i)=(lamda-n2)/(n2-1)/ri(n2);,end,cr1,ts=w1*w0,(,4,),计算层次单排序权向量和一致性检验,第33页,(,5,)计算层次总一致性检验,cr=cr1*w0,(,6,),计算结果,cr0=,0.0161,cr1=,0.0048 0.0013 -0.0000 0.0079 0,ts=,0.2993,0.2453,0.4554,cr=,0.0027,因为计算截断误差使得结果与前面有出入，但结论是一致。,第34页,三 层次分析法优点和不足,1,系统性,层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合思维方式进行决议，成为继机理分析、统计分析之后发展起来系统分析主要工具。,2,实用性,层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用,传统最优化技术无法着手实际问题，应用范围很广，同,时，这种方法使得决议者与决议分析者能够相互沟通，决议,者甚至能够直接应用它，这就增加了决议有效性。,第35页,3,简练性,含有中等文化程度人即能够了解层次分析法基本,原理并掌握该法基本步骤，计算也非常简便，而且所得,结果简单明确，轻易被决议者了解和掌握。,以上三点表达了层次分析法优点，该法局限,性主要表现在以下几个方面：,第一,只能从原有方案中优选一个出来，没有方法得出更加好新方案。,第36页,第二,该法中比较、判断以及结果计算过程都是粗糙,，不适合用于精度较高问题。,第三,从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观,原因对整个过程影响很大，这就使得结果难以让,全部决议者接收。当然采取教授群体判断方法,是克服这个缺点一个路径。,思索：多名教授综合决议问题,第37页,四 正互反阵最大特征值和特征向量实用算法,用定义计算矩阵特征值和特征向量相当困难，尤其是阶数较高时；,成对比较矩阵是经过定性比较得到比较粗糙结果，对它准确计算是没有必要。,寻找简便近似方法。,第38页,定理,对于正矩阵,A,（,A,全部元素为正）,1,）,A,最大特征根为正单根 ；,2,）对应正特征向量,w,（,w,全部分量为正）；,3,）,其中,是对应 归一化特征向量。,第39页,1,幂法,步骤以下,a),任取,n,维归一化初始向量,b),计算,c),归一化,，即令,第40页,d),对于预先给定精度 ，当下式成立时,即为所求特征向量；不然返回,b,；,e),计算最大特征值,这是求特征根对应特征向量,迭代方法,，其收,敛性由定理,3,）确保。,第41页,2,和法,步骤以下,a),将,A,每一列向量归一化得,b),对,c),归一化,按行求和得,d),计算,第42页,3,根法,步骤与和法基本相同，只是将步骤,b,改为对,按行求积并开,n,次方，即,三方法中，和法最为简便。看以下例子。,e),计算,，最大特征值近似值。,第43页,列向量归一化,求和,归一化,准确计算，得,第44页,谢 谢！,第45页,
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