金融工程计算题练习.docx

计算题练习
1、*股票预计在2个月和5个月后每股分别派发1元股息，该股票当前市价为30元，所有期限的无风险连续复利年利率均为6%，*投资者刚取得该股票6个月期的远期合约〔交割价为远期价格〕空头，交易单位为1。请问：〔1〕当前时点该股票的远期价格是多少.合约初始价值为多少.〔2〕3个月后，假设该股票价格涨至35元，假设利率期限构造没变，此时，远期价格是多少.合约对该投资者的价值是多少.
Currencies
1年期市场无风险利率
〔连续复利〕
即期汇率
EUR
1.25%
1.2683 USD /EUR
USD
1.%

2、2021年5月22日，市场中美国和欧元的利率和即期汇率数据如下表所示，假设欧元远期汇率为1 EUR=1.2750 USD，判断是否存在套利时机.如果存在套利时机，该如进展套利操作.1年后所获套利利润是多少.〔不考虑交易本钱〕
3、假设在一笔互换合约中，*一金融机构每半年支付6个月期的LIBOR，收取固定利率，互换的期限1.5年。6个月、12个月和18个月的LIBOR〔连续复利利率〕分别为10%、11%和12%。试确定此互换中固定利率的合理水平。

固定利率
浮动利率
公司A
12.0%
LIBOR + 0.1%
公司B
13.4%
LIBOR + 0.6%

4、公司A和B可按以下利率借入期限为5年的10万美元：
公司A想获得浮动利率贷款；公司B想获得固定利率贷款。请设计一个互换，一家银行作为中介，净收益为年率0.1%，并且使得该互换对A和B双都同样有吸引力。
5、执行价格为30元的3个月期*股票欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格分别为3元和1元。标的股票价格为31元，3个月期的无风险利率为10%〔连续复利〕，问：是否存在套利时机.假设存在套利时机，该如进展套利操作.3个月后的套利利润是多少.〔不考虑交易摩擦〕
6、2021年5月20日，美元6个月期与1年期的无风险年利率〔连续复利〕分别为4%与6%。市场上一种10年期国债现金价格为10美元，该证券一年期远期合约的交割价格为9美元，该债券在6个月和12个月后都将收到50美元的利息，且第二次付息日在远期合约交割日之前，求该合约多头及空头的价值各为多少.
7、美元和英镑的1年期连续复利分别为3.92%和6.77%，英镑的现货汇率为1.60美元，1年期的英镑远期价格为1.58美元，问是否存在套利时机.如果存在，如套利.利润是多少.
8、A公司和B公司均需要在市场上进展10年期5万美元的投资，且A公司希望以固定利率投资，B公司希望以浮动利率投资。两个公司可获得的投资收益如下：以固定利率投资A公司可获利率8.0%，B公司可获利率8.8%；以浮动利率投资均获得LIBOR。试设计一利率互换，其中银行作为中介获得利差0.2%的报酬，而两个公司获一样收益。
9、标的股票现价为24美元，2个月和5个月后每股将分别派发0.5美元红利。现有执行价格均为25美元，6个月后到期的欧式看涨期权和欧式看跌期权，售价都为2美元。设无风险年利率为10%〔连续复利〕。问是否存在套利时机.假设有，请构造套利组合。
10、2021年5月25日，GE的股票报价19.25美元，其在CBOE交易的执行价格16美元，
2021年7月15日到期的该股票Call Optio报价3.25美元；执行价格21美元，同一到期日的Call Optio报价0.12美元。假设CBOE交易的该股票期权为欧式期权，请问：〔1〕利用上述期权如构造出Bull Spread.2〕列出该组合的profi状况。

11、2021年6月2日，Coca-Cola pan股票报价66.76美元，其在ISE交易的2021年11月18日到期〔距离到期日还有169天，1年按365天计〕，执行价格为70美元的该股票Call Option售价为1.16美元，Put Option售价为5.15美元，无风险年利率为0.25%〔连续复利〕。假设ISE交易的该股票期权为欧式期权，期间无红利支付，请问：〔1〕对投资者而言，是否存在套利时机.〔2〕如果存在套利时机，应如套利.1单位的套利净利润是多少.
12、2021年6月1日，MICROSOFT CORP.股票报价25.01美元，其在CBOE交易的执行价
格22美元，2021年7月15日到期的该股票Call Optio报价3.美元；执行价格27美元，同一到期日的Call Optio报价0.09美元。假设CBOE交易的该股票期权为欧式期权，请问：〔1〕利用上述期权如构造出Bear Spre.〔2〕利用表格列出该组合的profi状况。〔3〕绘制profi图。
13、A公司是AAA级的大型绩优公司，其长期固定利率融资本钱为年息7%，短期浮动利率融资本钱为LIBOR +0.4%。B公司BBB级的中小型公司，其固定利率融资本钱为8.5%，浮动利率融资本钱为LIBOR +0.7%。现假设A公司具有浮动利率的收益，希望以浮动利率支付其债务利息，而B公司则具有固定利率的收益，希望以固定利率支付其债务利息。
由A、B如应用互换降低各自的筹资本钱.
14、2021年6月3日，市场中美国和欧元区的利率和汇率数据如下表所示，不考虑交易本钱，请问：〔1〕1年期欧元远期汇率的理论价格是多少.〔2〕观察表中数据，判断是否存在套利时机.如果存在套利时机，请问如套利.1年后1单位货币的无风险套利利润是多少.
Currencies
1年期市场无风险利率
〔连续复利〕
即期汇率
1年期远期汇率
EUR
1.25%
1.4488
1.4312
USD
0.25%

15、假设两个零息票债券A和B，两者都是在1年后的同一天到期，其面值为1元〔到
期时都获得1元现金流〕。如果债券A的当前价格为98元，并假设不考虑交易本钱和违约情况。问题：
〔1〕债券B的当前价格应该为多少呢.
〔2〕如果债券B的当前价格只有97.5元，问是否存在套利时机.如果有，如套利.
16、*公司将在3月后购置1万加仑的航空燃油，3月每加仑航空燃油的价格变化的标准差为0.032公司决定作多热油期货合约进展套期保值，3月每加仑热油期货的价格变化的标准差为0.04且3月航空燃油的价格变化与3月热油期货的价格变化的相关系数为0.8如果一热油期货合约为420加仑，求（1最正确套期比率；（2为套期保值，公司须购置多少期货合约.
Currencies
1年期市场无风险利率
〔连续复利〕
即期汇率
1年期远期汇率
EUR
1.25%
1.4488
1.4312
USD
0.25%

17、2021年6月3日，市场中美国和欧元区的利率和汇率数据如下表所示，不考虑交易本钱，请问：〔1〕1年期欧元远期汇率的理论价格是多少.〔2〕观察表中数据，判断是否存在套利时机.如果存在套利时机，请问如套利.1年后1单位货币的无风险套利利润是多少.
18、2021年5月20日，美元6个月期与1年期的无风险年利率〔连续复利〕分别为4%与6%。市场上一种10年期国债现金价格为10美元，该证券一年期远期合约的交割价格为9美元，该债券在6个月和12个月后都将收到50美元的利息，且第二次付息日在远期合约交割日之前，求该合约多头及空头的价值各为多少.

参考答案
1、解答：〔1〕2个月和5个月后派发的1元股息的现值：I=e6% 2/12 + e 6% 5/12=1. 9654元〔1分〕
远期价格：F = (30—1.97W% 6/12= 28. 88元〔1.5分〕
因为交割价等于远期价，所以合约价值为0 〔1.5分〕
〔2〕3个月后的时点，2个月后派发的1元股息的现值：I e 6% 2/12 0. 99元〔1分〕
远期价格：F (35 0.99*6% 3/12 34. 52元〔1.5分〕
合约价值：f 1 (28.88 34.52)e 6% 3/12555.64元〔1.5分〕
2、解答〔1〕1年期欧元远期汇率的理论价格为：
FSe(r rf)Tt)1.2683 e 1% 1.25%)1 1.26511.2751〔3 分〕
〔2〕因为实际报价高于理论价格，所以存在套利时机。投资者可以通过借入$1.2683。*[(-1.25%)在即期外汇市场换成 e*p(-1.25%)并在远期市场以1=$1.2751将到期获得的1换成$1.2751归还债务本息和$1.265〔=1.2683e*p(-1.25%+1%),可获套利$0.01
〔5分〕
3、解答：设互换本金为A ,固定利率为r〔半年付息一次〕。因为互换之初浮动利率等于
fix
贴现利率，所以浮动利率债券的价值B为：
float
固定利率债券的价值Bfi蹒：
B A[r /2 (e 10% 1/2 e 11% 1 e 12% 3/2) 1 e 12% 3/2 ]〔3 分〕
合理的固定利率应使得互换价值为0,即
解得： 12.3% 12.4%
LIBOR + 0.6%
B float A〔2 分〕
评分标准：比较优势选择正确，2分；现金流向正确，3分；利率数据正确，3分。
5、解答：〔1〕c Xe r(r t)3 30e 10% 3/1232.26
c Xe r(T t) p S，存在套利时机。〔3分〕
〔2〕套利操作：卖出1份Call Option借入期限为3个月，利率为10%的资金29美元〔31 1 3〕，买入 Put Optioi和股票各 1 份。到期 Call Optio空 头、Put Option多 头加股票多头的组合将获得30美元。归还债务本息和29.73美元，可获利润0.27美元。〔5分〕
6、解答〔1〕根据条件，算出该债券现金收益的现值为：
I 50e 4% 1/2 50e 6% 1
96.10〔3 分〕

因此，该远期合约多头的价值为:
F S I Ke r(T t) 10 96.10e 6% 1 56.31〔3 分〕
相应地，该合约空头的远期价值为-56.3美元。 〔2分〕
7、解答：〔1〕1年期英镑远期汇率的理论价格为：
FSe(r rf)T t)1.60 e(3.92% 6.77%)1 1.561.58〔3 分〕
〔2〕因为实际报价高于理论价格，所以存在套利时机。投资者可以通过借入$1.60e*p(-6.77,%)在即期外汇市场换成e*p(-6.77%)并在远期市场以1=$1.58将到期获得的1换成$1.58归还债务本息和$1.56〔=1.60e*p(-6.77%+3.92〕,可获套利$0.02〔5 分〕
8、解答：*公司在固定利率投资上的年利差为0.8%,在浮动利率投资上的年利差为0。因此互换带来的总收益是0.8%。其中有0.2%要支付给银行，剩下的*和丫每人各得0.3%。换句话说，*公司可以获得8.3%的回报，Y公司可以获得LIBOR +0.3%的回报。互换流程如下列图。
8. 3%8. 5%
LIBOR +~^ * 金融中介 *.Y8. 8%1,—k
LIBORLIBOR
评分标准：比较优势选择正确，2分；现金流向正确，3分；利率数据正确，3分。
9、解答：c Xe r(T t)2 25e 10% 6/1225.78
c Xe r(T t) P S D，违背了欧式看涨期权和看跌期权的平价关系，所以存在套利时机。〔3分〕
套利操作：卖出1份看涨期权，借入金额24〔债务期限构造为：2个月期0.5e*p(-10%*2/12)5个月期0.5e*p(-10%*5/12)其余为6个月期〕，买入看跌期权和股票个1份。到期可获利润 0.79〔=25—[24—0.5e*p(—10%*2/12)— 0.5e*p(-10%*5/12)]e*p(10%*6/〔25 分〕
10、解答：牛市差价组合可以通过购置执行价格为16美元的cal，l并卖出执行价格为21美元的cal来构造。该组合期初产生3.13美元的现金流出。该组合的盈亏和回报如下表所示：
Stock price
看涨期权多头的盈亏
*=16，c=3.25
看涨期权空头的盈亏
*=21，c=0.12
总盈亏
ST <16
-3.25
0.12
-3.13
16<S <21
S >21
S -16-3.25
ST 3.25
0.12
S -19.13
1.87
21-S + 0.12
11、解答：根据欧式看涨期权和看跌期权的平价关系，可以得到:
〔1〕c Xe rT t 1.16 70e 0.25% 169/365 71.08 ; p S 5.15 66.76 71.91〔4 分〕

〔2〕套利法为：买入Call卖空Put Option股票。将净现金收入70.75 ^66.7+5.15-1.16元进展169天的无风险投资，到期时将获得70.836 70.7®0.25%、169/365)美元。如果到期时股票价格高于70美元，将执行Call Option如果低于70美元，Put Optio将被执行，因此无论如，投资者均将按照70美元购置股票，正好用于平仓卖空的股票，因此将获得净收益0.83美元。〔4分〕
12、解答：熊市差价组合可以通过购置执行价格为27美元的cal，l并卖出执行协议价格为22美元的cal来构造。该组合期初产生2.91美元的现金流入。该组合的盈亏和回报如下表

所示:
Stock price
看涨期权多头的盈亏
*=27，c=0.09
看涨期权空头的盈亏
*=22，c=3.
总盈亏
S <22
-0.09
3.
2.91
22<S <27
-0.09
22-St+ 3.
24.91-S
T
S >27
S -27-0.09
22-S + 3.
-2.09
T
T
T

评分标准：
〔1〕构造组合1分；
〔2〕profi表格5分，其中每2个单元格填写正确得1分；
〔3〕图形绘制正确2分。
13、解答〔1〕A公司的比较优势是固定利率贷款，B公司的比较优势是浮动利率贷款〔2分〕
〔2〕画出互换的现金流图〔3分〕
〔3〕准确计算出互换的现金流〔3分〕
14、解答〔1〕1年期欧元远期汇率的理论价格为：
F Se(r rf)T日 1.4488 。(0.25% 1.25%) 1 1.4344 1.4312〔4 分〕
〔2〕因为实际报价〈理论价格，所以存在套利时机。投资者可以通过借欧元，买入美元，再买入欧元远期来套利。〔2分〕
借入1，1年后需归还1.01251立即兑换成$1.4488存款1年，则1年后可得
到$1.452422同时在远期市场上用$1.452422买入1.014828获得的无风险欧元利润为0.2328〔2 分〕
15、解〔1〕按无套利定价原理，债券B与债券A有一样的损益或现金流，所以债券B的价格也应为98元〔2分〕
〔2〕假设债券B的价格为97.5元，说明债券B的价值被市场低估。则债券B与债券A之间存在套利时机。实现套利的法很简单，买进价值低估的资产---责券B，卖出价值高估的资产一^责券A。〔3分〕
所以，套利的策略就是：卖空债券A，获得98元，用其中的97.5元买进债券B，这样套利的盈利为0.5元〔3分〕
16、解答〔1〕最正确套期保值率
〔2〕购置期货合约的数量：
17、解答〔1〕1年期欧元远期汇率的理论价格为：
F Se(rrf)Tt)1.4488 。(0.25% 1.25%) 1 1.4344 1.4312〔4 分〕
〔2〕因为实际报价〈理论价格，所以存在套利时机。投资者可以通过借欧元，买入美元，再买入欧元远期来套利。〔2分〕
借入1，1年后需归还1.01251立即兑换成$1.4488存款1年，则1年后可得
到$1.452422同时在远期市场上用$1.452422买入1.014828获得的无风险欧元利润为0.2328〔2 分〕
18、解答〔1〕根据条件，算出该债券现金收益的现值为：
I 50e 4% 1/250e 6% 196.10〔3 分〕
因此，该远期合约多头的价值为:

F S I Ke r(T t)10 96.10e6%i56.31〔3 分〕
相应地，该合约空头的远期价值为-56.3美元。〔2分〕
期中测试题目及答案〔〕
1、2021年5月22日，市场中美国和欧元的利率和即期汇率数据如下表所示，假设欧元远期汇率为1 EUR=1.2751 USD，判断是否存在套利时机.如果存在套利时机，该如进展套利操作.1年后1单位货币所获套利利润是多少.〔不考虑交易本钱〕
Currencies
1年期市场无风险利率
〔连续复利〕
即期汇率
EUR
1.25%
1.2683 USD /EUR
USD
1.%
解答〔1〕1年期欧元远期汇率的理论价格为:
〔2〕因为实际报价高于理论价格，所以存在套利时机。投资者可以通过借入$1.2683e*p(-1.25%X1)，在即期外汇市场换成 e*p(-1.25%1)，并在远期市场以1=$1.2751将到期获得的1换成$1.2751 归还债务本息和$1.2651〔=1.2683e*p(-1.25%+1%)，可获套利$0.01
2、2021年5月20日，美元6个月期与1年期的无风险年利率〔连续复利〕分别为4%与6%。市场上一种10年期国债现金价格为10美元，该证券一年期远期合约的交割价格为9美元，该债券在6个月和12个月后都将收到50美元的利息，且第二次付息日在远期合约交割日之前，求该合约多头及空头的价值各为多少.
解答〔1〕根据条件，算出该债券现金收益的现值为：
因此，该远期合约多头的价值为：
相应地，该合约空头的远期价值为-56.31美元。
3、假设在一笔互换合约中，*一金融机构每半年支付6个月期的LIBOR，收取固定利率，互换的期限1.5年。6个月、12个月和18个月的LIBOR〔连续复利利率〕分别为10%、11%和12%。试确定此互换中固定利率的合理水平。
解答：设互换本金为A，固定利率为r 〔半年付息一次〕。因为互换之初浮动利率等于贴
fix
现利率，所以浮动利率债券的价值8为：8 A
固定利率债券的价值B为： flOa flOat
fix
合理的固定利率应使得互换价值为0，即
解得：
4、A公司和B公司均需要在市场上进展10年期5万美元的投资，且A公司希望以固定利率投资，B公司希望以浮动利率投资。两个公司可获得的投资收益如下：以固定利率投资A公司可获利率8.0%，B公司可获利率8.8%；以浮动利率投资均获得LIBOR。试设计一利率互换，其中银行作为中介获得利差0.2%的报酬，而两个公司获一样收益。
解答：B公司在固定利率投资上的年利差为0.8%，在浮动利率投资上的年利差为0。因此互换带来的总收益是0.8%。其中有0.2%要支付给银行，剩下的A和B每人各得0.3%。换句话说，A公司可以获得8.3%的回报，B公司可以获得LIBOR +0.3%的回报。互换流程如下列图。
8. 3%8. 5%
LIBOR 一一A—金融中 介 ~§—8.，％*一＞
LIBORLIBOR