离散数学课件第五章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第五章 函 数,1,函数的概念,2,特殊函数,3,函数的复合和逆函数,1,函数的概念,函数的定义,定义,设,A,和,B,是任意两个集合，,f,是,AB,的一个二元关系，若对于任意,x,A,，集合,B,都存在 唯一的,元素,y,，,使得,f,，,则称二元关系,f,为函数（映射）,并记为：,f,：,AB,。,（,2,）二元关系,f,为集合,AB,上的函数，则,函数,f,的定义域为：,（,3,）对任意,，其函数值,f(x),是唯一的,（,4,）函数,f,的值域：,讨论定义：,（,1,）若,f,，则称,x,为自变量，,y,称作函数,f,在,x,点处的值。也可用,y=f(x),表示,f,。,例：判定下列关系是否为函数,是函数,不是函数,值不是唯一的,不是函数,例：设,X=Y=R,（实数）,这不是函数,这是函数,定义,：给定函数,f:AB,和,g:CD,，如果,A=C,，,B=D,，,或,函数,f,和,g,是相等的,。,都有,f(x)=g(x),，则称,并对所有的,2,函数相等,函数的构成,例：设,X=a,b,c,，,Y=0,1,，则,每个子集对应一个二元关系，因此在集合,X Y,上可以产生,64,个二元关系。,中，有,个子集。,但在,64,个关系中,只有,8,个二元关系符合函数的定义。,这,8,个函数为：,讨论：,（,1,）设,|X|=m,，,|Y|=n,，则函数,f:XY,中都是,m,个序偶的集合；（即序偶个数,=,定义域的基数）,（,2,）,X,中每一个元素所对应的象点,f(x),可能是,Y,中,n,个，,则从集合,X-Y,的所有函数个数为：,2,特殊函数,1.,几种特殊函数,定义,：给定函数,f:XY,，如果值域,R,f,=Y,则称,f,为满射函数。,满射函数一定有：,(1)|X|Y|,(2)R,f,=Y,入射函数满足：,定义,：给定,f:XY,，如果有,或者：,则称,f,是入射函数。,(1)|X|Y|,(2)R,f,Y,双射函数满足：,例：在全班同学的集合中，设：,X=,学号,，,Y=,姓名,则：,f:XY,是一双射函数（学号和姓名的关系）,定义,：给定函数,f:XY,，如果,f,既是满射函数，,又是入射函数，则称,f,为双射函数。,(1)|X|=|Y|,(2)R,f,=Y,3,函数的复合和逆函数,例：定义一函数,f,如右图所示,，则,现在讨论函数能否像二元关系那样得到逆函数呢？,设,的定义域不是,Y,，而是,Y,的子集,不满足函数定义中值是唯一的条件,是一种二元关系，而不是函数,（,3,）只有双射函数存在逆函数,.,为了和逆关系相区别，函数,f,的,“,逆函数,”,用,来表示,定理,：如果,f:XY,是双射函数，则：,也为双射函数。,定义,：设,是一双射函数，称,为,f,的逆函数。,定义,：设,f:XY,和,g:WZ,是二个函数，若,则：,称,g,在函数,f,的左边可复合。,讨论定义：,两个函数的复合可以形成一个新的函数。,例：,sin(cos x),，先求,cos x,，然后求,sin(cos x),例：设,X=1,2,3,Y=p,q,Z=a,b,f:XY=,g:YZ=,是,XZ,的函数,则：,函数的复合运算不满足交换律。,定理,：函数的复合运算是可结合的，即如果,f,g,h,均为函数，则有：,证明：,二元关系的复合是满足结合律的，而,函数 也是一种二元关系，,函数的复合也是满足结合律。,例：,I,是整数集合，,f,：,II,定义成,f(i)=2i+1,，求复合函数,解：,定理,：,设,f:XY,，,g:YZ,，,是一合成函数，则：,(1),如果,f,和,g,都是满射函数，则,也是满射函数；,(2),如果,f,和,g,都是入射函数，则,也是入射函数；,(3),如果,f,和,g,都是双射函数，则,也是双射函数。,是任意的，,也是入射函数。,可用同样的方法证明（,1,）和（,3,）,证明：（,2,）设任一,f,为入射函数，,又,g,为入射函数,且,即,例：设,是负整数集合，定义二个双射函数,f,和,g,，,f(x)=-x=,，,g(x)=x-1=,，,是一双射函数。,定义,：给定,f:XY,，如果对于所有的,和某一个,yY,有,f(x)=y,，则称,f,为常函数。,例：,定义,：给定,，若对所有的,有,，即,则称,为恒等函数。,例：,定理,：对于任何函数,f:XY,，其中,是,XX,的恒等函数，,是,YY,的恒等函数，则有,X,X,Y,Y,定理,：如果函数,f:XY,有逆函数,则,且,证明：设任一,，则,此定理说明：可用双射函数,f,和,的复合来生成,恒等函数。,定理,：若,f,是一双射函数，则,证明：设任一,则,(f,-1,),-1,f,(f,-1,),-1,同理可证,(f,-1,),-1,f,(f,-1,),-1,=,f,证明：由给定条件,f,g,均为双射函数,则,均为双射函数,设任一,则,y=f(x),，,z=g(y),且,x,是任意的，,定理,：设,f:XY,和,g:YZ,且,f,和,g,均为双射函数，则有,1,1,1,),(,-,-,-,g,f,f,g,o,o,同理可证：,1,1,-,-,g,f,o,1,),(,-,f,g,o,则：,