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2025 年高考数学解密之三角函数
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•河南模拟）若 且 tan α = 2 tan β , 则 sin
A ． B ． C ． D ．
2 ．（2024•双鸭山四模） 已知函数在区间[0 ， 2π] 内恰有 3 条对称轴，则 ① 的取 值范围是 ( )
A ． B ． C ． D ．
3．（2024•红谷滩区校级模拟）已知函数在区间上的最小值恰为 -① , 则所有满足条件的 ① 的积属于区间 ( )
A ． (1 ， 4] B ． [4 ， 7] C ． (7, 13) D ． [13 ， +∞)
4 ．（2024•江西一模） 已知集合 A = {x ∈ N | 2x2 - x -15.0} ， B = {y | y = sin x} ，则 A∩ B = ( )
A ． {x | -1 .x.1} B ． {0 ， 1} C ． {-1 ，0 ， 1} D ． {1}
5 ．（2024•吉安模拟）若 则 tan y =
A ． -2 B ．2 C ． -1 D ．1
6 ．（2024•江西一模） 已知 则 )
A ． B ． C ． D ．
7 ．（2024•辽宁模拟） 已知 α , β 均为锐角，且 则 tan α 的最大值是 ( )
A ．4 B ．2 C ． D ．
8 ．（2024•临沂二模） 已知函数 图象的一个对称中心为 ( , 0) ，则 ( )
A ． f(x) 在区间上单调递增
B ． 是 f(x) 图象的一条对称轴
在 上的值域为
D ．将 f(x) 图象上的所有点向左平移个长度单位后，得到的函数图象关于 y 轴对称
9 ．（2024•南通模拟） 已知 则 sinα sin β =
A ． B ． C ． D ．

1
10 ．（2024•榆林四模） 已知 cosθ = 一 则 )
A ． B ． C ． 一 D ． 一
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•河南模拟） 已知函数 下列说法正确的是 ( )
A ． f(x) 的最小正周期为
为 f 图象的一个对称中心
C ．若 f上有两个实数根，则
D ．若 f(x) 的导函数为 f’(x) ，则函数 y = f(x) + f’(x) 的最大值为 ·、
12 ．（2024•湖南模拟） 已知 一 下列结论正确的是 ( )
A ．若 f(x) 的最小正周期为 兀 ，则 ① = 2
B ．若 f(x) 的图象向左平移3(兀) 个单位长度后得到的图象关于 y 轴对称，则 ①min = 1
C ．若 f(x) 在[0 ， 2兀) 上恰有 4 个极值点，则 ① 的取值范围为
D ．存在 ① , 使得 f(x) 在上单调递减
13 ．（2024•九龙坡区模拟）已知函数 = 3sin 的图象关于直线对称，则下列 说法正确的是 ( )
兀
A ．
B ． 为偶函数
在 上单调递增
D ．若 | f(x1 ) 一 f(x2 ) |= 6 ，则 | x1 一 x2 | 的最小值为 2(兀)
14 ．（2024•安顺二模） 已知函数 则
A ．

在 上单调递减
D ． f(x) 的图象向左平移兀 个单位长度后得到的图象关于 y 轴对称

2
15．（2024•东阳市模拟）已知函数 f(x) = sin 2①x cosφ + cos 2①x sinφ(① > 0, 0 < φ < ) 的部分图象如图所示， 则 ( )

A ．
B ． ① = 2
C ． 为偶函数
D ． f(x) 在区间 的最小值为
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024 • 抚 顺 模 拟 ） 已 知 x1 ， x2 是 函 数 的 两 个 零 点 ， 且 若将函数 f(x) 的图象向左平移个单位后得到的图象关于 y 轴对称，且函数 f(x) 在θ) 内恰有 2 个最值点，则实数θ 的取值范围为 ．
17 ．（2024•黄浦区校级三模）若 ， 则 ．
18．（2024•资阳模拟）已知函数 若存在 x1 ，x2 ∈ [0 ，π ] ，使得 f(x1 )f(x2 ) = —4 ，
则 ① 的最小值为 ．
19 ．（2024•东城区一模）已知角 α , β 的终边关于直线 y = x 对称，且 则 α , β 的一组取 值可以是 α = ， β = ．
20 ．（2024•昆明一模） 已知角θ 的顶点为坐标原点 O ，始边与 x 轴的非负半轴重合，点 A(1 ， a)(a ∈ Z) 在 角 θ 终边上，且 | OA | .3 ，则 tanθ 的值可以是 ．（写一个即可）
四．解答题（共 5 小题）
在 ΔABC 中 ．
（1）求 a ；
（2）求 sin A ；
（3）求 cos(B — 2A) ．
22 ．（2024•青浦区二模）对于函数 ，其中 x ∈ R ．

3
（1）求函数 y = f(x) 的单调增区间；
（2）在锐角三角形 ABC 中，若 求 ΔABC 的面积．
23 ．（2024•抚州模拟） 已知函数 f(x) = Asin(①x + φ)(A > 0 ， ① > 0 ， 函数 f 和它的导函 数 f/(x) 的图象如图所示．
（1）求函数 f(x) 的解析式；
已知 求 的值．

24 ．（2024•东城区模拟） 已知函数 的部分图象如图所示．
( Ⅰ ) 求 ① 的值；
( Ⅱ ) 从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x) 存在，并求函数 f(x) 在上的最大值和最小 值．
条件①：函数是奇函数；
条件②：将函数 f(x) 的图象向右平移个单位长度后得到 y = sin ①x 的图象；
条件 ．

25 ．（2024•南岸区模拟） 已知函数 的最小正周期为 4π .
（1）求 f(x) 在[0 ， π ] 上的单调增区间；
（2）在 ΔABC 中角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c 满足 (2a — c) cos B = b. cos C ，求函数 f （A）的取
值范围．

4
2025 年高考数学解密之三角函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•河南模拟）若 且 tan α = 2 tan β , 则 sin
A ． B ． C ． D ．
【答案】 D
【考点】两角和与差的三角函数
【专题】整体思想；数学运算；三角函数的求值；综合法
【分析】 由已知结合两角差的正弦公式及同角基本关系可求出 然后结合 两角和的正弦公式即可求解．
解：因为 又 tan α = 2 tan β ,
所以 sin α cos β = 2sin βcos α ,

故选： D ．
【点评】本题主要考查了和差角公式及同角基本关系的应用，属于基础题．
2 ．（2024•双鸭山四模） 已知函数在区间[0 ， 2π] 内恰有 3 条对称轴，则 ① 的取 值范围是 ( )
A ． B ． C ． D ． 【答案】 D
【考点】余弦函数的图象
【专题】逻辑推理；三角函数的图象与性质；综合法；数学运算；三角函数的求值；计算题；转化思想 【分析】直接利用余弦型函数的性质求出结果．
【解答】解： 由于函数 y = cos x 的对称轴方程为 x = kπ , (k ∈ Z) ， 令 ，
所以 解得 ．

5
故选： D ．
【点评】本题考查的知识点：余弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
3．（2024•红谷滩区校级模拟）已知函数 = 4 cos在区间上的最小值恰为 一① , 则所有满足条件的 ① 的积属于区间 ( )
A ． (1 ， 4] B ． [4 ， 7] C ． (7, 13) D ． [13 ， +∞) 【答案】 C
【考点】三角函数的最值；余弦函数的图象
【专题】综合法；数学运算；计算题；三角函数的求值；转化思想；逻辑推理；三角函数的图象与性质 【分析】根据余弦型函数的性质判断能否取到最小值进行分类讨论即可．
解：当 时 ①x 一 因为此时 f(x) 的最小值为 一① < 0 ，
所以 一 即 ．
若 兀 一 兀 开兀 ，此时 f(x) 能取到最小值 一4 ，即 一① = 一4 ， 整理得： ① = 4 ，
代入可得 一 兀 ，满足要求；
若 f(x) 取不到最小值 一4 ，
则需满足 一 兀 ，即 ， 所以 ① = 4 或者 ，
所以所有满足条件的 ① 的积属 和 ，
故满足的区间为 (7, 13) ， 故选： C ．
【点评】本题考查的知识要点：余弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
4 ．（2024•江西一模） 已知集合 A = {x ∈ N | 2x2 一 x 一15.0} ， B = {y | y = sin x} ，则 A∩ B = ( )
A ． {x | 一1 .x.1} B ． {0 ， 1} C ． {一1 ，0 ， 1} D ． {1}
【答案】 B
【考点】正弦函数的定义域和值域；交集及其运算；一元二次不等式及其应用 【专题】数学运算；不等式的解法及应用；定义法；集合思想
【分析】求出 A ， B 后利用交集的定义可求 A∩ B ．

6
解
B = {y | y = sin x} = {y | —1 .y .1} ， 所以 A∩ B = {0 ， 1} ．
故选： B ．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
5 ．（2024•吉安模拟）若 则 tan y =
A ． —2 B ．2 C ． —1 D ．1
【答案】 C
【考点】二倍角的三角函数；两角和与差的三角函数；三角函数的恒等变换及化简求值 【专题】逻辑推理；转化思想；综合法；数学运算；三角函数的求值
【分析】 由辅助角公式及两角和的正弦公式可得 进而可得 tany 的值． 解：因为

可得
可得 k ∈ Z ，
所以 ， 所以 tan y = —1 ．
故选： C ．
【点评】本题考查辅助角公式的应用，属于中档题．
6 ．（2024•江西一模） 已知 则 )
A ． B ． C ． D ．
【答案】 A
【考点】两角和与差的三角函数；二倍角的三角函数
【专题】转化法；数学运算；三角函数的求值；转化思想
【分析】根据给定条件，利用辅助角公式，结合诱导公式及二倍角的余弦公式计算即得．

7
解： 由 得 一 即 ，
故选： A ．
【点评】本题考查了三角恒等变形，属于中档题．
7 ．（2024•辽宁模拟） 已知 α , β 均为锐角，且 则 tan α 的最大值是 ( )
A ．4 B ．2 C ． D ．
【答案】 C
【考点】两角和与差的三角函数
【专题】三角函数的求值；综合法；数学运算；转化思想
将 变形，配角 sinα = sin[(α + β) 一 β] ，利用两角差的正弦公式展开化简计算， 可得关于tan β 的一元二次方程，根据△开0 列不等式求解 tan α 的取值范围，即可得最大值．
【 解 答 】 解 ： : ， : cos(α + β) sin β = sin α = sin[(α + β) 一 β] = sin(α + β) cos β 一 cos(α + β) sin β ,
: cos(α + β) sin β = sin(α + β) cos β 一 cos(α + β) sin β , :2 cos(α + β) sin β = sin(α + β) cos β ,

:2 tanα tan2 β 一 tan β+ tanα = 0 ，又因为 β 为锐角，所以该方程有解，
: △ = 1 一 解得 一 为锐角 ． 所以 tan α 的最大值是 ．
故选： C ．
【点评】本题考查三角函数的性质，考查两角和差公式，属于基础题．
8 ．（2024•临沂二模） 已知函数 图象的一个对称中心为 则
A ． f(x) 在区间上单调递增
B ． 是 f(x) 图象的一条对称轴
在 上的值域为
D ．将 f(x) 图象上的所有点向左平移个长度单位后，得到的函数图象关于 y 轴对称 【答案】 D

8
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；函数 y = Asin(①x + φ) 的图象变换 【专题】三角函数的图象与性质；转化思想；数学运算；综合法
【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得出 A 、 B 的真假；结合正弦函数最值可得出 C 的真假； 得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得出 D 的真假．
【解答】解： 由函数的对称中心可得 解得 ，
又 故 即 ；
对 时
由函数 y = sin x 在
故 f(x) 在区间上不为单调递增，故 A 错误；
对 时 ， 由 不是函数 y = sin x 的对称轴，
故 不是 f(x) 图象的对称轴，故 B 错误；
对 时
则 故 C 错误；
对D ：将 f(x) 图象上的所有点向左平移个长度单位后，
该函数关于 y 轴对称，故D 正确．
故选： D ．
【点评】本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题．
9 ．（2024•南通模拟） 已知 则 sinα sin β =
A ． B ． C ． D ．
【答案】 B
【考点】两角和与差的三角函数
【专题】综合法；数学运算；三角函数的求值；整体思想
【分析】 由已知结合同角基本关系及和差角公式进行化简即可求解． 解：因为 ，

9
所以 0 < α 一 ，
因为 所以 ，

所以 ，

则 ．
故选： B ．
【点评】本题主要考查了同角基本关系，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
10 ．（2024•榆林四模） 已知 cosθ = 一 则 )
A ． B ． C ． 一 D ． 一
【答案】 A
【考点】两角和与差的三角函数；运用诱导公式化简求值 【专题】综合法；转化思想；数学运算；三角函数的求值
【分析】根据同角三角函数基本关系式以及诱导公式即可求解．
解：因为 cosθ = 一 可得 一
故选： A ．
【点评】本题主要考查同角三角函数基本关系式以及诱导公式的应用，属于基础题．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•河南模拟） 已知函数 下列说法正确的是 ( )
A ． f(x) 的最小正周期为
B ．点 (6(兀) , 0) 为 f(x) 图象的一个对称中心
C ．若 f上有两个实数根，则
D ．若 f(x) 的导函数为 f/(x) ，则函数 y = f(x) + f/(x) 的最大值为 【答案】 ACD
【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性；正弦函数的奇偶性和对称性

10
【专题】综合法；数学运算；三角函数的图象与性质；整体思想 【分析】 由三角函数的性质逐一判断出所给命题的真假．
解： A 中，因为 所以函数的最小正周期 所以 A 正确；
B 中，因为兀 ， k ∈ Z ，所以 B 不正确；
C 中， 可得 当 有唯一解， 当 且 = a 两解，
所以 ， 1) 时， f(x) = a 有两解，所以 C 正确；
D 中，

所以当兀 ， k ∈ Z 时，
即 函数 所以D 正确．
故选： ACD ．
【点评】本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题．
12 ．（2024•湖南模拟） 已知 下列结论正确的是 ( )
A ．若 f(x) 的最小正周期为 兀 ，则 ① = 2
B ．若 f(x) 的图象向左平移3(兀) 个单位长度后得到的图象关于 y 轴对称，则 ①min = 1
C ．若 f(x) 在[0 ， 2兀) 上恰有 4 个极值点，则 ① 的取值范围为
D ．存在 ① , 使得 f(x) 在上单调递减 【答案】 ABC
【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数 y = Asin(①x + φ) 的图象变换；三角函数的周期性 【专题】综合法；数学运算；整体思想；三角函数的图象与性质
【分析】先结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断． 解

对于 A ， 兀 ，又 ① > 0 ， : ① = 2 ，故 A 正确；

11
对于 B ，将 f(x) 的图象向左平移 3(兀) 个单位长度后得到 ，
若所得图象关于 y 轴对称，则 兀 ，得 ① = 1+ 3k ， k ∈ Z ，所以 ①min = 1 ，故 B 正确；
对于 C ，由 x ∈ , 得
若 f(x) 在[0 ， 2兀) 上恰有 4 个极值点，则 兀
解得 故 C 正确；
对于
结合正弦函数的性质可知， f(x) 在上不可能单调递减，故D 错误．
故选： ABC ．
【点评】本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
13 ．（2024•九龙坡区模拟）已知函数 的图象关于直线对称，则下列 说法正确的是 ( )
兀
A ．
B ． 为偶函数
在 上单调递增
D ．若 | f(x1 ) — f(x2 ) |= 6 ，则 | x1 — x2 | 的最小值为 2(兀)
【答案】 BD
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；正弦函数的单调性
【专题】数学运算；三角函数的图象与性质；函数思想；综合法
【分析】利用正弦函数的对称性质可求得φ , 再对各个选项逐一判断即可． 解 的图象关于直线 对称，

兀 ， A 错误；

是偶函数， B 正确；

12
→ 在 上不单调， C 错误；
的最小正周期 ，
: 若| f(x1 ) -f(x2 ) |= 6 ，则 | x1 - x2 | 的最小值为 正确．
故选： BD ．
【点评】本题考查正弦函数的对称性、单调性及周期性等性质的运用，属于中档题．
14 ．（2024•安顺二模） 已知函数 则
A ．

在 上单调递减
D ． f(x) 的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于 y 轴对称 【答案】 BCD
【考点】函数 y = Asin(①x + φ) 的图象变换；正弦函数的奇偶性和对称性
【专题】综合法；转化思想；数学运算；三角函数的图象与性质 【分析】根据正弦函数的性质逐项判断即可．
【解答】解：因为函数 的图象的一条对称轴方程为 ， 所以 ，
因为 所以 即
对于 错误；
对于 B ，因为 f(x) 图象的一个对称中心为 ( , 0) ，所以 B 正确：
对于 时 二
所以在 上单调递减， C 正确；
对于 D ， f(x) 的图象向左平移个单位长度后，
所得图象对应的函数解析式为
显然 是偶函数，其图像关于 y 轴对称， D 正确．
故选： BCD ．

13
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．．
15．（2024•东阳市模拟）已知函数 的部分图象如图所示， 则 ( )

兀
A ．
B ． ① = 2
C ． 为偶函数
D ． f(x) 在区间 的最小值为 一 【答案】 ACD
【考点】 由 y = Asin(①x + φ) 的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用 【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算
【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出 可得 A 正确， B 错误；由诱导公式可 得 C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确．
【解答】解： 由题意得 f(x) = sin(2①x + φ) ， 由图象可得 → ,
又 所以兀 ，
由五点法可得 → ① = 1 ， 所以
A ：由以上解析可得兀 ，故 A 正确；
B ：由以上解析可得 ① = 1 ，故 B 错误；
故 C 正确；
→ 时
所以最小值为 一 故 D 正确；

14
故选： ACD ．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024 • 抚 顺 模 拟 ） 已 知 x1 ， x2 是 函 数 的 两 个 零 点 ， 且
若将函数 f(x) 的图象向左平移 3(兀) 个单位后得到的图象关于 y 轴对称，且函数 f(x) 在
内恰有 2 个最值点，则实数θ 的取值范围为
.
【考点】函数 y = Asin(①x + φ) 的图象变换
【专题】数学运算；综合法；三角函数的图象与性质；整体思想
【分析】 由已知结合正弦函数的性质先求出 f(x) 的解析式，然后结合正弦函数的性质即可求解θ 的范围． 【解答】解： 由题意，函数 的两个零点，且 ，
则 ①x1 + φ = 2k兀
①x2 + φ = 2n兀 n ∈ Z ， 所以 兀 ， 即 ，
所以 ① = 2 ，
所以

又因为将函数 f(x) 的图象向左平移3(兀) 个单位后得到的图象关于 y 轴对称，
所以 为偶函数，
则 兀 又因为 ，
所以兀 ， ，
当 时， 函数有且只有两个最值点， 所以 ，
解得 ．

15
故答案为 ．
【点评】本题主要考查了正弦函数的性质在函数解析式求解中的应用，还考查了正弦函数最值取得条件的 应用，属于中档题．
17 ．（2024•黄浦区校级三模）若 则 一
一 ．
【考点】两角和与差的三角函数
【专题】转化思想；数学运算；计算题；三角函数的求值；综合法；逻辑推理
【分析】利用同角三角函数关系得 ，再结合诱导公式即可得到答案．
解 ， ， 一 一sinθ = 一
故答案为： 一 ．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
18．（2024•资阳模拟）已知函数 = sin ①x 一 若存在 x1 ，x2 ∈ [0 ，π ] ，使得 f(x1 )f(x2 ) = 一4 ，
则 ① 的最小值为 ．
【答案】 ．
【考点】两角和与差的三角函数
【专题】转化思想；数学运算；三角函数的求值；综合法
【分析】根据两角差的正弦公式得出 = 2sin 然后根据题意即可得出开 从而可得 出 ① 的最小值．
= sin ①x 一 因为存在 x1 ， x2 ∈ [0 ， π ] ，使得 f(x1 )f(x2 ) = 一4 ，
所以开 解得 ①开 即 ① 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了两角差的正弦公式，是中档题．
19 ．（2024•东城区一模）已知角 α , β 的终边关于直线 y = x 对称，且 则 α , β 的一组取
值可以是 β = ．

16
【答案】 3(兀) ； 6(兀) ．
【考点】两角和与差的三角函数
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解
【分析】角 α , β 的终边关于直线y = x 对称，可得 α , β 的关系，再由 由可得 α , β 的 关系，进而求出 α , β 的一组值．
【解答】解：因为角 α , β 的终边关于直线 y = x 对称，可得兀 ， k ∈ Z ， 又因为 可得 兀 或 兀 ， k1 ∈ Z ，
所以 或
取 兀 ， ．
故答案为： 3(兀) ； 6(兀) ．
【点评】本题考查三角函数的求值，属于基础题．
20 ．（2024•昆明一模） 已知角θ 的顶点为坐标原点 O ，始边与 x 轴的非负半轴重合，点 A(1 ， a)(a ∈ Z) 在
角 θ 终边上，且 | OA | .3 ，则 tanθ 的值可以是 2（答案不唯一） ．（写一个即可）
【答案】2（答案不唯一）．
【考点】任意角的三角函数的定义
【专题】转化思想；数学运算；三角函数的求值；转化法
【分析】根据已知条件，结合两点之间的距离公式，以及三角函数的定义，即可求解．
【解答】解：点 A(1 ， a)(a ∈ Z) 在角 θ 终边上，且 | OA | .3 ， 则 1 + a2 .9 ，解得 ，
a ∈ Z ，
则 a 的值为 —2 ， —1 ，0 ，1 ，2，
故 tanθ 的值可以是 0 或 ±1 或 ±2 ．
故答案为：2（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

17
四．解答题（共 5 小题）
在 ΔABC 中 ．
（1）求 a ；
（2）求 sin A ；
（3）求 cos(B — 2A) ．
【答案】（1）4； （2） （3） ．
【考点】正弦定理；两角和与差的三角函数；余弦定理
【专题】逻辑推理；数学运算；转化思想；函数的性质及应用；综合法 【分析】（1）设 a = 2k ，则 c = 3k ， k > 0 ，利用余弦定理能求出 a ；
（2） 由同角三角函数关系式，先求出sin B ．再由正弦定理求出sin A ．
（3）利用二倍角公式求出 sin 2A ，再由同角三角函数关系式求出 cos 2A ，利用两角差三角函数能求出
cos(B — 2A) ．
解： 在 ΔABC 中 ， 设 a = 2k ，则 c = 3k ， k > 0 ，

解得 k = 2 ，
: a = 2k = 4 ；
由 得 由正弦定理得 即 ，
解得 ．
是锐角，且 ，

: cos(B — 2A) = cos Bcos 2A + sin B sin 2A

18

【点评】本题考查余弦定理、正弦定理、二倍角公式、同角三角函数关系式、两角差三角函数等基础知识， 考查运算求解能力，是中档题．
22 ．（2024•青浦区二模）对于函数 ，其中 x ∈ R ．
（1）求函数 y = f(x) 的单调增区间；
（2）在锐角三角形 ABC 中，若 求 ΔABC 的面积．

（2） ．
【考点】正弦函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的性质及其运算 【专题】转化法；转化思想；数学运算；三角函数的求值
【分析】（1）先对 f(x) 恒等变换，再结合正弦函数的性质，即可求解；
（2）根据已知条件，先求出 ，再结合平面向量的数量积运算，以及三角形的面积公式，即可求解． 解

故函数 f(x) 的单调增区间是
（2）
则 ， 在锐角三角形 ABC 中， 则 ，
故 即 所以 ，
又 A(-)- . A(-)- =| A(-)- | . 所以
故 ΔABC 的面积
【点评】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．
23 ．（2024•抚州模拟） 已知函数 f(x) = Asin(①x + φ)(A > 0 ， ① > 0 ， 函数 f 和它的导函

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数 f’(x) 的图象如图所示．
（1）求函数 f(x) 的解析式；
已知 求 的值．

【考点】 由 y = Asin(①x + φ) 的部分图象确定其解析式
【专题】数学运算；转化思想；三角函数的图象与性质；综合法
【分析】（1） 由图可得， A = 2 ， A① = 4 ， f(x) 的图象过点 可得兀 ， k ∈ Z ，进而可 得结论；
（2） 由（1）及题意得 而 结合二倍角公式 求解即可．
【解答】解：（1）函数 f(x) = Asin(①x + φ) ， f’(x) = A① sin(①x + φ) ， 由图可得， A = 2 ， A① = 4 ，
又 ① > 0 ，所以 ① = 2 ， f(x) = 2sin(2x + φ) ， 因为 f(x) 的图象过点 0) ，
所以 兀 ， k ∈ Z ，即 兀 ， k ∈ Z ， 因为 所以 ，
所以
由 及 得 ，

【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查二倍角公式，属于中档题．
24 ．（2024•东城区模拟） 已知函数 的部分图象如图所示．
( Ⅰ ) 求 ① 的值；

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( Ⅱ ) 从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x) 存在，并求函数 f(x) 在上的最大值和最小 值．
条件①：函数是奇函数；
条件②：将函数 f(x) 的图象向右平移兀 个单位长度后得到 y = sin ①x 的图象；
条件 ．

【答案】( Ⅰ ) ① = 2 ．
( Ⅱ ) 最大值为 1 ，最小值为 ．
【考点】函数 y = Asin(①x + φ) 的图象变换； 由 y = Asin(①x + φ) 的部分图象确定其解析式
【专题】整体思想；数学运算；综合法；三角函数的图象与性质 【分析】( Ⅰ ) 结合函数图象可求周期，结合周期公式即可求解 ① ;
( Ⅱ ) 结合正弦函数的奇偶性及三角函数图象的变换可求φ , 然后结合正弦函数的性质即可求解． 【解答】解：( Ⅰ ) 由题意知 即 T = 兀 ，
因为 ① > 0 ，所以 兀 ，解得 ① = 2 ．
( Ⅱ ) 选择条件①：函数是奇函数，

因为函数 是奇函数，所以兀 ，即 φ = 一 兀 ，
因为 所以兀 ， 于是， 因为 ，
所以 ，
当 即 兀 时， f(x) 取得最大值为 1．

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当 即 兀 时， f(x) 取得最小值为 — ；
选择条件②：将函数 f(x) 的图象向右平移兀 个单位长度后得到 y = sin ①x 的图象， 因为其图象与 y = sin 2x 的图象相同，
所以 兀 , k ∈ Z ， 所以兀 , k ∈ Z ，
因为 所以兀 ， 于是， ， 因为 ，
所以
当 即 兀 时， f(x) 取得最大值为 1．
当 即 兀 时， f(x) 取得最小值为 — ；
选择条件 ，

此时φ 不存在．
【点评】本题主要考查了函数 y = Asin(①x + φ) 解析式的求解，还考查了三角函数图象变换及正弦函数性质 的应用，属于中档题．
25 ．（2024•南岸区模拟） 已知函数 的最小正周期为 4兀 ．
（1）求 f(x) 在[0 ， 兀 ] 上的单调增区间；
（2）在 ΔABC 中角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c 满足 (2a — c)cos B = b. cosC ，求函数 f （A）的取
值范围．

（2） ．
【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用
【专题】整体思想；三角函数的图象与性质；数学运算；计算题；综合法 【分析】（1）利用三角恒等变换化简 f(x) ，再利用整体代入法即可得解；
（2）利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式求得角B ，从而得到 A 的取值范围，进而利用三角

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函数的性质即可得解．
解

, ,
故 ，

当 k = 0 时 ， 又 x ∈[0 ， π ] ，
所以 f(x) 在[0 ， π ] 上的单调增区间为 ；
（2） 由 (2a — c) cos B = b . cos C ，得 (2sin A — sin C) cos B = sin Bcos C ， :2sin AcosB = sin Bcos C + cosBsin C = sin(B + C) = sin A ，
: sin A ≠ 0 ，
,
: B ∈(0, π ) ，
,

,
,
: f （A）的取值范围为 ．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换，正弦定理以及三角函数的性质，考查了计算能力和转化思想， 属于中档题．

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考点卡片
1 ．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集，记作A ∩B． 符号语言：A∩B ＝{x|x∈A ，且 x∈B}．
A∩B 实际理解为：x 是 A且是 B 中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集． 运算性质：
①A ∩B ＝B∩A ． ②A∩∅ = ∅ . ③A ∩A ＝A ． ④A ∩B⊆A ，A ∩B⊆B ． ⑤A ∩B ＝A⇔A⊆B ． ⑥A∩B = ∅ , 两个集合没