极坐标计算二重积分PPT参考课件.ppt

,CH21,-,重积分,(1),直角坐标下,累次积分,的计算公式,Y,型,X,型,知识点回顾,确定累次积分限,关键,直角坐标系下的,面积元素,(2),交换,二次积分的积分,次序,知识点回顾,画出积分区域形状，,确定新的二次积分限,(3),利用对称性和奇偶性,化简,二重积分,关键,重要结论,知识点回顾,(,4),应用问题,-,由曲面所围成的,立体体积,的计算,方法,y,z,x,解,利用极坐标系计算,思考题,考研,填空题,第 二十一章,$4,利用极坐标计算,二重积分,数学分析,利用极坐标计算二重积分,-,249,页,极坐标系下的,面积元素,的确定,主要内容,二重积分转化为极坐标形式,表达式,极坐标系下的二重积分化为,累次积分,极坐标系下二重积分的,-,计算方法,本节重点,本节关键,?,极坐标系下的,面积元素,如何表示？,极坐标系下的,区域,如何表示？,一、极坐标系下二重积分的表达式,极坐标系下,被积函数,如何表示？,利用扇形的,面积公式,（用极坐标曲线划分,D,）,面积元素,1.,极坐标系下的,面积元素,的确定,极坐标系下区域的面积,化边界曲线,化被积函数,化面积元素,应用范围：,积分区域为圆域,(,或一部分,),，被积函数含 的用此简便,.,2.,二重积分转化为极坐标形式的,表达式,关键,确定极坐标系下先,r,后,积分的方法,=,=,-,型：,极坐标系下的累次积分,极坐标系下区域如图所示：,二、极坐标系下二重积分化累次积分,方法：,三线法,区域特征（一）如图,：,极点在积分区域外,二重积分化为二次积分的公式,（）,251,页,二重积分,化为二次积分的公式,（）,区域特征（二）如图,极点在区域,D,的边界上,二重积分化为二次积分的公式,（）,区域特征（三）如图,极点在区域,D,内部,思考,:,下列各图中区域,D,分别与,x,y,轴相切于原点,试问,的变化范围是什么,?,答,:,(1),(2),解,例题分析,印象,复杂问题简单化了！,考研,填空题,解,例题分析,为极坐标下的二次积分,.,练习,化二重积分,1,解,解,被积函数奇偶不确定,如果积分区域,D,为圆、,半圆、圆环、扇形域等，或被积函数,f,(,x,2,+,y,2,),形式，利用极坐标常能简化计算,.,通常出现下面两类问题：,1.,将直角坐标系下的二重积分转化为,极坐标系下的二重积分，,2.,将极坐标系下的二重积分转化为直角,坐标系下的二重积分,小结,解题步骤：,1.,将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下,的二重积分，需依下列步骤进行：,(1),将 代入被积函数,.,(2),将区域,D,的边界曲线换为极坐标系下的表达式，,确定相应的积分限,-,做题关键,(3),将面积元,dxdy,换为,.,2.,将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与,1,相似，只需依,反方向,进行,.,休息一会儿,作业：,P254-1,2,，,如果积分区域,D,为圆、半圆、圆环、扇形域等，,或被积函数,f,(,x,2,+,y,2,),形式，,利用极坐标常能简化计算,.,通常出现下面两类问题：,1.,将直角坐标系下的二重积分转化为,极坐标系下的二重积分，,2.,将极坐标系下的二重积分转化为直角,坐标系下的二重积分,解题步骤：,1.,将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下,的二重积分，需依下列步骤进行：,(1),将 代入被积函数,.,(2),将区域,D,的边界曲线换为极坐标系下的表达式，,确定相应的积分限,-,做题关键,(3),将面积元,dxdy,换为,.,2.,将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与,1,相似，只需依反方向进行,.,解,解,伯努利双曲线,例,5,求球面,x,2,+,y,2,+,z,2,=,a,2,含在圆柱面,x,2,+,y,2,=,ax,(,a,0),内部的那部分面积.,y,z,x,解：,A,=4,A,1,S:,D,xy,:,x,2,+,y,2,ax,y,0.,z,y,x,D,xy,S,解,由对称性,y,z,x,例,5,252-4,解,由对称性,二重积分在极坐标下的计算公式,（,在积分中注意使用,对称性,）,小结,极坐标系下几种形式,解法一,例,5,例,5,解法二,解,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,坐标计算,.,注,:,利用上例可得到一个在,概率论与数理统计,及工程,上非常有用的反常积分公式,解答：,思考题,解,练 习 题,预习,坐标变换,原式,思考题,思考题解答,小结,1.,积分区域的类型；,2.,在直角坐标系下,化二重积分为二次积分的计算公式,3.,二重积分的计算,(,直角坐标系、极坐标系,),关于积分次序的选择,交换二次积分的次序,利用对称性计算二重积分,4.,二重积分的几何应用,练 习 题,练习题答案,