二面角的定义(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二面角,二面角,1,一,、,二面角的定义,从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。,二面角,二面角,2,二面角的平面角,角 的平面角,一个平面垂直于二面角,的棱，并与两半平,面分别相交于射线,PA、PB,垂足为P，则,APB,叫做二面,A,B,P,二面角,二面角,3,二,、二面角的求法,1、直接法,：,定义法:,a,以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a 的两条射线OA,OB，则AOB就是此二面角的平面角,。,O,A,B,在一个平面 内选一点A向另一平面 作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连结AO，则AOB就是二面角的平面角。,A,B,O,垂面法:,a,过二面角内一点A作AB 于B，作AC 于C，面ABC交棱a于点O，则BOC就是二面角的平面角。,A,B,C,O,三垂线定理法:,a,二面角的求法,4,A,B,C,O,cos()=,M,N,三角形ABC在平面N内的射影为BCO 三角形ABC的面积为S，三角形BCO的面积为S,射,面积法,5,例,1.,在棱长为,a,的正方体,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，,求,（1）,平面,C,1,BD,与平面,ABCD,所成角的大小；,（2）,二面角,AB,1,D,1,C,的大小。,例题分析,A,1,A,C,1,B,C,B,1,D,1,D,P,O,6,例2.如图，已知,P,是二面角-,AB,-棱上一点，过,P,分别在、内引射线,PM、PN,，且,MPN=60,BPM=BPN=45,，求此二面角的度数。,A,B,P,M,N,C,D,O,解,：,在,PB,上取不同于,P,的一点,O,，,在内过,O,作,OCAB,交,PM,于,C,，,在内作,ODAB,交,PN,于,D,，,连,CD,，可得,COD,是二面角-,AB,-,的平面角,设,PO=a,，,BPM=BPN=45,CO=a,，,DO=a,，,PC a,，,PD a,又,MPN=60,CD=PC a,COD=90,因此，二面角的度数为,90,a,O,P,C,二面角,7,例3如图P为二面角,内一点，PA,PB,且,PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。,过,PA、PB,的平面,PAB,与,棱,交于,O,点,PA,PA,PB,PB,平面,PAB,AOB,为二面角,的平面角,又,PA=5，PB=8，AB=7,由余弦定理得,P=60 AOB=120,这二面角的度数为,120,解：,A,B,P,O,二面角,8,O,A,B,P,C,取,AB,的中点为,E,，,连,PE，OE,O,为,AC,中点,，,ABC=90,OEBC,且,OE BC,在,Rt,POE,中，,OE,，,PO,所求的二面角,P-AB-C,的正切值为,例4,如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt,ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值,。,PEO,为二面角,P-AB-C,的平面角,在,Rt,PBE,中,，,BE ，PB=,1，,PE,OEAB,，,因此,PEAB,E,解：,E,O,P,二面角,9,例5 已知：RtABC中，AB=AC=a，AD,是斜边,BC,上的高，以,AD,为折痕使,BDC,成直角。,求证：平面,ABD,平面,BDC，,平面,ACD,平面,BDC,BAC=60,。,证明：,在图,乙中,ADBD，ADDC，,AD平面BDC，,平面,ABD,平面,BDC，,在图,甲中,AB=AC=a，BAC=90,。,在图,乙中,ABC是等边三角形,BAC=60,。,平面,ACD,平面,BDC。,又AD 平面ABD，AD 平面ACD，,BD=DC=BC/2=2/2,D,B,A,C,A,D,B,C,(甲图）,（乙图）,10,例6、如图，设E为正方体的边CC,1,的中点，求平面AB,1,E和底面A,1,B,1,C,1,D,1,所成角的余弦值。,AB,1,E在底面A,1,B,1,C,1,D,1,上的射影为A,1,B,1,C,1,，故这两个平面所成二面角的余弦值为,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,E,M,11,A,B,C,A1,B1,C1,例7：在直三棱柱ABC-A,1,B,1,C,1,中，BAC=90,0,，AB=BB,1,=1，直线B,1,C与平面ABC成30,0,角，求二面角B-B,1,C-A的正弦值,N,Q,分析：易知，平面ABC与平面BCC,1,B,1,垂直故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线,。,12,h=1/32,，,解：由直三棱柱性质得平面ABC,平面BCC,1,B,1,，过A作AN,平面BCC,1,B,1,，垂足为N，则AN,平面BCC,1,B,1,，（AN即为我们要找的垂线）在平面BCB,1,内过N作NQ棱B,1,C，垂足为Q，连QA，则NQA即为二面角的平面角。,AB,1,在平面ABC内的射影为AB，CAAB，CAB,1,A，AB=BB,1,=1，得AB,1,=。直线B,1,C与平面ABC成30,0,角，B,1,CB=30,0,，B,1,C=2，RtB,1,AC中，由勾股定理得AC=，AQ=1。在RtBAC中，AB=1，AC=，得AN=。,sinAQN=。即二面角B-B,1,C-A的正弦值为 。,13,1、如图，,AB,是圆的直径，,PA,垂直圆所在的平面，,C,是圆上任一点，则二面角,P-BC-A,的平面角为:,A.,ABP,B.,ACP,C.,都不是,练 习,2、已知P为二面角 内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？,p,A,B,O,A,B,C,P,60,二面角,14,二,、,二面角的平面角,一,、,二面角的定义,从空间一直线出发的两个半,平面所组成的图形叫做二面角,1、定义,2、求二面角的平面角方法,点P在棱上,点P在一个半平面上,点P在二面角内,A,B,P,小,结,二面角,二面角,A,B,p,p,A,B,p,A,B,O,定义法,三垂线定理法,垂面法,二面角,15,几点说明：,定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法,。,三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法,。,垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用,。,以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角,。,间接法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用,。,二面角的求法,16,A,B,C,D,AB=AD，BC=CD,已知三个侧面的顶角,求相邻两个侧面所成的角,注意一些全等三角形或相似三角形,17,18,如下图：是正方形，是平面外一点，且，,求二面角的大小。,19,20,