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选修4-2矩阵与变换,第1页,第1页,一、主干知识,1.矩阵定义:同一横(竖)排中按本来顺序排列一行(列)数叫做矩阵行(列),构成矩阵每一个数都叫做矩阵元素,其中,一条从左上角到右下角元素构成对角线称为矩阵主对角线.,尤其:(1)21矩阵,22矩阵(二阶矩阵),23矩阵.,第2页,第2页,(2)零矩阵:_.,(3)行矩阵:_,列矩阵:_,普通用 等表示.,a,11,a,12,第3页,第3页,2.几种常见平面变换：,(1)恒等变换矩阵(即单位矩阵)：_.,(2)伸压变换矩阵：_.,(3)反射变换矩阵：_.,第4页,第4页,(4)旋转变换矩阵：_.,(5)投影变换矩阵：_.,(6)切变变换矩阵：_.,第5页,第5页,3.逆矩阵:设,A,是一个二阶可逆矩阵,假如存在二阶矩阵,B,使,AB,=,BA,=,E,则称二阶矩阵,A,是可逆矩阵,称,B,是二阶矩阵,A,逆,矩阵,记作,A,-1,.,4.,特性值和特性向量：,A,=,假如存在,和非零向量 满足,_,，即 则,叫,A,一个特性值，,叫,A,属于特性值一个特性向量,.,第6页,第6页,二、主要公式和法则,1.二阶行矩阵与平面向量乘法：,_,2.,二阶行矩阵乘法,:,_,第7页,第7页,3,二阶可逆矩阵,A,=(ad,bc0),逆矩阵是,_,.,4,设,A,=是一个二阶矩阵，R,则,A,特性多项式为：,_.,5.矩阵,M,n次变换,对于二阶矩阵M，它特性值分别为,1,和,2,，其相应特性向,量分别为 和 (两者不共线)，则当任一向量,时，_.,第8页,第8页,1(江苏高考)已知矩阵,A,逆矩阵,A,1,=,求矩阵,A,特性值,【解析】,因,A,1,=故,A,=(,A,1,),1,=,因矩阵,A,特性多项式为f()=,=,2,34，,令f()=0，解得矩阵,A,特性值,1,=1，,2,=4.,第9页,第9页,2(福建高考)设曲线2x,2,+2xy+y,2,=1在矩阵,A,=,(a0)相应变换作用下得到曲线为x,2,+y,2,=1.,(1)求实数a，b值.,(2)求,A,2,逆矩阵.,第10页,第10页,【解析】,(1)设曲线2x,2,+2xy+y,2,=1上任一点P(x,y)在矩阵,A,相应,变换作用下像是P(x,y)，,由,得,因点,P(x,y),在曲线,x,2,+y,2,=1,上，,故,(ax),2,+(bx+y),2,=1,，化简得,(a,2,+b,2,)x,2,+2bxy+y,2,=1,，从而比较对,应项系数得：,又由于,a0,，解之得,第11页,第11页,(2),由,(1),得,A,=,故,A,2,=,从而(,A,2,),1,=,第12页,第12页,热点考向 1,二阶矩阵与平面向量、常见平面变换,【典例1】,(南京模拟)已知矩阵,M,相应变换将点A(1，1)变为A(0，2)，,将曲线C：xy1变为曲线C,(1)求实数a，b值.(2)求曲线C方程,第13页,第13页,【解题探究】,由条件点A(1，1)变为A(0，2)，依据矩阵与平面向量乘法,法则得关于实数a，b方程是,_,，从而求解，并得到,坐标变换公式是,_,，再代入曲线C方程，即可,得到曲线C方程.,第14页,第14页,【解析】,(1)由题知，,即,第15页,第15页,(2)设P(x，y)是曲线C上任意一点，P由曲线C上点,P(x,0,，y,0,)经矩阵,M,所表示变换得到，,因此,解得,由于,x,0,y,0,1,，因此,即曲线,C,方程为,第16页,第16页,【互动探究】,依据本题条件，能否判断矩阵,M,属于何种常见,平面变换？从本题结果观测，反百分比函数 图象，通过,何种变换，可转化成双曲线原则形式？,【解析】,因点A(1，1)在直线y=x上，此直线与坐标轴夹角为,45，当它变换到A(0，2)时，即变换到y轴上，故这是旋转,变换，又因OA=OA=2，故还需实行伸压变换，即本题变,换中含有两种常见变换，即由,从本题结果观测，反百分比函数 图象，通过旋转变换(旋,转角为45)，可转化成双曲线原则形式.,第17页,第17页,【办法总结】,曲线变换问题求解思绪,相关曲线变换问题，都是通过变换矩阵左乘列向量，得到原曲线上点坐标与新坐标之间关系式，再用新坐标函数式表示原坐标，而原坐标一定满足原方程，故代入原方程，即可得到新曲线方程.,第18页,第18页,【变式备选】,在平面直角坐标系xOy中，直线,l,:x+y+2=0在矩阵,M,=相应变换作用下得到直线m:xy4=0，求实数,a,b值.,第19页,第19页,【解析】,在直线,l,:x+y+2=0上取两点A(-2,0),B(0,-2),A,B在矩阵,M,相应变换作用下分别相应于点A,B，,由于,因此A坐标为(2,2b)，,因此B坐标为(-2a,-8).,由题意A,B在直线m:xy4=0上，因此,解得a=2,b=3.,第20页,第20页,热点考向 2,矩阵乘法、逆变换与逆矩阵,【典例2】,(徐州模拟)已知a，bR，若矩阵,M,=,所相应变换把直线,l,：2xy=3变换为本身，求,M,1,.,【解题探究】,依据矩阵,M,=可得坐标变换公式是,_,，再代入直线,l,方程，得到关,于,a,b,方程组是,_,，从而得到矩阵,M,表示式；再由,逆矩阵计算公式求,M,1,.,第21页,第21页,【解析】,对于直线,l,上任意一点(x,y)，在矩阵,M,相应变换作用下变换成点(x,y)，,则,由于2xy=3，因此2(x+ay)(bx+3y)=3，,因此,因此,M,=,因此,M,1,=,第22页,第22页,【办法总结】,利用待定系数法求变换矩阵两种办法,(1)利用矩阵与平面向量乘法法则，将变换前后点(向量)坐标一一相应，从而列得方程组而求解.,(2)利用矩阵乘法法则，将两种或两种以上变换复合成一个变换矩阵，再与已知矩阵相比较相应项数值，从而列得方程组求解.,第23页,第23页,【变式训练】,(江苏高考)已知矩阵,A,=,B,=求矩阵,A,-1,B,.,第24页,第24页,【解析】,设矩阵A逆矩阵为,则,即,故a=-1,b=0,c=0,d=,从而,A,逆矩阵为,A,-1,=,因此,A,-1,B,=,第25页,第25页,热点考向 3,特性值与特性向量、矩阵简朴应用,【典例3】,(南通模拟)已知矩阵,M,=,不存在逆矩阵，求实数x值及矩阵,M,特性值,【解题探究】,当矩阵行列式值为零时，矩阵不存在逆矩阵，由此得x,值,_,，再由矩阵,M,特性多项式,_,_,得此矩阵特性值是,_,.,x=5,f()=,0和11,第26页,第26页,【解析】,由题意，矩阵,M,行列式,解得x=5，矩阵,M,=,特性多项式,f()=(5)(6)(5)(6)，,令f()=0并化简得,2,11=0，,解得=0或=11，因此矩阵,M,特性值为0和11,第27页,第27页,【互动探究】,试求矩阵,M,特性向量.,【解析】,当=0时，由,知，特性向量是(1，-1)；当=11时，,由,知，特性向量是(5，6).,第28页,第28页,【办法总结】,矩阵特性值与特性向量关注点,(1)矩阵特性值实质是令特性多项式f()等于零时所构成方程零点，是通过解一元二次方程得之；特性向量是在求得特性值后，得到二元一次方程组(通常是不定方程)，取x=1或y=1或其它整数后得到.,(2)矩阵特性值与特性向量可使矩阵经n次变换后运算更为简便，结果相对准确，同时，蕴含着“有限与无限”数学思想，拟定变换后改变趋势.,第29页,第29页,【变式训练】,给定矩阵,A,=,B,=,(1)求,A,特性值,1,2,及相应特性向量,(2)求,A,4,B,.,第30页,第30页,【解析】,(1)设,A,一个特性值为，由题意知：,(2)(3)=0，,1,=2，,2,=3，当,1,=2时，由,得,A,属于特性值2特性向量,当,2,=3时，由,得,A,属于特性值3特性向量,第31页,第31页,(2)由于,B,=,故,第32页,第32页,第33页,第33页,第34页,第34页,
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