高数第一章-映射与函数.ppt

第一节 映射与函数,-,*,-,第一章 函数 极限 连续,-,1,-,第一节 映射与函数,集合与映射,函数的概念,函数的几种特性,反函数与复合函数,初等函数,建立函数关系举例,-,2,-,一、,集合与映射,1.,集合,集合,：,具有某种特定性质的事物的总体,.,组成这个集合的事物称为该集合的,元素,.,有限集,无限集,如,且,中有不在,的元素，,的真子集，记为,则称,是,若,则必,就说,是,的子集，,记作,-,3,-,数集分类,:,N,-,自然数集,Z,-,整数集,Q,-,有理数集,R,-,实数集,数集间的关系,:,例如,不含任何元素的集合称为,空集,.,例如,规定,空集为任何集合的子集,.,-,正整数集,如果,且,则称集合,和,相等，,-,4,-,2.,实数集,定义,1,设,如果存在数,使得对一切,都有,则称,有上,(,下,),界,定义,2,设,是一个非空数集,若存在一个上,(,下,),界,使得对,的一切上,(,下,),界,都有,则称,是,的,上,(,下,),确界,定理,1,任何一个非空的实数集,如果有上,(,下,),界,则必有上,(,下,),确界,.,如果数集,既有上界又有下界,则称,是,有界,的,为,的,一个,上,(,下,),界,.,称,是,无界,的,.,否则称,记为,-,5,-,区间,是指介于某两个实数之间的全体实数,.,这两个实数叫做区间的,端点,.,称为开区间,称为闭区间,-,6,-,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义,:,两端点间的距离,(,线段的长度,),称为区间的长度,.,-,7,-,-,8,-,3.,常量与变量,:,在某过程中数值保持不变的量称为,常量,注意,常量与变量是相对,“,过程,”,而言的,.,而数值变化的量称为,变量,.,常量与变量的表示方法：,通常用字母,等表示常量,用字母,等表示,变,量,.,-,9,-,4.,映射,定义,3,设,是两个非空集合,若对每个,按照某个确定的法则,有唯一确定的,与它对应,则称,是,到,的一个,映射,记作,或,其中,称为,在映射,下的,像,，,称为,在映射,下,的一个,原像,(,或,逆像,),称为映射,的,定义域,记为,或,所有元素,的像,的全体所构成的集,合称为,的,值域,记为,或,即,-,10,-,映射的两个基本要素：定义域与对应法则,设,如果,则称,是一个,满映射,，,如果对,中的任意两个不同元素,有,则称,是一个,单射,，,如果一个映射既是满射，又是单射,则称,是个,一一映射,.,如果,是个一一映射，则对每个,有唯一的一,个,适合,规定,则,就是,到,上的一个映射，称为,的,逆映射,，记为,-,11,-,其定义域,值域,此时也,称,是,可逆映射,.,设,则对每个,对应唯一,的一个,从而对应唯一的一个,这样就确定了一个从集合,到集合,的映射,这个映,射称为,和,所确定的,复合映射,记为,即,任意两个映射,则,当且仅当,-,12,-,5.,绝对值,:,运算性质,:,绝对值不等式,:,-,13,-,二、函数概念,例 圆内接正多边形的周长,圆内接正,n,边形,O,r,),1,函数的定义,-,14,-,因变量,自变量,定义,4,数集,叫做这个函数的,定义域,。,记作,则称映射,为定义在,上的一个,函数,，,是一个给定的数集，,设,函数的,值域,.,-,15,-,自变量,因变量,对应法则,f,函数的两要素,:,定义域与对应法则,.,约定,:,定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值,.,-,16,-,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数又称为,单值函数,.,如果给定一个法则,按照这个法则,对每个,有多个确定的,与之对应,这样的一个法则称为,多值,函数,一个多值函数可以分成几个单值函数来讨论,例,1,求函数,的定义域,.,解,函数的的定义域为满足不等式,例如,-,17,-,既满足,因此,函数的定义域为,2,函数的图形,定义,5,-,18,-,(1),符号函数,3,函数的表示法,1,-1,x,y,o,函数常用的表示法有公式法,图示法,表格法,.,几种常用的函数,-,19,-,1 2 3 4 5,-2,-4,-4-3-2-1,4 3 2 1,-1,-3,x,y,o,阶梯曲线,(2),取整函数,表示不超过,的最大整数,(3),绝对值函数,-,20,-,(4),取最值函数,y,x,o,y,x,o,-,21,-,在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的,式子来表示的函数,称为,分段函数,.,-,22,-,例,2,脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压,U,与时间 的函数关系式,.,解,-,23,-,单三角脉冲信号的电压,-,24,-,例,3,解,故,-,25,-,三 函数的几种特性,1,函数的奇偶性,偶函数,y,x,o,x,-,x,-,26,-,奇函数,y,x,o,x,-,x,-,27,-,2,函数的单调性,x,y,o,-,28,-,x,y,o,-,29,-,3,函数的,周期性,（通常说周期函数的周期是指其最小正,周期,）,.,设函数,的定义域为,且,则称,为,周期函数,称为函数,的,周期,.,如果存在一个不为零的,数,使得对于任一,-,30,-,M,-M,y,x,o,y=f(x),X,有界,无界,M,-M,y,x,o,X,4,函数的有界性,-,31,-,四 反函数与复合函数,1,反函数,定义,6,设函数,是一一映射,则其逆映射,称为函数,的,反函数,记为,称函数,为,直接函数,.,由定义可知,若函数,存在反函数,则,(1),对于,的任意两个数,定有,-,32,-,(2),与,互为反函数,且,(3),D,D,-,33,-,习惯上用字母,表示自变量,表示因变量,函数,的反函数经常表示成,例,4,讨论函数,的反函数,.,解,函数的定义域,值域,由于对于,有两个自变量值,都满足关系式,因此此函数不存在反函数,.,但如果将函数的定义域限制在,则函数,的反函数为,的反函数为,-,34,-,例,5,求函数,的反函数,.,解,当,时,得,当,时,得,当,时,得,-,35,-,2,反函数的图形,直接函数与反函数的图形关于直线,对称,.,-,36,-,3,复合函数,定义,7,同复合映射一样，,函数,可以构成复合函数,当且仅当,如果,时,我们可以,通过改变,的定义域来构造复合函数,.,-,37,-,注意,:,1.,不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的,;,2.,复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成,.,-,38,-,例,6,解,-,39,-,综上所述,-,40,-,五 初等函数,(2),幂函数,1,基本初等函数,(1),常数函数,(,其中,为已知常数,).,-,41,-,(3),指数函数,-,42,-,(4),对数函数,-,43,-,(5),三角函数,正弦函数,-,44,-,余弦函数,-,45,-,正切函数,-,46,-,余切函数,-,47,-,正割函数,-,48,-,余割函数,-,49,-,(6),反三角函数,-,50,-,-,51,-,-,52,-,常数函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为,基本初等函数,.,-,53,-,2,初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用,一个式子表示,的函数,称为,初等函数,.,多项式函数,其中,有理函数,其中,-,54,-,奇函数,.,偶函数,.,3,双曲函数,-,55,-,奇函数,有界函数,-,56,-,双曲函数常用公式,-,57,-,反双曲函数,奇函数,-,58,-,-,59,-,奇函数,