7.3--二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题PPT幻灯片课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,柯桥中学高三数学组 何利民,第七编 不等式,7.4,二元一次不等式,(,组,),与,简单的线性规划问题,1,在平面直角坐标系中，不等式,A,x,+B,y,+C 0,表示在直线：,A,x,+B,y,+C=0,的某一侧的平面区域,1.,二元一次不等式表示平面区域,x,y,o,A,x,+B,y,+C=0,2,(1),结论,：二元一次不等式,A,x,+B,y,+C0,在平面直角坐标系中表示直线,A,x,+B,y,+C=0,某一侧所有点组成的平面区域。,(2),判断方法,：由于对直线同一侧的所有点,(x,y),，把它代入,Ax+By+C,，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧,取一个特殊点,(,x,0,y,0,),，从,A,x,0,+B,y,0,+C,的,正负,可以判断出,A,x,+B,y,+C0,表示哪一侧的区域。,一般在,C0,时，,取,原点,作为特殊点,。,应该注意的几个问题：,1,、若不等式中不含,0,，则边界应画成虚线，否则应画成实线。,2,、画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。,3,2.,简单的线性规划,有关概念,由,x,，,y,的不等式,(,或方程,),组成的不等式组称为,x,，,y,的,约束条件,。,关于,x,，,y,的一次不等式或方程组成的不等式组称为,x,，,y,的,线性约束条件,。,欲达到最大值或最小值所涉及的变量,x,，,y,的解析式称为,目标函数,。,关于,x,，,y,的一次目标函数称为,线性目标函数,。,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为,线性规划问题,。,满足线性约束条件的解（,x,，,y,）称为,可行解,。,所有可行解组成的集合称为,可行域,。,使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为,最优解,。,4,解线性规划问题的步骤：,（,2,）,移,：在线性目标函数所表示的一组平行,线中，利用平移的方法找出与可行域有公共,点且纵截距最大或最小的直线；,（,3,）,求,：通过解方程组求出最优解；,（,4,）,答,：作出答案。,（,1,）,画,：画出线性约束条件所表示的可行域；,5,基础自测,1.,下列各点中,不在,x,+,y,-10,表示的平面区域的,是 （）,A.,（,0,，,0,）,B.,（,-1,，,1,）,C.,（,-1,，,3,）,D.,（,2,，,-3,）,C,2.,若点,(1,3),和,(-4,-2),在直线,2,x,+,y,+,m,=0,的两侧，则,m,的取值范围是 （）,A.,m,10 B.,m,=-5,或,m,=10,C.-5,m,0,）仅在点,(3,0),处取得最大值，则,a,的取值范围为,。,19,题型三 线性规划的简单应用,【,例,3,】,某公司仓库,A,存有货物,12,吨，仓库,B,存有货物,8,吨,现按,7,吨、,8,吨和,5,吨把货物分别调运给甲、乙、,丙三个商店,.,从仓库,A,运货物到商店甲、乙、丙,每吨,货物的运费分别为,8,元、,6,元、,9,元；从仓库,B,运货到,商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为,3,元、,4,元、,5,元,.,问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库,运货物到三个商店的总运费最少？,由于题目中量比较多，所以最好通过列,出表格以便清晰地展现题目中的条件,.,设出仓库,A,运给甲、乙商店的货物吨数可得运到丙商,店的货物吨数，列出可行域，即可求解,.,思维启迪,20,解,将已知数据列成下表：,设仓库,A,运给甲、乙商店的货物分别为,x,吨，,y,吨，,则仓库,A,运给丙商店的货物为,(12-,x,-,y,）吨,从而仓库,B,运给甲、乙、丙商店的货物分别为,(7-,x,),吨、,(8-,y,),吨、,5-(12-,x,-,y,)=(,x,+,y,-7),吨,于是总运费为,z,=8,x,+6,y,+9(12-,x,-,y,)+3(7-,x,)+4(8-,y,)+5(,x,+,y,-7),=,x,-2,y,+126.,甲,乙,丙,A,8,6,9,B,3,4,5,商店,仓库,每,吨,运,费,21,线性约束条件为,目标函数为,z,=,x,-2,y,+126.,作出上述不等式组表示的平面区域，其可行域如图中,阴影部分所示,.,22,作出直线,l,:,x,-2,y,=0,把直线,l,平行移动,显然当直线,l,移,动到过点,(0,8),时,在可行域内，,z,=,x,-2,y,+126,取得最小,值,z,min,=0-2,8+126=110,即,x,=0,y,=8,时总运费最少,.,安排的调运方案如下,:,仓库,A,运给甲、乙、丙商店的货,物分别为,0,吨、,8,吨、,4,吨，仓库,B,运给甲、乙、丙商店,的货物分别为,7,吨、,0,吨、,1,吨，此时可使得从两个仓,库运货物到三个商店的总运费最少,.,解线性规划应用问题的一般步骤是,:(1),分,析题意,设出未知量,;(2),列出线性约束条件和目标函,数,:(3),作出可行域并利用数形结合求解,;(4),作答,.,探究提高,23,知能迁移,3,（,2009,四川，,10,）,某企业生产甲、乙,两种产品,已知生产每吨甲产品要用,A,原料,3,吨、,B,原,料,2,吨；生产每吨乙产品要用,A,原料,1,吨、,B,原料,3,吨,.,销售每吨甲产品可获得利润,5,万元、每吨乙产品可,获得利润,3,万元，该企业在一个生产周期内消耗,A,原,料不超过,13,吨、,B,原料不超过,18,吨,那么该企业可获,得的最大利润是 （）,A.12,万元,B.20,万元,C.25,万元,D.27,万元,24,解析,设生产甲产品,x,吨、乙产品,y,吨，,则获得的利润为,z,=5,x,+3,y,.,由题意得,可行域如图阴影所示,.,由图可知当,x,、,y,在,A,点取值时，,z,取得最大值，,此时,x,=3,，,y,=4,z,=5,3+3,4=27(,万元,).,答案,D,25,题型四 线性规划的综合应用,【,例,4,】,（,12,分）实数,x,y,满足,（,1,）若 求,z,的最大值和最小值，并求,z,的取值,范围；,（,2,）若,z,=,x,2,+,y,2,，求,z,的最大值与最小值,并求,z,的取值,范围,.,(1),表示的是区域内的点与原点,连线的斜率,.,故 的最值问题即为直线的斜率的,最大值与最小值,.,（,2,）,z,=,x,2,+,y,2,的最值表示的是区域,内的点与原点的两点距离的平方的最大值、最小值,.,思维启迪,26,解,作出可行域如,图阴影部分所示,.,表示可行域内任一点与,坐标原点连线的斜率，,4,分,因此 的范围为直线,OB,的斜率到直线,OA,的斜率,(,OA,斜率不存在）,.,z,max,不存在，,z,min,=2,z,的取值范围是,2,，,+,）,.7,分,解题示范,27,(2),z,=,x,2,+,y,2,表示可行域内的任意一点与坐标原点的两,点间距离的平方,.9,分,因此,x,2,+,y,2,的范围最小为,|,OA,|,2,（取不到），最大为,|,OB,|,2,.,由 得,A,(0,，,1),，,|,OA,|,2,=0,2,+1,2,=1,，,|,OB,|,2,=1,2,+2,2,=5.,z,max,=5,，,z,无最小值,.,故,z,的取值范围是（,1,，,5,.12,分,28,探究提高,本例与常规线性规划不同，主要是目标函,数不是直线形式，此类问题常考虑目标函数的几何意,义，常见代数式的几何意义主要有以下几点：,(1),表示点（,x,y,）与原点（,0,，,0,）的距离,;,表示点（,x,y,）与（,a,b,）的距离,.,(2),表示点,(,x,，,y,),与原点,(0,，,0),连线的斜率,;,表示点,(,x,，,y,),与点,(,a,，,b,),连线的斜率,.,理解这些代数式的几何意义,往往是解决问题的关键,.,29,1.,平面区域的画法,:,二元一次不等式的标准化与半平,面的对应性,.,对于,A,0,的直线,l,：,Ax,+,By,+,C,=0,，,Ax,+,By,+,C,0,对应直线,l,右侧的平面；,Ax,+,By,+,C,0,当,A,0,时表示直线,l,:,Ax,+,By,+,C,=0,右侧的平面；当,A,0,时，截距 取最大值时，,z,也取,最大值；截距 取最小值时，,z,也取最小值；当,b,-1,S,ABC,=|,a,+1|=2,a,=3.,答案,D,34,2.,(2009,安徽理,7),若不等式组 所表示,的平面区域被直线 分为面积相等的两部,分，则,k,的值是,(),35,解析,不等式组表示的平面区域如图所示,.,由于直线,y,=,kx,+,过定点,因此只有直线过,AB,中点时,直线,y,=,kx,+,能平分平面区域,.,因为,A,(1,1),B,(0,4),所以,AB,中点,答案,A,36,3.,若实数,x,y,满足条件 目标函数,z,=2,x,-,y,则 （）,A.,z,max,=B.,z,max,=-1,C.,z,max,=2 D.,z,min,=0,解析,如图所示，当,z,=2,x,-,y,过 时,C,37,4.,已知点,P,（,x,y,）满足 点,Q,(,x,y,),在,圆,(,x,+2),2,+(,y,+2),2,=1,上,则,|,PQ,|,的最大值与最小值为,（）,A.6,3 B.6,2 C.5,3 D.5,2,解析,可行域如图阴影部分,设,|,PQ,|=,d,，则由图中圆心,C,(-2,-2),到直线,4,x,+3,y,-1=0,的,距离最小,则到点,A,距离最大,.,得,A,（,-2,，,3,）,.,d,max,=|,CA,|+1=5+1=6,，,B,38,5.,（,2009,湖北理，,8,）,在,“,家电下乡,”,活动中，某,厂要将,100,台洗衣机运往邻近的乡镇,.,现有,4,辆甲型货,车和,8,辆乙型货车可供使用,.,每辆甲型货车运输费用,400,元，可装洗衣机,20,台；每辆乙型货车运输费用,300,元,可装洗衣机,10,台,.,若每辆车至多只运一次,则,该厂所花的最少运输费用为 （）,A.2 000,元,B.2 200,元,C.2 400,元,D.2 800,元,39,解析,设需甲型货车,x,辆，乙型货车,y,辆，由题意知,作出其可行域如图所示，,可知目标函数,z,=400,x,+300,y,在点,A,处取最小值，,z,min,=400,4+300,2=2 200(,元,).,答案,B,40,6.,(2008,海南、宁夏文,10),点,P,(,x,y,),在直线,4,x,+3,y,=0,上,且,x,y,满足,-14,x,-,y,7,则点,P,到坐标原点的距离,的取值范围是 （）,A.,0,5,B.,0,10,C.,5,10,D.,5,15,解析,如图所示，可知直线,4,x,+3,y,=0,分别与直线,x,-,y,=-14,x,-,y,=7,的交点为,P,1,(-6,8),，,P,2,(,3,，,-4),，,易知,|,OP,1,|=10,|,OP,2,|=5.,故,|,OP,|,的取值范围为,0,，,10,.,B,41,二、填空题,7.,（,2009,陕西文，,14,）,设,x,y,满足约束条件,则,z,=,x,+2,y,的最小值是,_,最大值是,_.,解析,如图所示，由题意得,A,（,3,，,4,）,.,由图可以看,出，直线,x,+2,y,=,z,过点（,1,，,0,）时，,z,min,=1,过点,(3,4),时,z,max,=3+2,4=11.,1,11,42,8.,（,2009,山东文,16,）,某公司租赁甲、乙两种设备,生产,A,，,B,两类产品，甲种设备每天能生产,A,类产品,5,件和,B,类产品,10,件,乙种设备每天能生产,A,类产品,6,件,和,B,类产品,20,件,.,已知设备甲每天的租赁费为,200,元,设备乙每天的租赁费为,300,元，现该公司至少要生产,A,类产品,50,件,B,类产品,140,件,所需租赁费最少为,_,元,.,43,解析,设需租赁甲种设备,x,台，乙种设备,y,台，,目标函数为,z,=200,x,+300,y,.,作出其可行域，易知当,x,=4,y,=5,时，,z,=200,x,+300,y,有最,小值,2 300,元,.,答案,2 300,44,9.,已知实数,x,y,满足不等式组 目标函数,z,=,y,-,ax,(,a,R,).,若取最大值时的唯一最优解是,(1,3),则实数,a,的取值范围是,_.,解析,如图所示，依题意直,线,x,+,y,-4=0,与,x,-,y,+2=0,交于,A,(1,3),此时取最大值，,故,a,1.,(1,+),45,三、解答题,10.,若,a,0,b,0,且当 时，恒有,ax,+,by,1,求以,a,b,为坐标的点,P,(,a,b,),所形成的平面区域的面积,.,解,作出线性约束条件,对应的可行域如图所示，,46,在此条件下，要使,ax,+,by,1,恒成立,只要,ax,+,by,的最大,值不超过,1,即可,.,令,z,=,ax,+,by,则,因为,a,0,b,0,此时对应的可行域如图，,所以以,a,b,为坐标的点,P,（,a,b,）所形成的面积为,1.,47,11.,A,、,B,两地分别生产同一规格产品,12,千吨、,8,千吨,而,D,、,E,、,F,三地分别需要,8,千吨、,6,千吨、,6,千吨，每,千吨的运价如下表,.,怎样确定调运方案,使总的运费,为最小？,解,设从,A,到,D,运,x,千吨,则从,B,到,D,运,(8-,x,),千吨,;,从,A,到,E,运,y,千吨,则从,B,到,E,运,(6-,y,),千吨,;,从,A,到,F,运,(12-,x,-,y,),千吨,从,B,到,F,运,(,x,+,y,-6),千吨,运价,(,万元,/,千吨,),到,D,到,E,到,F,从,A,4,5,6,从,B,5,2,4,48,则线性约束条件为,线性目标函数为,z,=4,x,+5,y,+6(12-,x,-,y,)+5(8-,x,)+2(6-,y,)+,4(,x,+,y,-6)=-3,x,+,y,+100,作出可行域，可观察出目标函数在,(8,，,0),点取到最小,值，即从,A,到,D,运,8,千吨，从,B,到,E,运,6,千吨，从,A,到,F,运,4,千吨，从,B,到,F,运,2,千吨，可使总的运费最少,.,49,12.,在,R,上可导的函数,当,x,(0,1),时取得极大值,当,x,(1,2),时取得极小值,求点,(,a,b,),对应的区域的面积以及 的取值范围,.,解,函数,f,(,x,),的导数为,f,(,x,)=,x,2,+,ax,+2,b,当,x,(0,1),时,f,(,x,),取得极大值,当,x,(1,2),时,f,(,x,),取得极小值,则方程,x,2,+,ax,+2,b,=0,有两个根,一个根在区间,(0,1),内,另一个根在区间,(1,2),内,由二次函数,f,(,x,)=,x,2,+,ax,+,2,b,的图象与方程,x,2,+,ax,+2,b,=0,根的分布之间的关系可,以得到,50,在,aOb,平面内作出满足约束条件的,点,(,a,b,),对应的区域为,ABD,(,不包,括边界,),如图阴影部分,其中点,A,(-3,1),B,(-1,0),D,(-2,0),ABD,的面积为,(,h,为点,A,到,a,轴的距离,).,点,C,(1,2),与点,(,a,b,),连线的斜率为,返回,51,