正项级数的审敛法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、正项级数及其审敛法,1.3,正项级数的审敛法,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、正项级数及其审敛法,正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界,.,正项级数,各项都是正数或零的级数称为正项级数,.,这是因为正项级数的部分和数列,s,n,是单调增加的,而单调有,界数列是有极限,.,下页,定理,1(,正项级数收敛的充要条件,),定理,2(,比较审敛法,),定理,3,下页,仅就,u,n,v,n,(,n,1,2,),的情形证明,.,简要证明,因此,级数,u,n,收敛,.,即部分和数列,s,n,有界,.,v,1,v,2,v,n,s,(,n,1,2,),s,n,u,1,u,2,u,n,则级数,u,n,的部分和,设级数,v,n,收敛,其和为,s,反之,若级数,u,n,发散,则级数,v,n,必发散,.,由已证结论,级数,u,n,也收敛,矛盾,.,这是因为如果,级数,v,n,收敛,定理,2(,比较审敛法,),解,下页,定理,2(,比较审敛法,),设,u,n,和,v,n,都是正项级数,且,u,n,kv,n,(,k,0,n,N,),.,若级数,v,n,收敛,则级数,u,n,收敛,;,若级数,u,n,发散,则级数,v,n,发散,.,将级数改写成,2),若,当,p,1,时，上式中的最后一个级数是收敛的几何级数，其部分和,n,有界，从而,p-,级数的部分和,s,n,满足,也即,s,n,有界，由定理结论知，当,p,1,时，,p-,级数收敛。,设,u,n,和,v,n,都是正项级数,且,u,n,kv,n,(,k,0,n,N,),.,若级数,v,n,收敛,则级数,u,n,收敛,;,若级数,u,n,发散,则级数,v,n,发散,.,p,级数的收敛性,证,下页,定理,2(,比较审敛法,),调和级数,与,p,级数,是用于正项级数收敛性判断的两个常用的比较级数,.,若存在,对一切,例：,提示：,调和级数,与,p,级数,是用于正项级数收敛性判断的两个常用的比较级数,.,若存在,对一切,简要证明,当,n,N,时,有不等式,再根据比较审敛法,即得所要证的结论,.,(1),如果,l,v,u,n,n,n,=,lim,(0,l,+,),且,=,1,n,n,v,收敛,则,=,1,n,n,u,收敛,;,(,2,),如果,l,v,u,n,n,n,=,lim,(0,l,+,),且,=,1,n,n,v,发散,则,=,1,n,n,u,发散,.,定理,4(,比较审敛法的极限形式,),定理,4(,比较审敛法的极限形式,),下页,解,级数,=,1,1,sin,n,n,也,发散,.,(1),如果,l,v,u,n,n,n,=,lim,(0,l,+,),且,=,1,n,n,v,收敛,则,=,1,n,n,u,收敛,;,(,3,),如果,l,v,u,n,n,n,=,lim,(0,l,+,),且,=,1,n,n,v,发散,则,=,1,n,n,u,发散,.,(,2,),如果,0,v,u,n,n,n,=,lim,且,=,1,n,n,v,收敛,则,=,1,n,n,u,收敛,;,下页,定理,4(,比较审敛法的极限形式,),例,3,解,:,(1),如果,l,v,u,n,n,n,=,lim,(0,l,+,),且,=,1,n,n,v,收敛,则,=,1,n,n,u,收敛,;,(,3,),如果,l,v,u,n,n,n,=,lim,(0,l,+,),且,=,1,n,n,v,发散,则,=,1,n,n,u,发散,.,下页,定理,5(,极限审敛法,),例,4,解,:,设正项级数,收敛,能否推出,收敛,?,提示,:,由比较判敛法可知,收敛,.,注意,:,反之不成立,.,例如,收敛,发散,.,思考：,设级数,收敛,能否推出,收敛,?,提示,:,思考：,则级数收敛,且其和,s,u,1,其余项,r,n,的绝对值,|,r,n,|,u,n,1,.,定理,(,莱布尼茨（,Leibnitz,）定理,),这是一个交错级数,.,解,由莱布尼茨定理,级数是收敛的,且其和,s,u,1,1,首页,则级数收敛,且其和,s,u,1,其余项,r,n,的绝对值,|,r,n,|,u,n,1,.,定理,7(,莱布尼茨（,Leibnitz,）定理,),因为此级数满足,例,5,1.,判别级数的敛散性,:,解,:,(1),发散,故原级数发散,.,(2),发散,故原级数发散,.,下页,定理,8(,比值审敛法,达朗贝尔审敛法,),证明：,提示,:,思考：,提示,:,思考：,例,10,解：,下页,定理,9(,根值审敛法,柯西判别法,),所以,根据根值审敛法可知所给级数收敛,因为,解,所以,根据根值审敛法可知所给级数收敛,因为,解,下页,定理,9(,根值审敛法,柯西判别法,),时,级数可能收敛也可能发散,.,例如,p,级数,思考,:,但,级数收敛,;,级数发散,.,定理,9(,根值审敛法,柯西判别法,),例,解：,定理,