2025年高考数学解密之双曲线.docx

2025 年高考数学解密之双曲线
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•安徽二模） 已知 F1 ， F2 是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点 P 满 足 ● , 则双曲线离心率的最小值为 ( )

A ． B ． C ． D ．
2 ．（2024•昆明一模）双曲线的渐近线方程是 ( )
A ． B ． C ． D ．
3 ．（2024•四川模拟） 已知双曲线的渐近线方程为
A ． —1 B ．1 C ． —3 D ．3
4 ．（2024•海淀区校级三模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 的左、右焦 点分别为 F1 ，F2 ，A 为双曲线右支上一点，连接 AF1 交y 轴于点B ．若△ ABF2 为等边三角形，则双曲线 C 的离心率为 ( )
A ． B ． C ． D ．
5 ．（2024•浙江模拟）双曲线 的左、右焦点为 F1 ， F2 ，直线l 过点F2 且平行于 C
–––→ –––
的一条渐近线， l 交 C 于点 P ，若 PF1 . PF2 = 0 ，则 C 的离心率为 ( )

A ． B ．2 C ． D ．3
6 ．（2024•江西一模） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，点M 为 F1 关于
渐近线的对称点．若 ，且△ MF1F2 的面积为 8 ，则 C 的方程为 ( )
A ． B ． C ． D ．
7 ．（2024•回忆版） 已知双曲线的两个焦点分别为 F1 (0, 4) ， F2 (0, —4) ，点 (—6, 4) 在该双曲线上，则该双曲 线的离心率为 ( )
A ．4 B ．3 C ．2 D ．

8 ．（2024•汉中一模） 已知双曲线 mx2 + y2 = 1的一条渐近线的斜率为 2 ，则 m = ( )
A ． —4 B ．4 C ． D ．

1
9 ．（2024•天津）双曲线 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ． P 是双曲线右支上一点，且 直线 PF2 的斜率为 2 ， △ PF1F2 是面积为 8 的直角三角形，则双曲线的方程为 ( )
A ． B ． C ． D ．
10．（2024•阜阳模拟）已知双曲线的焦距为 4，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为 ( )
A ． B ． C ． D ．
二．多选题（共 5 小题）
11．（2024•安徽模拟）已知双曲线 ，过原点的直线 AC ，BD 分别交双曲线于 A ，C 和B ，D 四 点 (A ， B ， C ， D 四点逆时针排列），且两直线斜率之积为 ，则下列结论正确的是 ( )
A ．四边形 ABCD 一定是平行四边形
B ．四边形 ABCD 可能为菱形
C ． AB 的中点可能为 (2, 2)
D ． tan 上AOB 的值可能为
12．（2024•长沙模拟）已知双曲线的右焦点为 F ，动点M ，N 在直线 上，且 FM 丄 FN ， 线段 FM ， FN 分别交 C 于P ， Q 两点，过P 作l 的垂线，垂足为 R ．设 ΔFMN 的面积为 S1 ， ΔFPQ 的面 积为 S2 ，则 ( )
A ． S1开 B ．
C ． 恒为定值 D ． 的最小值为
13 ．（2024•河北模拟） 已知双曲线 的左顶点为 A ，右焦点为 F ，过点 A 且倾斜
角为 6(兀) 的直线l 顺次交两条渐近线和 C 的右支于M 、N 、B ，且 | AM |=| MN | ，则下列结论正确的是 ( )
A ．离心率为 B ． AB 丄 OM C ． S△OAM = S△OBN D ． S△ABF = 3a2
14．（2024•乌鲁木齐模拟）已知双曲线的右焦点为 F ，过原点 O 作斜率为 k 的直线交双曲线于 A ，
→ →
B 两点，且 F--A- . F--B- < 0 ，则 k 的可能取值是 ( )
A ． B ． C ． D ．

2
15 ．（2024•保定三模） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，过点F1 的直线 与 C 的左支相交于 P ， Q 两点，若 PQ 丄 PF2 ，且 4 | PQ |= 3 | PF2 | ，则 ( )
A ． | PQ |= 2a B ．
C ． C 的离心率为 D ．直线PQ 的斜率为 ±4
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•回忆版）设双曲线 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，过F2 作平行于 y 轴 的直线交 C 于 A ， B 两点，若 | F1A |= 13 ， | AB |= 10 ，则 C 的离心率为 ．
17 ．（2024•浙江模拟）已知双曲线为双曲线的左右焦点，过F1 作斜率为正的直线 交双曲线左支于 A(x1 ， y1 ) ， B(x2 ， y2 )(y1 < y2 ) 两点，若 | AF1 |= 2a ， 上ABF2 = 90o ，则双曲线的离心率 是 ．
18 ．（2024•吴忠模拟） 若双曲线 的一条渐近线方程是 y = 2x ，则 C 的离心率 为 ．
19．（2024•闵行区二模）双曲线的左右焦点分别为 F1 、F2 ，过坐标原点的直线与 Γ 相交于 A 、 B 两点，若 则
20 ．（2024•辽宁模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1 (—c, 0) ，F2 (c, 0) ，过点 F1 作斜率为 的直线与 C 的右支交于点P ，且点M 满足 且 丄 则 C 的离心 率是 ．
四．解答题（共 5 小题）
21 ．（2024•盐湖区一模） 已知F1 、 F2 是双曲线的左、右焦点，直线l 经过双曲线的左焦点F1 ， 与双曲线左、右两支分别相交于 A 、 B 两点．
（1）求直线 l 斜率的取值范围；
若 求 ΔAOB 的面积．
22 ．（2024•江西模拟） 已知双曲线 的离心率为 2 ，顶点到渐近线的距离为 ．
（1）求 C 的方程；
（2）若直线 l : y = kx + 2 交 C 于 A ， B 两点， O 为坐标原点，且 ΔAOB 的面积为 求 k 的值．

3
23 ．（2024•浦东新区三模）已知双曲线 ，点 F1 、F2 分别为双曲线的左、右焦点，A(x1 ，y1 ) 、 B(x2 ， y2 ) 为双曲线上的点．
（1）求右焦点F2 到双曲线的渐近线的距离；
若 求直线 AB 的方程；

（3）若 AF1 / /BF2 ，其中 A 、B 两点均在x 轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形 AF1F2 B 的
面积的取值范围．
24 ．（2024•濮阳模拟） 已知双曲线 分别是 C 的左、右焦点．若 C 的离心率 e = 2 ，且点 (4, 6) 在 C 上．
（1）求 C 的方程．
（2）若过点F2 的直线l 与 C 的左、右两支分别交于 A ，B 两点（不同于双曲线的顶点），问： 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
25 ．（2024•青岛模拟）在平面内，若直线l 将多边形分为两部分，多边形在l 两侧的顶点到直线l 的距离之
和相等，则称 l 为多边形的一条“等线 ”，已知 O 为坐标原点，双曲线 的左，右 焦点分别为 F1 ， F2 ， E 的离心率为 2 ．点P 为 E 右支上一动点，直线 m 与曲线 E 相切于点P ，且与E 的 渐近线交于 A ， B 两点．当 PF2 丄 x 轴时，直线y = 1 为△ PF1F2 的等线．
（1）求 E 的方程；
若 是四边形 AF1BF2 的等线，求四边形 AF1BF2 的面积；
设 ，点 G 的轨迹为曲线 Γ , 证明： Γ 在点 G 处的切线 n 为△ AF1F2 的等线．

4
2025 年高考数学解密之双曲线
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•安徽二模） 已知 F1 ， F2 是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点 P 满 足 ● , 则双曲线离心率的最小值为 ( )

A ． B ． C ． D ．
【考点】 KC ：双曲线的性质
【专题】35：转化思想；49：综合法； 5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程；65：数学运算
【分析】设P 的坐标，代入双曲线的方程，求出数量积●开●a2 - c2 -b2 = -b2 ，再 由椭圆可得 a ， b 的关系，进而求出离心率的最小值．
解：设 P(x, y) ，则 所以 由题意可得 F1 (-c, 0) ， F2 (c, 0) ，

所以 -2a2 开-b2 ，即 2a2 .b2 ，所以离心率开 故选： C ．
【点评】本题考查双曲线的性质及数量积的运算，属于中档题．
2 ．（2024•昆明一模）双曲线的渐近线方程是 ( )
A ． B ． C ． D ． 【答案】 A
【考点】双曲线的几何特征
【专题】数学运算；综合法；转化思想；计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可．
【解答】解：双曲线的渐近线方程是 ．
故选： A ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．
3 ．（2024•四川模拟） 已知双曲线的渐近线方程为

5
A ． —1 B ．1 C ． —3 D ．3
【答案】 A
【考点】双曲线的几何特征
【专题】计算题；数学运算；综合法；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】根据双曲线方程确定渐近线方程为 结合已知条件得到方程 解出 a 即 可．
【解答】解：该双曲线的渐近线方程为 且 a + 2 > 0 ，
则 可解得 a = —1 > —2 ，满足．
故选： A ．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
4 ．（2024•海淀区校级三模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 的左、右焦 点分别为 F1 ，F2 ，A 为双曲线右支上一点，连接 AF1 交y 轴于点B ．若△ ABF2 为等边三角形，则双曲线 C 的离心率为 ( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】 C
【考点】双曲线的几何特征
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解
【分析】利用等边三角形的性质以及三角形全等，结合双曲线的几何性质，求出双曲线的离心率 e ． 【解答】解： 由题意，因为△ ABF2 为等边三角形，

所以 | AF2 |=| BF2 |=| AB | ， 上ABF2 = 上BAF2 = 上AF2 B = 60O ，

6
因为△F1BO 三 △ F2BO ，
所以 上BF1F2 = 30O ， 上AF2F1 = 90O ，即 AF2 丄 F1F2 ，故点 ，
则 解得 ．
故选： C ．
【点评】本题考查双曲线的几何性质的运用，双曲线离心率的求法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力， 属于中档题．
5 ．（2024•浙江模拟）双曲线 的左、右焦点为 F1 ， F2 ，直线l 过点F2 且平行于 C
→ →
的一条渐近线， l 交 C 于点 P ，若 P--F-1 . P--F-2(-) = 0 ，则 C 的离心率为 ( )

A ． B ．2 C ． D ．3
【答案】 C
【考点】双曲线与平面向量
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算
【分析】先求出直线l 的方程，联立直线与曲线方程，结合向量数量积的性质即可求解．
【解答】解： 由题意得， F1 (—c, 0) ， F2 (c, 0) ，直线l 的方程为 ， 联立 与 可得
---→ ---
若 PF1 . PF2 = 0 ，则 PF1 丄 PF2 ，
所以 | OP |=| OF2 |=| OF1 |= c ，
所以 化简得， ，
所以 ．
故选： C ．
【点评】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系及双曲线性质的应用，属于中档题．
6 ．（2024•江西一模） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，点M 为 F1 关于

7
渐近线的对称点．若 ，且△ MF1F2 的面积为 8 ，则 C 的方程为 ( )
A ． B ． C ． D ． 【答案】 C
【考点】双曲线的几何特征
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算
【分析】根据双曲线的性质可知 |MF1 |= 2b ，| OA |= a ，由条件得 | MF2 |= b ，根据三角形中位线，可得b = 2a ，
再结合 S△△ 即可求解．
【解答】解：因为 F1 关于 C 的一条渐近线的对称点为M ，
令渐近线为 ．即bx + ay = 0 ， F1 (-c, 0) ， 则 F1 到bx + ay = 0 的距离为 ， 所以 |MF1 |= 2b ，又 | OF1 |= c ．
所以 | OA |= a ，
因为 | MF1 |= 2 | MF2 | ，所以|MF2 |= b = 2a ， 又因为△ MF1F2 的面积为 8，
因为 且 ， 所以 S△△ = 2 ，
所以 ，即 ab = 4 ，又b = 2a ， 所以 a2 = 2 ， b2 = 8 ，
所以双曲线方程为．
故选： C ．

8

【点评】本题考查双曲线方程的应用，属于中档题．
7 ．（2024•回忆版） 已知双曲线的两个焦点分别为 F1 (0, 4) ， F2 (0, -4) ，点 (-6, 4) 在该双曲线上，则该双曲 线的离心率为 ( )
A ．4 B ．3 C ．2 D ．
【答案】 C
【考点】求双曲线的离心率
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算 【分析】 由已知结合双曲线的定义及性质即可求解．
【解答】解：因为 F1 (0, 4) ， F2 (0, -4) ，点 P(-6, 4) 在该双曲线上， 所以
所以 故选： C ．
【点评】本题主要考查了双曲线的定义及性质的应用，属于基础题．
8 ．（2024•汉中一模） 已知双曲线 mx2 + y2 = 1的一条渐近线的斜率为 2 ，则 m = ( )
A ． -4 B ．4 C ． D ．
【答案】 A
【考点】双曲线的几何特征
【专题】数学运算；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法 【分析】利用双曲线的方程求解渐近线，求出 m 的值．

9
【解答】解：根据 mx2 + y2 = 1 ，得到 ， 则焦点在 y 轴，故渐近线为 ，
则 ·一m = 2 ，故 m = 一4 ．
故选： A ．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查计算能力，属于基础题．
9 ．（2024•天津）双曲线 一 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ． P 是双曲线右支上一点，且 直线 PF2 的斜率为 2 ， △ PF1F2 是面积为 8 的直角三角形，则双曲线的方程为 ( )
A ． 一 B ． 一 C ． 一 D ． 一 【答案】 C
【考点】双曲线的几何特征
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解
【分析】设| PF1 |= m ，| PF2 |= n ，则 m 一 n = 2a ，由△ PF1F2 是面积为 8 的直角三角形，可得 m2 + n2 = (2c)2 ， 由直线PF2 的斜率为 2，可得 tan 上 即 m = 2n ，从而求出 m ，n 的值，进而求出 a ， b 的值，得到双曲线的方程．
【解答】解：根据题意，画出图形，如下图：

设 | PF1 |= m ， | PF2 |= n ，
则 m 一 n = 2a ，
因为△ PF1F2 是面积为 8 的直角三角形，

10
所以 m2 + n2 = (2c)2 = 4c2 ， ，
因为直线 PF2 的斜率为 2 ，所以 tan 上 ， 所以 m = 2n ，
联立 解得 ， 所以 2a = m 一 n = 2 · , 即 ， 所以 4c2 = m2 + n2 = 40 ，即 c2 = 10 ， 所以 b2 = c2 一 a2 = 10 一 2 = 8 ，
所以双曲线的方程为 一 ．
故选： C ．
【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程，考查了双曲线的性质，属于中档题．
10．（2024•阜阳模拟）已知双曲线 一 的焦距为 4，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为 ( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】 B
【考点】双曲线的几何特征
【专题】方程思想；数学运算；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】 由双曲线的焦距可得 3 + m2 = 4 ，求得双曲线的方程和所求渐近线的斜率． 【解答】解：因为双曲线 一 的焦距为 4，
所以 3 + m2 = 22 ， 解得 m2 = 1 ，
可得双曲线的方程为 一 y2 = 1 ，
所以该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为 ．
故选： B ．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
二．多选题（共 5 小题）
11．（2024•安徽模拟）已知双曲线 ，过原点的直线 AC ，BD 分别交双曲线于 A ，C 和B ，D 四

11
点 (A ， B ， C ， D 四点逆时针排列），且两直线斜率之积为 一 ，则下列结论正确的是 ( )
A ．四边形 ABCD 一定是平行四边形
B ．四边形 ABCD 可能为菱形
C ． AB 的中点可能为 (2, 2)
D ． tan 上AOB 的值可能为
【答案】 AD
【考点】直线与双曲线的位置关系及公共点个数
【专题】数学运算；综合法；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】运用双曲线的方程和性质，结合直线的斜率公式、点差法和对勾函数的性质，对选项分析可得结 论．
【解答】解： 由双曲线的中心对称性可知， A ， B 分别关于原点与 C ， D 对称， 故 OA = OC ， OB = OD ，所以四边形 ABCD 一定是平行四边形，
而直线 AC ， BD 斜率之积为 一 ，则 AC 与 BD 不垂直， 所以四边形 ABCD 不可能为菱形， A 正确， B 错；
设 ，则 一 一 ， 两式作差得 一
将 x1 + x2 = 4 ， y1 + y2 = 4 代入，

求得 3(x1 一 x2 ) 一 (y1 一 y2 ) = 0 ，故 AB 的方程为 y = 3x 一 4 ，将其与双曲线联立，
解得 一 此时 一 故 C 错误；
当点 A 位于第四象限，点 B 位于第一象限，
由直线的夹角公式和对勾函数的单调性，可得tan 上AOB 的取值范围为 ，
当点 A 位于第一象限，点 B 位于第二象限，设直线 OA 的斜率为 k ，则直线 OB 的斜率为 一 ， 由 一 可得 ，
又因为 tan 上 一 可得 tan 上AOB 的取值范围为 ，

12
综上tan 上AOB 的取值范围为 正确．
故选： AD ．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于 中档题．
12．（2024•长沙模拟）已知双曲线的右焦点为 F ，动点M ，N 在直线 上，且 FM 丄 FN ， 线段 FM ， FN 分别交 C 于P ， Q 两点，过P 作l 的垂线，垂足为 R ．设 ΔFMN 的面积为 S1 ， ΔFPQ 的面 积为 S2 ，则 ( )
A ． B ．
C ． 恒为定值 D ． 的最小值为 【答案】 BC
【考点】双曲线的几何特征
【专题】综合法；数学运算；计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】对 A ，取MN 的中点E ，则 | MN |= 2 | FE | ，以MN 为底，高为 ，当 | FE | 最小时 S1 最小，对 B ， 设 P(x0 ，y0 ) ，求出 | PR | ，| PF | 代入运算可得；对 C ，由相似三角形结合 B 的结论可得；对D ，设 上FMN = α , 结合 B 选项的结论分别将 | FM | ， | FN | ， | FP | ， | FQ | 用 α 表示代入运算可得．
【解答】解：如图，取MN 的中点 E ，过点 Q 作直线l 的垂线，垂足为D ，

对于 A ，易得点F 到 l 的距离为 ， 因为 FM 丄 FN ， E 是MN 的中点，所以 | MN |= 2 | FE | ，
即 又 | FE | 开 ， : S1开 ．故 A 错误；
对于 B ，设 P ，则

13
故 B 正确；
对于 C ，由题易得 ΔMPR ~ ΔMNF ，则 ， 故 C 正确； 对于 D ，设 上 则 上NQD = α , 由选项B ，同理可得 ，
设 | PF |= m ， | FQ |= n ，可得 ， | QD |= n ，

解得 同理可得

令 则 则 易知在 上单调递增，
所以 故D 错误．
故选： BC ．
【点评】本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，考查运算求解能力，属于难题．

14
13 ．（2024•河北模拟） 已知双曲线 的左顶点为 A ，右焦点为 F ，过点 A 且倾斜
角为 6(兀) 的直线l 顺次交两条渐近线和 C 的右支于M 、N 、B ，且 | AM |=| MN | ，则下列结论正确的是 ( )
A ．离心率为 B ． AB 丄 OM C ． S△OAM = S△OBN D ． S△ABF = 3a2
【答案】 BC
【考点】双曲线的其他性质
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；方程思想；综合法；数学运算
【分析】 对于 A 项 ，联立直线 AB 方程与直线 OM 方程、直线 ON 方程可求得点 M 、 点 N 坐标， 由 | AM |=| MN| ，可知M 为 AN 中点，结合中点坐标公式可得 的值，进而可求得离心率，对于 B 项，计算 kAB × kOM 的值即可，对于 C 项，联立直线 AB 方程与双曲线方程可求得点 B 坐标，由点M 、点 N 、点 B 纵 坐标可知M 、N 为线段 AB 的三等分点，结合三角形面积公式判断即可，对于D 项，由 S△ 求解即可．
【解答】解：如图所示，

由题意知， A(—a, 0) ，直线 OM 方程为 直线 ON 方程为 ， 设直线 AB 方程为 ，

→ 即 ， 对于 A 项，因为 | AM |=| MN | ，所以M 为 AN 中点，
所以 整理得 ，

15
所以离心率 故 A 项错误；

对于 B 项， 由 A 项知，直线 OM 方程为 即 ，
又因为 所以kAB × kOM = —1 ，
所以 AB 丄 OM ，故 B 项正确；
对于 C 项，过M作ME 丄 AF 垂足为E ，过 N 作 NG 丄 AF 垂足为 G ，过 B 作BH 丄 AF 垂足为H ，如图所 示，

由 A 项知 所以双曲线方程为 ， ， 联立双曲线的方程与直线方程 可得 ，
所以 ， 所以 | ME |:| NG |:| BH |= 1 : 2 : 3 ，
所以M 、 N 为线段 AB 的三等分点，即 | AM |=| MN |=| BN | ，
设 O 到直线 AB 距离为 h ，则 S△△ 所以 S△OAM = S△OBN ，故 C 项正确；
对于 D 项，如图所示，

由 A 项知， c = 2a ，所以 S△ 故 D 项错误．
故选： BC ．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理 能力，属于中档题．

16
14．（2024•乌鲁木齐模拟）已知双曲线的右焦点为 F ，过原点 O 作斜率为 k 的直线交双曲线于 A ，
-- --
B 两点，且 FA. FB < 0 ，则 k 的可能取值是 ( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】 BC
【考点】双曲线与平面向量
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解
【分析】 由题意，设出直线l 的方程和 A ， B 两点的坐标，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理 以及向量的坐标运算求出直线l 斜率的取值范围，再对选项进行逐一分析即可求解．
【解答】解：不妨设直线l 的方程为 y = kx ， A(x1 ， y1 ) ， B(x2 ， y2 ) ， 联立 ，消去y 并整理得 (3 —k2 )x2 — 3 = 0 ，
此时△> 0 恒成立，
由韦达定理得 ， 因为 A ， B 两点关于原点对称，
所以
解得 ， 又 ，
则双曲线的右焦点 F(2, 0) ，
所以 FA = (x1 — 2, y1 ) ， FB = (x2 — 2, y2 ) ，
-- --

则 F--A . F--B = (x1 — 2)(x2 — 2) + y1y2 = (k 2 + 1)x1x2 — 2(x1 + x2 ) + 4 < 0 ， 又 ，
解得 ， 因为 ，
所以 k 的取值范围为 ， ) ，
因为该双曲线的渐近线方程为 故选项D 错误；

17
易知 ， ， ， ．
所以 一 一 故选项 A 错误．
故选： BC ．
【点评】本题考查了抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题．
15 ．（2024•保定三模） 已知双曲线 一 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，过点F1 的直线 与 C 的左支相交于 P ， Q 两点，若 PQ 丄 PF2 ，且 4 | PQ |= 3 | PF2 | ，则 ( )
A ． | PQ |= 2a B ． 一
C ． C 的离心率为 D ．直线PQ 的斜率为 ±4 【答案】 ACD
【考点】双曲线的几何特征
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算
【分析】设 | PF1 |= x ，| QF1 |= y ，结合双曲线的定义与勾股定理可以求得 x ，y 的值，即可判断出 A ，B 选 项；再结合勾股定理可以求得 a ， c 的关系，再求出离心率即可判断 C 选项；求直线的斜率，在直角三角 形中，用斜率的定义求正切值可以求得直线的斜率，即可判断D 选项．
【解答】解：如图，由 4 | PQ |= 3 | PF2 | ，可设 | PQ |= 3m ， | PF2 |= 4m ，

因为 PQ 丄 PF2 ，所以| QF2 |= 5m ，

设 | PF1 |= x ， | QF1 |= y ，则 4m 一 x = 2a ， 5m 一 y = 2a ， x + y = 3m ， 解得 则 ，
所以 | PQ |= 2a ，故 A 选项正确；
故 B 选项错误；

18
在△ PF1F2 中， 由| PF1 |2 + | PF2 |2 =| F1F2 |2 ，得 则 ，
从而 C 的离心率为 故 C 选项正确；
又 tan 上 所以直线 PQ 的斜率为 ±4 ，故D 选项正确．
故选： ACD ．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•回忆版）设双曲线 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，过F2 作平行于 y 轴 的直线交 C 于 A ， B 两点，若 | F1A |= 13 ， | AB |= 10 ，则 C 的离心率为 ．
【答案】 ．
【考点】双曲线的几何特征
【专题】对应思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解
【分析】 由题意求出 | F1A | ， | F2 A | ，利用双曲线的定义求出 a 和b2 、 c ，即可求出双曲线 C 的离心率． 【解答】解： 由题意知
所以 | F1A | - | F2 A |= 2a = 8 ，解得 a = 4 ； 又 x = c 时 即 ， 所以 b2 = 5a = 20 ，
所以 c2 = a2 + b2 = 16 + 20 = 36 ，所以c = 6 ，
所以双曲线 C 的离心率为 ．
故答案为： ．

19

【点评】本题考查了双曲线的定义与应用问题，也考查了数学运算核心素养，是基础题．
17 ．（2024•浙江模拟）已知双曲线为双曲线的左右焦点，过F1 作斜率为正的直线 交双曲线左支于 A(x1 ， y1 ) ， B(x2 ， y2 )(y1 < y2 ) 两点，若 | AF1 |= 2a ， 上ABF2 = 90O ，则双曲线的离心率是
.
.
【考点】双曲线的几何特征
【专题】方程思想；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法 【分析】根据双曲线的几何性质及勾股定理即可求解．
【解答】解：设 | BF1 |= t ， :| AF1 |= 2a ， 上ABF2 = 90O ，

:| AF2 |=| AF1 | +2a = 4a ，又 | AB |=| BF1 | + | AF1 |= t + 2a ，

: | BF2 |2 =| AF2 |2 — | AB |2 = 16a2 — (t + 2a)2 ，又 | BF2 |= 2a + t ， :16a2 — (t + 2a)2 = (2a + t)2 ，

,
又 | F1F2 |= 2c ， 上ABF2 = 90O ，

: | BF1 |2 + | BF2 |2 =| F1F2 |2 ，

20

又 e > 1，

.
故答案为 ．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属中档题．
18 ．（2024•吴忠模拟）若双曲线 的一条渐近线方程是 y = 2x ，则 C 的离心率为
.
【考点】双曲线的几何特征 【专题】计算题
【分析】先根据双曲线的标准方程求得渐近线方程，根据其中一条的方程求得 a 和b 的关系，进而求得 a 和 c 的关系，则离心率可得．
【解答】解： 双曲线的渐近线方程为 ，一条渐近线的方程为 y = 2x ，
设 a = t ， b = 2t 则
: 离心率
故答案为：
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是熟练掌握双曲线方程中的 a ，b 和 c 基本关系．
19．（2024•闵行区二模）双曲线的左右焦点分别为 F1 、F2 ，过坐标原点的直线与 Γ 相交于 A 、
B 两点，若 则 【答案】4．
【考点】双曲线与平面向量
【专题】综合法；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；方程思想
【分析】推得四边形BF1AF2 是平行四边形，再由双曲线的定义和平行四边形的性质，推得平行四边形的邻 边的长， 由余弦定理和向量数量积的定义，可得所求值．
【解答】