2025届四川省宜宾市高三11月第一次诊断考-数学试卷（含答案）.docx

宜宾市普通高中 2022 级第一次诊断性测试数 学（考试时间：120 分钟；全卷满分：150 分）注意事项：12答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、座位号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1如图，在复平面内，网格中每个正方形的边长都为 1，点 A，B 对应的复数分别为 z ， z ，则 z - z=1212A. 13C. 3B. 10D.523下列函数中，既是奇函数，又在 (0，+ ) 上为增函数的是A f (x) = ex+ e- xB f (x) = ex- e- xC f (x) = x-3D f (x) = x ln x3cosasina -1若a (， ) ， tana =，则 sina =2321D -1A -B -C. -22234已知随机变量x : B(n，p) ，若 E(x) = 2 ， D(x) =1，则 P(x = 2) =1814381ABCD256已知向量 ， b满足 a = 1 ，aa + b = 2，且 (b a) b ，则 b =-A1 B 2C 3D 2从标有数字 1，2，3，4，5，6 的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片数字之积是 3 的倍数的概率为3133523ABCD1053 + log3 2已知 a = ，b = 3 ，c =，则732A a b cB a c bCb c aD c b a一诊测试 数学第 1 页 共 4 页 - 28 a 是函数 f (x) = ax + cos x - sin x -1 在 x(0，) 上有零点的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。9某社会机构统计了某市四所大学 2024 年的毕业生人数及自主创业人数如下表：A 大学 B 大学 C 大学 D 大学x毕业生人数 （千人）m345自主创业人数 y （千人）0.10.20.40.5根据表中数据得到自主创业人数 关于毕业生人数 x 的经验回归方程为 y = 0.14x 0.33 ，则y-yx=A 与 正相关B m 6C当 x =3时，残差为 0.01D样本的相关系数 r 为负数110设函数 f (x) = 2x3 - 3x2 +1，则A x =0是 f (x) 的极大值点B f (sin x) 在 (0， ) 单增23C f (x) + f (1 x) =1D f (x - ) f (x)21已知函数 f (x) 及其导函数 f (x) 的定义域均为 R ，记 g(x) = f (x) 若 f (1+ 2x) 与 g(2 - x) 均为偶函数，则2024A f (0) = 0B g(-2) = g(2)C f (0) = f (2)Dg(k) = 0k=1三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。212 (x + )6 的展开式中常数项为_x3设曲线 y e2ax 在点=(0，1)处的切线与直线x + 2y + 2 = 0a =垂直，则 _114如图，一张圆形纸片直径 AB = 20 ，现对折成半圆，取半圆弧上的三等分点 C，D ，现沿边将 EC ， FC ， GD ， HD 裁剪，剪去两个全等且关于线段 AB 的中垂线对称的 CEF 与DGH ，展开得到一个镂空的图案若 ECF = GDH = 45，则两个镂空四边形与CEC1FDGD1H 面积之和的最小值为_一诊测试 数学第 2 页 共 4 页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13 分）如图，正四棱柱 ABCD - A B C D 中， M 为 DD 的中点， AB = 1 ， AA = 2 111111（1）求证：平面 B1MC 平面 AMC；（2）求平面 MAC 与平面 B1 AC 的夹角的余弦值16（15 分）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为 ，每命中一次得 1 分，没341有命中得 0 分；向乙靶射击一次，命中的概率为 ，命中得 2 分，没有命中得 0 分假设该射手4完成以上三次射击，且每次射击的结果相互独立（1）求该射手恰好命中一次的概率；（2）求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 E(X ) 17（15 分）f x = 3 sin xcos x - 2sin2 x +1，在锐角ABC已知函数 ( )2中，内角A ，B ，C的对边分别为a ，b ，c ，且 f (A) =1（1）求 A ；（2）若 b =1，求 4a2 -2c的取值范围一诊测试 数学第 3 页 共 4 页 18（17 分）已知 O 为坐标原点，双曲线C ：x22y225-=1(a 0 ，b 0) 的离心率为 5 ，且过点 P（ ，1）ab2（1）求C 的标准方程；（2）过C的右焦点 F 的直线l1 与双曲线C 的左、右两支分别交于 A ，B 两点，点Q 是线段 ABuuuur uuur uuur的中点，过点 F 且与l 垂直的直线l 交直线OQ于点 ，点 满足 MN MA MB MN=+12证明：点 M 在一条定直线上；求四边形 MANB 面积的最小值19（17 分）已知函数 u(x) = 2ln x - a(x2 -1) ， v(x) = 2x2 ln x 1）当 a =1时，判断u(x)的单调性；（2）若函数 f (x) = u(x) + v(x) 恰有两个极值点a求实数 的取值范围；证明： f (x) 的所有零点之和大于 3一诊测试 数学第 4 页 共 4 页 宜宾市普通高中 2022 级第一次诊断性测试数学参考答案及评分意见一、选择题题号选项1234567891011ABCCACDBABCACBCD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。1216013114 300( 2 -1)四、解答题：本题共 5 小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15（13 分）1）证明：连结 B D ，在 B D M 中， B D=2 111111B M = 3 ， BC = 5 ， MC = 2 ，11所以 B M 2 + MC2 = B C2 ，于是 B1M MC ，11同理可证 B1M AM ，又 MA I MC = M所以 B M 平面 AMC ，又 B M 平面 B MC ，111所以平面 B1MC 平面 AMC ；2）解：取 AC 的中点O，连结 OM，OB1 ，因为 MC = MA = 2 ， B A = BC = 5（11所以， OM AC，OB1 AC ，所以平面 MAC 与平面 B AC 的夹角为 BOM ， 10 分11326在 RtBOM 中， B O， MO，=1122OMOB3所以， cosB1OM = 12 分313平面 MAC 与平面 B1 AC 的夹角的余弦值 13 分316（15 分）解：（1）该射手恰好命中一次的概率3313141964P = C21 (1- )(1- ) + (1- )2=6 分4444（2）该射手的总得分 X 的所有可能取值为：0，1，2，3，47 分313P(X = 0) = (1- )2 (1- ) =所以446433118P(X =1) = C2 (1- )(1- ) =144464一诊数学参考答案第 1页共 5页 313142864P(X = 2) = ( )2 (1- ) + (1- )2=44433146P(X = 3) = C21 (1- )=44643149P(X = 4) = ( )2= 12 分464于是， X 的分布列为XP0123431864286469646464 13 分318 2869所以， E(X) = 0 +1 + 2 + 3 + 4 = 2 15 分64 64 64 646417（15 分）f x = 3sin 2x - 2sin2 x +1= 3sin 2x + cos 2x = 2sin(2x + ) 3 分解：（1） ( )6所以 f (A) = 2sin(2A+ ) =161即 sin(2A+ ) = ，4 分62676又因为 0 A ，所以 2A+ 6 分26所以 A = 7 分3a1cabc=2）在ABC 中，=，即（3sin Bsin( B + )sin A sin B sinCsin3sin(B +3) 9 分3所以 a =，c =2sin Bsin B2sin(B + )33tan2 B13所以3 =10 分4a2 - 2c=-+2sin2 Bsin Btan B3因为 B ， 0 3 12 分623tan B1设 t =(0， 3)，于是 4a2 2c = 3t2 - 3t 2(0 t 3) 14 分-+tan B7可得： 4a2 2c ，8) 15 分-41法二 由余弦定理可知： a2 =1+ c2 - 2ccos A = c2 - c +1，由几何图形可知（ c 0, 4m2 -1 0且4m216-1y y =124m2y1 + y24 5m- 5故 y3 = -, x = my + 5 =.6 分4m2-1334m2-12l(*)由于直线 与双曲线的左右两支相交，所以方程有两个同号的实根116-1故y y = m2 -1 0041224my0x0yMxM= 4m.(i)由O,Q,M三点共线得：y -0 1= -1.(ii)MF l1 得:M由x - 5 mM1 4mM, .9 分由(i).(ii)解得：55 显然点 M 的横坐标为定值，纵坐标随 m 变化而变化5故点 M 过定直线 x = 10 分5由 MN = MA+ MB可知，四边形MANB是平行四边形14m2- 5S= 2SD MAB= dAB554所以，MANBM -l1dM -l=1+ m211+ m25一诊数学参考答案第 3页共 5页 - 81+ m2 （8 m2 +1)AB = 1+ m2 y - y = 1+ m2=，因为 4m2-1 0124m2 -14m2 -148(1+ m2 )4m2 -1SMANB=1+ m2.13 分532t33251=令t = 1+ m2 ,m2 = t2-1,t 1，则SMANB4t2 -54 55-tt345f (t)= - (t 1)令tt315 - 4t ( 15 + 2t)( 15 - 2t)2则 f (t) =t4t4单调递增，在12515f (t) 1,+所以在单调递减， 215 16故 ( )= f =f t.15 分max 2 3 153253 1516此时四边形 MANB 面积取到最小值为 SMANB= 6 3 ，15112当且仅当 t =,即m = 时取等号. . .17 分219（17 分）22(1- x2 ) 2(1- x)(1+ x)解：（1）当 a =1时， u(x) = 2ln x - x2 +1,(x 0) .u(x) = - 2x =xxx所以u(x) 1，u(x) 0 0 x 2 ，此时g(x) g(1) = 2-a 0 f (x) = 2xg(x) 0 f (x)单调递增，无极值点.f (1) = 2g(1) 2 时 ln a a2 - a +1- 2(a -1) = (a2 -3a + 3) 0aaaa1f (x) = 0 ( ,1)在f (x)上有一个根 ，故 恰有两个极值点，符合题意.x1所以a一诊数学参考答案第 4页共 5页 (2,+)a综上实数 的取值范围为.10 分方法二：可用参变分离法求解，(阅卷时酌情给分.)0 x1 1 f (1) 0f (x2 ) f (1) 0.12 分因为从而f (x)，同理可得 -， x + 时 x +显然 x 0 时f (x) (0, x ) (x2 ,+)f (1) = 0可知 f (x)所以结合在和上各有一个零点，共有三个零点. . .14 分11111-(2x2 + 2) ln x - a(x2 -1) -1注意到 f ( ) = (2+ 2) ln - a( -1) =f (x)xx2xx2x2x21f (x0) = 0，则 f ( ) = 0所以若，x01f (x)x , 1,故的三个零点可以表示为：.16 分0x011f (x)x + +1 2 x0 +1= 3的所有零点之和0x0x0x 10f (x)3由于，所以的所有零点之和大于 .17 分一诊数学参考答案第 5页共 5页