定积分应用市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

,第六章 定积分应用,定积分元素法,定积分在几何学上应用,定积分在物理学上应用,第1页,第1页,定积分几何应用,平面图形面积,体积,平面曲线弧长,x,y,第三节 定积分在物理学上应用,第2页,第2页,定积分物理应用之一,变力沿直线作功问题,从物理学知道，若物体在作直线运动过程,中受常力 作用从,a,移至,b,（力方向与物体运动方向一致），力对物体所作功为,问题提出：,a,b,若 为变力，力对物体所作功,W=？,第3页,第3页,解:,在上述移动过程中，电场,例1,带电量为,q,0,与,q,1,正电荷分别放在空间两点，求当q,1,沿,a,与,b,连线从a移到b时电场力所作功。,如图建立坐标系：,a,b,o,r,q,0,q,1,对,q,1,作用力是改变。,(i)取,r,为积分变量，则,(ii)相应于,a,b,上任一小区间,r,r+dr,功元素,(iii)所求功,第4页,第4页,解:,等,温条件下，压强p与体积V乘积为常数，即,pV,=,k,而,F,=,pS,例2,在底面积为S圆柱形容器中盛有一定量气体。在等温条件下，由于气体膨胀，把容器中一个活塞（面积为S）从点,a,推移至,b,，,计算在移动过程中气体压力所作功。,如图建立坐标系，活塞位置可用坐标,x,表示。,a,b,注意到气体膨胀过程中,V,=,V,(,x,),即,F,=,F,(,x,),故采用元素法。,(i)取,x,为积分变量，则,(ii)相应于,a,b,上任一小区间,x,x+dx,功元素,(iii)所求功,o,x,x,x+dx,第5页,第5页,解:,如图选取,x,轴。,(i)取,x,为积分变量，则,(ii)相应于,0,5,上任一小区间,x,x+dx,一薄层水重力为,(iii)所求功,例3,一圆柱形储水桶高5米，底圆半径3米，桶内盛满了水。问把桶内水所有吸出需作多少功？（水比重为 ）,这薄层水吸出桶外需作之功近似为,x,3m,5m,o,x,x+dx,第6页,第6页,解:,如图建立坐标系。,(i)取,x,为积分变量，则,(iii)所求功,(ii)相应于小区间,x,x+dx,，相应薄片由,A,升至,B,在水中行程为,r,+,x,在水上行程为,2,r,-(,r,+,x,)=,r,-,x,。,思考练习,半径为,r,球沉入水中，球上部与水面相切，球比重与水相同。欲将球从水中取出，需作多少功？（水比重为,）,由于球比重与水相同，薄片所受浮力与重力合力为零，不作功，由水面再上升到,B,时需作功，即功元素,y,x,o,r,A,B,2r,第7页,第7页,定积分物理应用之二,水 压 力,从物理学知道，在水深为h处压强为,问题提出：,若平板,铅直,放置在水中，平板一侧所受水压力,P=？,p=,h（,为水比重）。,x,h,A,因此，一面积为A平板水平放置在水深为h处时，其一侧所受水压力为,第8页,第8页,定积分元素法,问题处理办法：,设平板铅直位于液体中形状如图。,距离液面x、高为dx、宽为f(x)矩形平板所受压力近似值，即压力元素为,以液面为y轴，x轴铅直向下。,x,y,o,a,b,y=f(x),所求压力,x,x+dx,（为液体比重）,第9页,第9页,解:,依题意，如图建立坐标系。则端面周界方程为：,(i)取,x,为积分变量，则,(iii)所求压力,(ii)相应于,0,R,上任一小区间,x,x+dx,窄条上各点压强,例4,一个横放着圆柱形水桶，桶内盛有半桶水（如图1）。设桶底半径为R，水比重为,，计算桶一个端面上所受压力。,x,x+dx,x,y,o,R,，窄条面积近似于,，即压力元素为,第10页,第10页,解:,如图建立坐标系,则腰OB方程为：,(i)取,x,为积分变量，则,(iii)所求压力,(ii)相应于,0,6,上任一小区间,x,x+dx,窄条上各点压强,例5,一个底为8cm，高为6cm等腰三角形片，铅直地淹没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3cm，,试求它每面所受压力（,水比重为,）。,窄条面积,压力元素,x,y,o,A,B(6,4),x,x+dx,第11页,第11页,解:,如图建立坐标系。,(i)取,x,为积分变量，则,(iii)所求压力,(ii)相应于小区间,x,x+dx,，相应薄板宽为,思考练习,边长为,a,和,b,矩形薄板，与液面成,角斜沉于液体中，长边平行于液面而位于深,h,处，设ab，液体比重为,，试求薄板每面所受压力。,，窄条面积为,压力元素,x,y,o,a,h,dx,第12页,第12页,定积分物理应用之三,引 力,从物理学知道，质量分别为m,1、,m,2,，相距为r两质点间引力大小为,问题提出：,其中G为引力系数，引力方向沿着两质点连线。,o,x,r,m,1,m,2,如何计算一根,细棒,对一个,质点,引力,F=？,第13页,第13页,解:,例6,设有一长度为,l、,线密度为,均匀细棒，在其中垂线上距棒,a,单位处有一质量为,m,质点M。试计算该棒对质点M引力。,如图建立坐标系：,(i)取,y,为积分变量，则,(ii)相应于,(iii)引力,o,x,M,y,上任一小区间,y,y+dy,引力元素,y,y+dy,r,a,第14页,第14页,解:,练习,设有二分之一径为,R、,中心角为,圆弧形细棒，其,线密度为常数,。在圆心处有一质量为,m,质点M。试求这细棒对质点M引力。,如图建立坐标系：,(i)取,为积分变量，则,(ii)相应于,(iii)引力,x,M,y,上任一小区间,+d,引力元素,第15页,第15页,