16倒点阵和倒格子概述.pptx

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2019/12/1,#,固体物理学,Solid State Physics,卫 来,联系方式：,18997573822,，,lweiphy,物理科学与技术学院,2015,年,3,月,为什么要研究倒空间（,reciprocal space,)?,一个物理问题，既可以在正,(,实，坐标,),空间描写，也可以在倒,(,动量,),空间描写,:,坐标表象,r,，动量表象,k,为什么选择不同的表象？,*适当地选取一个表象，可使问题简化容易处理,*比如电子在均匀空间运动，虽然坐标一直变化，但,k,守衡，这时在坐标表象当然不如在动量表象简单,量子力学中,为什么要研究倒空间（,reciprocal space,)?,晶格的周期性描写方式,任何基本粒子都具有波粒二象性。亦即具有一定能量和动量的微观粒子，同时也是具有一定的波长和频率的波，,波也是物质存在的一种基本形式,。,正（坐标）空间的格矢（,R,）描写周期性，同样在倒（动量）空间，倒格矢,K,也是描写周期性。这两个空间是等价的，只是存在一个变换（傅里叶变换）,坐标空间（空间）的布拉伐格子表示,晶体结构的周期性，可以用,坐标空间(,r,空间)的,布拉维格子来描述。,波矢空间（空间）的倒格子表示,波矢,k,可用来描述波的传播方向,.,那么晶体结构的周期性是否也可以用,波矢,k,来描述呢？如果可以，在波矢,k,空间，,k,应满足什么条件呢？,倒易点阵的概念是,Ewald 1921,年在处理晶体,X,射线衍射问题时首先引入的，对我们理解衍射问题极有帮助，更是整个固体物理的核心概念。,是理解晶格,X,射线衍射,、处理,晶格振动,和,固体电子论,等有关问题的有力工具。,为什么要研究倒空间（,reciprocal space,)?,晶体中原子和电子的运动状态，以及各种微观粒子的相互作用 都是在波矢空间进行描写的。,周期势场中运动的单电子波函数 可展开为波矢为 的平面波的线性迭加（第,4,章 能带论）,对同一能带，当用波矢 标志电子状态时，相差一个倒格矢的两个状态是等价的，据此可引入简约布里渊区的概念（第,4,章 能带论）,5,任意周期函数都可在该函数所定义的倒格子空间展开为傅里叶级数,布拉维格子具有平移对称性,，因而相应的只与位置有关的物理量，由于布拉维格点的等价性，均应是,布拉维格矢,R,的周期函数,，如：,格点密度、质量密度、电子云密度、离子实产生的势场,等都是如此。,不失一般性，上述函数可统一写为：,布拉维格矢,周期函数的傅里叶展开,由于,F(r),是布拉维格矢,R,的周期函数,所以可以将其展开成傅里叶级数：,展开系数,展开系数,原胞体积,因为：,所以：,令,则：,则,不合要求，应舍去,所以,成立,也就是说，一定存在某些,g,使得当 成立时，,由于,g,与,R,存在上述对应关系,R,可以描述布拉维格子，自然,g,也可以描述同样的布拉维格子，且,g,与第一章讨论自由电子的波函数中的波矢类似，因而，凡是波矢和布拉维格矢满足 的波矢，一定也可以描述布拉维格子。这就是倒格子的由来。,利用,倒格矢，,满足,的傅里叶展开为:,把,上述,满足,坐标空间,中的,某物理量,转变为,倒格子,空间，且,只存在波矢为倒格矢的分量,。,T:,平移操作,10,晶格的傅立叶变换,（,Fourier transformation,）,正格子位矢：,数学上用 函数来描写点阵的格点,11,对点阵做傅里叶变换可得到,是一个矢量,利用晶体的平移 对称性确定,只要晶体有平移周期性，那么在傅里叶空间中就一定存在,K,矢量满足这个关系！,12,所有的 也组成一个点阵,-,倒点阵,所以，同一个物理量在正格子空间中的表述与在倒格子空间中的表述之间遵守傅里叶变换关系。,当,矢量,K,h,与,R,l,乘积是,2,的整数倍时，在坐标空间,R,l,处的,函数的傅里叶变换为在动量空间以,K,h,为中心的,函数！,坐标空间里，,(r-R,l,),函数表示在,R,l,的格点，当满足上述,条件时，其傅里叶变换也是,(k-K,h,),函数，表示的是倒空,间里的一个点！,13,倒格矢与布拉格反射面间具有一一对应关系，利用倒格子概念可简化对衍射图案分析,1901,诺贝尔物理学奖,W.C.,伦琴,(,德国,),发现伦琴射线,(X,射线,),M.V.,劳厄,发现,X,射线通过晶体时的衍射，决定了,X,射线波长，证明了晶体的原子点阵结构,1914,诺贝尔物理学奖,W.H.,布拉格,W.L.,布拉格,用,X,射线分析晶体结构,1915,诺贝尔物理学奖,Q,P,A,T,A,P,Q,S,d,入射线与反射线之间的光程差：,=SA+A T=2d sin,把晶体对,X,射线的衍射看成是晶面对,X,射线的反射,布拉格假设入射波从原子平面作镜面反射，但每个平面只反射很小,部分（另外部分穿透），当反射波发生相长干涉时，就出现衍射极大,只有入射的,10,-3,10,-5,部分被每个面反射，大部分穿透，要有足够多的,原子面参与反射,满足衍射方程：,2d,h1h2h3,sin =n,布拉格定律,(Bragg law),对于给定的,d,和,，由布拉格定律就能确定,角，是仅有的能发生,X,射线衍射的角度。,且,n,为衍射级数，级数增加，强度减弱。,布拉格定律的条件,衍射波长条件,要求波长必须小于,2d,，否则不可能发生衍射,推论,1,：不是所有的晶面都能发生衍射,推论,2,：可见光波不能用于晶体衍射,布拉格定律的局限,只能得到晶面间距，对于分析晶体材料还不够,晶胞结构？不清楚,晶粒大小？不清楚,d,待求，,衍射条件的计算较复杂,CO=-R,l,S,0,OD=R,l,S,衍射加强：,R,l,（,S,S,0,）,=,n,由,：,k,o,=(2,/),S,0,k=(2,/),S,k,即,X,射线的波矢,得,：,R,l,（,k,k,0,）,=2,n,因为：,R,l,K,h,=2,n,物理意义：,当入射波矢和衍射波矢相差一个或几个,K,h,（倒格矢）,时，满足衍射加强条件，,n,为衍射级数。,C,R,l,D,衍射单位矢量,S,O,A,入射单位矢量,S,0,晶面,k,0,k,0,k,k,把位于格点上的原子看作是散射中心，劳厄衍射是散射中心对入射,X,射线的衍射,k,k,0,=n,K,h,劳厄公式,劳埃方程,|,k,k,0,|=2,|,S/,-,S,0,/,|,=(2/)2sin,2sin =n/d,h1h2h3,|k,k,0,|,=,|,n,K,h,|=,2,n/d,h1h2h3,|,K,h,|=,2,/d,h1h2h3,k,k,0,k,k,0,晶面,(h,1,h,2,h,3,),-k,K,h,倒格矢与晶面相互对应,爱瓦尔德构图,根据公式：,k,k,0,=n,K,h,建立反射球,入射线的波矢,k,0,反射线的波矢,k,倒格矢,K,h,O,C,A,晶面,反射球,（,h,1,h,2,h,3,）,(h,1,h,2,h,3,),建立反射球的意义,通过所建立的反射球，把晶格的衍射条件和衍射照片上的斑点直接联系起来。所有落在此球上的倒格点都满足关系式,:k,k,0,=n,K,h,即满足衍射加强条件。,利用反射球求出某一晶面族发生衍射的方向（若反射球上的,A,点是一个倒格点，则,CA,就是以,OA,为倒格矢的一族晶面,(h,1,h,2,h,3,),的衍射方向,S,）。衍射线束的方向是倒格点与球心,C,的连线方向,爱瓦尔德构图,应用举例：晶体电子衍射花样的标定,21,需要学习倒格子和布里渊区！,如果已知晶格的基矢和法线的取向，即得晶面的,Miller,指数,从而晶面族中最靠近原点的晶面的截距和面间距都可得出，晶面族就完全决定。,反之，晶格的基矢是未知的，现在只有一些周期性分布的点子同所讨论的晶格中的每族晶面有一一对应的关系，通过对应关系原则上可以把晶格的基矢确定出来。,倒格子，就是类似于上面所设想的那些与晶面族对应的点子所组成的格子。,一、倒点阵和倒格子,1,、倒点阵和倒格子,是格点的位矢（平移矢量），也称为正格矢。,是正格矢的倒矢量，称为倒格矢。,对于布拉菲格子中所有的格矢,R,l,，,有一系列动量空间矢量,K,h,，满足,倒点阵和倒格子的,定义：,的全部端点的集合，构成该布拉菲格子的倒格子或倒点阵，这些点称为倒格点，,K,h,为倒格矢。,2,）倒格子空间,正格子基矢在空间平移构成正格子，倒格子基矢在空间平移构成倒格子；由正格子组成的空间是位置空间，称为坐标空间。而由倒格子组成的空间则为状态空间，称为倒格子空间，或,K,空间。,正格子基矢组成的平行六面体为正格子原胞，由倒格子基矢组成的平行六面体则称为倒格子原胞。,3,）倒格点的选取,从坐标原点,O,引晶面族,ABC,的法线,ON,在法线上截取一段,OP=,使,d=2,(,其中,d,为晶面族,ABC,的面间距）,以,OP,为该方向的周期，作无限平移，就得到一系列新的点子。,对于每一个晶面族，我们都能得到这样一系列点子，从而得到了一个新的点阵。,把这个新的点阵称为原点阵的倒易点阵。,将倒易点阵连成格子称之为倒格子，而原来的晶格则称为正格子。,4,）倒格子的基矢,正格矢是正格子基矢的线性组合，根据定义式，我们可设倒格矢亦为线性组合，并写成,晶格的原胞基矢为,a,1,a,2,a,3,，原胞体积为,=a,1,（,a,2,a,3,），,从正格子基矢出发，建立其倒格子基矢：,正格子原胞的体积,上式表示正格子与倒格子的关系，除因子,2,外，互为倒数，有了正格子基矢就能得出倒格子基矢，反之亦然。,注意：倒格子基矢的量纲是,长度,-1,，与波数矢量具有相同的量纲。本是倒格矢，但可理解为波矢，因为常用波矢来描述运动状态，故可以将倒格子所组成的空间（空间）理解为状态空间，正格子组成的空间是位置空间或坐标空间。,正格子与倒格子结构对比：,正格子与倒格子结构对比。,正格子与倒格子结构对比：,第1章 晶体结构,正交晶系,晶胞的正格子和倒格子,a,b,c,二、倒点阵的性质,1.,正、倒点阵的基矢相互正交,证明：,a,1,b,1,=,a,1,2,(a,2,a,3,)/a,1,(a,2,a,3,),=,2,a,1,b,2,=,a,1,2,(a,1,a,3,)/a,2,(a,1,a,3,),=,0,同理可证明下角标不同的其它正、倒格基矢,验 证,：,选择：,为倒格子的基矢,为任意整数,2.,倒点阵原胞的体积反比于正点阵原胞的体积,3.,倒格矢,K,h,=h,1,b,1,+h,2,b,2,+h,3,b,3,与正格子晶面,(,h,1,h,2,h,3,),垂直,如图所示,ABC,是晶面,(,h,1,h,2,h,3,),族中离原点最近的晶面,正格子晶面指数是垂直于该晶面的最短倒格矢坐标,4.,晶面族（,h,1,h,2,h,3,),的面间距,d,为,证明,：由前面的证明可知，原点到面,ABC,的距离即为所求面间距,(,设为,d,),。,A,B,C,O,a,1,a,2,a,3,a,1,/h,1,a,2,/h,2,a,3,/h,3,Kh,d,34,35,5.,布里渊区,1,）定义,倒易空间中的,WS,原胞称为第一布里渊区。,在倒格子空间中,做某一倒格点到它最近邻和次近邻倒格点 连线的垂直平分面，由这些垂直平分面所围成的多面体的体积等于倒格子原胞的体积；该多面体所围成的区域称为第一布里渊区，第一布里渊区也称为简约布里渊区。,第一布里渊区界面与次远垂直平分面所围的区域，称为第二布里渊区，依次得第三、,布里渊区。,布里渊区界面是某倒格矢,K,的垂直平分面，若用,k,表示倒格空间的矢量，则如果它的端点落在布里渊区界面上，必须满足,2,）布里渊区的界面方程,即：在倒格子空间中，凡满足上式的矢量端点的集合构成布里渊区。,上式被称为布里渊区的界面方程。,B-,格子类型相同，倒格子类型就相同，,B.Z.,形状也相同。如,fcc,的金刚石和氯化钠，,B.Z.,形状相同。,布里源区有多个，各布里源区“体积”都相等，第一布里源区在最里面，逐个向外，第二以上的布里源区由若干个不相连的区域组成,。,由布里渊区的构成可知：各个布里渊区的形状都对原点对称。,各高布里渊区经过平移一个或多个倒格矢，都可以移到第一布里渊区，且与第一布里渊区重合。因此，每个布里渊区的体积均相等，且等于倒格子原胞体积。,对高布里渊区，某个布里渊区被分成,n,个部分，则各部分也对原点对称。,倒格子,3),布里渊区的特点,由于倒格子基矢根据正格子基矢定义，所以布里渊区的形状完全取决于晶体的布拉菲格子，与具体的原子无关。,4),举例,取正格子基矢为,一维晶格点阵的布里渊区,可求出倒格子基矢为,倒格矢的垂直平分面构成第一布里渊区,O,一维晶格点阵,O,倒格子点阵,-/a,/a,二维晶格点阵的布里渊区,取正格子基矢为,作原点,0,至其它倒格点连线的中垂线，它们将二维倒格子平面分割成许多区域,可求出倒格子基矢为,二维正方格子的第一、二、三布里渊区,O,二维正方格子布里渊区图示（演示）,第一布里渊区,第二布里渊区,第三布里渊区,三维晶格点阵的布里渊区,简单立方格子的第一布里渊区是,简单立方格子,面心立方格子的第一布里渊区是,截角八面体,(,十四面体,),体心立方格子的第一布里渊区是,棱形十二面体,简单立方晶体,正格子基矢为,倒格子基矢为,其倒格子仍为简单立方结构,与原点相近邻的倒格点所对应的倒格矢为,这些倒格矢的垂直平分面构成简单立方体，,即：简单立方晶体的第一布里渊区为简立方晶格,体心立方晶格布里渊区,体心立方晶格,这些倒格矢的中垂面围成菱形十二面体，构成体心立方格子的第一布里渊区,-,面心立方结构,典型对称点,体心立方晶体,面心立方晶格布里渊区,面心立方晶格,第一布里渊区中典型对称点的坐标为,其布里渊区的形状为，截角八面体,-,第一布里渊区为体心立方结构。,面心立方晶格,49,3.,正点阵是它本身倒点阵的倒点阵,50,6.,倒点阵保留了正点阵的全部宏观对称性,证明：,设 为正格子的一个点群的任取对称操作，亦即 为正格矢时，亦为正格矢(点群对称操作不会改变原有格点之间的距离)。,按照群的定义，当 为点群对称操作时，亦为同一点群的对称操作，则 亦为正格矢。,由点群对称操作不会改变原有格点之间的距离可知：,当 和 接受同一点群对称操作时，空间任意两点之间的距离不变。,所以，对点群中任一 而言，亦为倒格矢，亦即，对应正格子的群中的任一操作 ，相应的也是倒格子的对称操作。因而,同一晶格的正格子和倒格子有相同的点群对称性,。,倒格子空间中的,WS,原胞，,亦即,第一布里渊区,，也就是所谓的,简约布里渊区，具有晶格点群的全部对称性。,主要因为,WS,原胞本身就是对称化原胞之故,所以，,第一布里渊区,具有特别重要的意义,由于晶体的周期性，晶体中任何一点,的物理量也具有周期性,在数学上,它可表,述为：,其中，为正格矢，它代表了晶体的周期性,.,将 和 同时展开为,Fourier,级数，则：,7.,正点阵的周期函数可以按倒格矢展开为傅里叶级数,我们暂不定义 代表的物理意义，只是把它当成,Fourier,变换中的一个参量。,由 得：,则,(,为整数,),和一种晶体结构相联系的有两种点阵：晶体点阵和倒易点阵。,晶体点阵是真实空间的点阵，具有,长度,的量纲。,倒易点阵是与真实空间相联系的傅里叶空间中的点阵，具有,长度,-1,的量纲。,把一个具有晶体点阵周期的周期函数展成,傅氏级数后，在傅里叶空间中表现为一系列规则排列的点，把这些点的列阵称为,倒易点阵。,小结,晶体的,显微,图象,真实晶体结构,的映象；,晶体的,衍射,图象,倒格子（倒易点阵）,的映象,；,晶体点阵,(,正格子,),的格点,对应原子、分子或其集团,倒格子中的格点,对应晶体中的一族晶面,晶体点阵,(,正格子,),的格点,位于位置空间或坐标空间内的,其线度的量纲为,长度,倒格子中的格点,在与真实空间相联系的倒易空间或傅里叶空间内的,55,晶体结构,正格子,倒格子,2.与晶体中,原子位置相对应,；,2.与晶体中,一族晶面相对应,；,3.是与真实空间相联系的倒格子空间中点的周期性排列；,3.是真实空间中点的周期性排列；,4.线度量纲为,长度,4.线度量纲为,长度,-1,已知晶体结构如何求其倒格子呢？,晶体结构,正格子,正格子基矢,倒格子基矢,倒格子,练习1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。,倒格是边长为的正方形格子。,练习2：,证明体心立方的倒格,子,是面心立方,。,解：,体心立方的原胞基矢：,倒格矢：,同理得：,体心立方的倒格是边长为4,/,a,的,面心立方,。,例,3,：证明简立方晶面(,h,1,h,2,h,3,),的面间距为,证明：,由,得：,简立方：,法一：,法二：,设,ABC,为,晶面族(,h,1,h,2,h,3,),中离原点最近的晶面，,ABC,在基矢 上的截距分别为,，,则,对于立方晶系：,且：,倒格矢：,同理得：,体心立方的倒格是边长为4,/,a,的,面心立方,。,简立方晶格,a,1,=,a,1,i,，,a,2,=,a,2,j,，,a,3,=,a,3,k,=a,1,（,a,2,a,3,）,=,a,3,B.Z.,也是简立方，其边长：,倒易点阵是傅立叶空间中的点阵,;,倒易点阵的阵点告诉我们一个具有晶体点阵周期性的函数傅立叶级数中的波矢在波矢空间的分布情况，倒易点阵阵点分布决定于晶体点阵的周期性质,;,一个给定的晶体点阵，其倒易点阵是一定的,，因此，一种晶体结构有两种类型的点阵与之对应：晶体点阵是,真实空间,中的点阵，量纲为,L,；倒易点阵是,傅立叶空间,中的点阵,量纲为,L-1,。,倒易点阵,如果把晶体点阵本身理解为,周期函数,，则倒易点阵就是晶体点阵的,傅立叶变换,，所以倒易点阵也是晶体结构周期性的,数学抽象,，只是在不同空间,(,波矢空间,),来反映,其所以要变换到波矢空间是由于,研究周期性结构中波动过程的需要。,倒易点阵本质,SC,的倒格子仍为,简单立方结构,；,bcc,格子的倒格子具有,fcc,结构；,fcc,格子的倒格子具有,bcc,结构,;,即,bcc,与,fcc,互为正倒格子,!,2,强调,不管晶格是否相同，只要它们的,布拉伐格子相同,，,倒格子,就相同，,布里渊区,的形状也一样；,每个布里渊区占据倒格子空间的体积相同,=,倒格子原胞体积；,由于 为正格矢，所以，必定为倒格矢。,由此可见：同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的表述之间遵守,Fourier,变换关系。,正格子与倒格子之间通过,Fourier,变换关系联系起来,倒格子空间中矢量模量的量纲为,m,-1,，与波矢的量纲相同，因此，倒格矢 也可以理解为波矢。,在物理学上，波矢空间常被称为状态空间，在状态空间中，常用波矢来描述运动状态，因此，倒格子空间常被理解为状态空间（空间），正格子空间常被称为坐标空间。,倒格子可以看成是正格子,(,晶格,),在状态空间的化身,