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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第五章 函 数,1,函数的概念,2,特殊函数,3,函数的复合和逆函数,1,函数的概念,函数的定义,定义,设,A,和,B,是任意两个集合,,f,是,AB,的一个二元关系,若对于任意,x,A,,集合,B,都存在 唯一的,元素,y,,,使得,f,,,则称二元关系,f,为函数(映射),并记为:,f,:,AB,。,(,2,)二元关系,f,为集合,AB,上的函数,则,函数,f,的定义域为:,(,3,)对任意,,其函数值,f(x),是唯一的,(,4,)函数,f,的值域:,讨论定义:,(,1,)若,f,,则称,x,为自变量,,y,称作函数,f,在,x,点处的值。也可用,y=f(x),表示,f,。,例:判定下列关系是否为函数,是函数,不是函数,值不是唯一的,不是函数,例:设,X=Y=R,(实数),这不是函数,这是函数,定义,:给定函数,f:AB,和,g:CD,,如果,A=C,,,B=D,,,或,函数,f,和,g,是相等的,。,都有,f(x)=g(x),,则称,并对所有的,2,函数相等,函数的构成,例:设,X=a,b,c,,,Y=0,1,,则,每个子集对应一个二元关系,因此在集合,X Y,上可以产生,64,个二元关系。,中,有,个子集。,但在,64,个关系中,只有,8,个二元关系符合函数的定义。,这,8,个函数为:,讨论:,(,1,)设,|X|=m,,,|Y|=n,,则函数,f:XY,中都是,m,个序偶的集合;(即序偶个数,=,定义域的基数),(,2,),X,中每一个元素所对应的象点,f(x),可能是,Y,中,n,个,,则从集合,X-Y,的所有函数个数为:,2,特殊函数,1.,几种特殊函数,定义,:给定函数,f:XY,,如果值域,R,f,=Y,则称,f,为满射函数。,满射函数一定有:,(1)|X|Y|,(2)R,f,=Y,入射函数满足:,定义,:给定,f:XY,,如果有,或者:,则称,f,是入射函数。,(1)|X|Y|,(2)R,f,Y,双射函数满足:,例:在全班同学的集合中,设:,X=,学号,,,Y=,姓名,则:,f:XY,是一双射函数(学号和姓名的关系),定义,:给定函数,f:XY,,如果,f,既是满射函数,,又是入射函数,则称,f,为双射函数。,(1)|X|=|Y|,(2)R,f,=Y,3,函数的复合和逆函数,例:定义一函数,f,如右图所示,,则,现在讨论函数能否像二元关系那样得到逆函数呢?,设,的定义域不是,Y,,而是,Y,的子集,不满足函数定义中值是唯一的条件,是一种二元关系,而不是函数,(,3,)只有双射函数存在逆函数,.,为了和逆关系相区别,函数,f,的,“,逆函数,”,用,来表示,定理,:如果,f:XY,是双射函数,则:,也为双射函数。,定义,:设,是一双射函数,称,为,f,的逆函数。,定义,:设,f:XY,和,g:WZ,是二个函数,若,则:,称,g,在函数,f,的左边可复合。,讨论定义:,两个函数的复合可以形成一个新的函数。,例:,sin(cos x),,先求,cos x,,然后求,sin(cos x),例:设,X=1,2,3,Y=p,q,Z=a,b,f:XY=,g:YZ=,是,XZ,的函数,则:,函数的复合运算不满足交换律。,定理,:函数的复合运算是可结合的,即如果,f,g,h,均为函数,则有:,证明:,二元关系的复合是满足结合律的,而,函数 也是一种二元关系,,函数的复合也是满足结合律。,例:,I,是整数集合,,f,:,II,定义成,f(i)=2i+1,,求复合函数,解:,定理,:,设,f:XY,,,g:YZ,,,是一合成函数,则:,(1),如果,f,和,g,都是满射函数,则,也是满射函数;,(2),如果,f,和,g,都是入射函数,则,也是入射函数;,(3),如果,f,和,g,都是双射函数,则,也是双射函数。,是任意的,,也是入射函数。,可用同样的方法证明(,1,)和(,3,),证明:(,2,)设任一,f,为入射函数,,又,g,为入射函数,且,即,例:设,是负整数集合,定义二个双射函数,f,和,g,,,f(x)=-x=,,,g(x)=x-1=,,,是一双射函数。,定义,:给定,f:XY,,如果对于所有的,和某一个,yY,有,f(x)=y,,则称,f,为常函数。,例:,定义,:给定,,若对所有的,有,,即,则称,为恒等函数。,例:,定理,:对于任何函数,f:XY,,其中,是,XX,的恒等函数,,是,YY,的恒等函数,则有,X,X,Y,Y,定理,:如果函数,f:XY,有逆函数,则,且,证明:设任一,,则,此定理说明:可用双射函数,f,和,的复合来生成,恒等函数。,定理,:若,f,是一双射函数,则,证明:设任一,则,(f,-1,),-1,f,(f,-1,),-1,同理可证,(f,-1,),-1,f,(f,-1,),-1,=,f,证明:由给定条件,f,g,均为双射函数,则,均为双射函数,设任一,则,y=f(x),,,z=g(y),且,x,是任意的,,定理,:设,f:XY,和,g:YZ,且,f,和,g,均为双射函数,则有,1,1,1,),(,-,-,-,g,f,f,g,o,o,同理可证:,1,1,-,-,g,f,o,1,),(,-,f,g,o,则:,
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