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揭阳二模试题

2006年揭阳市高中毕业班高考第二次模拟考试
数学科试题
本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡密封线内.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原先的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试终止后，将本试题卷和答题卡一并交回.
参考公式：
假如事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）
假如事件A、B相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B）
假如事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
. 棱锥的体积公式：，其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数在复平面内对应的点Z位于
A.实轴 B. 第四象限 C. 第三象限 D. 第二象限
2．已知α、β是两个不同的平面，直线mα，直线nβ，命题p: m与n无公共点；命题 q: a//β，则p是q的 A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
3．不等式组：所表示的平面区域的面积为
A. B. C. ＋1 D. －1

4．已知直线的倾斜角为，且与直线互相垂直，则tan的值为
A. B. C. D.
5. 已知则的值为
A. 3 B. C. －1 D. －2
6．已知函数，函数的图象与函数f(x)的图象关于直线y＝x对称，则的图象大致是：

A B C D
7. 在△ABC中，已知，且角B的对边，则△ABC外接圆的半径是
Ａ.1 Ｂ.2 Ｃ. Ｄ. 2
8.如图，已知多面体ABC－DEFG中，AB、AC、AD两两
互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC,
AB=AD=DG=2,AC=EF=1,则该多面体的体积为
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
9.某射击运动员在一次射击竞赛中，在规定的射
击次数内，射击的环数稳固在7，8，9，10环。
他的这次成绩画成频率分布直方图如右，则本次
竞赛该运动员射击的平均环数为
A. 8.8 B. 8.7 C. 8.5 D.不能确定
10. 已知P是椭圆第一象限部分上一点，、是椭圆的两个焦点，且
△PF1F2的内切圆的半径为，则点P的纵坐标为
A. B. C . D.
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答案卡中的相应横线上.
11．已知，则 .
12．我省自2004年秋季开始高一学生进入新课程实验，其中课程选择的多样性是新课程的一个显著特点。设某班有50名学生，要求在《数学》选修系列Ⅳ的10个专题中每人选择2个专题学习，则共有 种选法。
13．若数列满足：为常数），则称数列为调和数列。已知数列为调和数列，且，则= 、
的最大值为 。
14.函数的部分图象如图所示，则有下列命题：
①函数f(x)的最小正周期为；
②直线是函数f(x)的图象的一条对称轴；
③点是函数f(x)图象的对称中心；
④是函数f(x)的一个单调增区间.
其中正确的命题序号是 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分12分）
已知集合B＝{x||x－2|<a},若(B),求实数a的取值范畴．

16．(本小题满分12分）
已知数列的前n项和为，且向量共线。
（Ⅰ）求证数列是等比数列；（6分）
(Ⅱ). 求的值。（6分）

17．（本小题满分13分）
已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M是棱AA1的中点，
点O是对角线BD1的中点。
（Ⅰ）求证：OM是AA1和BD1的公垂线；（6分）
(Ⅱ) 过该正方体对角线BD1作截面分别交棱AA1、CC1于点P、
Q，试求截面D1PBQ面积的最小值; （7分）

18. （本小题满分14分）
甲、乙两人竞赛远距离投篮，规定每人最多投5次，谁先投中谁胜（如二人在同次都投中，则为和局，竞赛终止）已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，且每次是否投中，相互之间没有阻碍。
（Ⅰ）求第一轮分出胜负的概率；（两人都投一次称为一轮）（3分）
（Ⅱ）求第二轮分出胜负的概率；（4分）
（Ⅲ）求乙获胜地概率。（7分）

19．（本小题满分14分）
已知函数f（x）的定义域为R，对任意的，且当时，.
(Ⅰ)求证:函数f（x）为奇函数；(3分)
(Ⅱ)求证：（5分）
(Ⅲ)求函数在区间[-n,n](n)上的最大值和最小值。（6分）

20. （本小题满分15分）
已知抛物线的对称轴为y轴，且与x轴相切，又知抛物线的焦点为.
(Ⅰ) 求抛物线的方程；（3分）
（Ⅱ）过该抛物线的的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交第一象限于点A，交第二象限于点B，点Q是点P关于原点的对称点，设点P分有向线段所成的比为λ，试判定与是否互相垂直？（7分）
(Ⅲ) 设直线AB的方程是，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.(5分)

参考答案及评分说明
一、 选择题：

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
A
A
C
A
A
C
B
D
解：1. ∴点Z在第二象限，故选D.
2.∵∴p是q的必要而不充分的条件。选B
3.如图所示：所求平面区域的面积为阴影部分的面积，即,故选A.
4.依题意得：，，故选A.
5.＝，选C.
6.依题意知，结合导数的几何意义知选A
7. 由得,
由正弦定理得，选A.
8.连结BG,BD,则
,,
,故选C.
9.由图可知，，
∴=1—0.2—0.2—0.35=0.25
∴射击的平均环数即：=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7.选B.
10.设P点的纵坐标为y，∵
∴
又∵，∴.选D.
二、填空题：
11． ；12． ；13．20 、100 ；14．①②③.
解：11. ，，
∴。
12.每人从10个专题中选2个有种选法，50人共有种选法。
13.由题意知数列为等差数列，
，，∴的最大值为100。
14.由图象可得：A=2 ,T=,∴①正确；由图象知是函数f(x)的图象的一条对称轴，将其向左平移可得另一条对称轴为，∴②正确；
由图象知点是函数f(x)图象的一个对称中心，函数f(x)图象的对称中心每隔的整数倍重复显现，∴③正确；由图象知是函数f(x)的一个单调减区间，该区间向右平移可得另一单调减区间为，∴④错误.
或由A=2 ,T=得由得
，函数f(x)的对称方程为:,当k＝－1时，
，由得,∴函数f(x)的对称中心为: ,由得
∴函数f(x)的单调增区间为，易知命题④假.
三、解答题：
15.解：由得，x>a2，
因此A＝{x| x>a2}……………………………………………………………………4分
由知BA．
∴a>0时，由|x－2|<a 得B＝{x|2－a<x<2＋a}．……………………… 8分
而BA，因此，a2≤2－a，即
解得－2≤a≤1，∴0<a≤1．………………………………………………………12分
16.证明：（Ⅰ）∵向量共线
∴ ∴………………2分
当时………………4分
满足上式，
又
∴数列是首项，公比为的等比数列.………………6分
（Ⅱ）∵…………………………8分
∴当时，；…………9分
当时，……11分
综上得：＝………………………………12分
17.解：（Ⅰ）以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图示：则,
，…………………………1分
∵点M、O分别是AA1与对角线BD1的中点，
∴ ，…………2分
，，
， …4分
…………5分
又∵MO与AA1，BD1都相交，
∴OM是AA1和BD1的公垂线.…………6分
（Ⅱ）∵面AD1∥面BC1 ∴PD1∥BQ, 同理BP∥QD1
∴过对角线BD1的截面是平行四边形………………………………………………8分
要使该平行四边形的面积最小，只需点P到对角线BD1的距离最小，
∵点P是AA1上的动点，
∴点P到对角线BD1的最小距离即为两异面直线AA1与BD1之间的距离…………10分
由（Ⅰ）知点P到对角线BD1的最小距离为线段OM的长，即面积最小的截面为(其中N为CC1中点)

，………………………………12分
∴，
即过对角线BD1的截面面积最小值为.………………………13分
18.解：依题意，每次甲投中的概率为，不中的概率为.乙每次投中的概率为，不中的概率为.……………………………………………………………………………………1分
（Ⅰ）第一轮分出胜负包含两种情形：甲投中，乙不中或甲不中乙中；由于事件是相互独立的，故所求的概率为：.…………………………3分
（Ⅱ）第二轮分出胜负，意味着第一轮甲、乙都没有投中，第二轮或甲投中，乙不中，或乙投中，甲不中，由于事件是相互独立的，故所求的概率为:
. …… 7分
（Ⅲ）乙获胜，应是下列情形
或者第一轮，甲投不中，乙中，由于投篮是相互独立的，这种情形发生的概率为；或者第一轮两人均未投中，第二轮甲不中，乙中，这种情形发生的概率为；或者前两轮两人均未中，第三轮甲不中，乙中，这种情形发生的概率为：；依此类推，或者前（n－1）轮两人均未中，第n轮甲不中，乙中，这种情形发生的概率为：()
因此，乙获胜的概率为：
P=……………12分
＝.………………………………14分
19.(Ⅰ)证明：∵对任意的 ①
令得 ②…………1分
令得……………………2分
∴ 由②得
∴函数为奇函数………………………………3分
(Ⅱ)证明:（1）当n＝1时等式明显成立
（2）假设当n＝k（k）时等式成立，即，…………4分
则当n＝k＋1时有
，由①得……………6分
∵ ∴
∴当n＝k＋1时，等式成立。
综（1）、（2）知对任意的,成立。………………8分
(Ⅲ)解:设，因函数为奇函数，结合①得
＝，……………………9分
∵
且当时，
∴，∴
∴函数在R上单调递减……………………………………12分
∴
由（2）的结论得，
∵，∴＝－2n
∵函数为奇函数，∴
∴ ，＝－2n.……………………14分
20.解：（Ⅰ）∵抛物线的对称轴为y轴，且与x轴相切，
∴，………………………………………………1分
又∵抛物线的焦点F.∴…………………………2分
∴抛物线的方程为: ……………………………………3分
（Ⅱ）依题意,可设直线AB的方程为,代入抛物线方程得 ①…………………………4分

设A、B两点的坐标分别是（x1,y1）、(x2,y2),则x1、x2是方程①的两根.
∴…………………………………………5分
由点P（0，m）分有向线段所成的比为，
得， 即………6分
又点Q是点P关于原点的对称点，
故点Q的坐标是（0，－m）,从而

=
…………8分
=
=
==0，
∴……………………10分
（Ⅲ）由得点A、B的坐标分别是（6，9）、（－4，4）.………11分
由得，
∴抛物线在点A处切线的斜率为.……………………12分
设圆C的方程是，
则
解之得 ……………………14分
∴圆C的方程是.……………………15分