2025届四川省宜宾市高三11月第一次诊断考-数学试卷（含答案）.docx

宜宾市普通高中 2022 级第一次诊断性测试
数 学
（考试时间：120 分钟；全卷满分：150 分）
注意事项：
1
2
．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、座位号填写在答题卡上。
．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3
．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1
．如图，在复平面内，网格中每个正方形的边长都为 1，点 A，B 对
应的复数分别为 z ， z ，则 z - z
=
1
2
1
2
A. 13
C. 3
B. 10
D.
5
2
3
．下列函数中，既是奇函数，又在 (0，+ ¥) 上为增函数的是
A． f (x) = e
x
+ e- x
B． f (x) = e
x
- e- x
C． f (x) = x-3
D． f (x) = x ln x
3
π
cosa
sina -1
．若a Î(π， ) ， tana =
，则 sina =
2
3
2
1
D． -1
A． -
B． -
C. -
2
2
2
3
4
．已知随机变量x : B(n，p) ，若 E(x) = 2 ， D(x) =1，则 P(x = 2) =
1
8
1
4
3
8
1
A．
B．
C．
D．
2
5
6
．已知向量 ， b满足 a = 1 ，
a
a + b = 2
，且 (b a) b ，则 b =
-
^
A．1 B． 2
C． 3
D． 2
．从标有数字 1，2，3，4，5，6 的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片数字
之积是 3 的倍数的概率为
3
1
3
3
5
2
3
A．
B．
C．
D．
1
0
5
3 + log3 2
．已知 a = ，b = 3 ，
c =
，则
7
3
2
A． a > b > c
B． a > c > b
C．b > c > a
D． c > b > a
一诊测试 数学
第 1 页 共 4 页

-

2
8
． a > 是函数 f (x) = ax + cos x - sin x -1 在 xÎ(0，π) 上有零点的
π
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9
．某社会机构统计了某市四所大学 2024 年的毕业生人数及自主创业人数如下表：
A 大学 B 大学 C 大学 D 大学
x
毕业生人数 （千人）
m
3
4
5
自主创业人数 y （千人）
0.1
0.2
0.4
0.5
根据表中数据得到自主创业人数 关于毕业生人数 x 的经验回归方程为 yˆ = 0.14x 0.33 ，则
y
-
y
x
=
A． 与 正相关
B． m 6
C．当 x =3时，残差为 0.01
D．样本的相关系数 r 为负数
1
1
0．设函数 f (x) = 2x3 - 3x2 +1，则
π
A． x =0是 f (x) 的极大值点
B． f (sin x) 在 (0， ) 单增
2
3
C． f (x) + f (1- x) =1
D． f (x - ) > f (x)
2
1．已知函数 f (x) 及其导函数 f ¢(x) 的定义域均为 R ，记 g(x) = f ¢(x) ．若 f (1+ 2x) 与 g(2 - x) 均
为偶函数，则
2024
å
A． f (0) = 0
B． g(-2) = g(2)
C． f (0) = f (2)
D．
g(k) = 0
k=1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2
1
2． (x + )6 的展开式中常数项为_____．
x
3．设曲线 y e2ax 在点
=
(0，1)
处的切线与直线
x + 2y + 2 = 0
a =
垂直，则 _____．
1
1
4．如图，一张圆形纸片直径 AB = 20 ，现对折成半圆，取半圆弧上的三等分点 C，D ，现沿边
将 EC ， FC ， GD ， HD 裁剪，剪去两个全等且关于线段 AB 的中垂线对称的 △CEF 与
△DGH ，展开得到一个镂空的图案．若 ÐECF = ÐGDH = 45°，则两个镂空四边形
与
CEC1F
DGD1H 面积之和的最小值为_____．
一诊测试 数学
第 2 页 共 4 页

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
5．（13 分）
如图，正四棱柱 ABCD - A B C D 中， M 为 DD 的中点， AB = 1 ， AA = 2 ．
1
1
1
1
1
1
（
1）求证：平面 B1MC ^ 平面 AMC；
（
2）求平面 MAC 与平面 B1 AC 的夹角的余弦值．
1
6．（15 分）
现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为 ，每命中一次得 1 分，没
3
4
1
有命中得 0 分；向乙靶射击一次，命中的概率为 ，命中得 2 分，没有命中得 0 分．假设该射手
4
完成以上三次射击，且每次射击的结果相互独立．
（1）求该射手恰好命中一次的概率；
（2）求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 E(X ) ．
1
7．（15 分）
f x = 3 sin xcos x - 2sin2 x +1，在锐角△ABC
已知函数 ( )
2
中，内角
A ，B ，C
的对边分别为
a ，b ，c ，且 f (A) =1．
（1）求 A ；
（
2）若 b =1，求 4a2 -2c的取值范围．
一诊测试 数学
第 3 页 共 4 页

1
8．（17 分）
已知 O 为坐标原点，双曲线C ：
x
2
2
y
2
2
5
-
=1(a > 0 ，b > 0) 的离心率为 5 ，且过点 P（ ，1）．
a
b
2
（1）求C 的标准方程；
（
2）过C的右焦点 F 的直线l1 与双曲线C 的左、右两支分别交于 A ，B 两点，点Q 是线段 AB
u
uuur uuur uuur
的中点，过点 F 且与l 垂直的直线l 交直线
OQ
于点 ，点 满足 MN MA MB ．
M
N
=
+
1
2
①
②
证明：点 M 在一条定直线上；
求四边形 MANB 面积的最小值．
1
9．（17 分）
已知函数 u(x) = 2ln x - a(x2 -1) ， v(x) = 2x2 ln x ．
1）当 a =1时，判断
u(x)
的单调性；
（
（
2）若函数 f (x) = u(x) + v(x) 恰有两个极值点．
a
求实数 的取值范围；
①
②
证明： f (x) 的所有零点之和大于 3．
一诊测试 数学
第 4 页 共 4 页

宜宾市普通高中 2022 级第一次诊断性测试
数学参考答案及评分意见
一、选择题
题号
选项
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
B
C
C
A
C
D
B
ABC
AC
BCD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
1
2．160
13．1
14． 300( 2 -1)
四、解答题：本题共 5 小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1
5．（13 分）
1）证明：连结 B D ，在 B D M 中， B D
△
=
2 ，
（
1
1
1
1
1
1
B M = 3 ， BC = 5 ， MC = 2 ，
1
1
所以 B M 2 + MC2 = B C2 ，于是 B1M ^ MC ，
1
1
同理可证 B1M ^ AM ，又 MA I MC = M
所以 B M ^ 平面 AMC ，又 B M Ì平面 B MC ，
1
1
1
所以平面 B1MC ^ 平面 AMC ；····································
2）解：取 AC 的中点O，连结 OM，OB1 ，
因为 MC = MA = 2 ， B A = BC = 5
（
1
1
所以， OM ^ AC，OB1 ^ AC ，
所以平面 MAC 与平面 B AC 的夹角为 ÐBOM ，···································· 10 分
1
1
3
2
6
在 Rt△
BOM 中， B O
， MO
，
=
=
1
1
2
2
OM
OB
3
所以， cosÐB1OM =
=
··························································· 12 分
3
1
3
平面 MAC 与平面 B1 AC 的夹角的余弦值
．······································· 13 分
3
1
6．（15 分）
解：（1）该射手恰好命中一次的概率
3
3
1
3
1
4
19
64
P = C2
1
´ ´(1- )´(1- ) + (1- )2
´
=
··········································6 分
4
4
4
4
（
2）该射手的总得分 X 的所有可能取值为：0，1，2，3，4····················7 分
3
1
3
P(X = 0) = (1- )2 ´(1- ) =
所以
4
4
64
3
3
1
18
P(X =1) = C2 ´ ´(1- )´(1- ) =
1
4
4
4
64
一诊数学参考答案第 1页共 5页

3
1
3
1
4
28
64
P(X = 2) = ( )2 ´(1- ) + (1- )2
´
=
4
4
4
3
3
1
4
6
P(X = 3) = C2
1
´ ´(1- )´
=
4
4
64
3
1
4
9
P(X = 4) = ( )2
´
=
··································································· 12 分
4
64
于是， X 的分布列为
X
P
0
1
2
3
4
3
18
64
28
64
6
9
6
4
64
64
··································································································· 13 分
3
18 28
6
9
所以， E(X) = 0´ +1´ + 2´ + 3´ + 4´ = 2 ·························· 15 分
64 64 64 64
64
1
7．（15 分）
π
f x = 3sin 2x - 2sin2 x +1= 3sin 2x + cos 2x = 2sin(2x + ) ········3 分
解：（1） ( )
6
π
所以 f (A) = 2sin(2A+ ) =1
6
π
1
即 sin(2A+ ) = ，··········································································4 分
6
2
π
π
π
6
7π
6
又因为 0 < A< ，所以 < 2A+
<
··············································· 6 分
2
6
π
所以 A = ······················································································ 7 分
3
a
1
c
a
b
c
=
=
2）在△ABC 中，
=
=
，即
（
π
3
sin B
π
sin( B + )
sin A sin B sinC
sin
3
π
sin(B +
3) ··························································9 分
3
所以 a =
，
c =
2
sin B
sin B
2
sin(B + π)
3
3
tan2 B
1
3
所以
3 =
·····························10 分
4
a2 - 2c
=
-
-
+
2
sin2 B
sin B
tan B
π
π
3
因为 < B < ，所以 tan B >
， 0 <
< 3 ··································· 12 分
6
2
3
tan B
1
设 t =
Î(0， 3)，于是 4a2 2c = 3t2 - 3t 2(0 < t <
3) ··················· 14 分
-
+
tan B
7
可得： 4a2 2c [ ，8)····································································· 15 分
-
Î
4
1
法二 由余弦定理可知： a2 =1+ c2 - 2ccos A = c2 - c +1，由几何图形可知（ < c < 2 ）
2
一诊数学参考答案第 2页共 5页

3
7
4
7
所以
4
a
2
- 2c = 4(c - )2
+
易得 4a2 - 2cÎ[ ，8)．
4
4
1
8．（17 分）
ì
5
1
-
= 1
ì =
a 1
ï
4
a
2
b
2
ï
ï
í
b = 2
í
a
c
2
+ b2 = c2
解：（1）由题可得 ï
解得 ï
îc = 5
ï
= 5
ï
y
2
x
2
-
= .................................................................................4 分
1
故双曲线方程为
4
（2）①设直线l
x = my + 5 (m ¹ 0) A(x , y ),B(x , y ),Q(x , y )
的方程为：
，
1
1
1
2
2
3
3
ì
x = my
+
5
ï
(
m
-1 y2 +8 5my +16 0
) = ......(*)
联立方程 í
可得 4
2
y2
x
2
-
=1
ï
î
4
ì
8
5m
y + y = -
ï
ï
1
2
-1
D
= 320m2 -64(4m2 -1)= 64m2 +64 > 0, 4m2 -1¹ 0且
4
m
2
í
1
6
-1
ï
y y =
ï
î
1
2
4
m
2
y1 + y
2
4 5m
- 5
故 y3 =
= -
, x = my + 5 =
...............................6 分
4m2
-1
3
3
4m2
-1
2
l
(*)
由于直线 与双曲线的左右两支相交，所以方程
有两个同号的实根
1
1
6
-1
故
y y =
> Þ m2 -1> 0
0
4
1
2
2
4
m
y0
x0
yM
xM
=
= 4m...........(i)
由O,Q,M
三点共线得：
y -0 1
×
= -1...........(ii)
MF ^ l1 得:
M
由
x - 5 m
M
æ
1 4mö
M
ç
,
÷ ............................................................................9 分
由(i).(ii)解得：
è
5
5 ø
显然点 M 的横坐标为定值，纵坐标随 m 变化而变化
5
故点 M 过定直线 x =
··················································· 10 分
5
②
由 MN = MA+ MB可知，四边形
MANB是平行四边形，
1
4m2
-
- 5
S
= 2SD MAB
= d
AB
5
5
4
所以
，
MANB
M -l1
dM -l
=
=
1+ m2
1
1+ m2
5
一诊数学参考答案第 3页共 5页

-

8
1+ m2 （8 m2 +1)
AB = 1+ m2 y - y = 1+ m2
×
=
，
因为 4m2
-1> 0
1
2
4m2 -1
4m2 -1
4
8(1+ m2 )
4m2 -1
SMANB
=
1+ m2
×
.
................................................................................13 分
5
3
2
t
3
32
5
1
=
×
=
×
令t = 1+ m2 ,m2 = t
2
-1,t >1，则
SMANB
4t2 -5
4 5
5
-
t
t
3
4
5
f (t)= - (t > 1)
令
t
t
3
1
5 - 4t ( 15 + 2t)( 15 - 2t)
2
则 f ¢(t) =
=
t
4
t
4
æ
ö
æ
单调递增，在ç
ö
1
2
5
15
f (t) ç1,
,+¥÷
所以
在
单调递减，
÷
è
ø
è 2
ø
æ
ç
15 ö 16
故 ( )
= f ç ÷ =
f t
..............................................................................15 分
÷
max
è 2 ø 3 15
3
2
5
3 15
16
此时四边形 MANB 面积取到最小值为 SMANB
=
´
= 6 3 ，
1
5
11
2
当且仅当 t =
,即m = ±
时取等号.
..... ...................... ...................................17 分
2
1
9．（17 分）
2
2(1- x2 ) 2(1- x)(1+ x)
解：（1）当 a =1时， u(x) = 2ln x - x2 +1,(x > 0) .u¢(x) = - 2x =
=
x
x
x
所以u'(x) <0Þ x >1，u'(x) > 0 Þ 0 < x <1
(1,+¥)
所以
u(x)在 ( 0,1)
单调递增，在
单调递减........ . ...... ..................................................4 分
（
2）①
2
2) ln x a(x2 -1)
f (x) u(x) v(x) （2x
=
+
=
+
-
1
1
f '(x) = 4xln x + (2x
2
+ 2) × - 2ax = 2x(2 ln x +1+
- a)
.
.......................................5 分
x
x
2
1
2
2
2(x +1)(x -1)
g(x) = 2ln x +1+ - a
f '(x) = 2x× g(x)， g'(x) =
-
=
记
，则
x
单调递减，在
2
x
x
3
x
3
易知
g(x) 在 ( 0,1)
(1,+¥)
g(1) = 2-a
单调递增， ................................6 分
若 a £ 2 ，则
若 a > 2 ，此时
g(x) ³ g(1) = 2-a ³ 0 Þ f '(x) = 2xg(x) ³ 0 Þ f (x)
单调递增，无极值点.
f ' (1) = 2g(1) < 0
...........................................................................................7 分
注意到当 ® +¥ 时
容易证明当 a > 2 时 ln a < a -1，所以：
x
f '(x) ® +¥，故 f '(x) = 0 在 (1,+¥)
有一个根
x
2
1
2
2
2
f '( ) = (a2 - a +1- 2ln a) > [a2 - a +1- 2(a -1)] = (a2 -3a + 3) > 0
a
a
a
a
1
f '(x) = 0 ( ,1)
在
f (x)
上有一个根 ，故 恰有两个极值点，符合题意.
x
1
所以
a
一诊数学参考答案第 4页共 5页

(2,+¥)
a
综上实数 的取值范围为
.........................................................................................10 分
方法二：可用参变分离法求解，(阅卷时酌情给分.)
0
< x1 < 1 < x
2
②
由上面的讨论可知
，
f (x) (0, x ) (x2 ,+¥)
(x , x )
单调递减，
且
在
f (1) = 0
，
单调递增，在
1
1
2
f (x1 ) > f (1) > 0
f (x2 ) < f (1) < 0
..............................12 分
因为
从而
f (x)
，同理可得
® -¥， x ® +¥ 时 x ® +¥
显然 x ® 0 时
f (x) (0, x ) (x2 ,+¥)
f (1) = 0可知 f (x)
所以
结合
在
和
上各有一个零点，
共有三个零点................................................................. ... ..............14 分
1
1
1
1
1
-[(2x2 + 2) ln x - a(x2 -1)] -1
注意到 f ( ) = (2
+ 2) ln - a( -1) =
=
f (x)
x
x
2
x
x
2
x
2
x
2
1
f (x0) = 0，则 f ( ) = 0
所以若
，
x
0
1
f (x)
x , 1,
故
的三个零点可以表示为：
...........................................................................16 分
0
x0
1
1
f (x)
x + +1³ 2 x0 × +1= 3
的所有零点之和
0
x0
x0
x ¹1
0
f (x)
3
由于
，所以
的所有零点之和大于 ......................................................................17 分
一诊数学参考答案第 5页共 5页