设xnfn是一个以自然数集为定义域的函数将其函数值按市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

第1页,第1页,设,x,n,=,f,(,n,),是一个以自然数集为定义域函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列，,x,1,x,2,x,n,称为一个数列.,x,n,称为数列第,n,项，也称为通项,数列也可表示为,x,n,或,x,n,=,f,(,x,n,),第一节数列极限,一、数列极限,第2页,第2页,例.,第3页,第3页,1,x,看数列1.,从直观上看,这个数列当,n,越来越大时,相应项,x,n,会越来越靠近于1,或者说“当,n,趋向于无穷大时,数列,x,n,趋近于1,.如何用准确,量化数学语言来刻划这一事实?,2,x,1,x,2,x,3,x,4,x,n,第4页,第4页,注意到,实数,a,b,靠近程度由|,a,b,|,拟定.|,a,b,|,越小,则,a,b,越靠近.因此,要阐明“当,n,越来越大时,x,n,越来越靠近于1”就只须阐明“当,n,越来越大时,|,x,n,1|,会越来越靠近于0”.而要阐明“|,x,n,1,|,越来越靠近于0”则只须阐明“当,n,充足大时,|,x,n,1,|,能够小于任意给定,无论多么小正数,”就行了,也就是说无论你给一个多么小正数,当,n,充足大时,|,x,n,1|,比,还小,由于,是任意,从而就阐明了|,x,n,1|,会越来越靠近于0.,第5页,第5页,事实上,给,很小,只须,n,1000,即可,数列中,从第1001项开始,以后各项都有,要,也即在这个,第6页,第6页,又给,则从第10001项开始,以后各项都有,第7页,第7页,普通,任给,0,无论多么小,只须,.因此,从第,项开始,以后各项都有,.因,是任意,这就阐明了当,n,越来越大时,x,n,会越来越靠近于1.,要使,第8页,第8页,定义:,设,x,n,是一个数列,a,是一个常数,若,0,正整数,N,使得当,n,N,时,都有|,x,n,a,|0,正整数,N,使得当,n,N,时,都有|,x,n,a,|0,正整数,N,使得当,n,N,时,都有|,x,n,a,|,N,时,有|,x,n,a,|,”,意思是说,从第,N,+1,项开始,以后各项都有|,x,n,a,|,0,正整数,N,使得当,n,N,时,都有|,x,n,a,|,第12页,第12页,几何意义:,x,2,x,1,a-,x,N+5,a,x,N+1,a+,x,3,x,),(,x,N,由于|,x,n,a,|,a,x,n,0,正整数,N,使得当,n,N,时,都有|,x,n,a,|0.,由于|,x,n,1|=|,c,c,|=0,取,N,=1,当,n,N,时,有|,x,n,c,|=0,故,即常数极限就是常数本身.,第14页,第14页,例2.,设,q,是满足|,q,|0.,设 0,|,q,|,N,时,有|,q,n,0|,),因|,x,n,a,|=,|,q,n,0|=|,q,n,|=|,q,|,n,要使|,x,n,a,|,只须|,q,|,n,即可.,第15页,第15页,即,n,ln|,q,|,N,时,有,从而有,|,q,n,0|0,要使,则当,n,N,时,有,(要证,N,当,n,N,时,有,若,0,正整数,N,使得当,n,N,时,都有|,x,n,a,|0,由于,第18页,第18页,要使|,x,n,a,|,N,时,有,第19页,第19页,例5.,证:,(1)设,a,=1,结论显然成立.,(2)设,a,1,从而,1+,n,n,第20页,第20页,0,第21页,第21页,(3)设 0,a,0,N,当,n,N,时,有,.,(因 0,a,1),综合得,第22页,第22页,本例也可用,有理化,办法处理.,注意到公式,从而,(分母都用1代).,下列同(2).,第23页,第23页,b,a,x,b+,证:,反设,x,n,收敛,但极限不唯一,设,b,N,1,时,N,2,当,n,N,2,时,取,N,=max,N,1,N,2,则当,n,N,时,上两式同时成立.,从而当,n,N,时,有,矛盾,故极限唯一.,若,0,正整数,N,使得当,n,N,时,都有|,x,n,a,|0,使得|,x,n,|,M,n,=1,2,.,则称数列,x,n,有界,不然,称,x,n,无界.,由于|,x,n,|,M,M,x,n,M,x,n,M,M,.,故,所谓,x,n,有界,就是,x,n,要所有落在某个对称区间,M,M,内.,看图,0,M,x,x,n,M,),(,第26页,第26页,例1.,x,n,=(,1),n,有界,而,x,n,=,n,2,无界.,x,1,1,x,0,1,9,4,x,1,x,2,x,3,0,x,2n,x,2n-1,第27页,第27页,设,x,n,a,(,n,),则对,n,=1,2,有|,x,n,|,M,证:,由定义,对,=1,存在自然数,N,当,n,N,时,有|,x,n,a,|1,故|,x,n,|,x,n,a,|+|,a,|0,正整数,N,使得当,n,N,时,都有|,x,n,a,|,N,时,(1),(2)同时,成立，即,x,n,y,n,.,第31页,第31页,在定理3中取,y,n,=0.,故正整数,N,当,n,N,时,推论1.,(保号性定理)若,而,a,0,(,a,N,时,有,x,n,0(,x,n,b,=0.,类似证实,a,0情形.,第32页,第32页,推论2.,证:,反设,a,N,1,时,有,x,n,N,2,(,N,)时,有,x,n,N,时,则,有,x,n,0(,x,n,0).,且,a,0(,a,0).,第34页,第34页,比如,注:,在推论3中,即使,x,n,0,也只能推出,a,0,第35页,第35页,定理4.,x,n,y,n,z,n,证:,0,N,1,当,n,N,1,时,有|,x,n,a,|,.,(1),即,a,x,n,N,时,有,第36页,第36页,N,2,当,n,N,2,时,有,a,z,n,N,*时,(1),(2),(3)同时成立.,有,a,x,n,y,n,z,n,a,+,即|,y,n,a,|1 时结论办法是,记,得,得,现在类似，记,则,第40页,第40页,解得,易证,因此,第41页,第41页,所谓数列,x,n,子列，就是从数列,x,1,x,2,x,n,中任取无穷多项，,按本来顺序，从左到右,排成一个新数列，,这个数列称为,x,n,子列.,比如，,x,2,x,5,x,14,x,78,就是,x,n,一个子列,上列中,n,1,=2,n,2,=5,n,3,=14等.,二、子列,第42页,第42页,注：,易见,k,n,k,.,前必已从,x,n,中抽出了,k,1项，,x,n,第,k,项后项中抽出，,也即,k,n,k,.,第43页,第43页,(3)对任何两个正整数,h,k,若,h,k,则有,n,h,n,k,.,反之，若,n,h,n,k,则,h,k,.,这是因子列顺序与原数列顺序相同.,在子列中位置靠后项，在原数列中位置也靠后，反之也对.,第44页,第44页,a,定义是：,此时，记为,或,第45页,第45页,定理5.,证：,充足性.,由于,x,n,可看作它自已一个子列.,由条件,x,n,任何子列都以,a,为极限，,故,第46页,第46页,必要性.,第47页,第47页,注：,由定理5，若,x,n,两个子列一个收敛于,a,而另一个收敛于,b,，且,a,b,则,x,n,发散；,或者，,x,n,中有一个子列发散，则,x,n,发散.,0,1,0,1,发散.,1,0,1,0,1,0,1,0,发散.,推论.,第48页,第48页,若数列,x,n,满足,x,1,x,2,x,n,则称,x,n,为单调递增数列.,若,x,1,x,2,x,n,则称,x,n,为单调递减数列.,单调递增和单调递减数列统称为单调数列.,三、收敛准则,第49页,第49页,例4.,x,n,=,n,2,是单调递增数列,但,x,n,是发散.,x,n,=(,1),n,是有界数列,但,x,n,=(,1),n,也是发散.,第50页,第50页,定理6.,单调递增且有上界数列必有极限;,单调递减且有下界数列必有极限.,即,单调有界数列必有极限.,第51页,第51页,例5.,数列,是单调递增且有上界数列.,证:,首先注意到,当,a,b,0,时,有,移项,有,即,第52页,第52页,(1),取,有,即,第53页,第53页,(2),取,有,即,第54页,第54页,由于,单调有界,从而必有极限.,(,e,=2.71828,为一无理数),第55页,第55页,定理7:,|,x,n,x,m,|0,N,0,当,n,m,N,时，有,第56页,第56页,例6.,利用柯西收敛原理证实,x,n,=1+,q,+,q,2,+,+,q,n,(|,q,|0，设,m,n,，,|,x,m,x,n,|,第57页,第57页,要使|,x,m,x,n,|,只须,即(,n,+1)ln|,q|,N,时，有|,x,n,x,m,|0,N,0,当,n,N,时,有|,x,n,|0,N,0,当,n,N,时,有|,x,n,a,|,.,即|,n,|0,N,0,当,n,N,时,有|,n,|,.,即|,x,n,a,|,N,时),第63页,第63页,性质4.,若,x,n,是无穷小量,y,n,a,(0),则,1.两个无穷小量商不一定是无穷小量.,2.性质1,2中条件有限多个不能丢.,如,n,个,注:,第64页,第64页,例1.,解:,例2.,解:,故 原式=0.,第65页,第65页,看数列,x,n,=,n,2,即，1,2,2,3,2,n,2,.,x,3,2,2,2,1,0,当,n,越来越大时,数列,x,n,值也越来越大,要多么大就有多么大,能够不小于预先给定任意大数,G,.称为无穷大数列(无穷大量).,二、无穷大量,第66页,第66页,定义2.,若,G,0(无论多么大),N,0,当,n,N,时,有|,x,n,|,G,则称,x,n,为无穷大量,记作,(1),(2)任何常数列(常量)都不是无穷大量.,注:,第67页,第67页,x,x,N,+2,G,x,1,0,x,N,G,x,N,+1,即,当,n,N,时,x,n,都落在区间,G,G,外面.,在,G,G,内,只有,x,n,有限多个项.,第68页,第68页,例3.,设|,q,|1.,证:,G,0,(要证,N,0,当,n,N,时,有|,q,n,|,G,),要使|,q,n,|=|,q,|,n,G,.,只须,则当,n,N,时,有|,q,n,|,G,故,第69页,第69页,例4.,数列,x,n,=(1+(,1),n,),n,是否为无穷大量?,解:,数列,x,n,为,0,2,2,0,2,4,0,2,6,.,如图,x,2,6,2,4,x,2,k,+1,2,2,因无论,n,多么大,总有|,x,n,|=|,x,2,k+,1,|=0,G,.,因此,x,n,不是无穷大量.,第70页,第70页,定义3.,从几何上看,x,n,.,x,x,1,x,2,0,G,x,n,x,x,n,x,3,0,G,x,1,x,2,x,n,+.,第71页,第71页,证:,设,x,n,为无穷大量,要证 为无穷小量.,0,因,x,n,为无穷大量.,从而,定理2.,若,x,n,是为无穷大量,则 为无穷小量.,若,x,n,是为无穷小量(,x,n,0,),则 为无穷大量.,第72页,第72页,(1)两个无穷大量和,差,两个无穷大量商都不一定是无穷大量.,比如,当,n,+,时,n,2,n,2,但,n,2,+(,n,2,)=0,都不是无穷大量.,但,+,+(+,)=+,+(,)=.,注:,第73页,第73页,(2)有界量乘无穷大量不一定是无穷大量.,无穷小量乘无穷大量不一定是无穷大量(无穷小量),尤其,比如,当,x,n,=,n,2,y,n,=,0,则,x,n,y,n,=,0 不是无穷大量.,(3)若数列,x,n,则,x,n,无界,但反之不对.,如,当,x,n,=,(2+(,1,),n,),n,.无界,但不是无穷大量.,(4),=,(有界量)=.,第74页,第74页,定理3.,设数列,x,n,和,y,n,极限都存在.且,则,(1),(2),(3)设,C,为常数，有,(4)当,b,0 时，有,三、数列极限运算法则,第75页,第75页,证：,只证(1).,因,由极限与无穷小关系，,有，,x,n,=,a,+,n,y,n,=,b,+,n,，其中,n,n,0(,n,+).,从而,x,n,y,n,=(,a,b,)+(,n,n,),由无穷小量性质知,n,n,0(,n,+),再由极限与无穷小关系定理，知,第76页,第76页,定理4.,若,证：,由于,注意到不等式|,A,|,|,B,|,A,B,|,从而|,x,n,|,|,a,|,x,n,a,|,故,第77页,第77页,反之不对.,比如,设,x,n,=(,1),n,.,第78页,第78页,例5.,求,解:,普通,称形为,f,(,x,)=,a,0,x,k,+,a,1,x,k,1,+,+,a,k,1,x,+,a,k,为,x,一个,k,次多项式.其中,k,为非负整数，,a,i,为常数,a,0,0.,两个多项式商称为有理式(有理函数).,对这种以,n,为自变量有理函数极限问题(,n,时,),可将分子，分母同除以分母最高次幂,n,2,.,第79页,第79页,由于分母极限等于5(,0,),分子极限等于3，,=0，,=,.,故,第80页,第80页,普通，若,a,0,b,0,都非0，则,，,0，,k,L,第81页,第81页,例6.,求,解：,有理化.,=50.,第82页,第82页,例7.,求,解：,注意到求和公式,=2.,第83页,第83页,例8.,求,解：,注意到,从而,因此，原式=,第84页,第84页,例9.,求,解：,注意到,从而，,故,第85页,第85页,例10.,设,x,0,=1,证实,x,n,极限存在，并求之.,证：,通常要证实某数列极限存在可考虑用:(1)单调有界数列必有极限.(2)夹逼定理(条件中往往有不等式).此例用(1),注意到 0 0,故,a,0.,第88页,第88页,设有数列,u,1,u,2,u,n,则式子,称为一个(常数项)无穷级数.,第,n,项,u,n,称为级数,普通项或通项.,第四节常数项级数概念和性质,一、基本概念,第89页,第89页,级数是无穷多个数和.它也许是一个拟定数,也也许不是一个拟定数.,比如,0+0+0+=0,而1+1+1+就不是,一个数.,第90页,第90页,记,S,n,=,u,1,+,u,2,+,u,n,.,称为此级数前,n,项部分和.,(如,S,1,=,u,1,S,2,=,u,1,+,u,2,S,n,=,u,1,+,u,2,+,u,n,.),由部分和构成数列,S,1,S,2,S,n,称为此级数部分和数列.,易见.(i),u,n,=,S,n,S,n,1,(ii),从形式上看,有,第91页,第91页,定义:,则称此级数收敛,极限值,S,称为该级数和.,记作,第92页,第92页,称为该级数余和(余项,余式),第93页,第93页,例1.,称为等比级数.,r,称为公比.讨论等比级数敛散性.,解:,第94页,第94页,从而,(i),事实上,若0,r,1,若1,r,0,则,r,=,|,r,|,r,n,=(,1,),n,|,r,|,n,第95页,第95页,从而,(ii),(iii),(iv),不存在.,第96页,第96页,综合:,即:,|,r,|0.,故调和级数发散.,第114页,第114页,例5.,证:,记,W,n,=,u,n,+,V,n,.,从而,V,n,=,W,n,u,n,.,第115页,第115页,正项级数部分和数列,S,n,=,u,1,+,u,2,+,u,n,是单调递增数列 0,S,1,S,2,S,n,.,第五节 常数项级数敛散性判别法,一、正项级数敛散性判别法,第116页,第116页,从而,S,n,有界,也,就有上界.,定理1.,正项级数收敛充要条件是其部分和数列,S,n,有界(有上界).,第117页,第117页,推论:,(最后一个充要条件可由无界数列.无穷大量定义以及,S,n,单调递增得到.),第118页,第118页,定理2.,(比较法).,n,=1,2,则,(1),(2),第119页,第119页,证:,故,(1),(2),第120页,第120页,注2.,实际应用时,要判正项级数收敛.可将,u,n,注1.,定理2中条件“,u,n,V,n,”只须从某项开始,以后始终成马上可.,逐步放大,u,n,V,n,.,第121页,第121页,例1.,解:,(1)若 0 1.,考虑对,P,级数按下列办法加括号所成级数.,第122页,第122页,8,个,2,k,个,第123页,第123页,从而,加括号,P,级数收敛.,本来级数收敛,加括号级数收敛.”,由于“对正项级数而言,故,当,P,1,时,P,级数收敛.,第124页,第124页,推论.,(比较法极限形式),则这两个级数有,相同敛散性.,第125页,第125页,例2.,解:,常以,P,级数和调和级数作为推论中,第126页,第126页,例3.,解:,第127页,第127页,定理3.,(比值法,或,达朗贝尔判别法).,则,(1),1或,=+时,级数发散.,(3),=1时,级数也许收敛也也许发散(须用另外办法判断).,第128页,第128页,例4.,解:,1,故级数收敛.,第129页,第129页,例5.,解:,故级数发散.,第130页,第130页,例6.,解:,因此,用比值法无法鉴定其敛散性,改用比较法.,第131页,第131页,则,第132页,第132页,定理4.,(根值法,或柯西判别法).,则,(1),1或,=+时,级数发散.,(3),=1时,级数也许收敛也也许发散,第133页,第133页,例7.,解:,第134页,第134页,交错级数各项是正负交错.,二、交错级数及其敛散性判别法,第135页,第135页,定理5.,(莱布尼兹判别法),则级数收敛,且其和,S,u,1,.,第136页,第136页,证:,我们来证实部分和数列,S,n,收敛,为此,只须证实,(1)因,S,2,n,=(,u,1,u,2,)+(,u,3,u,4,)+(,u,2,n,1,u,2,n,),0.,且易见,S,2(,n+,1),S,2,n,.,以及,S,2,n,=,u,1,(,u,2,u,3,)(,u,4,u,5,),(,u,2,n,2,u,2,n,1,),u,2,n,u,1,.,故数列,S,2,S,4,S,6,S,2,n,单调递增有上界.从而存在极限.,第137页,第137页,(2),S,2,n+,1,=,S,2,n,+,u,2,n+,1,=,S,+0=,S,综合(1),(2)知,问:若将条件(1)改为,u,n,u,n+,1,n,=,N,N+,1,N+,2,结论是否全对,应如何修改.,第138页,第138页,例8.,解:,此为交错级数.,由莱布尼兹判别法,级数收敛.,注:本题是由调和级数,第139页,第139页,即,u,n,为任意实数.称为任意项级数.,将各项取绝对值,作成一个正项级数,还可为0.,三、绝对收敛与条件收敛,第140页,第140页,条件收敛.,第141页,第141页,定理6.,即,绝对收敛级数必为收敛级数.,第142页,第142页,证:,即,当,u,n,0,时,V,n,=,u,n,.,当,u,n,N,时,第148页,第148页,第149页,第149页,例11.,解:,由上面注2,原级数发散.,第150页,第150页,定理7.,(狄利克雷判别法),(1),u,n,单调减少,且,(2),其中,M,0为与,n,无关常数.,证:略,第151页,第151页,例12.,判别,解：,记,考虑|cos,x,+cos2,x,+,+cos,nx,|有界性.,第152页,第152页,若取则将,均化为和差后,右边有一项绝对值相同,符号相反,可抵销.,故考虑,注意到 cos,A,sin,B,以及,第153页,第153页,由于,从而,第154页,第154页,即,由定理7,第155页,第155页,因,第156页,第156页,