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2025 年高考数学解密之圆与方程
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•广西模拟）已知圆的方程为 x2 + y2 一 2x = 0 ，M (x, y) 为圆上任意一点，则 的取值范围是 ( )
A ． [一 ， B ． [一1 ， 1] C ． (一∞ , 一 ， +∞) D ． [1 ， +∞) (一∞ , 一1]
2 ．（2024•香坊区校级模拟） 已知圆 C1 : x2 + y2 = 4 ，圆 C2 : x2 + y2 一 4x 一 4y + 4 = 0 ，两圆的公共弦所在直 线方程是 ( )
A ． x + y + 2 = 0 B ． x + y 一 2 = 0 C ． x + y + 1 = 0 D ． x + y 一 1 = 0
3 ．（2024•昌平区模拟）若圆 x2 + 8x + y2 一 6y + m = 0 与 x 轴， y 轴均有公共点，则实数 m 的取值范围是 ( )
A ． (一∞ , 9] B ． (一∞ , 16] C ． [9 ， 25) D ． [16 ， 25)
4 ．（2024•河池模拟）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》 中有这样一个结论：平面内与两点 距离的比为常数 λ(λ≠ 1) 的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点 O(0, 0) ， 动点 P(x, y) 满足 ，若点 P 的轨迹与圆 C : x2 + y2 + 6x + 2y = r2 一10(r > 0) 有且仅有三条公切线，则 r = ( )
A ． B ．1 C ．2 D ．3
5 ．（2024•山东模拟）已知直线 l : y = kx +k 一1 和曲线 C : x2 + y2 一 2x 一 2 | y |= 0 有公共点，则实数 k 的取值
范围为 ( )
A ． ， B ． C ． [一1 ， D ． [一1 ， 1]

6 ．（2024•江西模拟）若点 (1, 1) 在圆 x2 + y2 一 x 一 a = 0 的外部，则 a 的取值范围为 ( )
A ． B ． ， 1) C ． (一∞, 1) D ． (1, +∞)
7．（2024•全国）圆 x2 + (y + 2)2 = 4 与圆 (x + 2)2 + (y 一1)2 = 9 交于 A ，B 两点，则直线 AB 的方程为 ( )
A ． 2x 一 3y + 2 = 0 B ． 3x + 2y + 2 = 0 C ． 3x + 2y 一 2 = 0 D ． 2x 一 3y 一 2 = 0
8 ．（2024•北京）圆 x2 + y2 一 2x + 6y = 0 的圆心到 x 一y + 2 = 0 的距离为 ( )

A ． B ．2 C ．3 D ．

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9 ．（2024•和平区二模）过直线 y = x 上的点 P 作圆 C : (x + 3)2 + (y 一 5)2 = 4 的两条切线 l1 ， l2 ，当直线 l1 ，
l2 关于直线 y = x 对称时，点 P 的坐标为 ( )
A ． (1, 1) B ． C ． D ．
10 ．（2024•乐山三模）已知圆O : x2 + y2 = 16 ，点 ，点 E 是l : 2x 一y +16 = 0 上的动点，过 E 作圆 O 的切线，切点分别为 A ， B ，直线 AB 与 EO 交于点M ，则 | MF | 的最小值为 ( )
A ． B ． C ． D ．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•青岛模拟）已知动点M ，N 分别在圆 C1 : (x 一1)2 + (y 一 2)2 = 1 和 C2 : (x 一 3)2 + (y 一 4)2 = 3 上，动 点 P 在x 轴上，则 ( )
A ．圆 C2 的半径为 3

B ．圆 C1 和圆 C2 相离

C ． | PM | + | PN | 的最小值为

D ．过点 P 作圆 C1 的切线，则切线长最短为
12 ．（2024•金安区校级模拟） 已知圆 C : x2 + y2 一 4x 一 5 = 0 ，点 P(a, b) 是圆 C 上的一点，则下列说法正确 的是 ( )
A ．圆 C 关于直线 x 一 3y 一 2 = 0 对称
B ．已知 A(1, 一2) ， B(5, 0) ，则| PA |2 + | PB |2 的最小值为

C ． 2a + b 的最小值为 2 一
D ． 的最大值为
13 ．（2024•洪山区校级模拟）已知 A(x1 ，y1 ) ，B(x2 ，y2 ) 是圆 O : x2 + y2 = 1 上两点，则下列结论正确的是 ( )
A ．若点 O 到直线 AB 的距离为 ，则
B ．若 ΔAOB 的面积为 则 上
则点 O 到直线AB 的距离为
D ． | x1 + y1 一1| 的最大值为 最小值为 一1

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14．（2024•江西模拟）设圆 C : (x —1)2 + (y —1)2 = 3 ，直线 l : 3x + 4y + 3 = 0 ，P 为l 上的动点，过点 P 作圆 C 的两条切线PA 、 PB ，切点为 A 、 B ， M 、 N 为圆上任意两点，则下列说法中正确的有 ( )
A ． | PA | 的取值范围为[1 ， +∞)
B ．四边形 PACB 面积的最大值为
C ．满足 上APB = 60O 的点 P 有两个
D ． ΔCAB 的面积最大值为
15 ．（2024•日照模拟） 已知 P(x1 ， y1 ) ， Q(x2 ， y2 ) 是曲线 C : 7x2 — 6y + 6y2 + | x2 + 6y — 3 |= 21 上不同的两 点， O 为坐标原点，则 ( )
A ． x1(2) + y1(2) 的最小值为 3

C ．若直线 y = kx + 3 与曲线 C 有公共点，则
D ．对任意位于 y 轴左侧且不在 x 轴上的点P ，都存在点 Q ，使得曲线 C 在P ， Q 两点处的切线垂直
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•莲湖区校级三模） 已知点 A(8, —6) 与圆 C : x2 + y2 = 25 ， P 是圆 C 上任意一点，则 | AP | 的最小 值是 ．
17 ．（2024•抚州模拟）若直线 l : y = 2x 与圆 C : x2 + y2 — 2x — 3 = 0 交于 A ， B 两点，则 | AB |= ．
18 ．（2024•浦东新区二模）已知圆 C1 : x2 + y2 — 2ax + a2 —1 = 0(a > 0) ，圆 C2 : x2 + y2 — 4y — 5 = 0 ，若两圆相 交，则实数 a 的取值范围为 ．
19 ．（2024•武清区校级模拟）已知直线 x + y — 5 = 0 与圆 C : x2 + y2 — 4x + 2y + m = 0 相交于 A ，B 两点，且
| AB |= 4 ，则实数 m = ．
20 ．（2024•和平区模拟） 已知圆 C 以点 (1, 1) 为圆心，且与直线mx — y — 2m = 0(m ∈ R) 相切，则满足以上条
件的圆 C 的半径最大时，圆 C 的标准方程为 ．
四．解答题（共 5 小题）
21 ．（2024•黑龙江模拟） 已知圆 C : x2 — mx + y2 + 2(2 — m)y + m —1 = 0 ， m ∈ R ．
（1）证明：圆 C 过定点；
（2）当 m = 0 时，点 P 为直线上的动点，过P 作圆 C 的两条切线，切点分别为 A ，B ，求四边 形 PACB 面积最小值，并写出此时直线 AB 的方程．

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22 ．（2024•自贡二模） 已知圆 O : x2 + y2 = 25 与直线 l : y = 3 相交于点 A ， B ．
（1）求点 A ， B 的坐标；
（2）设 P 是直线l 上，圆 O 外的任意一点，过 P 点作圆 O 的切线PM ， PN ，切点为M ， N ，求证：经 过M ， N 两点的直线必过定点，并求出该定点的坐标．
23．（2024•苏州三模）已知圆 O : x2 + y2 = 4 ，直线 l1 : x = m ，直线 l2 : y = x + b 和圆交于 A ，B 两点，过 A ， B 分别作直线 l1 的垂线，垂足为 C ， D ．
（1）求实数b 的取值范围；
（2）若 m = —4 ，求四边形 ABDC 的面积取最大值时，对应实数b 的值；
（3）若直线 AD 和直线BC 交于点E ，问是否存在实数 m ，使得点 E 在一条平行于 x 轴的直线上？若存在，
求出实数 m 的值；若不存在，请说明理由．
24 ．（2024•徐州模拟）将圆 x2 + y2 = 2 上各点的纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变），所得 曲线为 E ．记 P(—2, 0) ，Q(1, 0) ，过点P 的直线与 E 交于不同的两点 A ，B ，直线 QA ，QB 与 E 分别交于 点 C ， D ．
（1）求 E 的方程；
（2）设直线 AB ， CD 的倾斜角分别为 α , β . 当 时： 求 的值；
(i) 若 β — α有最大值，求 λ 的取值范围．
25 ．（2024•重庆模拟）设 m 为实数，直线 y = mx + 1和圆 C : x2 — x + y2 = 0 相交于 P ， Q 两点．
若 求 m 的值；
（2）点 O 在以 PQ 为直径的圆外（其中 O 为坐标原点），求 m 的取值范围．

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2025 年高考数学解密之圆与方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•广西模拟）已知圆的方程为 x2 + y2 - 2x = 0 ，M (x, y) 为圆上任意一点，则 的取值范围是 ( )
A ． ， ] B ． [-1 ， 1] C ． (-∞ , , +∞) D ． [1 ， +∞) (-∞ , -1] 【答案】 C
【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程
【专题】数学运算；计算题；直线与圆；整体思想；演绎法；逻辑推理
【分析】将原问题转化为斜率的问题，然后考查临界条件和直线与圆的位置关系即可求得取值范围．
【解答】解：圆的方程即： (x -1)2 + y2 = 1 ， 表示圆上的点与点 (1, 2) 连线的斜率， 考查临界情况，即直线与圆相切的情况：
设直线方程为： y - 2 = k(x -1) ，即 kx - y -k + 2 = 0 ， 圆心到直线的距离等于半径，即
解得： 则 的取值范围是 ．
故选： C ．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，数形结合的数学思想等知识，属于中等题．
2 ．（2024•香坊区校级模拟） 已知圆 C1 : x2 + y2 = 4 ，圆 C2 : x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 ，两圆的公共弦所在直 线方程是 ( )
A ． x + y + 2 = 0 B ． x + y - 2 = 0 C ． x + y + 1 = 0 D ． x + y - 1 = 0 【答案】 B
【考点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定 【专题】方程思想；作差法；直线与圆；数学运算
【分析】利用两圆的方程，作差即可求得公共弦所在直线方程．
【解答】解： 由圆 C1 : x2 + y2 = 4 ，圆 C2 : x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 ，
两式作差得， 4x + 4y - 4 = 4 ，即 x + y - 2 = 0 ， 所以两圆的公共弦所在直线方程是 x + y - 2 = 0 ．
故选： B ．

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【点评】本题考查了由两圆方程求公共弦所在直线方程问题，是基础题．
3 ．（2024•昌平区模拟）若圆 x2 + 8x + y2 一 6y + m = 0 与 x 轴， y 轴均有公共点，则实数 m 的取值范围是 ( )
A ． (一∞ , 9] B ． (一∞ , 16] C ． [9 ， 25) D ． [16 ， 25)
【答案】 A
【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程
【专题】直线与圆；计算题；转化思想；数学运算；逻辑推理；综合法
【分析】首先把圆的一般式转换为顶点式，进一步求出实数 m 的取值范围．
【解答】解：圆 x2 + 8x + y2 一 6y + m = 0 ，整理得 (x + 4)2 + (y 一 3)2 = 25 一 m(m < 25) ， 由于圆与 x 轴和 y 轴均有公共点，
所以一且 一且 m < 25 ；
解得 m .9 ．
故实数 m 的取值范围为 (一∞ , 9] ．
故选： A ．
【点评】本题考查的知识点：圆的一般式和顶点式的转换，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
4 ．（2024•河池模拟）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》 中有这样一个结论：平面内与两点 距离的比为常数 λ(λ≠ 1) 的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点 O(0, 0) ， 动点 P(x, y) 满足 ，若点 P 的轨迹与圆 C : x2 + y2 + 6x + 2y = r2 一10(r > 0) 有且仅有三条公切线，则 r = ( )
A ． B ．1 C ．2 D ．3
【答案】 D
【考点】直线与圆的位置关系；轨迹方程
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算
【分析】设 P(x, y) ，应用两点距离公式和已知条件求得动点 P 的轨迹是以 (1, 2) 为圆心，2 为半径的圆，再 由公切线的条数判断位置关系，结合圆心距与半径的关系即可．
解：设 P(x, y) ，则 整理得 (x 一1)2 + (y 一 2)2 = 4 ， 所以动点 P 的轨迹是以 (1, 2) 为圆心，2 为半径的圆，

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而圆 C : x2 + y2 + 6x + 2y = r2 -10(r > 0) 可化为 (x + 3)2 + (y +1)2 = r2 的圆心为 (-3, -1) ，半径为 r ，

: 点P 的轨迹与圆 C : x2 + y2 + 6x + 2y = r2 -10(r > 0) 有且仅有三条公切线，

: 点P 的轨迹与圆 C : x2 + y2 + 6x + 2y = r2 -10(r > 0) 外切， 由于 (1, 2) 和 (-3, -1) 的距离
则 5 = 2 + r ，
: r = 3 ．
故选： D ．
【点评】本题考查轨迹问题，考查圆与圆的位置关系，属于基础题．
5 ．（2024•山东模拟）已知直线 l : y = kx +k -1 和曲线 C : x2 + y2 - 2x - 2 | y |= 0 有公共点，则实数 k 的取值
范围为 ( )
A ． ， B ． D ． [-1 ， 1]
【答案】 C
【考点】直线与圆的位置关系
【分析】将曲线 C : x2 + y2 - 2x - 2 | y |= 0 化为 若直线与曲线有交点，则由图 可求出直线与曲线相切时切线的斜率，其中用到圆心到直线的距离等于半径求解即可．
【解答】解：因为 y = kx +k - 1 = k (x + 1) - 1 ，所以直线l 恒过定点 P(-1, -1) ，
曲线 C : x2 + y2 - 2x - 2 | y |= 0 化简即为 如图所示：

由图可知，若直线 l 与曲线 C 有交点，则直线介于 l1 与 l2 之间即可，
由圆心 (1, 1) 到直线 kx -y +k - 1 = 0 的距离等于半径得 ， 整理得： k2 - 4k + 1 = 0 ，解得 或 （舍) ，

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同理，由圆心 (1, 一1) 到直线kx 一y +k 一 1 = 0 的距离等于半径得
整理得 k2 = 1 ，解得 k = 1 （舍 ) 或k = 一1 ，所以 ．
故选： C ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查方程思想，考查学生的计算能力，属于中档题．
6 ．（2024•江西模拟）若点 (1, 1) 在圆 x2 + y2 一 x 一 a = 0 的外部，则 a 的取值范围为 ( )
A ． (一 1) B ． ， 1) C ． (一∞, 1) D ． (1, +∞)
【答案】 A
【考点】点与圆的位置关系
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解
【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，列式算出 ，然后根据点 (1, 1) 在圆的外部，列式算出 a < 1 ， 再求交集即可得到本题的答案．
【解答】解：方程 x2 + y2 一 x 一 a = 0 表示圆，所以 (一1)2 + 02 一 4(一a) > 0 ，解得 ， 因为点 (1, 1) 在圆 x2 + y2 一 x 一 a = 0 的外部，
所以将点 (1, 1) 代入圆方程的左边，得12 +12 一1 一 a > 0 ，解得 a < 1 ．
综上所述， 一 实数 a 的取值范围为 ．
故选： A ．
【点评】本题主要考查二元二次方程表示圆的条件、点与圆的位置关系及其应用、不等式的解法等知识， 属于基础题．
7．（2024•全国）圆 x2 + (y + 2)2 = 4 与圆 (x + 2)2 + (y 一1)2 = 9 交于 A ，B 两点，则直线 AB 的方程为 ( )
A ． 2x 一 3y + 2 = 0 B ． 3x + 2y + 2 = 0 C ． 3x + 2y 一 2 = 0 D ． 2x 一 3y 一 2 = 0 【答案】 D
【考点】相交弦所在直线的方程
【专题】数学运算；转化思想；转化法；直线与圆 【分析】将两圆的方程相减，即可求解．
【解答】解：圆 x2 + (y + 2)2 = 4 ，即 x2 + y2 + 4y = 0 ① ,

圆 (x + 2)2 + (y 一1)2 = 9 ，即 x2 + 4x + y2 一 2y = 4 ② ,
② 一 ①可得，化简整理可得， 2x 一 3y 一 2 = 0 ，

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故直线 AB 的方程为 2x - 3y - 2 = 0 ．
故选： D ．
【点评】本题主要考查公共弦直线方程的求解，属于基础题．
8 ．（2024•北京）圆 x2 + y2 - 2x + 6y = 0 的圆心到 x -y + 2 = 0 的距离为 ( )

A ． B ．2 C ．3 D ．
【答案】 D
【考点】圆的一般方程
【专题】转化思想；直线与圆；数学运算；计算题；综合法
【分析】求解圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求解即可． 【解答】解：圆 x2 + y2 - 2x + 6y = 0 的圆心 (1, -3) ，
圆 x2 + y2 - 2x + 6y = 0 的圆心到 x -y + 2 = 0 的距离： 故选： D ．
【点评】本题考查圆的方程的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．
9 ．（2024•和平区二模）过直线 y = x 上的点 P 作圆 C : (x + 3)2 + (y - 5)2 = 4 的两条切线 l1 ， l2 ，当直线 l1 ，
l2 关于直线 y = x 对称时，点 P 的坐标为 ( )
A ． (1, 1) B ． C ． D ．
【答案】 A
【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程
【专题】整体思想；直线与圆；计算题；数学运算；综合法
【分析】根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识求得正确答案． 【解答】解：圆 C : (x + 3)2 + (y - 5)2 = 4 的圆心为 C(-3, 5) ，
直线 l1 ， l2 关于直线 y = x 对称时，则直线 CP 与直线 y = x 垂直， 所以直线 CP 的方程为 y - 5 = -(x + 3) ， x + y - 2 = 0 ，
由 解得 所以P(1, 1) ．
故选： A ．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
10 ．（2024•乐山三模）已知圆O : x2 + y2 = 16 ，点 ，点 E 是l : 2x -y +16 = 0 上的动点，过 E

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作圆 O 的切线，切点分别为 A ， B ，直线 AB 与 EO 交于点M ，则 | MF | 的最小值为 ( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】 B
【考点】圆上的点到定点的距离及其最值
【专题】计算题；转化思想；数学运算；综合法；直线与圆
【分析】设动点M (x, y) ，利用三角形相似求出点E 的坐标，然后代入直线l 的方程，得到点M 的轨迹方 程为圆，转化为圆上的点到定点距离的最值进行求解即可．
【解答】解：设M (x, y) ，

解：设M (x, y) ，由 ΔAOE∽ΔMOA ，可得 ， 故 所以点 ， 将点 E 的坐标代入直线 l : 2x -y +16 = 0 ，
化简可得 不同时为 0) ，
故点M 的轨迹是以为圆心， 、 为直径的圆，所以 | MF | 的最小值即为点到圆心的距离减去半径， 故 | MF | 的最大值为
故选： B ．
【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解，直线与圆位置关系的应用，要掌握常见的求解轨迹的方法：直 接法、定义法、代入法、消参法、交轨法等等，属于中档题．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•青岛模拟）已知动点M ，N 分别在圆 C1 : (x -1)2 + (y - 2)2 = 1 和 C2 : (x - 3)2 + (y - 4)2 = 3 上，动 点 P 在x 轴上，则 ( )
A ．圆 C2 的半径为 3

B ．圆 C1 和圆 C2 相离

10
C ． | PM | + | PN | 的最小值为 2·、/10

D ．过点 P 作圆 C1 的切线，则切线长最短为
【答案】 BD
【考点】 由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数 【专题】转化思想；直线与圆；数学运算；综合法
【分析】 A 项，根据圆的方程即可得；B 项，计算圆心距与半径之间的关系； C 项，根据对称性可得；D 项，利用勾股定理可得．
【解答】解： : C2 的半径为 A 错误；

圆 C1 和圆 C2 圆心距为 则圆 C1 和圆 C2 相离；

C 项，作 C1 关于 x 轴的对称点 C1’(1, —2) ，则 所以 错误；

D 项，点 P 到圆 C1 的切线长最小时， C1P 丄 x 轴， : 圆心到x 轴的距离为 2，
: 切线长的最小值为正确．
故选： BD ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
12 ．（2024•金安区校级模拟） 已知圆 C : x2 + y2 — 4x — 5 = 0 ，点 P(a, b) 是圆 C 上的一点，则下列说法正确 的是 ( )
A ．圆 C 关于直线 x — 3y — 2 = 0 对称
B ．已知 A(1, —2) ， B(5, 0) ，则| PA |2 + | PB |2 的最小值为

C ． 2a + b 的最小值为
D ． 的最大值为 【答案】 ABD
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】计算题；数学运算；综合法；转化思想；直线与圆
【分析】利用圆心在直线上，即可判断选项 A ，利用三角代换即可判断选项 B ，C ，利用圆上点与定点连 线的斜率的几何意义，即可判断选项 D ．

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【解答】解：圆 C : x2 + y2 — 4x — 5 = 0 ，可化为 (x — 2)2 + y2 = 9 ，圆心 (2, 0) ，半径 3，
A ．显然直线 x — 3y — 2 = 0 过点 (2, 0) ，其为圆 C 的圆心，因此圆 C 关于直线 x — 3y — 2 = 0 对称，因此选项 A 正确．
B ．点 P(a, b) 是圆 C 上的一点，有 (a — 2)2 + b2 = 9 ，设 a = 3 cos α + 2 ， b = 3sin α . A(1, —2) ， B(5, 0) ，则| PA |2 + | PB |2 = (a —1)2 + (b + 2)2 + (a — 5)2 + (b — 0)2
= 2a2 + 2b2 — 12a + 4b + 30 = 8a + 10 — 12a + 4b + 30 = —4a + 4b + 40 = —4(3cosα + 2) + 4 . (3sin α) + 40
开 因此选项 B 正确．
C.2a +b = 3sin α + 6 cos α + 4开 因此选项 C 错误．
理解成点 P(a, b) 与点 (—3, —3) 连线的斜率， 取最大时，即为过点 (—3, —3) 的直线与圆 (x — 2)2 + y2 = 9 相切时，直线的斜率，
故设过点 (—3, —3) 的直线为 y + 3 = k (x + 3) ，即 kx —y + 3k — 3 = 0 ，
圆心到 kx —y + 3k — 3 = 0 的距离 解得 或 k = 0
即 的最大值为 因此选项D 正确．
故选： ABD ．
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了直线与圆位置关系的应用，与圆有关的最值问题，点到直 线距离公式的理解与应用，圆的方程的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
13 ．（2024•洪山区校级模拟）已知 A(x1 ，y1 ) ，B(x2 ，y2 ) 是圆 O : x2 + y2 = 1 上两点，则下列结论正确的是 ( )
A ．若点 O 到直线 AB 的距离为 ，则
B ．若 ΔAOB 的面积为 则 上
则点 O 到直线AB 的距离为
D ． | x1 + y1 —1| 的最大值为 最小值为
【答案】 AC
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】数学运算；对应思想；定义法；直线与圆 【分析】利用弦长公式判定选项 A 正确；

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先利用三角形的面积公式求出sin 上 再结合角的范围判定选项 B 错误；
利用数量积的计算公式求出 cos 上 ，进而判定三角形的形状判定选项 C 正确；
设 x1 = cosθ , x2 = sinθ , 且 0 .θ.2兀 ，利用辅助角公式和三角函数的性质判定选项D 错误． 【解答】解：对于 A ：易知圆 O : x2 + y2 = 1 的半径 r = 1，
因为点 O 到直线AB 的距离 ，
所以 即选项 A 正确；
对于 B ：因为 ΔAOB 的面积为 ， 所以 上
即 上 解得 sin 上 ， 因为 0 < 上AOB < 兀 ，
所以 上或 上 即选项 B 错误；
对于 C ：因为 所以 ，
即 | O(-)-A | 上 即 cos 上
因为 0 < 上AOB < 兀 ，所以 上 ，
: ΔAOB 是边长为 1 的等边三角形，
所以点 O 到直线AB 的距离为 即选项 C 正确；
对于 D ：由题意设 x1 = cosθ , y1 = sinθ , 且 0 .θ .2兀 ，则 因为 0 .θ .2兀 ，所以 ，

所以
即 即选项D 错误．
故选： AC ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，是中档题．

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14．（2024•江西模拟）设圆 C : (x 一1)2 + (y 一1)2 = 3 ，直线 l : 3x + 4y + 3 = 0 ，P 为l 上的动点，过点 P 作圆 C 的两条切线PA 、 PB ，切点为 A 、 B ， M 、 N 为圆上任意两点，则下列说法中正确的有 ( )
A ． | PA | 的取值范围为[1 ， +∞)
B ．四边形 PACB 面积的最大值为
C ．满足 上APB = 60O 的点 P 有两个
D ． ΔCAB 的面积最大值为
【答案】 AC
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】综合法；数学运算；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合题 【分析】根据切线长公式即可求解 A ， B ， C ，根据三角形的面积公式可求解D ． 【解答】解：圆心 C(1, 1) 到直线 l : 3x + 4y + 3 = 0 的距离 ，
所以 | PC |开d = 2 ，因为圆的半径为 ， 根据切线长公式可得一 ，
当 PC 丄l 时取得等号，所以 | PA | 的取值范围为[1 ， +∞) ，故 A 正确；
因为 PA 丄 AC ，所以四边形 PACB 的面积等于 开

四边形 PACB 的最小值为 故 B 错误；
因为 上APB = 60O ，所以 上APC = 30O ，
在直角三角形 APC 中 所以 ， 设 因为 整理得 25a2 +10a 一127 = 0 ，
则有△ = 100 + 12700 > 0 ，所以满足条件的点P 有两个，故 C 正确；
所以当sin 上ACB = 1 ，即 上ACB = 90O ，面积有最大值为 ，
此时四边形 PACB 为正方形，则 满足要求，故D 错误， 故选： AC ．
【点评】本题考查切线长定理，考查三角形的面积，考查两点间的距离公式，属中档题．
15 ．（2024•日照模拟） 已知 P(x1 ， y1 ) ， Q(x2 ， y2 ) 是曲线 C : 7x2 一 6y + 6y2 + | x2 + 6y 一 3 |= 21 上不同的两

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点， O 为坐标原点，则 ( )
A ． x1(2) + y1(2) 的最小值为 3

C ．若直线 y = kx + 3 与曲线 C 有公共点，则
D ．对任意位于 y 轴左侧且不在 x 轴上的点P ，都存在点 Q ，使得曲线 C 在P ， Q 两点处的切线垂直 【答案】 BCD
【考点】直线与圆的位置关系
【专题】解题思想；能力层次；综合题；解题方法；高考数学专题；数学运算；方程思想
【分析】根据题中曲线表达式去绝对值化简，根据表达式求值判定 A ，根据几何意义判断 B ，根据直线与 椭圆的位置关系判断 C ，根据图形特征以及切线概念判断D ．
【解答】解：因为 7x2 — 6y + 6y2 + | x2 + 6y — 3|= 21 ，
所以①当 x2 + 6y — 3开0 时， 曲线 C 的方程为： 8x2 + 6y2 = 24 ，即 ， 此时 所以 解得 0 .y .8 ，则此时 0 .y .2 ， 所以曲线 C 是上半椭圆；
②当 x2 + 6y — 3 < 0 时， 曲线 C 的方程为： 6x2 + 6y2 —12y —18 = 0 ，

即 x2 + (y —1)2 = 4 ，

将 x2 = 4 — (y —1)2 代入 x2 + 6y — 3< 0 ，解得y > 2 或 y < 0 ，则此时 —1 .y < 0 ，
曲线 C 是以 (0, 1) 为圆心，2 为半径的圆在 y 轴下侧的部分， 作出曲线的图形如下：

选项 时 当 y1 = 0 时取最小值 3，
当 y < 0 时， x1(2) + y1(2) = 4 — (y1 —1)2 + y1(2) = 2y1 + 3 ，当y1 = —1时取最小值 1 ，则 x1(2) + y1(2) 的最小值为 1 ，故 A 错

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误；
选项 B ：因为 表示点 (x1 ， y1 ) 与点 (0, 1) 和点 (0, -1) 的距离之和， 当 y开0 时，点 (0, 1) 和点 (0, -1) 为椭圆 的焦点，
由椭圆定义可知 ，

当 y < 0 时 ， 点 (0, 1) 为 圆 x2 + (y -1)2 = 4 的 圆 心 ， 点 (0, -1) 在 圆 x2 + (y -1)2 = 4 上 ， 所 以
当点 P 在 或 时 最大，且为 2，所以 故 B 正确；
选项 C ：直线 y = kx + 3 过定点 (0, 3) ，当直线经过或 时，直线斜率 ，
联 立 ， 化 简 得 (4 + 3k2 )x2 +18kx +15 = 0 ， 因 直 线 y = kx + 3 与 曲 线 C 有 公 共 点 ，