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2025 年高考数学解密之选择题
一．选择题（共 25 小题）
1 ．（2024•泰安模拟）下列命题中，正确的是 ( )
A ．三点确定一个平面
B ．垂直于同一直线的两条直线平行
C ．若直线l 与平面 α 上的无数条直线都垂直，则 l 丄 α
D ．若 a 、 b 、 c 是三条直线， a / /b 且与 c 都相交，则直线 a 、 b 、 c 在同一平面上
2 ．（2024•泸州模拟）函数 f(x) = (e-x - ex ) cos x 的部分图象大致为 ( )

B．
A．

C ． D．
3．（2024•闵行区校级模拟）已知函数 y = f(x) 的定义域为 (0, 2) ，则下列条件中，能推出 1 一定不是 y = f(x) 的极小值点的为 ( )
A ．存在无穷多个 x0 ∈ (0, 2) ，满足 f(x0 ) < f （1）
B ．对任意有理数x0 ∈ (0 ， 1) (1 ， 2) ，均有 f(x0 ) < f （1）
C ．函数 y = f(x) 在区间 (0, 1) 上为严格减函数，在区间 (1, 2) 上为严格增函数
D ．函数 y = f(x) 在区间 (0, 1) 上为严格增函数，在区间 (1, 2) 上为严格减函数
4 ．（2024•惠来县校级模拟）有 6 个大小相同的小球，其中 1 个黑色，2 个蓝色，3 个红色．采用放回方式 从中随机取 2 次球，每次取 1 个球，甲表示事件“第一次取红球 ”，乙表示事件“第二次取蓝球 ”，丙表示 事件“两次取出不同颜色的球 ”，丁表示事件“两次取出相同颜色的球 ”，则 ( )
A ． 甲与乙相互独立 B ． 甲与丙相互独立
C ．乙与丙相互独立 D ．乙与丁相互独立
5 ．（2024•西宁二模） 已知全集U = R ，集合 A = {x | -2 .x.3} ， B = {x | 0 < x < 4} ，则图中阴影部分表示的 集合为 ( )

1
A ． [3 ， 4) B ． (3, 4) C ． (0, 4) D ． (0 ， 3]
6 ．（2024•长沙模拟）在△ ABC 中，D 为边 BC 上一点，上 ，AD = 4 ，AB = 2BD ，且△ ADC 的
面积为 ，则 sin 上ABD = ( )
A ． B ． C ． D ．
7．（2024•天津）一个五面体 ABC 一 DEF ．已知 AD / /BE / /CF ，且两两之间距离为 1．并已知 AD = 1 ，BE = 2 ， CF = 3 ．则该五面体的体积为 ( )

A ． B ． C ． D ． 一
8 ．（2024•吴忠模拟）函数 在区间[一兀 ， 兀 ] 上的图象大致为 ( )

A．

B．

C．

D．
9 ．（2024•攀枝花三模） 已知复数 z = (a +1) 一 ai(a ∈ R) ，则 | z |= 1 是 a = 0 的 ( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

2
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
10 ．（2024•吉林四模） 已知命题 p : x > 1 ， | x |> 1 ，则命题 p 的否定为 ( )
A ． 3x > 1 ， | x | .1 B ． 3x .1 ， | x | .1 C ． x > 1 ， | x |< 1 D ． x .1 ， | x |> 1
11 ．（2024•长沙三模） 已知向量 a- = (1, 1) ， = (0, t) ，若 a- 丄 (a- + 2) ，则| |= ( )
A ． B ．1 C ． D ．2
12．（2024•广西模拟）已知圆的方程为x2 + y2 - 2x = 0 ，M (x, y) 为圆上任意一点，则 的取值范围是 ( )
A ． ， B ． [-1 ， 1] C ． (-∞ , , +∞) D ． [1 ， +∞) (-∞ , -1]
13 ．（2024•天津模拟 ”是“ a < -1 ”的 ( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
14 ．（2024•怀仁市校级模拟）正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，P 为正方形 ABCD 内一点（不含边界），记 O 为 正方形 ABCD 的中心，直线 PA1 ，PB1 ，PC1 ，PD1 与平面 A1B1C1D1 所成角分别为 θ1 ，θ2 ，θ3 ，θ4 ．若 θ1 = θ3 ， θ2 > θ4 ，则点 P 在 ( )
A ．线段 OA 上 B ．线段 OB 上 C ．线段 OC 上 D ．线段 OD 上
15 ．（2024•淄博模拟）记max{x ， y ， z} 表示 x ， y ， z 中最大的数．已知 x ， y 均为正实数，则 ，
, x2 + 4y2 } 的最小值为 ( )
A ． B ．1 C ．2 D ．4
16 ．（2024•回忆版） 已知集合 A = {x | -5 < x3 < 5} ， B = {-3 ， -1 ，0 ，2 ， 3} ，则 A∩ B = ( )
A ． {-1 ， 0} B ． {2 ， 3} C ． {-3 ， -1 ， 0} D ． {-1 ，0 ， 2}
17．（2024•盐湖区一模）已知符号函数则函数 的图象大致为 ( )

B．
A．

3

C．
D．
18 ．（2024•盐湖区一模）复数 z 满足 z(1 一 i) = 4 + 2i ，则 z = ( )
A ． 1 + 3i B ． 3 + 3i C ． D ．
19 ．（2024•辽宁一模） 已知 a ， b ∈ R ．则“ a > 0 且b > 0 ”是“ 的
A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
20 ．（2024•河南模拟） 已知圆锥的底面半径为 2 ，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的 侧面积为 ( )
A ． 6兀 B ． 8兀 C ． 10兀 D ． 12兀
21 ．（2024•安徽二模）已知F1 ，F2 是双曲线 一 的左、右焦点，若双曲线上存在点 P 满
足 ● 一2a2 ，则双曲线离心率的最小值为 ( )

A ． B ． C ． D ．

–– –– –––→ → –––→
22 ．（2024•盐湖区一模） 已知△ ABC 所在平面内一点P ，满足 PA + PB + PC = 0 ，则 AP = ( )
A ． C ． D ．
23 ．（2024•辽阳二模） 由动点 P 向圆M : (x + 2)2 + (y + 3)2 = 1引两条切线PA ， PB ，切点分别为 A ， B ， 若四边形 APBM 为正方形，则动点 P 的轨迹方程为 ( )
A ． (x + 2)2 + (y + 3)2 = 4 B ． (x + 2)2 + (y + 3)2 = 2

C ． (x 一 2)2 + (y 一 3)2 = 4 D ． (x 一 2)2 + (y 一 3)2 = 2

24 ．（2024•南昌模拟）在空间中，“经过点 P(x0 ， y0 ， z0 ) ，法向量为 e = (A ， B ， C) 的平面的方程（即

平面上任意一点的坐标 (x ， y ， z) 满足的关系式）为： A(x 一 x0 ) + B(y 一 y0 ) + C(z 一 z0 ) = 0 ”．用此方法求 得平面 α 和平面 β 的方程，化简后的结果为 x 一y + z = 1 和 x + 2y 一 z = 6 ，则这两平面所成角的余弦值为 ( )
A ． 一 B ． C ． 一 D ．
25 ．（2024•昌平区模拟）若圆 x2 + 8x + y2 一 6y + m = 0 与x 轴， y 轴均有公共点，则实数 m 的取值范围是 (

4
)
A ． (-∞ , 9] B ． (-∞ , 16] C ． [9 ， 25) D ． [16 ， 25)

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2025 年高考数学解密之选择题
参考答案与试题解析
一．选择题（共 25 小题）
1 ．（2024•泰安模拟）下列命题中，正确的是 ( )
A ．三点确定一个平面
B ．垂直于同一直线的两条直线平行
C ．若直线l 与平面 α 上的无数条直线都垂直，则 l 丄 α
D ．若 a 、 b 、 c 是三条直线， a / /b 且与 c 都相交，则直线 a 、 b 、 c 在同一平面上 【答案】 D
【考点】命题的真假判断与应用；直线与平面垂直
【专题】转化思想；数学运算；简易逻辑；综合法；逻辑推理；直观想象；空间位置关系与距离
【分析】利用平面的基本性质及推论可知 A ，B 错误，D 正确，再利用直线与平面垂直的判定定理可知选 项 C 错误．
【解答】解：对于 A ：不共线的三点确定一个平面，故 A 错误，
对于 B ：由墙角模型可知，两条直线可能是相交直线，也可能是异面直线，显然 B 错误，
对于 C ：根据线面垂直的判定定理，若直线 l 与平面 α 内的两条相交直线垂直，则直线 l 与平面 α 垂直， 若直线l 与平面 α 内的无数条平行直线垂直，则直线l 与平面 α 不垂直，故 C 错误，
对于 D ：因为 a / /b ，所以 a 与b 唯一确定一个平面，设为平面 α , 又 c 与 a 和b 都相交，所以 c 也在平面 α 内，即直线 a 、 b 、 c 共面，故选项D 正确，
故选： D ．
【点评】本题主要考查了平面的基本性质及推论，考查了空间中线与线的位置关系，是基础题．
2 ．（2024•泸州模拟）函数 f(x) = (e—x — ex ) cos x 的部分图象大致为 ( )

B．
A．

C．
D．
【答案】 C
【考点】函数的图象与图象的变换

6
【专题】综合法；数学运算；函数的性质及应用；转化思想
【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用函数符号，结合排除法进行判断即可． 【解答】解： :f(x) = (e一x 一 ex )cos x ，
: 定义域为 R ，关于原点对称，
由 f(一x) = (ex 一 e一x )cos(一x) = 一(e一x 一 ex )cos x = 一f(x) ， 所以 f(x) 为奇函数，排除 BD ；
当 时， cos x > 0 ， e一x 一 ex < 0 ，故 f(x) < 0 ，排除 A ．
故选： C ．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及函数符号关系是解决本 题的关键，是基础题．
3．（2024•闵行区校级模拟）已知函数 y = f(x) 的定义域为 (0, 2) ，则下列条件中，能推出 1 一定不是 y = f(x) 的极小值点的为 ( )
A ．存在无穷多个 x0 ∈ (0, 2) ，满足 f(x0 ) < f （1）
B ．对任意有理数x0 ∈ (0 ， 1) (1 ， 2) ，均有 f(x0 ) < f （1）
C ．函数 y = f(x) 在区间 (0, 1) 上为严格减函数，在区间 (1, 2) 上为严格增函数
D ．函数 y = f(x) 在区间 (0, 1) 上为严格增函数，在区间 (1, 2) 上为严格减函数 【答案】 D
【考点】利用导数研究函数的极值
【专题】综合法；综合题；导数的综合应用；逻辑推理；函数思想 【分析】根据极值的定义，结合选项，即可得出结果．
【解答】解： 由极值的定义可知，当函数 y = f(x) 在 x =1处取得极小值时， 在 x =1左侧的函数图象存在点比x =1处的函数值小，
在 x =1右侧的函数图象存在点比x =1处的函数值小，故排除 A ， B ； 对于 C ，函数 y = f(x) 在区间 (0, 1) 上为严格减函数，
在区间 (1, 2) 上为严格增函数，则x =1是函数的极小值点； 对于 D ，函数 y = f(x) 在区间 (0, 1) 上为严格增函数，
在区间 (1, 2) 上为严格减函数，则x =1不是函数的极小值点．
故选： D ．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．

7
4 ．（2024•惠来县校级模拟）有 6 个大小相同的小球，其中 1 个黑色，2 个蓝色，3 个红色．采用放回方式 从中随机取 2 次球，每次取 1 个球，甲表示事件“第一次取红球 ”，乙表示事件“第二次取蓝球 ”，丙表示 事件“两次取出不同颜色的球 ”，丁表示事件“两次取出相同颜色的球 ”，则 ( )
A ． 甲与乙相互独立 B ． 甲与丙相互独立
C ．乙与丙相互独立 D ．乙与丁相互独立 【答案】 A
【考点】随机事件；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式 【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解
【分析】根据给定条件，求出事件甲、乙、丙、丁的概率，再利用相互独立事件的定义判断作答． 【解答】解：依题意，事件甲的概率 事件乙的概率 ，
有放回取球两次的试验的基本事件总数是 6 × 6 = 36 ，
显然事件丙与丁是对立事件，两次取出的球颜色相同含有的基本事件数为12 + 22 + 32 = 14 ， 事件丙的概率 事件丁的概率 ，
对于 A ，事件甲与乙同时发生所含的基本事件数为 6，
其概率 甲与乙相互独立， A 正确；
对于 B ，事件甲与丙同时发生所含的基本事件数为 9，
其概率 甲与丙不独立， B 错误；
对于 C ，事件乙与丙同时发生所含的基本事件数为 8，
其概率 乙与丙不独立， C 错误；
对于 D ，事件乙与丁同时发生所含的基本事件数为 4，
其概率 乙与丁不独立， D 错误．
故选： A ．
【点评】本题考查相互独立事件的判断，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用， 是基础题．
5 ．（2024•西宁二模） 已知全集U = R ，集合 A = {x | —2 .x.3} ， B = {x | 0 < x < 4} ，则图中阴影部分表示的 集合为 ( )

8
A ． [3 ， 4) B ． (3, 4) C ． (0, 4) D ． (0 ， 3]
【答案】 B
【考点】 Venn 图表示交并补混合运算
【专题】数学运算；集合；数形结合法；转化思想
【分析】阴影部分表示的集合为 B∩ δUA ，根据集合关系即可得到结论．
【解答】解： 由Venn 图可知阴影部分对应的集合为 B∩ (δUA) ， 集合 A = {x | —2 .x.3} ， B = {x | 0 < x < 4} ，
: δUA = {x | x > 3 或 x < —2} ， 即 B∩ (δUA) = {x |3 < x < 4} ． 故选： B ．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，属于基础题．
6 ．（2024•长沙模拟）在△ ABC 中，D 为边 BC 上一点，上 ，AD = 4 ，AB = 2BD ，且△ ADC 的
面积为 4 ，则 sin 上ABD = ( )
A ． B ． C ． D ． 【答案】 A
【考点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【专题】数学运算；方程思想；数形结合法；解三角形
【分析】由已知，解得 AC = 4 ，得△ ADC 为等腰三角形，在△ ABD 中，由正弦定理得 sin 上 从
而得 cos 上 再由两角差的正弦公式即可求得结论．
【解答】解： 由题意上DAC 解得 AC = 4 ，
所以△ ADC 为等腰三角形，
则 上 故 上 ，
在△ ABD 中， 由正弦定理得 即 得 sin 上 ，

9
因为 上 所以 上BAD 为锐角， 故 cos 上 ，

故选： A ．
【点评】本题考查三角形中的几何计算，考查正弦定理的应用，属中档题．
7．（2024•天津）一个五面体 ABC — DEF ．已知 AD / /BE / /CF ，且两两之间距离为 1．并已知 AD = 1 ，BE = 2 ， CF = 3 ．则该五面体的体积为 ( )

A ． B ． C ． D ． 【答案】 C
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；立体几何；数学运算
【分析】根据题意，分别延长 AD 、BE 到 G 、H ，使 AG 、BH 、CF 平行且相等，得到三棱柱 ABC — GHF ， 根据四边形 ABED 与四边形 HGDE 全等，利用锥体的体积公式得到 然后求 出 ABC — GHF 的体积，进而算出该五面体的体积，可得答案．
【解答】解：延长 AD 到 G ，使DG = 2 ，延长 BE 到H ，使 EH = 1 ，连接 AF 、 BF ， 可得 AG = BH = CF = 3 ，结合 AG / /BH / /CF ，可知 ABC — GHF 为三棱柱，

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因为四边形 ABED 与四边形 HGDE 全等，所以 VF 一ABED = VF 一 一 GHF ， 由 AG / /BH / /CF ，且它们两两之间的距离为 1 ．可知：
当 ABC 一 GHF 为正三棱柱时，底面边长为 1 ，高为 3 ，此时VABC 一 根据棱柱的性质，若 ABC 一 GHF 为斜三棱柱，体积也是 ，
因此， 一 可得该五面体的体积 V = VABC 一GHF 一 VF 一 故选： C ．
【点评】本题主要考查棱柱的定义与性质、柱体与锥体的体积公式及其应用等知识，考查了计算能力、图 形的理解能力，属于中档题．
8 ．（2024•吴忠模拟）函数 在区间[一兀 ， 兀 ] 上的图象大致为 ( )

A．

B．

C．

D．

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【答案】 A
【考点】函数的图象与图象的变换
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象
【分析】先判断函数的奇偶性和对称性，然后判断当 0 < x < 兀 时， f(x) > 0 ，利用排除法进行判断即可． 解 则 f 是奇函数，排除 C ， D ，
当 0 < x < 兀 时， sin x > 0 ，则 f(x) > 0 ，排除 B ， 故选： A ．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和函数值的符号，利用排除法是解决本 题的关键，是基础题．
9 ．（2024•攀枝花三模） 已知复数 z = (a + 1) — ai(a ∈ R) ，则 | z |= 1 是 a = 0 的 ( )
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 B
【考点】充分条件与必要条件；复数的模
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解
【分析】根据复数的模得到关于 a 的方程，求出 a 的值，再根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义 判断即可．
【解答】解： : z = (a + 1) — ai(a ∈ R) ， | z |= 1 ， :(1 + a)2 + a2 = 1 ，解得 a = 0 或 a = —1 ．
故 | z |= 1 是 a =0 的必要不充分条件．
故选： B ．
【点评】本题考查了复数的模，充分必要条件以及集合的包含关系，是基础题．
10 ．（2024•吉林四模） 已知命题 p : x > 1 ， | x |> 1 ，则命题 p 的否定为 ( )
A ． 3x > 1 ， | x | .1 B ． 3x .1 ， | x | .1 C ． x > 1 ， | x |< 1 D ． x .1 ， | x |> 1 【答案】 A
【考点】求全称量词命题的否定
【专题】简易逻辑；定义法；对应思想；逻辑推理 【分析】根据命题的否定的定义求解．
【解答】解：命题 p : x > 1 ， | x |> 1 ，则命题 p 的否定为： 3x > 1 ， | x | .1 ． 故选： A ．

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【点评】本题考查命题的否定，属于基础题．
11 ．（2024•长沙三模） 已知向量 a- = (1, 1) ， = (0, t) ，若 a- 丄 (a- + 2) ，则| |= ( )
A ． B ．1 C ． D ．2
【答案】 B
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【专题】综合法；平面向量及应用；转化思想；数学运算
【分析】先出求 a- + 2 = (1, 1 + 2t) ，再根据 a- 丄 (a- + 2) 即可得出 t 的值，最后求 的模． 【解答】解： 由题意可知，因为 a- = (1, 1) ， = (0, t) ，
所以 a- + 2 = (1, 1) + 2(0, t) = (1, 1 + 2t) ，
又因为 a- 丄 (a- + 2) ，所以 a- . (a- + 2) = 0 ， 即1× 1 +1× (1 + 2t) = 0 ，解得t = —1 ．
所以 | |= 1．
故选： B ．
【点评】本题考查向量的坐标运算，属于基础题．
12．（2024•广西模拟）已知圆的方程为x2 + y2 — 2x = 0 ，M (x, y) 为圆上任意一点，则 的取值范围是 ( )
A ． ， B ． [—1 ， 1] C ． (—∞ , , +∞) D ． [1 ， +∞) (—∞ , —1] 【答案】 C
【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程
【专题】数学运算；计算题；直线与圆；整体思想；演绎法；逻辑推理
【分析】将原问题转化为斜率的问题，然后考查临界条件和直线与圆的位置关系即可求得取值范围．
【解答】解：圆的方程即： (x —1)2 + y2 = 1 ， 表示圆上的点与点 (1, 2) 连线的斜率， 考查临界情况，即直线与圆相切的情况：
设直线方程为： y — 2 = k(x —1) ，即 kx — y —k + 2 = 0 ， 圆心到直线的距离等于半径，即
解得： 则 的取值范围是 ．
故选： C ．

13
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，数形结合的数学思想等知识，属于中等题．
13 ．（2024•天津模拟是“ a < —1 ”的
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 B
【考点】充分条件与必要条件
【专题】整体思想；不等式；数学运算；综合法
【分析】解出不等式 ，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得．
【解答】解：不等式 等价于 等价于 ， 所以 a(a2 —1) < 0 ，
即 a(a —1)(a +1) < 0 ，解得 0 < a < 1 或 a < —1 ，
故 a < —1 能推出成立，但是成立不一定有 a < —1 ，
所以 ”是“ a < —1 ”的必要不充分条件．
故选： B ．
【点评】本题考查充分必要条件，考查了集合的包含关系，属于基础题．
14 ．（2024•怀仁市校级模拟）正方体 ABCD — A1B1C1D1 中，P 为正方形 ABCD 内一点（不含边界），记 O 为 正方形 ABCD 的中心，直线 PA1 ，PB1 ，PC1 ，PD1 与平面 A1B1C1D1 所成角分别为 θ1 ，θ2 ，θ3 ，θ4 ．若 θ1 = θ3 ， θ2 > θ4 ，则点 P 在 ( )
A ．线段 OA 上 B ．线段 OB 上 C ．线段 OC 上 D ．线段 OD 上 【答案】 B
【考点】几何法求解直线与平面所成的角
【专题】空间角；空间位置关系与距离；转化思想；数学运算；计算题；综合法
【分析】作出示意图形，根据θ1 = θ3 证出点P 在平面 A1B1C1D1 内的射影 Q 在线段B1D1 上，然后根据θ2 > θ4 证出 B1Q < D1Q ，推导出 BP < DP ，进而得到本题答案．
【解答】解：过点 P 作 PQ 丄 平面 A1B1C1D1 于 Q ，连接 QA1 、 QC1 ，

14

则 上PA1Q = θ1 为 PA1 与平面 A1B1C1D1 所成角， 上PC1Q = θ3 为PC1 与平面 A1B1C1D1 所成角，
因为 θ1 = θ3 ，所以 上PA1Q = 上PC1Q ，可得 ，
结合 A1D1 = C1D1 ， D1Q 为公共边，可得△ A1D1Q 三 △ C1D1Q ，点 Q 在 上A1D1C1 的平分线上， 即 P 在平面 A1B1C1D1 内的射影 Q 在正方形 A1B1C1D1 的对角线 B1D1 上，
因为 B1Q 、 D1Q 分别是B1P 、 D1P 在平面 A1B1C1D1 内的射影，

所以 上PB1Q = θ2 为 PB1 与平面 A1B1C1D1 所成角， 上PD1Q = θ4 为 PD1 与平面 A1B1C1D1 所成角， 结合 θ2 > θ4 ，得 上PB1Q > 上PD1Q ，可得 B1Q < D1Q ，
由 PQ / /BB1 ，可得 BP < DP ，所以点 P 在线段 OB （不含 O 点）上运动． 故选： B ．
【点评】本题主要考查正方体的结构特征、直线与平面所成角的定义与求法等知识，考查了图形的理解能 力，属于中档题．
15 ．（2024•淄博模拟）记max{x ， y ， z} 表示 x ， y ， z 中最大的数．已知 x ， y 均为正实数，则
, x2 + 4y2 } 的最小值为 ( )
A ． B ．1 C ．2 D ．4
【答案】 C
【考点】基本不等式及其应用；函数的最值
【专题】数学运算；综合法；对应思想；不等式
设 ， ，x2 + 4y2 } ，则M开 ，M 开 ，M开x2 + 4y2 ，三式相加得 3M开 再结合基本不等式的性质求解即可．
【解答】解：因为 x > 0 ， y > 0 ，

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设 则M 开 M 开 ， M开x2 + 4y2 ，
三式相加得： 3M 开开 当且仅当 x = 2y 时，等号成立， 又因为
当且仅当 ，
即 ， 时等号成立， 所以 3M开6 ，M开2 ．
所以M 的最小值为 2．
故选： C ．
【点评】本题考查了基本不等式的应用、不等式的性质，属于中档题．
16 ．（2024•回忆版） 已知集合 A = {x | —5 < x3 < 5} ， B = {—3 ， —1 ，0 ，2 ， 3} ，则 A∩ B = ( )
A ． {—1 ， 0} B ． {2 ， 3} C ． {—3 ， —1 ， 0} D ． {—1 ，0 ， 2}
【答案】 A
【考点】交集及其运算
【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算
【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合 A = {x | —5 < x3 < 5} ， B = {—3 ， —1 ，0 ，2 ， 3} ， (—3)3 = —27 ， (—1)3 = —1 ， 03 = 0 ， 23 = 8 ， 33 = 27 ，
则 A∩ B = {—1 ， 0} ．
故选： A ．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
17．（2024•盐湖区一模）已知符号函数则函数 的图象大致为 ( )

16

A．

C．




B．

D．


17
【答案】 D
【考点】对数函数及对数型复合函数的图象
【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】先得到 f(x) 为偶函数，排除 AB ，再计算出 f （1） = ln2 > 0 ，得到正确答案． 【解答】解： sgn(x) 定义域为 R ，且为奇函数，故 sgn(—x) = —sgn(x) ，
的定义域为R ，

故 为偶函数， AB 错误；
当 x = 1 时， f （1） = sgn （1） .ln2 = ln2 > 0 ， C 错误， D 正确．
故选： D ．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和图像，属于基础题．
18 ．（2024•盐湖区一模）复数 z 满足 z(1 — i) = 4 + 2i ，则 z = ( )
A ． 1+ 3i B ． 3 + 3i C ． D ． 【答案】 A
【考点】复数的除法运算
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解 【分析】利用复数的除法化简可得复数 z ．
解： : z = 4 + 2i ，则 故选： A ．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
19 ．（2024•辽宁一模） 已知 a ， b ∈ R ．则“ a > 0 且b > 0 ”是“ + 开2 ”的 ( )

A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 A
【考点】充分条件与必要条件
【专题】简易逻辑；综合法；整体思想；综合题；逻辑推理 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【解答】解：当 a > 0 且b > 0 时， ，
则 开 ，当且仅当 即 a =b 时取等号， 所以充分性成立；
当 a < 0 且b < 0 时 ，
则 开 ，当且仅当 即 a =b 时取等号， 所以必要性不成立；
所以“ a > 0 且b > 0 ”是“ 开2 ”的充分不必要条件．
故选： A ．
【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，涉及基本不等式的应用，属于基础题．
20 ．（2024•河南模拟） 已知圆锥的底面半径为 2 ，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的 侧面积为 ( )
A ． 6兀 B ． 8兀 C ． 10兀 D ． 12兀
【答案】 A
【考点】圆锥的侧面积和表面积
【专题】三角函数的求值；综合法；数学运算；整体思想
【分析】根据半径求出底面周长，由弧长公式可得母线长，再利用圆锥的侧面积公式求解． 【解答】解：因为底面半径 r = 2 ，
所以底面周长为 2兀r = 4兀 ，
又因为侧面展开图是圆心角为 的扇形， 所以圆锥的母线长 ，
所以该圆锥的侧