2025年高考数学压轴训练一十八.docx

2025 年高考数学压轴训练 18
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•内江三模）设 F1 ， F2 是椭圆的两个焦点，点 P 在椭圆 C 上，若△ PF1F2 为直角三 角形，则△ PF1F2 的面积为 ( )
A ． B ．1 或 C ． D ．1 或
2．（2024•咸阳模拟）设 F1 ，F2 分别是椭圆 的左、右焦点，过F2 的直线交椭圆于 A ，
B 两点，且 则椭圆 E 的离心率为 ( )
A ． B ． C ． D ．
3．（2024•濮阳一模）记椭圆 与圆 C2 : x2 + y2 = a2 的公共点为M ，N ，其中M 在 N 的左侧， A 是圆 C2 上异于M ， N 的点，连接 AM 交 C1 于 B ，若 2 tan 上ANM = 5 tan 上BNM ，则 C1 的离心 率为 ( )
A ． B ． C ． D ．
4 ．（2024•重庆模拟）数学美的表现形式多种多样，我们称离心率 e = ① （其中 的椭圆为黄金椭 圆，现有一个黄金椭圆方程为 若以原点 O 为圆心，短轴长为直径作 O ， P 为黄 金椭圆上除顶点外任意一点，过P 作 O 的两条切线，切点分别为 A ，B ，直线 AB 与 x ，y 轴分别交于M ，
N 两点，则 )
A ． B ． ① C ． —① D ．
5．（2024•新县校级模拟）已知复数 z1 ，z2 满足 其中 p > 0 ， i 是虚数单位），则 | z1 — z2 | 的最小值为 ( )
A ．2 B ．6 C ． D ．
6．（2024•赤峰模拟）设点 P 是椭圆上一点 分别为椭圆 C 的左、右焦点，且△ PF1F2 的重心为 G ，若 | PF1 |= 2 | PF2 | ，则△ PF1G 的面积为 ( )
A ． B ． C ． D ．
7 ．（2024•河北一模） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ， P 为 C 上一点，满

1
足 PF1 丄 PF2 ，以 C 的短轴为直径作圆 O ，截直线 PF1 的弦长为 ·、b ，则 C 的离心率为 ( )
A ． B ． C ． D ．
8 ．（2024•江西模拟）已知椭圆 的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三 个顶点，则椭圆的离心率为 ( )
A ． B ． C ． D ．
9 ．（2024•贵州模拟）已知椭圆 的左顶点为 A ，上顶点为 B ，右焦点为 F ， BF 的
----→ ---→
中点为M ， AM . BF = 0 ，则椭圆 C 的离心率为 ( )
A ． B ． C ． D ．
10 ．（2024•来宾一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，过F2 作一条直线与 C 交于 A ，B 两点（不在坐标轴上），坐标原点为 O ，若 | OA |2 = a2 —b2 ， ，则 C 的离心率为 ( )
A ． B ． C ． D ．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•永寿县校级模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，过F2 的直线 l 与 C 交于 P ， Q 两点，若 | F2 Q |:| PQ |:| F1Q |= 1 : 4 : 5 ，则 ( )
A ． PF1 丄 PF2 B ． △ QF1F2 的面积等于
C ．直线l 的斜率为 D ． C 的离心率等于
12 ．（2024•皇姑区校级模拟）一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆 ”，则下列命题正确 的有 ( )
A ．椭圆是“黄金椭圆 ”
B ．若椭圆是黄金椭圆，则
---→ ---
C ．设“黄金椭圆 ” C 的左右焦点分别为 F1 ， F2 ，存在椭圆 C 上一点P ，使得 PF1 丄 PF2
D ．设过原点的直线与焦点在 x 轴上的“黄金椭圆 ”分别交于 A 、 B 两点，“黄金椭圆 ”上动点P （异 于 A ， B) ，设直线PA ， PB 的斜率分别为 k1 ， k2 ，则
13．（2024•袁州区校级三模）设椭圆的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，坐标原点为 O ．若椭圆 C

2
上存在一点P ，使得 则下列说法正确的有 ( )
A ． cos上 B ．
C ．△ F1PF2 的面积为 2 D ．△ F1PF2 的内切圆半径为

14 ．（2024•广东模拟）已知椭圆 C : 2x2 + 3y2 = 24 的长轴端点分别为 A1 ，A2 、两个焦点分别为 F1 、F2 ，P 是 C 上任意一点，则 ( )
A ． C 的离心率为 B ． △ PF1F2 的周长为
C ．△ PA1A2 面积的最大值为 D ．
15 ．（2024•新会区校级模拟） 已知椭圆 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ，点 在椭圆 内部，点 Q 在椭圆上，椭圆 C 的离心率为 e ，则以下说法正确的是 ( )
A ．离心率 e 的取值范围为
时 的最大值为
C ．存在点 Q ，使得
D ． 的最小值为 1
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•广州模拟） 已知椭圆 的左右焦点为 F1 ， F2 ．直线y = kx 与椭圆 C 相交 于 P ， Q 两点，若 | PF1 |= 2 | QF1 | ，且 上 则椭圆 C 的离心率为 ．
17 ．（2024•徐汇区校级模拟）已知F1 ， F2 分别为椭圆 的左、右焦点，过 F1 的直线 与 C 交于 P ， Q 两点，若 | PF1 |= 2 | PF2 |= 3 | F1Q | ，则 C 的离心率是 ．
18．（2024•宝山区三模）已知椭圆 的右焦点为 F1 ，左焦点为 F2 ，若椭圆上存在一点P ， 满足线段 PF1 相切于椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段 PF1 的中点，则该椭圆的离心率为 ．
19 ．（2024•朝阳区校级模拟） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，点 P 是 y 轴正半 轴上一点， PF1 交椭圆于点 A ，若 AF2 丄 PF1 ，且 ΔAPF2 的内切圆半径为 1 ，则该椭圆的离心率是 ．
20 ．（2024•河北模拟）数学家 GeminadDandelin 用一平面截圆锥后，在圆锥内放两个大小不同的小球，使 得它们分别与圆锥侧面、截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称为丹德林双球模 型）．若圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成 60o 角的平面截圆锥所得椭圆的离心率为 ．

3

四．解答题（共 5 小题）
21 ．（2024•梅州模拟） 已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）求椭圆 C 上的点到直线 l : y = 2x 的距离的最大值．
22 ．（2024•金安区校级模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，离心率为 且经过点 ．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）点P 是椭圆 C 上不在 x 轴上的任意一点，射线PF1 ， PF2 分别与椭圆 C 交于点 A ， B ．设△ PF1F2 ， △ PF1B ， ΔPAB 的面积分别为 S1 ， S2 ， S3 ．求证： 为定值．
23 ．（2024•榆林四模） 已知椭圆 的左，右焦点分别为F1 (-c, 0) ， F2 (c, 0) ，过F2 的 直线与椭圆 C 交于M ， N 两点，且 ΔMNF1 的周长为 8 ，△ MF1F2 的最大面积为 ．
( Ⅰ ) 求椭圆 C 的方程；
( Ⅱ ) 设b > 1 ，是否存在 x 轴上的定点P ，使得 ΔPMN的内心在 x 轴上，若存在，求出点P 的坐标，若不 存在，请说明理由．
24 ．（2024•松江区二模）如图，椭圆的上、下焦点分别为 F1 、F2 ，过上焦点 F1 与y 轴垂直的 直线交椭圆于M 、 N 两点，动点P 、 Q 分别在直线MN与椭圆 Γ 上．
（1）求线段MN 的长；
（2）若线段 PQ 的中点在 x 轴上，求△ F2PQ 的面积；

（3）是否存在以 F2 Q 、 F2 P 为邻边的矩形 F2 QEP ，使得点 E 在椭圆 Γ 上？若存在，求出所有满足条件的 点 Q 的纵坐标；若不存在，请说明理由．

4

25 ．（2024•邵阳三模） 已知椭圆 的离心率为 ，右顶点 Q 与 C 的上，下顶点所围 成的三角形面积为 ．
（1）求 C 的方程．
（2）不过点 Q 的动直线 l 与 C 交于 A ， B 两点，直线 QA 与 QB 的斜率之积恒为 ．
(i) 证明：直线 l 过定点；
(ii) 求△ QAB 面积的最大值．

5
2025 年高考数学压轴训练 18
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•内江三模）设 F1 ， F2 是椭圆的两个焦点，点 P 在椭圆 C 上，若△ PF1F2 为直角三 角形，则△ PF1F2 的面积为 ( )
A ． B ．1 或 C ． D ．1 或 【答案】 D
【考点】椭圆的几何特征
【专题】分类讨论；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解
【分析】分 上PF1F2 或 上PF2 F1 为直角， 上F1PF2 为直角时，求出直角边，进而求出三角形的面积．
【解答】解： 由椭圆方程可得 a = 3 ， b = 1 ，所以 ， 当 上PF1F2 或 上PF2 F1 为直角时，则 | PF1 | 或 ，
此时 S△ 当 上F1PF2 为直角时，则| PF1 |2 + | PF2 |2 =| F1F2 |2 ， 即 (| PF1 | + | PF2 |)2 — 2 | PF1 | . | PF2 |=| F1F2 |2 ，
由椭圆的定义可得 ， 可得 | PF1 | . | PF2 |= 2 ，
所以 S△ 所以△PF1F2 的面积为 故选： D ．
【点评】本题考查椭圆的性质的应用及分类讨论的思想，属于中档题．
2．（2024•咸阳模拟）设 F1 ，F2 分别是椭圆 的左、右焦点，过F2 的直线交椭圆于 A ，
B 两点，且 则椭圆 E 的离心率为 ( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】 C

6
【考点】椭圆的性质
【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】设 | AB |= 3m ，| AF2 |= 2 | F2 B | ，可得 | AF2 |= 2m ，| F2 B |= m ，| AF1 |= 2a — 2m ，| BF1 |= 2a — m ．由

---→ ---
AF1 . AF2 = 0 ，可得 AB 丄 AF1 ，利用勾股定理即可得出．
【解答】解：设 | AB |= 3m ， | AF2 |= 2 | F2 B |

:| AF2 |= 2m ， | F2 B |= m ，

:| AF1 |= 2a — 2m ， | BF1 |= 2a — m ． 丄
:4c2 = (2m)2 + (2a — 2m)2 ，
(2a — m)2 = (3m)2 + (2a — 2m)2 ，即 ， ,
: 9c2 = 5a2 ，
.
故选： C ．

【点评】本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中 档题．
3．（2024•濮阳一模）记椭圆 与圆 C2 : x2 + y2 = a2 的公共点为M ，N ，其中M 在 N 的左侧， A 是圆 C2 上异于M ， N 的点，连接 AM 交 C1 于 B ，若 2 tan 上ANM = 5 tan 上BNM ，则 C1 的离心 率为 ( )
A ． B ． C ． D ．

7
【答案】 D
【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的几何特征
【专题】转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法；数学运算；方程思想
【分析】设直线 AN 与直线BN 的斜率分别为 k1 ，k2 ，则根据题意易得 ，且直线BM 的斜率为 ，
再根据椭圆的几何性质易得 从而建立方程，即可求解．
【解答】解：设直线 AN 与直线 BN 的斜率分别为 k1 ， k2 ，
由 2 tan 上ANM = 5 tan 上BNM ，可得 2× (—k1 ) = 5 × (—k2 ) ， ,
又根据题意可知 AM 丄 AN ，
: 直线 AM 的斜率为 ，即直线BM 的斜率为 ， 设 B(m, n) ，则 又易知M (—a, 0) ， N(a, 0) ，

: — . ， ,
: C1 的离心率为 故选： D ．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，化归转化思想，方程思想，属中档题．
4 ．（2024•重庆模拟）数学美的表现形式多种多样，我们称离心率 e = ① （其中 的椭圆为黄金椭 圆，现有一个黄金椭圆方程为 ，若以原点 O 为圆心，短轴长为直径作 ΘO ， P 为黄 金椭圆上除顶点外任意一点，过P 作 ΘO 的两条切线，切点分别为 A ，B ，直线 AB 与 x ，y 轴分别交于M ，
N 两点，则 )
A ． B ． ① C ． —① D ．
【答案】 A
【考点】椭圆的几何特征

8
【专题】整体思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算；综合法
【分析】根据题意 O 、 A 、 P 、 B 四点在以 OP 为直径的圆上，可设点 P 坐标为P(x0 ， y0 ) ，从而得出四 点所在圆的方程为 x(x 一 x0 ) + y(y 一 y0 ) = 0 ，利用两圆方程之差求得切点 A 、B 所在直线方程，进而求得M 、 N 两点坐标即可解决本题．
【解答】解：依题意有 OAPB 四点共圆， 设点 P 坐标为 P(x0 ， y0 ) ，
则该圆的方程为： x(x 一 x0 ) + y(y 一 y0 ) = 0 ，
将两圆方程： x2 + y2 = b2 与 x2 一 x0x + y2 一 y0y = 0 相减，
得切点所在直线方程为 lAB : xx0 + yy0 = b2 ， 解得
因为 ，

故选： A ．
【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了圆与圆的位置关系，属中档题．
5．（2024•新县校级模拟）已知复数 z1 ，z2 满足 | z1 +1 一 i | + | z1 一 其中 p > 0 ， i 是虚数单位），则 | z1 一 z2 | 的最小值为 ( )
A ．2 B ．6 C ． 一 2 D ． 【答案】 B
【考点】椭圆的几何特征；复数的模
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；整体思想；数学运算；数系的扩充和复数；综合法
【分析】设 z1 = x + yi ，（其中 x ∈ R ， y ∈ R ， i 是虚数单位）， z1 在复平面的对应点 Z1 (x, y) ，则由题意可 知 Z1 的轨迹表示为焦点分别在 (一1, 1) ，(1, 一1) 的椭圆，z2 在复平面的对应点 则点
Z2 的轨迹表示为射线上的点，数形结合即可求出 | z1 一 z2 | 的最小值．
【解答】解：设 z1 = x + yi ，（其中 x ∈ R ， y ∈ R ， i 是虚数单位）， z1 在复平面的对应点 Z1 (x, y) ，

9
则| z1 + 1 — i | + | z1 —1 + i |=| (x + 1) + (y —1)i | + | (x —1) + (y + 1)i |= · + J(x —1)2 + (y + 1)2 = 2·、 ， 即点 Z1 的轨迹表示为焦点分别在 (—1, 1) ， (1, —1) 的椭圆，如图所示：

该椭圆的长轴为直线 y = —x ，短轴为直线y = x ，长半轴长为 半焦距 短半轴长为 ，
因为 p > 0 ，
所以 p + 开
设 z2 在复平面的对应点 即点 Z2 的轨迹表示为射线y = x 上的点， 若使得 | z1 — z2 | 最小，则需| Z1Z2 | 取得最小值，
即点 Z1 为第一象限内的短轴端点，点 Z2 为射线 的端点时， | Z1Z2 | 最小，
所以 (| z1 — z2 |)min =| Z1Z2 |min =| OZ2 | —b = ·、 — 2 = 8 — 2 = 6 ．
故选： B ．
【点评】本题主要考查了复数的几何意义，考查了椭圆的定义和性质，属于中档题．
6．（2024•赤峰模拟）设点 P 是椭圆上一点，F1 、F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点，且△ PF1F2 的重心为 G ，若 | PF1 |= 2 | PF2 | ，则△ PF1G 的面积为 ( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】 B
【考点】椭圆的几何特征
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；方程思想；数学运算；综合法
【分析】由椭圆的定义和椭圆的焦半径公式求得 P 的坐标，再由三角形的重心性质和面积公式，可得所求

10
值．
解：椭圆 的 a = 6 ， b = 5 ， ， ， 由椭圆的定义可得 | PF1 | + | PF2 |= 2a = 12 ，
由 | PF1 |= 2 | PF2 | ，可得 | PF2 |= 4 ，
设 P(m, n) ，即有
解得 ， 由 G 为△PF1F2 的重心，可得△ PF1G 的面积为△ ,
则△ PF1G 的面积为 ．
故选： B ．
【点评】本题考查椭圆的定义和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
7 ．（2024•河北一模） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ， P 为 C 上一点，满
足 PF1 丄 PF2 ，以 C 的短轴为直径作圆 O ，截直线 PF1 的弦长为 ，则 C 的离心率为 ( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】 A
【考点】椭圆的几何特征
【专题】综合法；数学运算；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】根据圆的弦长公式易得圆心 O 到 PF1 的距离 ，从而可得 | PF2 |= 2d = b ，进而可得 | PF1 |= 2a —b ， 然后在 Rt △ PF1F2 中， 由勾股定理建立方程，即可求解．
【解答】解： 以 C 的短轴为直径作圆 O ，截直线 PF1 的弦长为 ，
: 圆心 O 到 PF1 的距离

又 PF1 丄 PF2 ，且 O 为 F1F2 的中点， :| PF2 |= 2d = b ， :| PF1 |= 2a — b ，又 | F1F2 |= 2c ，
在 Rt △ PF1F2 中， 由勾股定理可得： | PF1 |2 + | PF2 |2 =| F1F2 |2 ，

11
:(2a —b)2 + b2 = 4c2 = 4(a2 —b2 ) ， 解得 ，
:椭圆 C 的离心率 故选： A ．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求解，椭圆与圆的几何性质的应用，方程思想，属中档题．
8 ．（2024•江西模拟）已知椭圆 的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三 个顶点，则椭圆的离心率为 ( )
A ． B ． C ． D ． 【答案】 B
【考点】椭圆的几何特征
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算；转化思想；综合法
【分析】设椭圆E 的上顶点、右顶点、左焦点分别为 A ，B ，F ，依题意可得 | AB |=| BF | ，结合b2 + c2 = a2 即可求得椭圆的离心率．
【解答】解：设椭圆 E 的上顶点、右顶点、左焦点分别为 A ， B ， F ， 则 A(0, b) ， B(a, 0) ， F (—c, 0) ，且b2 + c2 = a2 ，
所以 依题意 ΔABF 为等腰三角形， | AB |=| BF | ，
所以 化简得 b2 = c2 + 2ac ，又b2 + c2 = a2 ， 所以 2c2 + 2ac — a2 = 0 ，即 2e2 + 2e —1 = 0 ，
解得 又 0 < e < 1 ，所以 ，
即椭圆的离心率为 ．
故选： B ．

12

【点评】本题考查椭圆的离心率的求解，属中档题．
9 ．（2024•贵州模拟）已知椭圆 的左顶点为 A ，上顶点为 B ，右焦点为 F ， BF 的
----→ ---→
中点为M ， AM . BF = 0 ，则椭圆 C 的离心率为 ( )
A ． B ． C ． D ． 【答案】 C
【考点】椭圆的几何特征
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；转化法；数学运算；转化思想
【分析】根据已知条件，依次求出点 A ，M ， B ，F 的坐标，再结合向量垂直的性质，以及椭圆的性质， 即可求解 ..
解：椭圆 的左顶点为 A ，上顶点为 B ，右焦点为F ， 则 A(—a, 0) ， B(0, b) ， F (c, 0) ，
BF 的中点为M ， 则 ，

----→ ---→
AM . BF = 0 ，
则 即 c2 + 2ac —b2 = 0 ， 由椭圆的性质可知， a2 = b2 + c2 ，
则 2 = 3c2 ，即 即 ，
故选： C ．

13
【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查转化能力，属于中档题．
10 ．（2024•来宾一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，过F2 作一条直线与 C 交于 A ，B 两点（不在坐标轴上），坐标原点为 O ，若 | OA |2 = a2 —b2 ， ，则 C 的离心率为 ( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】 C
【考点】椭圆的几何特征
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算
【分析】设 | AF2 |= m ，椭圆的半焦距为 c ，利用椭圆的定义，表示出| AF1 | 和 | BF2 | ，再根据| OA |2 = a2 —b2 ， 推出 上F1AF2 = 90O ，然后利用两次勾股定理，即可得解．
【解答】解： 由椭圆的定义知， | AF1 | + | AF2 |= 2a ， | BF1 | + | BF2 |= 2a ， 设 | AF2 |= m ，则 | AF1 |= 2a — m ，
因为 所以 ，
设椭圆的半焦距为 c ，则 | OA |2 = a2 —b2 = c2 ，即 所以△ AF1F2 是直角三角形，且 上F1AF2 = 90O ，
在 Rt △ ABF1 中， | AF1 |2 + | AB |2 =| BF1 |2 ，
所以 整理得 2a2 — 5am + 3m2 = 0 ， 解得 或 m = a ，
当 m = a 时， | AF1 |=| AF2 | ，此时点 A 在 y 轴上，与题意不符，舍去， 所以 ，
在 Rt △ AF1F2 中， | AF1 |2 + | AF2 |2 =| F1F2 |2 ，
所以 2 + m2 = 化简得 5a2 = 9c2 ，
所以离心率 ．

14

故选： C ．
【点评】本题考查椭圆的定义与几何性质，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•永寿县校级模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，过F2 的直线 l 与 C 交于 P ， Q 两点，若 | F2 Q |:| PQ |:| F1Q |= 1 : 4 : 5 ，则 ( )
A ． PF1 丄 PF2 B ． △ QF1F2 的面积等于
C ．直线l 的斜率为 D ． C 的离心率等于 【答案】 ABD
【考点】椭圆的几何特征
【专题】计算题；数学运算；综合法；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】 由线段比例关系以及椭圆定义可知 | PF1 |=| PF2 | ，且满足| PF1 |2 + | PQ |2 =| F1Q |2 ，可判断 A ；易知 SQF1F2 = S△QF1P - S△PF1F2 ，可判断 B ；在等腰直角△PF1F2 中，可知直线l 的斜率为 -1 ，可判断 C ；计算可 得 C 的离心率，可判断D ．
【解答】解： 由 | F2 Q |:| PQ |:| F1Q |= 1 : 4 : 5 ，不妨设 | F2 Q |= m ， | PQ |= 4m ， | F1Q |= 5m ，

又 | PQ |=| QF2 | + | PF2 |= 4m ，可得 | PF2 |= 3m ，

利用椭圆定义可知 | QF1 | + | QF2 |=| PF1 | + | PF2 |= 6m ，所以可得 | PF1 |= 3m ，

即 | PF1 |=| PF2 |= 3m 所以点P 即为椭圆的上顶点或下顶点，如下图所示：

15

由 | PF1 |= 3m ， | PQ |= 4m ， | F1Q |= 5m ，可知满足| PF1 |2 + | PQ |2 =| F1Q |2 ，所以 PF1 丄 PF2 ，故 A 正确； 所以△ PF1F2 为等腰直角三角形，且 | PF1 |= 3m = a ，
因此△ QF1F2 的面积为 △△ 故 B 正确；
此时可得直线 l 的斜率kPQ = kPF2 = —1 ，故 C 错误； 在等腰直角△PF1F2 中，易知 a2 + a2 = (2c)2 ，
即可得离心率 故D 正确．
故选： ABD ．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档 题．
12 ．（2024•皇姑区校级模拟）一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆 ”，则下列命题正确 的有 ( )
A ．椭圆是“黄金椭圆 ”
B ．若椭圆是黄金椭圆，则
---→ ---
C ．设“黄金椭圆 ” C 的左右焦点分别为 F1 ， F2 ，存在椭圆 C 上一点P ，使得 PF1 丄 PF2
D ．设过原点的直线与焦点在 x 轴上的“黄金椭圆 ”分别交于 A 、 B 两点，“黄金椭圆 ”上动点P （异 于 A ， B) ，设直线PA ， PB 的斜率分别为 k1 ， k2 ，则
【答案】 AD
【考点】椭圆的几何特征
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想；综合法；数学运算
【分析】A 中，由椭圆 C 的方程，可得 a ，b ，c 的值进而求出椭圆 C 的离心率的大小，判断出 A 的真假；

16
B 中，分椭圆的焦点在 x ，y 轴上两种情况讨论，判断出B 的真假； C 中，由黄金椭圆可得b > c ，可得不
---→ ---
存在点 P 使得 PF1 丄 PF2 ，判断出 C 的真假； D 中，求出设 A ， B ， P 的坐标，代入椭圆的方程作差可得 直线 PA ， PB 的斜率之积，判断出D 的真假．
【解答】解： A 中， 由椭圆 C 的方程可得

可得该椭圆的离心率 所以该椭圆是“黄金椭圆 ”，所以 A 正确； B 中，椭圆是黄金椭圆，当焦点在 x 轴上时，则离心率 解得 ，
当焦点在 y 轴上时，则 解得 所以B 不正确；
C 中 ， 因 为 黄 金 椭 圆 的 离 心 率 可 得 可 得

即b > c ，所以不存在点 P 使得 丄 所以 C 不正确；
D 中，设 A(x1 ， y1 ) ， B(—x1 ， —y1 ) ， P(x0 ， y0 ) ， 则 可得 ，
所以 而 所以

所以D 正确．

故选： AD ．

【点评】本题考查黄金椭圆的性质的应用及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
13．（2024•袁州区校级三模）设椭圆的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，坐标原点为 O ．若椭圆 C

17
上存在一点P ，使得 则下列说法正确的有 ( )
A ． cos上 B ．
C ．△ F1PF2 的面积为 2 D ．△ F1PF2 的内切圆半径为 【答案】 ACD
【考点】椭圆的几何特征
【专题】计算题；数学运算；综合法；整体思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】根据已知求出 P 点坐标，根据两点间距离公式分别求出 | PF1 | ， | PF2 | ，在△F1PF2 中利用余弦定 理可判定 A ，利用向量数量积公式可判定 B ，三角形面积公式可判定 C ，根据等面积法可判定D ．
【解答】解： 由题意得 ， 则 由对称性可设 P(x0 ， y0 )(x0 > 0 ， y0 > 0) ， | PF1 |= m ， | PF2 |= n ， 上F1PF2 = θ ,
由 解得 ，又 F1 (—2, 0) ， F2 (2, 0) ，

由椭圆的定义得 ，
在△F1PF2 中， 由余弦定理，得| F1F2 |2 = m2 + n2 — 2mn cosθ ,
解得 故 A 正确；
故 B 错误；
△ F1PF2 的面积为 S△ 故 C 正确；
设△F1PF2 的内切圆半径为 r ，由△F1PF2 的面积相等，得 S△
即 解得 故D 正确．
故选： ACD ．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
14 ．（2024•广东模拟）已知椭圆 C : 2x2 + 3y2 = 24 的长轴端点分别为 A1 ，A2 、两个焦点分别为 F1 、F2 ，P

18
是 C 上任意一点，则 ( )
A ． C 的离心率为 B ． △ PF1F2 的周长为
C ．△ PA1A2 面积的最大值为 D ． 【答案】 ABD
【考点】椭圆的几何特征
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；整体思想；数学运算；计算题；综合法
【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长及半焦距，再逐项计算判断得解．
【解答】解：已知椭圆 C : 2x2 + 3y2 = 24 的长轴端点分别为 A1 ， A2 、两个焦点分别为 F1 、 F2 ， 则椭圆的长半轴长 短半轴长 半焦距 ，
对于 A 选项， C 的离心率为 故 A 正确；
对于 B 选项， △ PF1F2 的周长为 故 B 正确；

对于 C 选项 设
则△ PA1A2 面积的最大值为 故 C 错误；
对于 D 选项， F1 (—2, 0) ， F2 (2, 0) ，
, P--F = (—2 — x0, —y0 ), P--F- = (2 — x0, —y0 ) ，
因此 故D 正确．
故选： ABD ．

【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
15 ．（2024•新会区校级模拟） 已知椭圆 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ，点 在椭圆 内部，点 Q 在椭圆上，椭圆 C 的离心率为 e ，则以下说法正确的是 ( )
A ．离心率 e 的取值范围为

19
时 的最大值为
C ．存在点 Q ，使得
D ． 的最小值为 1 【答案】 ABD
【考点】椭圆的几何特征
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算 【分析】 A 项中需先解出b 的范围，然后利用离心率的定