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2025 年高考数学压轴训练 8
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•贵州模拟）设方程 3x . | log3 x |= 1的两根为 x1 ， x2 (x1 < x2 ) ，则 ( )
A ． 0 < x1 < 1 ， x2 > 3 B ． C ． 0 < x1x2 < 1 D ． x1 + x2 > 4
2 ．（2024•包头三模）冰箱、空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使 臭氧量 Q 呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式 Q = Q0 . e—0.0025t ，其中 Q0 是臭氧的初始量， e 是自然对数的底数，t 是时间，以年为单位．若按照关系式 Q = Q0 . e—0.0025t 推算，经 过 t0 年臭氧量还保留初始量的四分之一，则 t0 的值约为 (ln2 ≈ 0.693)( )
A ．584 B ．574 年 C ．564 年 D ．554 年
3 ．（2024•太原模拟） 已知函数 若方程 f(x) —k | x + 2 |= 0 恰有三个不同实数根， 则实数 k 的取值范围是 ( )
B ．

4 ．（2024•江西模拟）已知函数在区间 (—∞, —3) ，(1, +∞) 上都单调递增，则实数 a 的 取值范围是 ( )
A ． 0 < a .4 B ． 0 < a .8 C ． 0 < a .12 D ． 0 < a .16
5 ．（2024•浙江二模）已知正实数 x1 ，x2 ，x3 满足 x1(2) + 2x1 +1 = x12x1 , x22 + 3x2 +1 = x2 3x2 , x32 + 4x3 +1 = x3 4x3 ， 则 x1 ， x2 ， x3 的大小关系是 ( )
A ． x3 < x2 < x1 B ． x1 < x2 < x3 C ． x1 < x3 < x2 D ． x2 < x1 < x3
6 ．（2024•中山市校级模拟）设函数 若关于x 的方程 f(x) = t 有四个实根 x1 ， x2 ，
x3 ， x4 ，则 的最小值为 ( )
A ． B ．23 C ． D ．24
7 ．（2024•重庆模拟）荀子《劝学》 中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学 习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把 (1+1%)365 看作是每天的“进步 ”率

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都 是 1% ， 一年后 是 1.01365 ≈ 37.7834 ； 而把 (1-1%)365 看作 是每 天 “ 退步 ”率 都 是 1% ， 一年后 是 0.99365 ≈ 0.0255 ；这样，一年后的“进步值 ”是“退步值 ”的 倍．那么当“进步值 ”是“退 步值 ”的 5 倍时，大约经过 ( ) 天．（参考数据： lg101 ≈ 2.0043 ， lg99 ≈ 1.9956 ， lg2 ≈ 0.3010)
A ．70 B ．80 C ．90 D ．100
8．（2024•回忆版）设函数 f(x) = a(x +1)2 -1 ，g(x) = cos x + 2ax(a 为常数），当 x ∈(-1, 1) 时，曲线 y = f(x) 与 y = g(x) 恰有一个交点，则 a = ( )
A ． -1 B ． C ．1 D ．2
9 ．（2024•抚顺模拟）函数 f 满足：当 时 是奇函数．记 关于 x 的方程 的根为 x1 ， x2 ， … , xm ，若 则 k 的值可以为 ( )
A ． B ． C ． D ．1
10．（2024•灌云县校级模拟）已知函数若存在唯一的整数 x ，使得 成 立，则所有满足条件的整数 a 的取值集合为 ( )
A ． {-2 ， -1 ，0 ， 1} B ． {-2 ， -1 ， 0} C ． {-1 ，0 ， 1} D ． {-2 ， 1}
二．多选题（共 5 小题）
11．（2024•西湖区校级模拟）已知函数 其中 f = λ , 且 a < b < c ， 则 ( )
A ． f[f(-2)] = -32
B ．函数 g(x) = f(x) -f(λ) 有 2 个零点

D ． abc ∈ (-4 log3 5 ， 0)
12 ．（2024•袁州区校级模拟） 已知函数 则
A ．若 g(x) 有 2 个不同的零点，则 2 < a < 5
B ．当 a = 2 时， g(f(x)) 有 5 个不同的零点

2
C ．若 g(x) 有 4 个不同的零点 x1 ， x2 ， x3 ， x4 (x1 < x2 < x3 < x4 ) ，则 x1x2 x3x4 的取值范围是 (12, 13)
D ．若 g(x) 有 4 个不同的零点 x1 ， x2 ， x3 ， x4 (x1 < x2 < x3 < x4 ) ，则 的取值范围是 (6, 9)
13 ．（2024•吉安模拟） 已知函数 f(x) = sin x | sin x | - cos 2x ，则 ( )
A ． f(x) 的图象关于点 (π , 0) 对称
B ． f(x) 的值域为[-1 ， 2]
C ．若方程在 (0, m) 上有 6 个不同的实根，则实数 m 的取值范围是
D．若方程[f(x)]2 - 2af(x) + a2 = 1(a ∈ R) 在 (0, 2π) 上有 6 个不同的实根 ii (i = 1 ，2 ，… , 6) ，则 的 取值范围是 (0, 3π)
14 ．（2024•怀化二模） 已知函数 y = x + ex 的零点为 x1 ， y = x + lnx 的零点为 x2 ，则 ( )

A ． x1 + x2 > 0 B ． x1x2 < 0
C ． ex1 + lnx2 = 0 D ． x1x2 - x1 + x2 > 1
15 ．（2024•定西模拟） 已知函数 f(x) =| 2x -1| -a ， g(x) = x2 - 4 | x | +2 - a ，则 ( )
A ．当 g(x) 有 2 个零点时， f(x) 只有 1 个零点
B ．当 g(x) 有 3 个零点时， f(x) 只有 1 个零点
C ．当 f(x) 有 2 个零点时， g(x) 有 2 个零点
D ．当 f(x) 有 2 个零点时， g(x) 有 4 个零点
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•浦东新区校级四模） 已知函数 给出下列四个结论：
①若 f(x) 有最小值，则 a 的取值范围是；
②当 a > 0 时，若f(x) = t 无实根，则 t 的取值范围是[aπ , 4a]u[4a + 1 ， +∞) ；
③当 时，不等式 f(x2 + 2) > f(| x |+4) 的解集为 (-2, 2) ；
④当 a开1 时，若存在 x1 < x2 ，满足 -1 < f(x1 ) = f(x2 ) < 0 ，则 x1 + x2 > 0 ． 其中，所有正确结论的序号为 ．

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17 ．（2024•南开区校级模拟） 已知函数 若函数 g(x) = f(f(x)) - af(x) +1 有唯一零点， 则实数 a 的取值范围是 ．
18 ．（2024•湖北模拟）关于 x 的方程 有实根，则 a2 + b2 的最小值为 ．
19 ．（2024•浦东新区校级四模）如图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边 A 处，乙工厂与甲工厂在河的同 侧，且位于离河岸 40km 的 B 处，河岸边D 处与 A 处相距 50km （其中 BD 丄 AD) ，两家工厂要在此岸边建 一个供水站 C ，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米 3a 元和 5a 元，供水站 C 建在岸边距 离 A 处 km 才能使水管费用最省．

20 ．（2024•天津模拟）设 a ∈ R ，函数 若函数y = f (x)- | ax | 恰有 4 个零点，则实 数 a 的取值范围为 ．
四．解答题（共 5 小题）
21 ．（2024•孝南区校级模拟） 已知函数 其中 w > 0 ．
（1）若函数 f(x) 的最大值是最小值的 5 倍，求m 的值；
当 时，函数 f(x) 的正零点由小到大的顺序依次为 x1 ，x2 ，x3 ， … , 若 求 w 的 值．
22 ．（2024•辽宁模拟）某地区未成年男性的身高 x （单位： cm) 与体重平均值 y （单位： kg) 的关系如下
表1 :
表 1 未成年男性的身高与体重平均值

身高 /cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重
平均 值 /kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31. 11
38.85
47.25
55.05
直观分析数据的变化规律，可选择指数函数模型、二次函数模型、幂函数模型近似地描述未成年男性的身

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高与体重平均值之间的关系．为使函数拟合度更好，引入拟合函数和实际数据之间的误差平方和、拟合优 度判断系数 R2 （如表2) ．误差平方和越小、拟合优度判断系数 R2 越接近 1 ，拟合度越高．
表 2 拟合函数对比

函数模型
函数解析式
误差平方和
R2
指数函数
y = 2.004e0.0197x
6.6764
0.9976
二次函数
y = 0.0037x2 一 0.431x +19.6973
8.2605
0.9971
幂函数
y = 0.001x2.1029
74.6846
0.9736
（1） 问哪种模型是最优模型？并说明理由；
（2）若根据生物学知识，人体细胞是人体结构和生理功能的基本单位，是生长发育的基础．假设身高与 骨细胞数量成正比，比例系数为 k1 ；体重与肌肉细胞数量成正比，比例系数为 k2 ．记时刻t 的未成年时期

骨细胞数量 G(t) = G0 er1t ，其中 G0 和 r1 分别表示人体出生时骨细胞数量和增长率，记时刻 t 的未成年时期肌 肉细胞数量 J(t) = J0er2t ，其中J0 和 r2 分别表示人体出生时肌肉细胞数量和增长率．求体重y 关于身高x 的 函数模型；
（3）在（2）的条件下，若 当刚出生的婴儿身高为 50cm 时，与（1） 的模型相比较，哪种模型跟实际情况更符合，试说明理由．
注：e0.985 ≈ 2.67781 ，502.1029 ≈ 3739.07 ；婴儿体重 y ∈[2.5 ，4) 符合实际，婴儿体重 y ∈[4 ，5) 较符合实际， 婴儿体重 y ∈[5 ， 6) 不符合实际．
23．（2024•北京模拟）如图，某大学将一矩形 ABCD 操场扩建成一个更大的矩形 DEFG 操场，要求 A 在DE 上， C 在 DG 上，且 B 在EG 上．若 AD = 30 米， DC = 20 米，设DG = x 米 (x > 20) ．
（1）要使矩形DEFG 的面积大于 2700 平方米，求 x 的取值范围；
（2）当 DG 的长度是多少时，矩形 DEFG 的面积最小？并求出最小面积．

24 ．（2024•长宁区校级三模）设函数 y = f(x) 的定义域为D ，对于区间I = [a ，b](I 二 D) ，若满足以下两 个性质之一，则称区间 I 是 y = f(x) 的一个“好区间 ”．

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性质①：对于任意 x0 ∈ I ，都有f(x0 ) ∈ I ；性质②：对于任意 x0 ∈ I ，都有 f(x0 ) ∈ I ．
（1）已知函数 f(x) = 一x2 + 2x ， x ∈ R ．分别判断区间[0 ， 2] ，区间[1 ， 3] 是否为 y = f(x) 的“好区间 ”， 并说明理由；
（2）已知 m > 0 ，若区间[0 ，m] 是函数 一 x2 一 3x + 12 ，x ∈ R 的一个“好区间 ”，求实数m 的取 值范围；
（3）已知函数 y = f(x) 的定义域为 R ，其图像是一条连续的曲线，且对于任意 a < b ，都有 f （a）一f （b）
> b 一 a ，求证： y = f(x) 存在“好区间 ”，且存在 x0 ∈ R ， x0 为不属于 y = f(x) 的任意一个“好区间 ”．

25 ．（2024•江西模拟）某公园有一个矩形地块 ABCD （如图所示），边 AB 长 ·、 千米， AD 长 4 千米．地 块的一角是水塘（阴影部分），已知边缘曲线 AC 是以 A 为顶点，以 AD 所在直线为对称轴的抛物线的一部 分，现要经过曲线 AC 上某一点P （异于 A ，C 两点）铺设一条直线隔离带MN ，点M ，N 分别在边 AB ， BC 上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘．设点 P 到边 AD 的距离为 t （单位：千米）， ΔBMN 的 面积为 S （单位：平方千米）．
（1）请以 A 为原点， AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，求出 S 关于 t 的函数解析式；
（2）是否存在点P ，使隔离出来的ΔBMN 的面积 S 超过 2 平方千米？并说明理由．

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参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•贵州模拟）设方程 3x . | log3 x |= 1的两根为 x1 ， x2 (x1 < x2 ) ，则 ( )
A ． 0 < x1 < 1 ， x2 > 3 B ． C ． 0 < x1x2 < 1 D ． x1 + x2 > 4 【答案】 C
【考点】函数的零点与方程根的关系
【专题】构造法；函数思想；转化思想；数学运算；函数的性质及应用
【分析】 问题转化为 x1 ， x2 为 的两根，构造函数 结合零点存在 定理及指数函数，对数函数的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：因为 3x . | log3 x |= 1的两根为 x1 ， x2 即为 的两根， 令

因为 x1 < x2 ，

所以 0 < x1 < 1 < x2 < 3 ， A 错误；

由 0 < x1 < 1 < x2 < 3 可得 故 0 < x1x2 < 1 ， C 正确；
所以 错误；
错误．
故选： C ．
【点评】本题主要考查了指数函数及对数函数在函数零点范围求解中的应用，还考查了零点存在定理的应 用，属于中档题．
2 ．（2024•包头三模）冰箱、空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使 臭氧量 Q 呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式 Q = Q0 . e-0.0025t ，其中 Q0 是臭氧的初始量， e 是自然对数的底数，t 是时间，以年为单位．若按照关系式 Q = Q0 . e-0.0025t 推算，经

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过 t0 年臭氧量还保留初始量的四分之一，则 t0 的值约为 (ln2 ≈ 0.693)( )
A ．584 B ．574 年 C ．564 年 D ．554 年 【答案】 D
【考点】根据实际问题选择函数类型
【专题】综合法；函数的性质及应用；函数思想；数学运算
【分析】 由题意得，解不等式 即可．
【解答】解：由题意可得 ， ，e0.0025t 开4 ，0.0025t开2ln2 = 1.386 ，t开554.4 ．

故选： D ．
【点评】本题主要考查指数型函数的的应用，属于中档题．
3 ．（2024•太原模拟） 已知函数 若方程 f(x) —k | x + 2 |= 0 恰有三个不同实数根， 则实数 k 的取值范围是 ( )
B ．
【答案】 C
【考点】函数的零点与方程根的关系
【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】 作出函数 y = f(x) 的图象 ，方程 f(x) —k | x + 2 |= 0 恰有三个不同实数根 ，等价为 y = f(x) 与 y = k | x + 2 | 的图象有 3 个交点．讨论 k > 0 ，且 x > —2 时， y = k(x + 2) 与 y = f(x) 的位置关系，结合直线 和曲线相切的条件，求得 k ，以及直线 y = k(x + 2) 经过点 (1, 2) ， (1, e +1) ，可得 k 的取值范围；当 k .0 时， y = f(x) 与 y = k | x + 2 | 的图象只有 1 个交点，可得结论．
【解答】解：作出函数 y = f(x) 的图象，如右图：
方程 f(x) —k | x + 2 |= 0 恰有三个不同实数根，等价为 y = f(x) 与 y = k | x + 2 | 的图象有 3 个交点．

y = k | x + 2 | 的图象恒过定点 (—2, 0) ，
当 x > —2 时， y = k(x + 2) 与 y = ex +1 相切，设切点为 (x1 ， y1 ) ，可得 ex1 = k ，且 k(x1 + 2) = ex1 +1，

可化为 (x1 +1)ex1 = 1 ，设 g(x) = (x +1)ex ，x > —2 ，可得 g’(x) = (x + 2)ex > 0 ，g(x) 在 (—2, +∞) 递增，且 g(0) = 1 ，

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则 x1 = 0 ， k = 1 ，此时 y = f(x) 与y = k | x + 2 | 的图象有 2 个交点， 又 y = k (x + 2) 的图象经过 (1, e +1) ，可得 e + 1 = 3k ，即有 ，
则 时， y = f(x) 与y = k | x + 2 | 的图象有 3 个交点；
当 x > —2 时， y = k (x + 2) 经过点 (1, 2) ，即有 2 = 3k ，解得 ， 由 可得 x2 + x + 2k +1 = 0 ，
由 y = k (x + 2) 与 y = —x2 + 4x —1相切，可得△ = (k— 4)2 — 4(2k +1) = 0 ，解得
由图象可得 时， y = f(x) 与 y = k | x + 2 | 的图象有 3 个交点；
当 k .0 时， y = f(x) 与 y = k | x + 2 | 的图象只有 1 个交点．
综上，可得实数 k 的取值范围是 (1 ， ．
故选： C ．

【点评】本题考查函数的零点和方程的关系，以及直线和曲线相切的条件，考查数形结合思想、方程思想 和运算能力，属于中档题．
4 ．（2024•江西模拟）已知函数在区间 (—∞, —3) ，(1, +∞) 上都单调递增，则实数 a 的 取值范围是 ( )
A ． 0 < a .4 B ． 0 < a .8 C ． 0 < a .12 D ． 0 < a .16 【答案】 C
【考点】 由函数的单调性求解函数或参数；分段函数的应用
【专题】转化思想；数学运算；计算题；方程思想；函数的性质及应用；综合法
【分析】根据题意，设 ，分析可得 g (x) 必然有两个零点，设其两个零点为 m 、n ，且 m < n ， 写出 f(x) 的解析式，结合二次函数的性质可得关于 a 的不等式组，解可得 a 的取值范围，即可得答案．

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【解答】解：根据题意，设 为开口向上的二次函数，且 g(0) = —9 ， 则 g(x) 必然有 2 个零点，设 g(x) 的两根零点为 m 、 n ，且 m < n ，

若 f(x) 在区间 (—∞, —3) ， (1, +∞) 上都单调递增，必有 a > 0 ， 则有 g(—3) = a > 0 ，故 m > —3 ，
则 f(x) 在 (—∞, —3) 上一定递增，
只需满足在 (1, +∞) 上递增即可，必有 解可得 a .12 ， 综合可得： 0 < a .12 ．
故选： C ．
【点评】本题考查分段函数单调性的判断，涉及二次函数的性质，属于中档题．
5 ．（2024•浙江二模）已知正实数 x1 ，x2 ，x3 满足 x1(2) + 2x1 +1 = x12x1 , x22 + 3x2 +1 = x2 3x2 , x32 + 4x3 +1 = x3 4x3 ， 则 x1 ， x2 ， x3 的大小关系是 ( )
A ． x3 < x2 < x1 B ． x1 < x2 < x3 C ． x1 < x3 < x2 D ． x2 < x1 < x3 【答案】 A
【考点】不等式比较大小；函数与方程的综合运用
【专题】数形结合；计算题；数学运算；转化思想；函数的性质及应用；综合法
【分析】 根据题意，将 3 个等式变形， 由函数与方程的关系分析 x1 ， x2 ， x3 的几何意义，作出函数
和 y = 2x — 2 、 y = 3x — 3 、 y = 4x — 4的图象，结合图象分析可得答案．
【解答】解：根据题意，若 x1(2) + 2x1 +1 = x12x1 ，变形可得
则 x1 是函数与函数 y = 2x — 2图象交点的横坐标；
同理： x2(2) + 3x2 +1 = x2 3x1 ，变形可得 ，
则 x2 是函数与函数 y = 3x — 3图象交点的横坐标，
x3(2) + 4x3 +1 = x3 3x1 ，变形可得 ，
则 x3 是函数与函数 y = 4x — 4图象交点的横坐标，

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作出 和 y = 2x — 2 、 y = 3x — 3 、 y = 4x — 4 的图象， 结合图像可得 x3 < x2 < x1 ．
故选： A ．

【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及指数函数、对数函数的性质，属于中档题．
6 ．（2024•中山市校级模拟）设函数 若关于x 的方程 f(x) = t 有四个实根 x1 ， x2 ，
x3 ， x4 ，则 的最小值为 ( )
A ． B ．23 C ． D ．24
【答案】 B
【考点】函数的零点与方程根的关系
【专题】数学运算；综合法；函数的性质及应用；数形结合法；函数思想
【分析】根据题意，作出函数 f(x) 的图象，结合图象可得 x1 + x2 = 4 ， 然后再由基本不等 式，代入计算，即可得到结果．
【解答】解：作出函数 的图象如图所示：

由图可知， x1 + x2 = 4 ，由 | log2 (x — 4) |= f （2） = 4 ，可得 或 x = 20 ，

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所以 5 < x4 < 20 ，

又因为 log2 (x3 — 4) + log2 (x4 — 4) = 0 ， 所以 (x3 — 4)(x4 — 4) = 1 ，
故 ，

当且仅当 即 x4 = 8 时取等号，
所以 的最小值为4 + 19 = 23 ．
故选： B ．
【点评】本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想及基本不等式的应用，作出图象是关键，属于 中档题．
7 ．（2024•重庆模拟）荀子《劝学》 中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学 习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把 (1+1%)365 看作是每天的“进步 ”率
都 是 1% ， 一年后 是 1.01365 ≈ 37.7834 ； 而把 (1—1%)365 看作 是每 天 “ 退步 ”率 都 是 1% ， 一年后 是 0.99365 ≈ 0.0255 ；这样，一年后的“进步值 ”是“退步值 ”的 倍．那么当“进步值 ”是“退 步值 ”的 5 倍时，大约经过 ( ) 天．（参考数据： lg101 ≈ 2.0043 ， lg99 ≈ 1.9956 ， lg2 ≈ 0.3010)
A ．70 B ．80 C ．90 D ．100
【答案】 B
【考点】根据实际问题选择函数类型；对数的运算性质
【专题】数学运算；综合法；整体思想；函数的性质及应用 【分析】根据题意列方程，然后取对数求解．
【解答】解：设 x 天后当“进步 ”的值是“退步 ”的值的 5 倍，
则 ， 即 ， 即 ，

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即 x = 80 ．
故当“进步值 ”是“退步值 ”的 5 倍时，大约经过 80 天．
故选： B ．
【点评】本题考查了对数的运算，重点考查了阅读理解能力，属中档题．
8．（2024•回忆版）设函数 f(x) = a(x +1)2 -1 ，g (x) = cos x + 2ax(a 为常数），当 x ∈(-1, 1) 时，曲线 y = f(x) 与 y = g(x) 恰有一个交点，则 a = ( )
A ． -1 B ． C ．1 D ．2
【答案】 D
【考点】函数与方程的综合运用
【专题】方程思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算
【分析】设 h(x) = f(x) -g(x) = ax2 - cos x + a -1，所求问题等价于 h(x) 在 (-1, 1) 上恰有一个零点，由 h(0) = 0 即可求解．
【解答】解：函数 f(x) = a(x +1)2 -1 ， g (x) = cos x + 2ax ， 设 h(x) = f(x) - g(x) = ax2 - cos x + a -1，
则 h(x) 是偶函数，
由曲线 y = f(x) 与y = g(x) 在 (-1, 1) 上恰有一个交点， 得 h(x) 在 (-1, 1) 上恰有一个零点，
所以 h(0) = a - 2 = 0 ， 解得 a = 2 ．
故选： D ．
【点评】本题考查函数的性质，属于中档题．
9 ．（2024•抚顺模拟）函数 f 满足：当 时 是奇函数．记 关于 x 的方程 的根为 x1 ， x2 ， … , xm ，若 则 k 的值可以为 ( )
A ． B ． C ． D ．1
【答案】 C
【考点】函数与方程的综合运用；函数的奇偶性

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【专题】整体思想；数学运算；计算题；函数的性质及应用；综合法
【分析】首先判断函数 f(x) 关于点对称，再画出函数f(x) 和 的图象，结合函数的对称性， 判断交点的个数，利用数形结合，即可求解．
【解答】解：若函数 是奇函数，则
即 f(-x) + f(x) = -1 ，则函数 f(x) 关于点 对称，所以 ，
而 也关于点 对称，恒过点 ，
方程 的根，即为函数 与 交点的横坐标，
因为两个函数都关于点对称，所以交点也关于点对称，且其中一个交点是 ， 如图画出两个函数的图象，

若 ，根据对称性可知， y 轴左侧和右侧各有 3 个交点，如图， 当直线 过点 时， y 轴右侧有 2 个交点，此时 ，
当直线 过点 (2, 2) 时， y 轴右侧有 3 个交点，此时 ，
所以满足条件的 k 的取值范围是 ，选项中满足条件的只有 ．
故选： C ．
【点评】本题考查了函数与方程的综合应用，属于中档题．
10．（2024•灌云县校级模拟）已知函数若存在唯一的整数 x ，使得 成 立，则所有满足条件的整数 a 的取值集合为 ( )
A ． {-2 ， -1 ，0 ， 1} B ． {-2 ， -1 ， 0} C ． {-1 ，0 ， 1} D ． {-2 ， 1} 【答案】 A
【考点】分段函数的应用
【专题】数学运算；函数的性质及应用；数形结合法；分类讨论；转化思想

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【分析】先作出y = f(x) 的图象，把 转化为点 (x ，f(x)) 与点 (a, 1) 所在直线的斜率，分类讨论， 即可得出答案．
解：函数若存在唯一的整数 x ，使得 成立， 作出 f(x) 的函数图象如图所示：

表示点 (x ， f(x)) 与点 (a, 1) 所在直线的斜率，
可得曲线 f(x) 上只有一个点 (x ， f(x))(x 为整数）和点 (a, 1) 所在直线的斜率小于 0， 而点 (a, 1) 在动直线 y = 1 上运动，
由 f(-2) = 0 ， f(-1) = 4 ， f(0) = 0 ，
可得当 -2.a.-1时，只有点 (0, 0) 满足 ；
当 0.a.1时，只有点 (-1, 4) 满足 ．
又 a 为整数，可得 a 的取值集合为{-2 ， -1 ，0 ， 1} ．
故选： A ．
【点评】本题主要考查分段函数及其应用，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
二．多选题（共 5 小题）
11．（2024•西湖区校级模拟）已知函数 其中 f = λ , 且 a < b < c ， 则 ( )
A ． f[f(-2)] = -32
B ．函数 g(x) = f(x) -f(λ) 有 2 个零点
C ．

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D ． abc ∈ (—4log3 5 ， 0)
【答案】 ACD
【考点】函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用
【专题】综合法；直观想象；数学运算；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用 【分析】先作出函数图象，结合图象逐一判定即可．
【解答】解： f[f(—2)] = f （8） = —32 ，故 A 正确； 作出函数 f(x) 的图象如图所示，

观察可知， 0 < λ < 4 ，而 f(λ) ∈ (0 ， 4) ， 故 y = f(x) ， y = f (λ) 有 3 个交点，
即函数 g(x) 有 3 个零点，故B 错误；
由对称性， b + c = 4 ，而 ，
故 故 C 正确；
b ， c 是方程 x2 — 4x + λ = 0 的根，故 bc = λ , 令 3—a —1 = λ , 则 a = — log3 (1 + λ) ，
故 abc = —λlog3 (1 + λ) ，
而 y = λ , y = log3 (1 + λ) 均为正数且在 (0, 4) 上单调递增， 故 abc ∈(—4log3 5 ， 0) ，故D 正确．
故选： ACD ．
【点评】本题考查了二次函数、指数函数的性质，考查了数形结合思想，属于中档题．
12 ．（2024•袁州区校级模拟） 已知函数 则
A ．若 g(x) 有 2 个不同的零点，则 2 < a < 5

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B ．当 a = 2 时， g(f(x)) 有 5 个不同的零点
C ．若 g(x) 有 4 个不同的零点 x1 ， x2 ， x3 ， x4 (x1 < x2 < x3 < x4 ) ，则 x1x2 x3x4 的取值范围是 (12, 13)
D ．若 g(x) 有 4 个不同的零点 x1 ， x2 ， x3 ， x4 (x1 < x2 < x3 < x4 ) ，则 的取值范围是 (6, 9) 【答案】 BCD
【考点】函数的零点与方程根的关系
【专题】直观想象；函数思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】作出 f(x) 的图象， 由 g(x) 有 2 个不同的零点，结合图象，可判断 A ；
由 = 2 ，令 t = f ，得到f = 2 ，求得 结合图象，可判断B ； 由对数的运算性质，求得 x1x2 = 1 ，结合二次函数的对称性得到x1x2 x3x4 = x3 (8 - x3 ) ，进而判断 C 正确；
由 结合对勾函数的性质，可判定D 正确．
【解答】解： 由函数 可得 作出 f(x) 的图象，如图所示：

对于 A 中， 由 g(x) = f(x) - a = 0 ，可得 f(x) = a ，若 g(x) 有 2 个不同的零点， 结合图象知 a < 1 或 2 < a < 5 ，所以 A 错误；
对于 B 中，当 a = 2 时， 由 g(f(x)) = 0 ，可得 f(f(x)) = 2 ， 令 t = f(x) ，则有f(t) = 2 ，
可得
结合图象知， t1 = f(