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2025 年高考数学压轴训练 4
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•淄博模拟）记 max{x ， y ， z} 表示 x ， y ， z 中最大的数．已知 x ， y 均为正实数，则 ， , x2 + 4y2 } 的最小值为 ( )
A ． B ．1 C ．2 D ．4
2 ．（2024•大连一模）设函数f(x) = sin 兀x + e3x一3 一 e3一3x 一 x + 3 ，则满足 f(x) + f(3 一 2x) < 4 的 x 的取值范围 是 ( )
A ． (3, +∞) B ． (一∞, 3) C ． (1, +∞) D ． (一∞, 1)
3 ．（2024•佛山模拟）如图， △ OAB 是边长为 2 的正三角形，记△ OAB 位于直线 x =t(0.t.2) 左侧的图形 的面积为 f(t) ．则函数 y = f(t) 的图象大致为 ( )

1

A．

C．




B．

D．


4 ．（2024•全国二模）已知可导函数 f(x) 的定义域为 R ， 为奇函数，设 g(x) 是f(x) 的导函数，若
g(2x +1) 为奇函数，且 则 )
A ． B ． 一 C ． D ． 一
5 ．（2024•赤峰模拟） 已知函数 下列函数是奇函数的是 ( )
A ． f(x +1) +1 B ． f(x 一1) +1 C ． f(x 一1) 一1 D ． f(x + 1) 一1
6 ．（2024•上海） 已知函数 f(x) 的定义域为 R ，定义集合M = {x0 | x0 ∈ R ， x ∈ (一∞, x0 ) ， f(x) < f(x0 )} ， 在使得M = [一1 ， 1] 的所有 f(x) 中，下列成立的是 ( )
A ．存在 f(x) 是偶函数

B ．存在f(x) 在 x =2 处取最大值
C ．存在f(x) 为严格增函数
D ．存在 f(x) 在x = —1 处取到极小值
7 ．（2024•招远市三模）若定义在 R 上的函数 f(x) 满足： ， ，且对任意 x1 ，x2 ∈ R ，都
有 f(x1 + x2 ) + f(x1 — x2 ) = 4f(x1 ) . f(x2 + 4(兀) ) ，则 ( )
A ． f(0) = 0 B ． f(x) 为偶函数
C ． 兀 是f(x) 的一个周期 D ． f(x) 图象关于直线兀 对称
8 ．（2024•保定三模）已知函数 f(x) 的定义域为 R ，且f(x + y) + f(x —y) —f(x)f(y) = 0 ， f(—1) = 1 ，则 (
)
A ． f(0) = 0 B ． f(x) 为奇函数
C ． f （8） = —1 D ． f(x) 的周期为 3
9．（2024•兰陵县模拟）已知函数 若当 时，f(t sin2 θ) + f(4t — sinθ) > 0 恒成立，则实数 t 的取值范围是 ( )
A ． B ． C ． D ．
10 ．（2024•东城区一模） 已知f(x) 是定义在 R 上的函数 ，其图像是一条连续不断的曲线 ，设函数 下列说法正确的是 ( )
A ．若 f(x) 在 R 上单调递增，则存在实数 a ，使得 ga (x) 在 (a, +∞) 上单调递增
B ．对于任意实数 a ，若 ga (x) 在 (a, +∞) 上单调递增，则f(x) 在 R 上单调递增
C ．对于任意实数 a ，若存在实数M1 > 0 ，使得 | f(x) |< M1 ，则存在实数M2 > 0 ，使得| ga (x) |< M2

D ．若函数 ga (x) 满足：当x ∈(a, +∞) 时， ga (x)开0 ，当x ∈(—∞, a) 时，ga (x) .0 ，则 f （a）为f(x) 的最 小值
二．多选题（共 5 小题）
11．（2024•江西模拟）已知定义在R 上的函数 f(x) 满足 f(x)[f(x) —f(x —y)] = f(xy) ，当 x ∈(—∞ , 0) (0 ， +∞) ，时， f(x) ≠ 0 ．下列结论正确的是 ( )
A ． B ． f(10) = 1
C ． f(x) 是奇函数 D ． f(x) 在 R 上单调递增

2
12 ．（2024•江西一模）已知函数 f(x) = ex—1 + e1—x + x2 — 2x ，若不等式 f(2 — a) < f(x2 + 3) 对任意的 x ∈ R 恒 成立，则实数 a 的取值可能是 ( )
A ． —4 B ． C ．1 D ．2
13．（2024•福建模拟）已知函数 f(x) 的定义域为 R ，且 f(x + y) = f(x) + f(y) +1 ，f （1）= 0 ，则 ( )
A ． f(0) = —1 B ． f(x) 有最小值
C ． f(2024) = 2023 D ． f(x) + 1是奇函数
14 ．（2024•南海区校级模拟） 已知定义域均为 R 的函数 f(x) 与 g (x) ，其导函数分别为 f’(x) 与 g’(x) ，且 g(3 — x) = f(x +1) — 2 ， g’(x +1) = f’(x —1) ，函数 f(x) 的图象关于点M (3, 0) 对称，则 ( )
A ．函数 f(x) 的图象关于直线x =1 对称
B ．8 是函数 f(x) 的一个周期
C ． g （5） = 2
D ． g(—2020) + g(—2024) = —4
15 ．（2024•河南模拟）定义在 R 上的函数 满足 则 ( )
A ． f(x) 是周期函数
B ． f(2024) = 0
C ． f(x) 的图象关于直线 x = 2k —1(k ∈ Z ) 对称
D ．
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•葫芦岛二模） 已知实数 x > 0 ， y > 0 ，则 的最大值为 ．
17 ．（2024•安徽模拟） 若函数 f(x + 2) 为偶函数， y = g (x + 1) — 5 是奇函数，且 f(2 — x)+ g(x) = 2 ，则 f(2023) = ．
18 ．（2024•江西一模）已知正数 x ，y 满足 x + y = 6 ，若不等式 恒成立，则实数 a 的取值范 围是 ．
19．（2024•历下区校级模拟）已知函数 则不等式 f(2x +1) + f(2 — x)开2 的解集为 ．
20．（2024•海淀区校级三模）已知函数 f(x) = 2[sin x] + 3[cos x] ，其中[x] 表示不超过 x 的最大整数．例如：[1] = 1 ， [0.5] = 0 ， [—0.5] = —1 ．给出以下四个结论：

3

②集合{y ∈ R | y = f(x) ， x ∈ R} 的元素个数为 9；
③存在 a ∈ R ，对任意的 x ∈ R ，有 f(a — x) = f(a + x) ；
④ f(x) > x + a 对任意 x ∈[0 ， 2π] 都成立，则实数 a 的取值范围是 ． 其中所有正确结论的序号是 ．
四．解答题（共 5 小题）
21 ．（2024•广汉市校级模拟） 已知函数
（1）当 a = 0 ， m = —1时，解关于 x 的不等式 f(x)开g (x) ；
（2）当 m = 0 时，对任意x ∈[1 ， +∞) ，关于 x 的不等式 f(x).g (x) 恒成立，求实数m 的取值范围；
（3）当 m < 0 ， a < 0 时，若点P1 (x1 ， y1 ) ， P2 (x2 ， y2 ) 均为函数 y = f(x) 与函数 y = g(x) 图象的公共点， 且 x1 ≠ x2 ，求证
22 ．（2024•闵行区校级三模）设 t > 0 ，函数 y = f(x) 的定义域为 R ．若对满足 x2 — x1 > t 的任意 x1 、 x2 ，
均有 f(x2 ) —f(x1 ) > t ，则称函数 y = f(x) 具有“ P(t) 性质 ”．
（1）在下述条件下，分别判断函数 y = f(x) 是否具有 P （2）性质，并说明理由；

② f(x) = 10sin 2x ；
（2） 已知f(x) = ax3 ，且函数 y = f(x) 具有 P （1）性质，求实数 a 的取值范围；
（3）证明：“函数 y = f (x) — x 为增函数 ”是“对任意 t > 0 ，函数 y = f(x) 均具有 P(t) 性质 ”的充要条件．
23 ．（2024•昆明一模）若非空集合 A 与B ，存在对应关系 f ，使 A 中的每一个元素 a ，B 中总有唯一的元 素b 与它对应，则称这种对应为从 A 到 B 的映射，记作 f : A → B ．
设集合 A = {—5 ， —3 ， —1 ，1 ，3 ， 5} ， B = {b1 ， b2 ， … , bn }(n ∈ N* ， n.6) ，且 B 二 A ，设有序四元数 集合 P = {X | X = (x1 ，x2 ，x3 ，x4 ) ，xi ∈ A 且 i = 1 ，2 ，3 ，4} ，Q = {Y | Y = (y1 ，y2 ，y3 ，y4 )} 对于给定 的集合 B ，定义映射 f : P → Q ，记为 Y = f (X) ，按映射 f ，若xi ∈ B(i = 1 ，2 ，3 ， 4) ，则 yi = xi + 1；若
xi B(i = 1 ，2 ，3 ， 4) ，则 yi = xi ．记 ．
（1）若 B = {—5 ， 1} ， X = (1 ， —3 ， —3 ， 5) ，写出 Y ，并求 SB (Y) ；
（2）若 B = {b1 ， b2 ， b3 } ， X = (1 ， —3 ， —3 ， 5) ，求所有 SB (Y) 的总和；

4
（3）对于给定的X = (x1 ， x2 ， x3 ， x4 ) ，记 ，求所有 SB (Y) 的总和（用含 m 的式子表示）．
24 ．（2024•闵行区校级二模） 已知函数是定义域为R 的偶函数．
（1）求实数 a 的值；
（2）若对任意x ∈ R ，都有成立，求实数 k 的取值范围．
25 ．（2024•北京模拟） 已知函数 为实常数）．
（1）若函数 f(x) 为奇函数，求 a 的值；
（2）在（1）的条件下，对任意 x ∈[1 ， 6] ，不等式开恒成立，求实数u 的最大值．

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2025 年高考数学压轴训练 4
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•淄博模拟）记 max{x ， y ， z} 表示 x ， y ， z 中最大的数．已知 x ， y 均为正实数，则 , x2 + 4y2 } 的最小值为 ( )
A ． B ．1 C ．2 D ．4
【答案】 C
【考点】基本不等式及其应用；函数的最值
【专题】数学运算；综合法；对应思想；不等式
【分析】设M = max{ ， ，x2 + 4y2 } ，则M开 ，M开 ，M开x2 + 4y2 ，三式相加得 3M开 再结合基本不等式的性质求解即可．
【解答】解：因为 x > 0 ， y > 0 ，
则M开 ， M 开 ， M开x2 + 4y2 ，
三式相加得： 3M开开 当且仅当 x = 2y 时，等号成立， 又因为
当且仅当 ，
即 ， 时等号成立， 所以 3M开6 ，M开2 ．
所以M 的最小值为 2．
故选： C ．
【点评】本题考查了基本不等式的应用、不等式的性质，属于中档题．
2 ．（2024•大连一模）设函数f(x) = sin 兀x + e3x—3 — e3—3x — x + 3 ，则满足 f(x) + f(3 — 2x) < 4 的 x 的取值范围 是 ( )
A ． (3, +∞) B ． (—∞, 3) C ． (1, +∞) D ． (—∞, 1) 【答案】 C

6
【考点】奇偶性与单调性的综合
【专题】数学运算；构造法；整体思想；导数的综合应用；函数的性质及应用
【 分 析 】 由 已 知 ， 利 用 换 元 法 t = x —1 ， 则 原 函 数 可 化 为 f(t +1) = sin(兀t + 兀) + e3t — e—3t — t + 2 = —sin兀t + e3t — e—3t — t + 2 ，构造函数 g(t) = f(t +1) — 2 ，判断 g(t) 的单 调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性即可求解不等式．
【解答】解：令 t = x —1 ，则 x = t + 1，
函数 f(x) = sin兀x + e3x—3 — e3—3x — x + 3 可画为f(t +1) = sin(兀t + 兀) + e3t — e—3t — t + 2 = —sin兀t + e3t — e—3t — t + 2 ， 令 g(t) = f(t +1) — 2 = —sin兀t + e3t — e—3t — t ，
则 g(—t) = —sin(—兀t) — e3t + e—3t + t = —g(t) ，即 g(t) 为奇函数，

故 g(t) 单调递增，
由 f(x) + f(3 — 2x) < 4 可得 g(x —1) + 2 + g(2 — 2x) + 2 < 4 ， 即 g(x —1) < —g(2 — 2x) = g(2x — 2) ，
所以 x — 1 < 2x — 2 ， 即 t > 1 ．
故选： C ．
【点评】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解抽象不等式，换元法，构造法，奇偶函数的判断，利用导 数研究函数的单调性，属中档题．
3 ．（2024•佛山模拟）如图， △ OAB 是边长为 2 的正三角形，记△ OAB 位于直线 x =t(0.t.2) 左侧的图形
的面积为 f(t) ．则函数 y = f(t) 的图象大致为 ( )

B．
A．

7

C．
D．
【答案】 A
【考点】函数的图象与图象的变换
【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维 【分析】根据题意，求出函数解析式，据此分析选项，即可得答案． 【解答】解：根据题意，当 0 < t.1时，
当1 < t.2 时 ， 所以只有 A 选项符合，
故选： A ．
【点评】本题主要考查函数的图像，属于中档题．
4 ．（2024•全国二模）已知可导函数 f(x) 的定义域为 R ， 为奇函数，设 g(x) 是f(x) 的导函数，若
g(2x +1) 为奇函数，且 则 )
A ． B ． C ． D ． —
【答案】 D
【考点】函数的奇偶性
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算
由 为奇函数 ， 结合导数运算可得 g(x —1) = g(—x —1) ， 由 g(2x +1) 为奇函数 ，可得 g(x +1) + g(—x +1) = 0 ， 整 理 可 得 g(x + 4) = —g(x) ， 进 而 分 析 可 得
即可得结果．
解：因为 为奇函数，则
即 f(x —1) = —f(—x —1) ，两边求导得 f’(x —1) = f’(—x —1) ， 则 g(x —1) = g(—x —1) ，可知 g(x) 关于直线 x = —1 对称，
又因为 g(2x +1) 为奇函数，则 g(2x +1) + g(—2x +1) = 0 ， 即 g(x +1) + g(—x +1) = 0 ，可知 g(x) 关于点 (1, 0) 对称， 令 x = 1 ，可得g = 0 ，即 由 g(x —1) = g(—x —1) 可得 g(x) = g(—x — 2) ，

8

由 g(x +1) + g(-x +1) = 0 ，可得 g(x) + g(-x + 2) = 0 ，即 g(x) = -g(-x + 2) ， 可得 g(-x - 2) = -g(-x + 2) ，即 g(x + 4) = -g(x) ，
令 x = 0 ，可得 令 x = 2 ，可得
且 g(x + 8) = -g(x + 4) = -[-g(x)] = g(x) ，可知 8 为 g(x) 的周期，

故选： D ．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性、周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变 换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题，属于中档题．
5 ．（2024•赤峰模拟） 已知函数 下列函数是奇函数的是 ( )
A ． f(x +1) +1 B ． f(x -1) +1 C ． f(x -1) -1 D ． f(x + 1) -1 【答案】 D
【考点】函数的奇偶性
【专题】函数的性质及应用；数学抽象；整体思想；综合法
【分析】分别求出每个选项中的函数的表达式，确定其定义域，结合奇函数的定义判断，即可得答案． 解： 由于 定义域为 (-∞ , 0) (2 ， +∞) ，
故 ， 定 义 域 为 (-∞ , -1) (1 ， +∞) ，
即 f(x + 1)+ 1不是奇函数， A 错误；
定义域为 (-∞ , 1) (3 ，+∞) ，不关于原点对称，即f(x -1)+ 1不是奇函数，B 错误；
定义域为 (-∞ , 1) (3 ， +∞) ，不关于原点对称， 即 f(x -1) -1不是奇函数， C 错误；
定义域为 (-∞ , -1) (1 ， +∞) ，
即 为奇函数， D 正确．

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故选： D ．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于中档题．
6 ．（2024•上海） 已知函数 f(x) 的定义域为 R ，定义集合M = {x0 | x0 ∈ R ， x ∈ (—∞, x0 ) ， f(x) < f(x0 )} ， 在使得M = [—1 ， 1] 的所有 f(x) 中，下列成立的是 ( )
A ．存在 f(x) 是偶函数
B ．存在f(x) 在 x =2 处取最大值
C ．存在f(x) 为严格增函数
D ．存在 f(x) 在x = —1 处取到极小值 【答案】 B
【考点】函数的奇偶性
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】根据函数的奇偶性、单调性、极值及最值的相关性质对各选项进行判定即可． 【解答】解：对于 A ， x < x0 时， f(x) < f(x0 ) ，
当 x0 = 1 时， x0 ∈ [—1 ， 1] ，
对于任意 x ∈(—∞, 1) ， f(x) < f （1）恒成立，
若 f(x) 是偶函数，此时 f （1） = f(—1) ，矛盾，故 A 错误；
对于 B ，若 f(x) 函数图像如下：

当 x < —1 时， f(x) = —2 ， —1.x.1 时， f(x) ∈ [—1 ， 1] ，当 x > 1 ， f(x) = 1 ， 所以存在 f(x) 在 x =2 处取最大值，故 B 正确；
对于 C ，在 x < —1 时，若函数 f(x) 严格增，
则集合M 的取值不会是[—1 ， 1] ，而是全体定义域，故 C 错误；
对于 D ，若存在 f(x) 在 x = —1 处取到极小值，
则在 x = —1 左侧存在 x = n ， f(n) > —1 ，与集合M 定义矛盾，故D 错误． 故选： B ．
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及最值等性质，属中档题．

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7 ．（2024•招远市三模）若定义在 R 上的函数 f(x) 满足： ， ，且对任意 x1 ，x2 ∈ R ，都 有 则
A ． f(0) = 0 B ． f(x) 为偶函数
C ． 兀 是f(x) 的一个周期 D ． f(x) 图象关于直线兀 对称 【答案】 D
【考点】抽象函数的周期性
【专题】函数思想；直观想象；逻辑推理；数学运算；综合法；函数的性质及应用
对于 A ，令 可得 令 可得 令 兀 ，兀 ， 求解即可；
对于 得 f ，令 得 即可判断；
对于 C ，由 B 可知 f(x + 兀) = —f(x) ，则有f(x + 2兀 ) = f(x) ，即可判断；
对于 可得 即可判断．
解：对于 A ：对于 令 得
又 ， 所以 ， 令 兀 ，
则有 所以 ，
令 兀 ， 兀 ，
则有 即 ，
解得 故 A 错误；
对于 B ：对于 取 得

11

所以 f(x + π) = —f(x) ，
令 得
所以 ，故 f(x) 不可能是偶函数，故 B 错误；
对于 C ：由 B 可知 f(x + π) = —f(x) ， 所以 f(x + 2π ) = f(x) ，
则 2π 为 f(x) 的一个周期，故 C 错误；
对于 D ：对于 取 x2 = x ，

所以
所以 f(x) 的图象关于直线对称， D 正确．
故选： D ．
【点评】本题考查了利用赋值法求抽象函数的值、判断抽象函数的奇偶性、周期性、对称性，属于中档题．
8 ．（2024•保定三模）已知函数 f(x) 的定义域为 R ，且f(x + y) + f(x —y) —f(x)f(y) = 0 ， f(—1) = 1 ，则 (
)
A ． f(0) = 0 B ． f(x) 为奇函数
C ． f （8） = —1 D ． f(x) 的周期为 3
【答案】 C
【考点】抽象函数的周期性
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解
【分析】利用赋值法令x = y = 0 ，即可求出f(0) ，从而判断 A ；令 x = 0 ，可判断函数的奇偶性，从而判 断 B ；令 y = —1 ，可得 f(x) + f(x + 2) = f(x +1) ，从而可得 f(x + 2) = —f(x —1) ，进而推出函数的周期，即 可判断D ；令 x = y = —1 ，可求出 f(—2) ，由奇偶性可得 f （2），再由周期性求得 f （8），即可判断 C ． 【解答】解：依题意， f(—1) = 1 ， f(x + y) + f(x — y) = f(x)f(y) ，
令 x = y = 0 ，得 f(0) + f(0) = f(0)f(0) ， 所以 f(0) = 0 或 f(0) = 2 ，
当 f(0) = 0 时， f(x) = 0 ，不符合题意， 所以 f(0) = 2 ，故 A 错误；
令 x = 0 得 f(y) + f(—y) = f(0)f(y) = 2f(y) ，

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所以 f(y) = f(一y) ，故 f(x) 为偶函数，故 B 错误；
令 y = 一1 ，得 f(x 一1) + f(x +1) = f(x) ，所以 f(x) + f(x + 2) = f(x +1) ， 所以 f(x + 2) = 一f(x 一1) ，所以 f(x + 3) = 一f(x) ，
所以 f(x + 6) = 一f(x + 3) = f(x) ， 所以 f(x) 的周期为 6 ，故D 错误；
令 x = y = 一1 ，得 f(一2) + f(0) = f2 (一1) ，又 f(一1) = 1 ， f(0) = 2 ， 可得 f(一2) = 一1，
所以 f （2） = f(一2) = 一1，
所以 f （8） = 一1 ，故 C 正确．
故选： C ．
【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
9．（2024•兰陵县模拟）已知函数 若当 时，f(t sin2 θ) + f(4t 一 sinθ) > 0 恒成立，则实数 t 的取值范围是 ( )
A ． B ． C ． D ． 【答案】 D
【考点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题
【专题】函数的性质及应用；综合法；直观想象；数学运算；分类讨论；转化思想；函数思想
【 分 析 】 先 判 断 f(x) 是 奇 函 数 且 在 R 上 为 增 函 数 ， 所 以 由 f(t sin2 θ) + f(4t 一 sinθ) > 0 可 得 t sin2 θ 一 sinθ + 4t > 0 ，由 ，得 sinθ ∈ [0 ，1]，构造函数 g(x) = tx2 一 x + 4t ，x ∈ [0 ，1]，然后分 ，
和 三种情况求解即可．
【解答】解： f(x) 的定义域为 R ，
: f(一x) = 一x3 + lg(一x + ·、x2 + 1) = 一x3 一 lg(x + ·、x2 + 1) = 一[x3 + lg(x + ·、x2 + 1)] = 一f(x) ， : f(x) 为奇函数，
: 函数 y = x 在 上均为增函数，
: f(x) 在[0 ， +∞) 上为增函数，所以 f(x) 在 R 上为增函数， 由 f(t sin2 θ) + f(4t 一 sinθ) > 0 ，得 f(t sin2 θ) > 一f(4t 一 sinθ) ， :f(t sin2 θ) > f(一4t + sinθ) ，
: t sin2 θ > 一4t + sinθ , 即 t sin2 θ 一 sinθ + 4t > 0 ，

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当 时， sinθ ∈ 令 g(x) = tx2 — x + 4t ， x ∈ [0 ， 1] ， 当 t = 0 时， g(x) = —x .0 ，舍去； 当 t ≠ 0 时，对称轴为 ，
当 即 时，则有 即 解得 所以 ；
当 ，即 t < 0 时，有g （1） = t —1+ 4t > 0 ，得 ，不满足 t < 0 ，所以 t ∈ ⑦ ;
当 即 时，有 g （1） = t —1+ 4t > 0 ，得 所以 ，
综上， ．
故选： D ．
【点评】本题考查奇函数性质的应用，考查函数单调性的应用，考查转化思想和分类思想，属于中档题．
10 ．（2024•东城区一模） 已知f(x) 是定义在 R 上的函数 ，其图像是一条连续不断的曲线 ，设函数 下列说法正确的是 ( )
A ．若 f(x) 在 R 上单调递增，则存在实数 a ，使得 ga (x) 在 (a, +∞) 上单调递增
B ．对于任意实数 a ，若 ga (x) 在 (a, +∞) 上单调递增，则f(x) 在 R 上单调递增
C ．对于任意实数 a ，若存在实数M1 > 0 ，使得 | f(x) |< M1 ，则存在实数M2 > 0 ，使得| ga (x) |< M2

D ．若函数 ga (x) 满足：当x ∈(a, +∞) 时， ga (x)开0 ，当x ∈(—∞, a) 时，ga (x) .0 ，则 f （a）为f(x) 的最 小值
【答案】 D
【考点】 由函数的单调性求解函数或参数；函数恒成立问题
【专题】综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；数学运算；转化思想
【分析】首先理解函数 ga (x) 表达的是函数 f(x) 图像上两点割线的斜率，当 x → a 时，表示的为切线斜率， 然后举反例设 f(x)= x 可判断 A 错误；设f(x) = x2 可得 B 错误；设f(x)= sin x 可判断 C 错误；由函数单调 性的定义可以判断 D 正确．
解：函数 表达的是函数 f(x) 图象上两点割线的斜率， 当 x → a 时，表示的为切线斜率，

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对于 A ：因为 f(x) 是定义在 R 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线， 且 f(x) 在 R 上单调递增，所以设 f(x) = x ，则 f （a） = a ，
此时 为常数， 即任意两点的割线的斜率为常数，故 A 错误；
对于 B ：设f(x) = x2 ，由图象可知，

当 x ∈ R 时，随x 增大，点 (x ， f(x)) 与点 (a ， f （a） ) 连线的割线斜率越来越大，即单调递增， 但 f(x) 在 R 上不是单调函数，故 B 错误；
对于 C ：因为对于任意实数 a 存在实数M1 > 0 ，使得| f(x) |< M1 ，
说明 f(x) 为有界函数所以设 f(x) = sin x ，
割线的斜率不一定有界，如图：

当 x → 0+ 时，割线的斜率趋于正无穷，故 C 错误；

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对于 D ：因为函数 ga (x) 满足：当 x ∈(a, +∞) 时， ga (x)开0 ，
因为 x > a ， x - a > 0 ，所以 f(x)开f （a）； 同理，当 x ∈(-∞, a) 时， ga (x) .0 ，

因为 x < a ， x - a < 0 ，所以 f(x)开f （a）； 所以 f （a）为 f(x) 的最小值，故 D 正确．
故选： D ．
【点评】本题考查导数的综合应用，函数的有界性及最值问题，函数的切线的应用，数形结合思想，化归 转化思想，属难题．
二．多选题（共 5 小题）
11．（2024•江西模拟）已知定义在R 上的函数 f(x) 满足 f(x)[f(x) -f(x -y)] = f(xy) ，当 x ∈(-∞ , 0) (0 ， +∞) ，时， f(x) ≠ 0 ．下列结论正确的是 ( )
A ． B ． f(10) = 1
C ． f(x) 是奇函数 D ． f(x) 在 R 上单调递增 【答案】 ACD
【考点】函数的奇偶性；抽象函数的周期性
【专题】函数的性质及应用；逻辑推理；转化法；转化思想
【分析】令x = y = 0 ，可得 f(0) = 0 ；令 x = y = 1 及题意条件，可得 f （1）= 1 ；令 x = y ，可得当x开0 时， f(x)开0 ；令 y = 1 ，可得 f(x)[f(x) -f(x -1)] = f(x) ① , 令 y = -1 ，可得 f(x)[f(x) -f(x +1)] = f(-x) ② , 由① - ②可得 f(x)= -f(-x) ，进而可判断 C 的正误； 由 f(x) -f(x -1) = 1 及赋值即可判断 B 的正误； 由 可得 ，解方程组即可判断 A 的正误；令x = x1 ， y = x1 - x2 ，及函数 的单调性即可判断 D 的正误．
【解答】解：令 x = y = 0 可得： f(0) = 0 ；令 x = y = 1 可得： [f （1） ]2 = f （1）． 因为当 x ∈(-∞ , 0) (0 ， +∞) 时， f(x) ≠ 0 ，所以 f （1） ≠ 0 ，所以 f （1） = 1． 令 x = y 可得： f(x)[f(x) -f(0)] = f(x2 ) ，即[f(x)]2 = f(x2 ) ，
又因为当 x ∈(-∞ , 0) (0 ， +∞) 时， x2 > 0 ，所以 f(x2 ) ≠ 0 ，所以[f(x)]2 = f(x2 ) > 0 ，

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所以当 x > 0 时， f(x) > 0 ．
令 y = 1 ，可得 f(x)[f(x) —f(x —1)] = f(x) ① , 所以 f(x) —f(x —1) = 1 ， f(x +1) —f(x) = 1 ， 两式相加可得： f(x +1) —f(x —1) = 2 ．
令 y = —1 ，可得 f(x)[f(x) —f(x +1)] = f(—x) ② .
① — ②可得 f(x)[f(x +1) —f(x —1)] = f(x) —f(—x) ，化简可得 f(x) = —f(—x) ，所以 f(x) 是奇函数，故 C 正 确；
由 f(x) —f(x