2021-2022学年人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专项测试试题.doc

2021-2022学年人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专项测试试题
人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专项测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如必须改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷〔选择题　30分〕
一、单项选择题〔10小题，每题3分，共计30分〕
1、以以下各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是〔　　〕
A．4，8，7B．5，12，14C．2，2，4D．6，8，10
2、如图，RtABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，分别以AC，BC，AB为一边在ABC外面做三个正方形，记三个正方形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1＝4，则S3为〔　　〕
A．8B．16C．D．+4
3、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝3，BD是△ABC的中线，过点C作CP⊥BD于点P，图中阴影部分的面积为〔　　〕
A．B．C．D．
4、如图，一只蚂蚁沿着边长为4的正方体表面从点A出发，爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为〔　　〕
A．4+2B．4C．2D．4
5、已知直角三角形的斜边长为5cm，周长为12cm，则这个三角形的面积〔　　〕
A．B．C．D．
6、如图，在三角形，，，是上中点，是射线上一点．是上一点，连接，，，点在上，连接，，，，则的长为〔　 〕
A．B．8C．D．9
7、如图，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B处吃食物，要爬行的最短路程〔取3〕是〔　　〕
A．B．C．D．
8、以下是勾股数的一组是〔　　〕
A．6，8，10B．2，3，4C．1，2，3D．5，7，11
9、如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上点F处，假设AB＝3，AD＝5，则EC的长为〔　　〕
A．1B．C．D．
10、如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距〔　　〕
A．12海里B．13海里C．14海里D．15海里
第二卷〔非选择题　70分〕
二、填空题〔5小题，每题4分，共计20分〕
1、如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和NB，假设以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点〞．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点〞，假设AM＝3，MN＝4，则BN的长为______．
2、如图，在中，，，，为边上一点，将沿折叠，假设点恰好落在线段的延长线上的点处，则的长为________．
3、如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝，BC＝，BD是AC边上的中线，G是△ABC的重心，则GD＝___．
4、假设一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为_____cm2．
5、如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，连接，则的长为__________．
三、解答题〔5小题，每题10分，共计50分〕
1、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，AC的垂直平分线交AC、AD、AB于点E、F、G，连接CF，BF．
〔1〕点F到△ABC的边_______和_______的距离相等．
〔2〕假设AF＝3，∠BAC＝45°，求∠BFC的度数和BC的长．
2、已知a，b，c满足|a﹣＋〔c﹣〕2＝0
〔1〕求a，b，c的值；并求出以a，b，c为三边的三角形周长；
〔2〕试问以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．
3、如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿着直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处，假设AE＝5，BF＝3．求：
〔1〕AB的长；
〔2〕△CDF的面积．
4、如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为3km，与公路上另一停靠站B的距离为4km，且AC⊥BC，CD⊥AB．
〔1〕求修建的公路CD的长；
〔2〕假设公路CD建成后，一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程是多少km？
5、如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形ADCG和长方形DEFC均为木质平台的横截面，点G在AB上，点C在GF上，点D在AE上，经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米．
〔1〕小敏猜测立柱AB段的长为10米，请推断小敏的猜测是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度；
〔2〕为强化游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索BF，经测量DE＝3米，请你求出要焊接的钢索BF的长．〔结果不必化简成最简二次根式〕
---------参照答案-----------
一、单项选择题
1、D
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
解：A、42+72≠82，故不为直角三角形；
B、52+122≠142，故不为直角三角形；
C、2+2=4，故不能构成三角形，不能构成直角三角形；
D、62+82=102，能构成直角三角形；
应选：D．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．推断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以推断即可．勾股定理的逆定理：假设三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
2、B
【分析】
依据直角三角形30度角的性质得到AB=2AC，再利用正方形面积公式求值．
【详解】
解：RtABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴AB=2AC，
∴S3=AB2=4AC2=4S1＝16，
应选：B．
【点睛】
此题考查了直角三角形30度角的性质：直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记性质是解题的关键．
3、C
【分析】
依据勾股定理求出AC=，由三角形中线的性质得出，，从而求出PC的长，再运用勾股定理求出BP的长，得DP的长，进一步可求出图中阴影部分的面积．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝3，
∴
又
∵BD是△ABC的中线，
∴，
∴
∴
在Rt△PBC中，，BC＝3，
∴
∴
∴
应选：C
【点睛】
本题考查了勾股定理以及中线与三角形面积的关系，求出是解答本题的关键．
4、C
【分析】
将正方体展开，右边的正方形与前面正方形放在一个面上，此时AB最短，依据三角形中位线，求出CN的长，利用勾股定理求出AC的长即可．
【详解】
解：将正方体展开，右边的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，
∵AN＝MN，CN∥BM
∴CN＝BM＝2，
在Rt△ACN中，依据勾股定理得：AC＝＝＝2，
应选：C．
．
【点睛】
本题考查了平面展开-最短路径问题，涉及的知识有：三角形中位线，勾股定理，熟练求出CN的长是解本题的关键．
5、C
【分析】
设该直角三角形的两条直角边分别为、，依据勾股定理和周长公式即可列出方程，然后依据完全平方公式的变形即可求出的值，依据直角三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解:设该直角三角形的两条直角边分别为、，
依据题意可得：
将②两边平方－①，得
∴
∴该直角三角形的面积为
应选:C
【点睛】
此题考查的是直角三角形的性质和完全平方公式，依据勾股定理和周长列出方程是解决此题的关键．
6、D
【分析】
延长EA到K，是的AK=AG，连接CK，先由勾股定理的逆定理可以得到△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠ACB=∠ABC=45°，由BF=FE，得到∠FBE=∠FEB，设∠BFE=x，则，然后证实CB=FC=FE，得到∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC则，即可证实，推出；设，证实△ABG≌△ACK，得到，，即可推出∠ECK=∠K，得到EK=EC，则，由此即可得到答案．
【详解】
解：延长EA到K，是的AK=AG，连接CK，
∵在三角形，，，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵BF=FE，
∴∠FBE=∠FEB，
设∠BFE=x，则，
∵H是BC上中点，F是射线AH上一点，
∴AH⊥BC，
∴AH是线段BC的垂直平分线，∠FAC=45°，
∴CB=FC=FE，
∴∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵AG=AK，AB=AC，∠KAC=∠GAB=90°，
∴△ABG≌△ACK〔SAS〕，
，，
∴，
∴∠ECK=∠K，
∴EK=EC，
∵，
∴，
∴，
应选D．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
7、A
【分析】
依据题意可把立体图形转化为平面图形进行求解，如图，然后依据勾股定理可进行求解．
【详解】
解：如图，
∵圆柱高，底面半径为，
∴，
∴在Rt△ACB中，由勾股定理得，
∴蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B处吃食物，要爬行的最短路程为15cm；
应选A．
【点睛】
本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理求最短路径问题是解题的关键．
8、A
【分析】
依据勾股数的定义逐项分析即可．
【详解】
解：A、∵62+82＝102，∴此选项符合题意；
B、∵22+32≠42，∴此选项不符合题意；
C、∵12+22≠32，∴此选项不符合题意；
D、∵52+72≠112，∴此选项不符合题意．
应选：A．
【点睛】
此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a，b，c为正整数，且满足a2+b2=c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数．
9、D
【分析】
由翻折可知：AD＝AF＝5．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝3?x．在Rt△ECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∴∠B＝∠BCD＝90°，
由翻折可知：AD＝AF＝5，DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝3?x．
在Rt△ABF中，BF＝＝＝4，
∴CF＝BC?BF＝5?4＝1，
在Rt△EFC中，EF2＝CE2＋CF2，
∴〔3?x〕2＝x2＋12，
∴x＝，
∴EC＝．
应选：D．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．
10、D
【分析】
依据题意可知∠AOB=90°，然后求出出发一个半小时后，OA=8×1.5=12海里，OB=6×1.5=9海里，最后依据勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，
∴∠AOB=90°，
∴出发一个半小时后，OA=8×1.5=12海里，OB=6×1.5=9海里，
∴海里，
应选D．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能熟练掌握勾股定理．
二、填空题
1、5
【分析】
分两种状况讨论：当为直角边时，当为斜边时，则为直角边，再利用勾股定理可得答案.
【详解】
解：当为直角边时，

当为斜边时，则为直角边，

故答案为：或
【点睛】
本题考查的是新定义情境下的勾股定理的应用，理解新定义，再分类讨论是解本题的关键.
2、
【分析】
依据勾股定理求出，再依据折叠的性质得到，，再依据勾股定理计算即可；
【详解】
∵，，，
∴，
∵将沿折叠，假设点恰好落在线段的延长线上的点处，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案是．
【点睛】
本题主要考查了折叠的性质和勾股定理，准确计算是解题的关键．
3、
【分析】
作于，求出，设，则，，在和中，由勾股定理得出方程，求出，，由勾股定理得出，，再由重心定理即可得出答案．
【详解】
解：作于，如图所示：
是边上的中点，
，
设，则，，
在和中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，，
，
，
是的重心，
；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形的重心、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理和三角形的重心定理．
4、
【分析】
设三边的长是5x，12x，13x，依据周长列方程求出x的长，则三角形的三边的长即可求得，然后利用勾股定理的逆定理推断三角形是直角三角形，然后利用面积公式求解．
【详解】
解：设三边分别为5x，12x，13x，
则5x+12x+13x＝60，
∴x＝2，
∴三边分别为10cm，24cm，26cm，
∵102+242＝262，
∴三角形为直角三角形，
∴S＝10×24÷2＝120cm2．
故答案为：120．
【点睛】
本题考查三角形周长，一元一次方程，直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理解与运用，三角形面积，比较基础，掌握三角形周长，一元一次方程，直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理解与运用，三角形面积是解题关键．
5、##
【分析】
由线段垂直平分线的性质定理得AD=BD，从而有∠DAB=∠B=15゜，由三角形外角性质可得∠ADC=30゜，由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理即可求得AD与CD的长，最后可求得BC的长．
【详解】
∵直线l是线段AB的垂直平分线
∴AD=BD
∴∠DAB=∠B=15゜
∴∠ADC=∠DAB+∠B=30゜
∵，
∴AD=2AC=6
∴BD=AD=6
由勾股定理得：
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练运用这些知识是关键．
三、解答题
1、〔1〕AB，AC〔或AC，AB〕；〔2〕∠BFC＝90°，BC＝．
【分析】
〔1〕依据等腰三角形三线合一的性质得到∠CAD＝∠BAD，然后依据角平分线的性质定理可得点F到△ABC的边AB和AC的距离相等；
〔2〕首先依据等腰三角形三线合一的性质得到AD垂直平分BC，然后依据垂直平分线的性质得到CF＝BF，然后由EG垂直平分AC，得到AF＝CF，进而得到AF＝CF＝BF＝3，依据等腰三角形等边对等角以及外角的性质得到∠CFD＝2∠CAD，∠BFD＝2∠BAD，即可求出∠BFC＝90°；在Rt△BFC中，依据勾股定理即可求出BC的长．
【详解】
解：〔1〕∵AB＝AC，D是BC中点，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴点F到△ABC的边AB和AC的距离相等；
故答案为：AB和AC〔或AC和AB〕；
〔2〕∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD垂直平分BC，
∴CF＝BF，
∵EG垂直平分AC，
∴AF＝CF，
∴AF＝CF＝BF＝3，
∵AF＝CF，
∴∠FAC＝∠FCA，
∴∠CFD＝∠FAC+∠FCA＝2∠CAD，
同理可得：∠BFD＝2∠BAD，
∴∠BFC＝2∠CAD+2∠BAD＝2∠BAC＝90°，
在Rt△BFC中，∠BFC＝90°，
∴BC＝＝＝3．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线性质定理和垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线性质定理和垂直平分线的性质以及勾股定理．
2、〔1〕a=，b=5，c=，周长=；〔2〕不能构成直角三角形，理由见解答．
【分析】
〔1〕由非数的性质可分别求得a、b、c的值，进而解答即可；
〔2〕利用勾股定理的逆定理可进行推断即可．
【详解】
解：〔1〕∵|a﹣＋〔c﹣〕2＝0．
∴a-=0，b-5=0，c-=0，
∴a=2，b=5，c=3，
∴以a，b，c为三边的三角形周长=2+3+5=5+5；
〔2〕不能构成直角三角形，
∵a2+c2=8+18=26，b2=25，
∴a2+c2≠b2，
∴不能构成直角三角形．
【点睛】
本题主要考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，利用非负数的性质求得a、b、c的值是解题的关键．
3、〔1〕9；〔2〕54
【分析】
〔1〕由折叠的性质可知，EF=AE=5，然后再直角△BEF中利用勾股定理求出BE的长即可得到答案；
〔2〕由四边形ABCD是长方形，得到AD=BC，CD=AB=9，∠C=90°，由折叠的性质可得AD=DF，则BC=AD=DF，设CF=x，则BC=DF=x+3，由，得到，解方程即可得到答案．
【详解】
解：〔1〕由折叠的性质可知，EF=AE=5，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=90°，
∴，
∴AB=AE+BE=9；
〔2〕∵四边形ABCD是长方形，
∴AD=BC，CD=AB=9，∠C=90°，
由折叠的性质可得AD=DF，
∴BC=AD=DF，
设CF=x，则BC=DF=x+3，
∵，
∴，
解得，
∴CF=12，
∴
【点睛】
本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
4、〔1〕修建的公路CD的长为；〔2〕总路程为．
【分析】
〔1〕依据题意可得：，，，利用勾股定理可得，再由三角形的等面积法计算即可得出；
〔2〕由垂直的性质及〔1〕中结论，再利用勾股定理可得出长度，然后求长即可．
【详解】
解：〔1〕∵，
∴，
依据题意可得：，，
∴，
，
∴，
∴，
∴修建的公路CD的长为；
〔2〕∵，
∴，
依据题意可得：，，
∴，
∴，
∴总路程为．
【点睛】
题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练应用勾股定理是解题关键．
5、〔1〕不正确，AB＝9〔米〕；〔2〕〔米〕
【分析】
〔1〕设BG＝x米，则BC＝〔26﹣1﹣x〕米，在Rt△BGC中，由勾股定理得x2+152＝〔26﹣1﹣x〕2，解得x＝8，则AB＝BG+GA＝9〔米〕，即可得出结论；
〔2〕由题意得CF＝DE＝3米，则GF＝GC+CF＝18〔米〕，在Rt△BGF中，再由勾股定理求出BF的长即可．
【详解】
解：〔1〕不正确，理由如下：
由题意得CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，
设BG＝x米，则BC＝〔26﹣1﹣x〕米，
在Rt△BGC中，由勾股定理得：BG2+CG2＝CB2，
即x2+152＝〔26﹣1﹣x〕2，
解得：x＝8，
∴BG＝8米，
∴AB＝BG+GA＝9〔米〕，
∴小敏的猜测不正确，立柱AB段的正确长度长为9米．
〔2〕由〔1〕得BG＝8米，
∵GC＝AD＝15米，CF＝DE＝3米，
∴GF＝GC+CF＝18〔米〕，
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2+GF2＝BF2，
∴BF＝ 〔米〕．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，做题的关键是用勾股定理的正确计算．