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质量检测8
(时刻120分钟　满分150分)
一、选择题(本大年夜题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是相符标题要求的。)
1．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为(　　)
A．－　　　　　　　　 B.
C．3 D．－3
解析：由两点式，得＝，
即2x－y＋3＝0，令y＝0，得x＝－，
即在x轴上的截距为－.
谜底：A
2．与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是(　　)
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
解析：圆x2＋y2＋2x－2y＝0的圆心为(－1,1)，半径为，过圆心(－1,1)与直线x－y－4＝0垂直的直线方程为x＋y＝0，所求的圆的圆心在此直线上，清除A、B，圆心(－1,1)到直线x－y－4＝0的距离为＝3，则所求的圆的半径为，故选C.
谜底：C
3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于(　　)
A．－ B．－4
C．4 D.
解析：双曲线方程化为标准情势：y2－＝1则有：a2＝1，b2＝－，
∴2a＝2,2b＝2，∴2×2＝2，∴m＝－.
谜底：A
4．(2011年青岛质检)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0圆心的抛物线方程是(　　)
A．y＝3x2或y＝－3x2 B．y＝3x2
C．y2＝－9x或y＝3x2 D．y＝－3x2或y2＝9x
解析：x2＋y2－2x＋6y＋9＝0，(x－1)2＋(y＋3)2＝1，圆心(1，－3)，故选D.

谜底：D
5．(2010年北京海淀区期末)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)
A. B．－
C．－ D.
解析：依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－，选B.
谜底：B
6．(2010年福建高考)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中间和左核心，点P为椭圆上的随便率性一点，则·的最大年夜值为(　　)
A．2 B．3
C．6 D．8
解析：由椭圆＋＝1可得点F(－1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)，－2≤x≤2，则· ＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3(1－)＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，·取得最大年夜值6.
谜底：C
7．(2011年济南)已知点P在核心为F1，F2的椭圆上活动，则与△PF1F2的边PF2相切，且与边F1F2，F1P的延长线相切的圆的圆心M必定在(　　)
A．一条直线上 B．一个圆上
C．一个椭圆上 D．一条抛物线上
解析：设⊙M与F1F2的延长线切于M1点，与F1P的延长线切于M2点，与PF2切于Q点．∵|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＋|QF2|＝|PF1|＋|PM2|＋|F2M1|＝|F1M2|＋|F2M1|＝|F1F2|＋|F2M1|＋|F2M1|＝|F1F2|＋2|F2M1|＝定值．又|F1F2|＝定值，∴|F2M1|为定值．由此可知M点在一条直线上．故选A.
谜底：A
8．(2011年东北三校联考)已知双曲线－＝1，过其右核心F的直线交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直等分线交x轴于点M，则的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：采取专门值法做题：右核心(5,0)，设PQ的斜率为1
联立得
7x2＋90x－369＝0
x1＋x2＝－，x1x2＝
|PQ|＝＝
中点(－，－)，中垂线y＋＝－(x＋)
，x＝－
∴M(－，0)，|MF|＝
∴＝，故选B.
谜底：B
9．(2011年广西百所重点中学时期检测)抛物线C：y2＝2px(p>0)的核心为F，准线为l，点P在抛物线C上，若点P到l的距离等于点P与坐标原点O的距离，则tan∠POF等于(　　)
A．3 B．2
C. D．2
解析：设P(xP，yP)，由题易知|PO|＝|PF|，∴xP＝，得yP＝±，∴tan∠POF＝＝2.
谜底：D
10．(2011年福州质检)已知F1、F2为椭圆＋＝1的左、右核心，若M为椭圆上一点，且△MF1F2的内切圆的周长等于3π，则知足前提的点M有(　　)个．(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：|MF1|＋|MF2|＝10，F1(－3,0)，F2(3,0)，|F1F2|＝6
设内切圆半径为r，则2πr＝3π，r＝
∴16×＝|F1F2|·|yM|，|yM|＝4，
∴M点有两个，即：短轴的端点，故选C.
谜底：C
11．(2011年湖北八市3月调考)已知F1、F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右核心，以坐标原点O为圆心，OF1为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则当△PF1F2的面积等于a2时，双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D．2
解析：设F1(－c,0)，F2(c,0)，|F1F2|＝2c

S△PF1F2＝＝a2，yP2＝＝.
c·＝a2，a2＝b2
∴此双曲线为等轴双曲线，e＝.
谜底：A
12．(2010年重庆第一次诊断)已知椭圆＋＝1的左、右核心分别为F1、F2，过点F1且倾斜角为45°的直线l交椭圆于A，B两点．以下结论：①△ABF2的周长为8；②原点O到直线l的距离为1；③|AB|＝.个中精确结论的个数为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：依题意得|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝8，即△ABF2的周长是8；易知点F1(－，0)，故直线l的方程是y＝x±，即x－y＋＝0，则原点O到直线l的距离是＝1；联立得3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－，
故|AB|＝＝.
谜底：A
二、填空题(本大年夜题共4小题，每题5分，共20分．把谜底填在题中横线上．)
13．(2011年昆明)过点P(0,2)的直线和抛物线y2＝8x交于A，B两点，若线段AB的中点横坐标为2，则弦AB的长为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M，则M(2，)．
由，相减得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)，即kAB＝＝，又kAB＝kMP＝，设y1＋y2＝2m，则＝，即m2－2m－8＝0，得m＝4或m＝－2，即M(2,4)或M(2，－2)，明显M(2,4)在抛物线上，不合题意，舍去，∴M(2，－2)，得kAB＝－2，∴lABy＝－2x＋2.由消去y，得x2－4x＋1＝0，因此|AB|＝·|x1－x2|＝·＝×＝2.
谜底：2
14．已知抛物线C的顶点为坐标原点，核心在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
解析：设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，由方程组得交点为A(0,0)，B(a，a)，而点P(2,2)是AB的中点，从而有a＝4，故所求抛物线的方程为y2＝4x.
谜底：y2＝4x
15．(2011年江南十校联考)设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右核心，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大年夜值为________．
解析：|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|
易知M点在椭圆外，贯穿连接MF2并延长交椭圆于P点，现在|PM|－|PF2|取最大年夜值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大年夜值为10＋|MF2|＝10＋＝15.
谜底：15
16．(2010年浙江省台州市高三仿照)已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1的核心重合，则双曲线的离心率等于________．
解析：由题意＝，
∴a2＝b2，∴c2＝2a2，
∴e＝＝.
谜底：
三、解答题(本大年夜题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解准许写出文字说明，证实过程或演算步调．)
17．求经由7x＋8y＝38及3x－2y＝0的交点且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方程．
解：易得交点坐标为(2,3)
设所求直线为7x＋8y－38＋λ(3x－2y)＝0，
即(7＋3λ)x＋(8－2λ)y－38＝0，
令x＝0，y＝，
令y＝0，x＝，
由已知，＝，
∴λ＝，即所求直线方程为x＋y－5＝0.
又直线方程不含直线3x－2y＝0，而当直线过原点时，在两轴上的截距也相等，故3x－2y＝0亦为所求．
18．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且与直线x－y＋1＝0订交的弦长为2，求圆的方程．
解：设所求圆的圆心为(a，b)，半径为r，
∵点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点A′仍在那个圆上，
∴圆心(a，b)在直线x＋2y＝0上，
∴a＋2b＝0，①
(2－a)2＋(3－b)2＝r2②
又直线x－y＋1＝0截圆所得的弦长为2，
∴r2－()2＝()2③
解由方程①、②、③构成的方程组得：
或
∴所求圆的方程为
(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.
19．(2010年浙江高考)已知m长短零实数，抛物线C：y2＝2px(p>0)的核心F在直线l：x－my－＝0上．

(1)若m＝2，求抛物线C的方程；
(2)设直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足为A1，B1，△AA1F，△BB1F的重心分别为G，H.
求证：对随便率性非零实数m，抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外．
解：(1)因为核心F(，0)在直线l上，得p＝m2，
又m＝2，故p＝4.
因此抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)因为抛物线C的核心F在直线l上，因此p＝m2，
因此抛物线C的方程为y2＝2m2x.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x得y2－2m3y－m4＝0，因为m≠0，故Δ＝4m6＋4m4>0，且有y1＋y2＝2m3，y1y2＝－m4，
设M1，M2分别为线段AA1，BB1的中点，
由2＝，2＝，
可知G(，)，H(，)，
因此＝＝＋，＝，
因此GH的中点为M(＋，)．
设R是以线段GH为直径的圆的半径，
则R2＝|GH|2＝(m2＋4)(m2＋1)m4.
设抛物线的准线与x轴的交点为N(－，0)，
则|MN|2＝(＋＋)2＋()2＝m4(m4＋8m2＋4)
＝m4[(m2＋1)(m2＋4)＋3m2]>m4(m2＋1)(m2＋4)＝R2，
故点N在以线段GH为直径的圆外．
20．(2011届上海春招改编)已知抛物线F：x2＝4y.
(1)△ABC的三个顶点在抛物线F上，记△ABC的三边AB、BC、CA地点直线的斜率分别为kAB、kBC、kCA，若点A在坐标原点，求kAB－kBC＋kCA的值；
(2)请你给出一个P(2,1)为顶点，且其余各顶点均为抛物线F上的动点的多边形，写出多边形各边地点直线的斜率之间的关系式，并说明来由．
解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)．
∵x12＝4y1，x22＝4y2，
∴kAB－kBC＋kCA＝－＋
＝x1－(x1＋x2)＋x2＝0.
(2)①研究△PBC.kPB－kBC＋kCP＝－＋＝－＋＝＝1.
②研究四边形PBCD.
kPB－kBC＋kCD－kDP＝－＋－＝0.
③研究五边形PBCDE.kPB－kBC＋kCD－kDE＋kEP
＝－＋－＋
＝＝1.
④研究n＝2k边形P1P2…P2k(k∈N，k≥2)，其P1＝P.
有kP1P2－kP2P3＋kP3P4－…＋(－1)2k－1kP2kP1＝0.
证实：左边＝(xP1＋xP2)－(xP2＋xP3)＋…＋(－1)2k－1(xP2k＋xP1)＝[1＋(－1)2k－1]＝＝0＝右边．
⑤研究n＝2k－1边形P1P2…P2k－1(k∈N，k≥2)，个中P1＝P.
有kP1P2－kP2P3＋kP3P4－…＋(－1)2k－2kP2k－1P1＝1.
证实：左边＝(xP1＋xP2)－(xP2＋xP3)＋…＋(－1)2k－1(xP2k－1＋xP1)
＝[1＋(－1)2k－1－1]＝＝1＝右边．
⑥研究n边形P1P2…Pn(n∈N，n≥3)，个中P1＝P.
有kP1P2－kP2P3＋kP3P4－…＋(－1)n－1kPnP1＝.
证实：左边＝(xP1＋xP2)－(xP2＋xP3)＋…＋(－1)n－1(xPn＋xP1)＝[1＋(－1)n－1]＝＝右边．
21．(2011年湖南十二校联考)已知双曲线G的中间在原点，它的渐近线与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切．过点P(－4，0)作斜率为的直线l，使得l和G交于A，B两点，和y轴交于点C，同时点P在线段AB上，又知足|PA|·|PB|＝|PC|2.
(1)求双曲线G的渐近线的方程；
(2)求双曲线G的方程；
(3)椭圆S的中间在原点，它的短轴是G的实轴，假如S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹正好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程．
解：(1)设双曲线G的渐近线的方程为y＝kx，
则由渐近线与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切可得＝，
因此k＝±，即双曲线G的渐近线的方程为y＝±x.
(2)由(1)可设双曲线G的方程为x2－4y2＝m，
把直线l的方程y＝(x＋4)代入双曲线方程，
整顿得3x2－8x－16－4m＝0，
则xA＋xB＝，xAxB＝－.(*)
∵|PA|·|PB|＝|PC|2，P、A、B、C共线且P在线段AB上，
∴(xP－xA)(xB－xP)＝(xP－xC)2，即(xB＋4)(－4－xA)＝16，
整顿得4(xA＋xB)＋xAxB＋32＝0.
将(*)代入上式得m＝28，
∴双曲线的方程为－＝1.
(3)由题可设椭圆S的方程为＋＝1(a>2)，
设垂直于l的平行弦的两端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为P(x0，y0)，
则＋＝1，＋＝1，
两式作差得＋＝0.
因为＝－4，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
因此－＝0，
因此，垂直于l的平行弦中点的轨迹为直线－＝0截在椭圆S内的部分．
又由已知，那个轨迹正好是G的渐近线截在S内的部分，因此＝，即a2＝56，故椭圆S的方程为＋＝1.
22．(2010年陕西高考)如图，椭圆C：＋＝1的顶点为A1，A2，B1，B2，核心为F1，F2，|A1B1|＝，S▱B1A1B2A2＝2S▱B1F1B2F2.

(1)求椭圆C的方程；
(2)设n为过原点的直线，l是与n垂直订交于P点、与椭圆订交于A，B两点的直线，||＝1.是否存在上述直线l使·＝0成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明来由．
解：(1)由|A1B1|＝知a2＋b2＝7，①
由S▱A1B1A2B2＝2S▱B1F1B2F2知a＝2c，②
又b2＝a2－c2，③
由①②③解得a2＝4，b2＝3，故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
假设使·＝0成立的直线l存在，
①当l不垂直于x轴时，设l的方程为y＝kx＋m，
由l与n垂直订交于P点且||＝1得
＝1，即m2＝k2＋1.
由·＝0得x1x2＋y1y2＝0.
将y＝kx＋m代入椭圆方程，得
(3＋4k2)x2＋8kmx＋(4m2－12)＝0.
由求根公式可得x1＋x2＝④
x1x2＝⑤
0＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)
＝x1x2＋k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.
将④⑤代入上式并化简得
(1＋k2)(4m2－12)－8k2m2＋m2(3＋4k2)＝0，⑥
将m2＝1＋k2代入⑥并化简得－5(k2＋1)＝0，抵触．
即现在直线l不存在．
②当l垂直于x轴时，知足||＝1的直线l的方程为x＝1或x＝－1.
则A，B两点的坐标为(1，)，(1，－)或(－1，)，(－1，－)，
当x＝1时，·
＝(1，)·(1，－)＝－≠0；
当x＝－1时，·
＝(－1，)·(－1，－)＝－≠0，
∴现在直线l也不存在．
综上可知，使·＝0成立的直线l不存在．