固体物理第二章4优秀PPT.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,固体的弹性性质：,固体的范性性质：,假设无形变的晶体内部粒子排列在其平衡位置，在外力作用下粒子偏离原来的平衡位置。由于晶体结构的各向异性，各方向上粒子偏移程度不同，从而使,宏观的形变各向异性,；,-,晶体内部粒子沿各方向偏移程度的差异，使粒子恢复到原来平衡位置所产生的内应力也随方向不同。,显然，,晶体的弹性性质也是各向异性,的，需要用张量来描述。,2.8,应力、应变、胡克定律,1,称为并矢，作为张量的,9,个基。,一般张量可写为,张量：,（二阶）张量是具有,9,个分量的物理量。设直角坐标系的单位基矢量为,张量的,9,个分量写为,用矩阵表示,2,一、应力张量,1,、应力定义：,固体受到外力时，内部产生的抵抗形变的弹性恢复力。,弹性恢复力：,物体受外力作用发生形变，分子（质点）就偏离其平衡位置。此时每个分子受周围分子的作用产生,个趋向于使其恢复到平衡位置的力。,一个物体处于受力状态，一般有两种情况：,*,物体整个体积受力并且,力的大小与物体的体积成正比，这称为,彻体力,，例如重力；,*,另一种情况是物体受到压缩、拉伸或扭转、弯曲的作用而发生形变时，在物体内部的任一部分和它周围相邻部分之间将产生相互作用力，,这种力的大小与相接触部分表面积的大小成正比,，而力与面积之比就称为,应力,。,即在固体形变时，作用在固体中单位面积上的力。,3,应力定义：,直角坐标系中，（,x,y,z,）点，以,x,y,z,为外法线的面积元上的应力,分别为,y,y,S,T,D,-,4,此处,i,j=x,y,z,第一下标,i,表示应力的方向，第二下标,j,表示应力所作用的面的法向。,作用在立方体上的应力张量元,例如作用在垂直于,X,轴的单位面积上沿,X,方向的应力是,T,xx,。这类应力是垂直于表面的，称为正应力，代表,张力或压力,;,作用在垂直于,X,轴的单位面积上沿,Y,方向的应力是,T,yx,。这类应力是沿着表面的，即平行于表面的切向，代表,切应力,。,5,应力张量矩阵表达式,晶体中某点,(x.y.z),的应力状态对应,9,个应力分量用矩阵表示，即,作用在立方体上的应力张量元,在静力平衡条件下，内应力作用在物体上的总力矩等于零。,物理意义：,当不存在体积转矩时，在相互垂直的面上，垂直于该二面交线的切应力相等。,6,即，应力张量是对称的二级张量，它只有六个独立的张量元。,常用符号,T,h,代表应力分量：,7,作用在单位体积元上的力与应力张量元的关系,如图所示，,沿,x,方向力的分量,有三个：,三式相加，可得作用在,体积元,x,y,z,上的力的,x,分量为：,作用在体积元上的应力,8,作用在,单位体积上,的力的,x,分量为：,作用在体积元上的应力,同理，可得作用在单位体积上的力的,y,、,z,分量：,9,二、应变张量,当晶体形变时，晶体内任意两点间的距离都会发生形变,:,介质间发生的相对位移，称之为,应变,。,如图，在固体中取,xy,平面，,P,为任一点，,PA,x,，,PB,y,，,PA,平行,x,轴，,PB,平行于,y,轴，由于形变，,P,，,A,，,B,三点分别移到,质点位移表示,10,计算沿坐标轴方向线元的伸缩形变：,线段在长度方向上的相对伸长（或缩短）量称为,正应变,，,PA,的正应变为：,PB,线段的正应变,11,坐标轴间夹角的变化：,从图可知，,PA,、,PB,线段发生正应变的同时，其方向也发生了变化,:,PA,转过的角度为,PB,转过的角度为,定义：,PA,与,PB,线段的偏转角之和为切应变,12,同理，对于,yz,和,xz,平面，可求得,由以上可知，某一点的应变有,9,个分量，用矩阵表示，则为,应变张量是个对称二级张量，只有,6,个独立的元。,13,如果把双下标按下列对应关系换成单下标,并规定：,则与应变有关的许多公式可进一步简化，运算中，应变张量常被写成一个六元纵列矩阵。,14,三、胡克定律、晶体弹性模量,胡克定律指出，在弹性形变下，应力与应变存在线性关系，其数学表达式为：,可以写成矩阵的形式,15,或统一表示为：,系数,c,称为晶体的弹性模量,。我们也可以把晶体的应变和应力的关系写成如下形式：,16,系数,S,称为,弹性系数,，从上面两式可以看出，,弹性模量张量和弹性系数张量是互逆,的，即：,四、弹性模量的对称性,通过求解晶体的应变能（应力作功使晶体的位能增加量），可以证明，,c,具有交换脚标的对称性，即：,c,c,因此，,矩阵（,C,）为一对称矩阵，只有,21,个独立元素,。,17,如果晶体具有对称性，独立元素的数目还要减少。,对六角晶系，只剩下五个独立的晶体张量元；,而对称性最大的立方晶系，如果将坐标轴取作立方体轴，矩阵只有三个不为零的矩阵元。,下面，我们以立方晶系为例，通过变换下标的方法来说明。,18,以三个,4,度轴为坐标轴，先绕,z,轴转,90,度，则坐标将按以下方式变换：,或简写为：,于是在四个下标的四阶张量中，下标的变换方式如下：,注意：,弹性模量是四阶张量，具有四个下标，它的前两个下标和后两个下标分别具有对称性，因此我们通常采用以下方法简化下标来代替双下标，对应关系如下：,x,y,19,于是弹性模量中,21,个独立分量的下标，将发生如下变换：,用简化下标时：,20,此处略去左下方的一半，因为它是对称的。,由于是对称操作，变换前后的各对应项应相等,，从而有,：,项不变；,21,最后得矩阵形式为：,然后再绕,y,轴或,x,轴旋转,90,度，坐标变换分别按以下方式变换：,则有：,其余各项为零。,22,于是，立方晶系中的弹性模量的独立分量再次减少到,3,个，其完整的矩阵形式为,23,2.9,弹性动力学方程、弹性波,一、弹性动力学方程（弹性波通过晶体时，晶体中单位体积元的运动方程）,前面我们导出过作用在单位体积上的力的,x,、,y,、,z,方向的分量为：,弹性波通过晶体时，质点的运动方程可写为：,24,弹性波通过晶体时，质点的运动方程可写为：,式中,代表晶体密度，,u,、,v,、,w,代表晶体中质粒位移沿主轴,x,、,y,、,z,方向的分量,。,根据应力分量符号，上式可以写为,25,上式称为,弹性动力学方程,。,二、弹性波求解,在各向异性结构中的晶体中，弹性波在不同方向上的传播情况是不同的。,假设有,一沿,R,（,l,，,m,，,n,）方向传播的弹性波,，它的方向余弦为,l,m,n,，在这方向上某点振动质点,P,（,x,、,y,、,z,）同原点的距离为：,26,我们研究该方向上,P,点处的应变,S,n,:,由应变张量元公式,27,将胡克定律,和上式代入,动力学方程（,3,）式,28,29,式中,ij,称为克利斯托夫模量,，共有九个分量，但,ij,ji,，故独立分量只有,6,个，其具体表达式为：,上式是一个波动方程，其特解可用晶体中传播的声波（平面波）来表示。,30,为便于记忆和运算，,ij,也可以写成矩阵形式：,31,克利斯托夫模量只是弹性波的传播方向,R,（,l,、,m,、,n,）和晶体弹性模量的函数，它具有弹性模量的量纲。,32,设,表示沿,R,传播的波在晶体中所引起的弹性位移矢,，,分量为,位移矢的方向余弦为,把上式代入,波动方程,（,4,）得,这就是,沿,R,方向传播的弹性波方程,。,为有效弹性模量。,那么,的长度为,33,把,（,6,）,式代入,波动方程,（,4,）得,34,同理,有效弹性模量与,克利斯托夫模量关系,35,为使该线性方程组具有非零解，必须满足如下久期方程：,它必需,满足如下方程组：,对应这三个波，质粒分别有相应的三个位移。,的传播声速为,由此可知，一般情况下,有三个解,，它们对应三个不同的波，其对应,36,例：讨论立方晶系的晶体中沿,100,方向传播的声波。,解：,当声波沿,100,方向传播时，,立方晶系只有三个独立的弹性模量，其矩阵形式如下：,因此由克利斯托夫模量表达式可以算得：,37,这时久期方程式变为：,当声波沿,100,方向传播时，,38,可解得,代入（,7,）式,得三个弹性波的,波速,和对应的,质粒位移方向,：,39,v,1,对应的声波使质点沿,方向振动。,-,纵波,1,）,v,2,对应的声波使质点沿,方向振动。,-,横波,2,）,v,3,对应的声波使质点沿,方向振动。,-,横波,3,）,从以上讨论可以看出，某方向传播的弹性波，一般有三个模式，其中一个波的位移方向和波矢方向,R,相同，称为纵波；而另两个波的位移方向垂直于波矢方向，则称为横波。,40,例题,:,已知某晶体中相邻两原子间的互作用势能可表示成,（,1,）求出平衡时，两原子间的距离。,（,2,）平衡时的结合能。,（,3,）若取,m=2,n=10,两原子间的平衡距离为,3,埃，每个原子的离解能为,4eV,，计算,A,及,B,的值。,（,4,）如果平衡时晶体的体积为,V0,，结合能为,E0,，求出晶体的体弹性模量。,（,5,）晶体在平衡时，原子之间具有量值相等、方向相反的吸引力和排斥力，求出平衡时，原子间的吸引力（排斥力）的量值。,41,解,：,（,1,）,平衡时，要求互作用势能取极小值，所以,由上式可以求得平衡时两原子间的距离,（,2,）,平衡时的结合能即为,42,离解能就是晶体全部解离成各个原子状态所需要的参量。因此，离解能实际上即是该晶体的结合能,E,b,。如果,只计及最近邻原子,间的互作用势能，则,（,3,）,已知,m=2,，,n=10,，,已知每个原子的离解能,因此,因此把上述数值分别代入（,2,）和（,3,）式，可得,43,即,由（,6,）式即可得,把,A,的数值代入（,5,）式，即得,44,（,4,）,体弹性模量和晶体总互作用势能关系为,如果,只计及最近邻的原子间互作用势能,，则有,因为相邻原子间的距离为,r,，所以晶体的体积,这里,是与晶体的原子几何结构有关的系数，对于简立方结构，,1,，因此,45,根据（,9,）式，,46,所以,根据（,8,）式，,把（,2,）式代入，可得,47,把（,11,）、（,12,）代入（,10,）式，得到,因为平衡时的结合能为,E,0,，所以根据（,3,）及（,4,）式,即,把上式代入（,13,）式，并利用,则可得,48,（,5,）,平衡时，原子间的吸引力（排斥力）的量值,在互作用势能表达式,中，第一项相应于吸引势，第二项相应于排斥势，即吸引势及排斥势分别为,因此吸引力及排斥力应为,在平衡时，它们的值分别为,49,第二章要点,1,、晶体结合的基本类型,晶体中原子的相互作用称为键，晶体结合按键的性质主要有以下几种：离子鍵、共价健、金属键、范德瓦尔斯键和氢键。,2,、结合能,（,1,）定义,：,原子结合成晶体后释放的能量,E,0,：,晶体的总能量（内能）,E,N,：,是组成该晶体的,N,个原子在自由状态时的总能量,50,（,2,）相互作用能,两原子间的相互作用能,（,3,）结合能的计算,结合能可认为是平衡时,N,个原子对相互作用能之和,（,4,）离子晶体的结合能,晶体结构所决定的系数。,b,n,为待定参数。,51,（,5,）分子晶体的结合能,参数,:,具有长度的量纲，,反映了排斥力的作用范围；,参数,:,是两原子处于平衡时的结合能，,则反映了吸引作用的强弱。通常惰性气体晶体,=0.01eV,，所以惰性气体晶体只有很弱的结合。,4,、体积弹性模量,K,5,、应力、应变胡克定律,由,K,可测得,52,