2025年高考数学解密之幂函数、指数函数、对数函数.docx

2025 年高考数学解密之幂函数、指数函数、对数函数
一．选择题（共 10 小题）
1．（2024•盐湖区一模）已知符号函数则函数 的图象大致为 ( )

B．
A．

C ． D．
2 ．（2024•济南模拟）若 a = sin1 ， b = lg(tan1) ， 则
A ． c < b < a B ． b < a < c C ． b < c < a D ． a < c < b
3 ．（2024•红桥区一模）设 a = log0.5 0.6 ， b = 0.25-0.3 ， c = 0.6-0.6 ，则 a ， b ， c 的大小关系是 ( )
A ． b > a > c B ． c > b > a C ． b > c > a D ． c > a > b
4 ．（2024•武汉模拟） 已知集合 A = {x | 2x2 + x -1 < 0} ， B = {y | y = lg(x2 +1)} ，则 A∩ B = ( )
A ． (-1 ， 0] B ． C ． D ． [0 ， 1)
5 ．（2024•北辰区三模） 已知 a = 0.53.1 ， b = log ，则 a ， b ， c 的大小关系为 ( )
A ． c < b < a B ． c < a < b C ． b < a < c D ． a < c < b
6 ．（2024•浙江模拟） 已知 x > 0 ， y > 0 ，则 ( )
A ． 7lnx+lny = 7lnx + 7lny B ． 7ln(x +y ) = 7lnx . 7lny
C ． 7lnx.lny = 7lnx + 7lny D ． 7ln(xy ) = 7lnx . 7lny
7 ．（2024•滨海新区模拟） 已知函数 f(x) 的图象如图所示，则函数f(x) 的解析式可能为 ( )

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A ． B ．
C ． D ．
8 ．（2024•滨海新区模拟） 已知 则
A ． a > b > c B ． b > a > c C ． c > a > b D ． a > c > b
9 ．（2024•石景山区一模）设 则
A ． c < b < a B ． b < c < a C ． a < b < c D ． b < a < c
10 ．（2024•顺义区模拟） 已知 兀 则
A ． a > b > c B ． b > a > c C ． c > b > a D ． c > a > b
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•建邺区校级模拟） 已知 2x = 3 ， y = 2log3 2 ，则 ( )
A ． B ． xy = 2 C ． x > y D ．
12 ．（2024•山东模拟） 已知 a > 0 ， b > 0 ， ab = 2 ，则 ( )
A ． log2 a . log2 b 的最大值为 B ． 2a + 4b 的最小值为 8
C ． a3 + b3 的最小值为 D ． 的最小值为
13 ．（2024•孝南区校级模拟）已知函数 f(x) =| lgx | ， 0 < a < b ，且 f （a） = f （b），则下列说法正确的是
( )
A ． ab = 1 B ． ab = 10
C ． a + 2b 的最小值为 D ． (a +1)2 + (b +1)2 > 8
14 ．（2024•抚州模拟）若实数 a > b > 0 ，则下列不等式一定成立的是 ( )
A ． 0.3a < 0.3b B ． lga > lgb C ． D ．
15 ．（2024•驻马店三模）若表示集合M和 N 关系的Venn 图如图所示，则M ， N 可能是 ( )

A ． M = {0 ，2 ，4 ， 6} ， N = {4} B ． M = {x | x2 < 1} ， N = {x | x > —1}

C ．M = {x | y = lgx} ， N = {y | y = ex + 5} D ．M = {(x, y) | x2 = y2 } ， N = {(x, y) | y = x}

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三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•南岸区模拟．
17 ．（2024•崇明区二模） 已知幂函数 y = f(x) 的图象经过点 (2, 4) ，则 f （3） = ．
18 ．（2024•浦东新区三模） 已知实数 x1 、 x2 、 y1 、 y2 满足 x1(2) + y1(2) = 1 ， x2(2) + y2(2) = 3 ， 则

| x1x2 + y1y2 |= ．
19 ．（2024•海淀区一模） 已知 则 lna2 — lnb2 = ．
20 ．（2024•闵行区三模）方程 lg(—2x) = lg(3 — x2 ) 的解集为 ．
四．解答题（共 5 小题）
21 ．（2023•城关区校级模拟） 已知函数
( Ⅰ ) 若函数 f(x) 是 R 上的奇函数，求 a 的值；
( Ⅱ ) 若函数 f(x) 的定义域是一切实数，求 a 的取值范围；
(Ⅲ) 若函数 f(x) 在区间[0 ， 1] 上的最大值与最小值的差不小于 2 ，求实数 a 的取值范围．
22 ．（2023•广西一模） 已知函数 f(x) = log2 (| x —1| + | x — 5 | —a) ．
（1）当 a = 2 时，求函数 f(x) 的最小值；
（2）当函数 f(x) 的定义域为R 时，求实数 a 的取值范围．
23 ．（2023•南京二模） 已知函数 f(x) = ax—1 — loga x ， a > 1 ．
（1）若 a = e ，求证： f(x)开1 ；
（2）若关于 x 的不等式 f(x) < 1 的解集为集合 B ，且 B 二 求实数 a 的取值范围．
24 ．（2022•黄浦区二模）设 a 为常数，函数
（1）若 a = 0 ，求函数 y = f(x) 的反函数 y = f—1(x) ；
（2）若 a .0 ，根据 a 的不同取值，讨论函数 y = f(x) 的奇偶性，并说明理由．
25 ．（2022•德阳模拟） 已知函数 f(x) = ax (1 — x)(a > 0 ， a ≠ 1) 的最大值为 1．
（1）求常数 a 的值；
（2）若 3x1 ≠ x2 ， f(x1 ) = f(x2 ) ，求证： x1 + x2 < 0 ．

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2025 年高考数学解密之幂函数、指数函数、对数函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1．（2024•盐湖区一模）已知符号函数则函数 的图象大致为 ( )

B．
A．

C．
D．
【答案】 D
【考点】对数函数及对数型复合函数的图象
【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】先得到 f(x) 为偶函数，排除 AB ，再计算出 f （1） = ln2 > 0 ，得到正确答案． 【解答】解： sgn(x) 定义域为 R ，且为奇函数，故 sgn(-x) = -sgn(x) ，
的定义域为R ，

故 f(x) = sgn 为偶函数， AB 错误；
当 x = 1 时， f （1） = sgn （1） .ln2 = ln2 > 0 ， C 错误， D 正确．
故选： D ．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和图像，属于基础题．
2 ．（2024•济南模拟）若 a = sin1 ， b = lg(tan1) ， 则
A ． c < b < a B ． b < a < c C ． b < c < a D ． a < c < b 【答案】 C
【考点】对数值大小的比较

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【专题】数学运算；综合法；函数的性质及应用；函数思想
【分析】利用正弦函数和正切函数的单调性，结合对数函数的单调性求解． 【解答】解： : 正弦函数 y = sin x 在上单调递增，且 ， 即 ，
: 正切函数 y = tan x 在上单调递增，且 ， ,

: b < c < a ．
故选： C ．
【点评】本题主要考查了正弦函数和正切函数的单调性，考查了对数函数的性质，属于基础题．
3 ．（2024•红桥区一模）设 a = log0.5 0.6 ， b = 0.25—0.3 ， c = 0.6—0.6 ，则 a ， b ， c 的大小关系是 ( )
A ． b > a > c B ． c > b > a C ． b > c > a D ． c > a > b 【答案】 C
【考点】对数值大小的比较
【专题】转化思想；数学运算；函数的性质及应用；转化法
【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可． 【解答】解：因为 y = log0.5 x 在 (0, +∞) 上单调递减，
所以 log0.5 1< log0.5 0.6 < log0.5 0.5 ，即 0 < a < 1 ．
因为 y = x0.6 在 (0, +∞) 上单调递增，又 0.25—0.3 = 0.5—0.6 = 20.6 ， ，
又 所以 故b > c > 1 ，所以b > c > a ．
故选： C ．
【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
4 ．（2024•武汉模拟） 已知集合 A = {x | 2x2 + x —1< 0} ， B = {y | y = lg(x2 +1)} ，则 A∩ B = ( )
A ． (—1 ， 0] B ． C ． D ． [0 ， 1)
【答案】 B
【考点】对数函数的值域；交集及其运算；一元二次不等式及其应用 【专题】综合法；函数的性质及应用；转化思想；数学运算；集合

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【分析】先求出集合 A ， B ，再利用集合的交集运算求解即可．
解：集合
故选： B ．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
5 ．（2024•北辰区三模） 已知 a = 0.53.1 ， b = log ，则 a ， b ， c 的大小关系为 ( )
A ． c < b < a B ． c < a < b C ． b < a < c D ． a < c < b 【答案】 D
【考点】对数值大小的比较
【专题】转化法；数学运算；转化思想；函数的性质及应用
【分析】根据已知条件，结合指数函数、对数函数的性质，即可求解．
【解答】解： a = 0.53.1 < 0.51 = 0.5 ， b = log0.9 0.3 > log0.9 0.9 = 1 ，

故 a < c < b ．
故选： D ．
【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的性质，属于基础题．
6 ．（2024•浙江模拟） 已知 x > 0 ， y > 0 ，则 ( )
A ． 7lnx+lny = 7lnx + 7lny B ． 7ln(x+y) = 7lnx . 7lny
C ． 7lnx.lny = 7lnx + 7lny D ． 7ln(xy) = 7lnx . 7lny 【答案】 D
【考点】对数的运算性质
【专题】转化思想；数学运算；计算题；函数的性质及应用；综合法 【分析】根据对数的运算法则计算即可．
【解答】解： : lnx + lny = ln(xy) ，
:7ln(xy) = 7lnx +lny = 7lnx . 7lny ，故D 正确． 故选： D ．

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【点评】本题考查对数的运算，属于基础题．
7 ．（2024•滨海新区模拟） 已知函数 f(x) 的图象如图所示，则函数f(x) 的解析式可能为 ( )

A ． B ．
C ． D ． 【答案】 B
【考点】对数函数及对数型复合函数的图象；余弦函数的对称性
【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】根据题意，由函数的图象分析 f(x) 的性质， 由此分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，由函数的图象， f(x) 的定义域为{x | x ≠ 0} ，其图象关于原点对称， 在区间 (0, +∞) 上，函数图象与 x 轴存在交点，
由此分析选项：
对于 其定义域为 ，有 为偶函数，不 符合题意；
对 于 B ， ， 其 定 义 域 为 {x | x ≠ 0} ， 有 为奇函数，其图象关于原点对称，
当 x = k兀 时 (k ∈ Z) ， sin 2x = 0 ， f(x) = 0 ，函数图象与 x 轴存在交点，符合题意；
对于 ，当 x > 0 时，ex + e — x > 0 ，x > 0 ，必有 f(x) > 0 恒成立，该函数图象在区间 (0, +∞) 上与 x 轴不存在交点，不符合题意；
对于 其定义域为 ，有 ， f(x) 为偶函数，不符合题意．
故选： B ．
【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性和函数值的分析，属于基础题．
8 ．（2024•滨海新区模拟） 已知 则
A ． a > b > c B ． b > a > c C ． c > a > b D ． a > c > b 【答案】 C

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【考点】对数值大小的比较
【专题】数学运算；转化思想；函数的性质及应用；转化法 【分析】根据已知条件，结合指数函数的单调性，即可求解． 【解答】解： a = 2log2 0.4 = 0.4 ， b = log0.4 2 < log0.4 1 = 0 ，
0 = log0.3 1 < log0.3 0.4 < log0.3 0.3 = 1 ，
则 c > 1，
故 c > a > b ．
故选： C ．
【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
9 ．（2024•石景山区一模）设 则
A ． c < b < a B ． b < c < a C ． a < b < c D ． b < a < c 【答案】 B
【考点】对数值大小的比较
【专题】数学运算；综合法；函数的性质及应用；函数思想；综合题 【分析】根据函数的单调性可比较得结果．
解 而 则 即 ， 所以b < c < a ．
故选： B ．
【点评】本题主要考查利用单调性比较两个数的大小，属于中档题．
10 ．（2024•顺义区模拟） 已知 兀 则
A ． a > b > c B ． b > a > c C ． c > b > a D ． c > a > b 【答案】 D
【考点】对数值大小的比较
【专题】转化思想；数学运算；转化法；函数的性质及应用
【分析】根据已知条件，结合指数函数、对数函数的单调性，即可求解．
解

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综上所述， c > a > b ．
故选： D ．
【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•建邺区校级模拟） 已知 2x = 3 ， y = 2 log3 2 ，则 ( )
A ． B ． xy = 2 C ． x > y D ． 【答案】 BCD
【考点】指数式与对数式的互化；对数值大小的比较；对数的运算性质
【专题】整体思想；不等式的解法及应用；数学运算；综合法；函数的性质及应用
【分析】 由已知结合指数与对数的转化即对数运算性质，基本不等式检验各选项即可判断． 【解答】解：因为 2x = 3 ，
所以 错误；
又 y = 2 log3 2 ，

则 xy = 2 log3 2 . log2 3 = 2 ， B 正确；
由 xy = 2 及 可知 故 x > y ， C 正确；

由于 3 ，等号无法取得， D 正确．
故选： BCD ．
【点评】本题主要考查了指数与对数式的转化，对数的运算性质及基本不等式的应用，属于中档题．
12 ．（2024•山东模拟） 已知 a > 0 ， b > 0 ， ab = 2 ，则 ( )
A ． log2 a . log2 b 的最大值为 B ． 2a + 4b 的最小值为 8
C ． a3 + b3 的最小值为4 ·i2 D ． 的最小值为 【答案】 BCD
【考点】基本不等式及其应用；对数的运算性质
【专题】转化思想；不等式的解法及应用；数学运算；综合法
【分析】利用基本不等式判断 A 、B 、C ，由 令 利用导数说明函 数的单调性，即可求出函数的最小值，从而判断D ．

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【解答】解：因为 a > 0 ， b > 0 ， ab = 2 ，
对于 当且仅当 时等号成立，故 A 错误；
对于 当且仅当 a = 2 ，b = 1 时等号成立，故 B 正确；
对于 C : a3 + b3 = (a + b)(a2 — ab + b2 ) = (a + b)(a2 — 2 + b2 ) ， 又
所以 当且仅当 时等号成立，故 C 正确；
对于

所以当b > 1 时， f/ （b） > 0 ，则 f （b）单调递增， 当 0 < b < 1 时， f/ （b） < 0 ，则 f （b）单调递减， 所以 f （b） 开f （1） = 3 ，
所以 的最小值为 ，当且仅当b = 1 、 a = 2 时取等号，故D 正确．
故选： BCD ．
【点评】本题主要考查不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．
13 ．（2024•孝南区校级模拟）已知函数 f(x) =| lgx | ， 0 < a < b ，且 f （a） = f （b），则下列说法正确的是
( )
A ． ab = 1 B ． ab = 10
C ． a + 2b 的最小值为 D ． (a +1)2 + (b +1)2 > 8 【答案】 AD
【考点】对数函数的图象
【专题】整体思想；数学运算；函数的性质及应用；综合法
【分析】 由已知结合对数函数的性质及函数图象的变化可得 ab = 1 ，即可判断 A ， B ，然后结合基本不等 式检验选项 C ， D 即可．
【解答】解：因为函数 f(x) =| lgx | ， 0 < a < b ，且 f （a） = f （b）， 所以 —lga = lgb ，且 0 < a < 1 < b ，
所以 lga + lgb = lgab = 0 ，即 ab = 1 ， A 正确， B 错误；
当且仅当 a = 2b ，即 ， 时取等号，但显然与已知矛盾， C 错误；

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(a +1)2 + (b+1)2 = a2 + b2 + 2(a +b)+ 2开 ，当且仅当 a = b 时取等号，但显然等号无法取得， 故 (a +1)2 + (b +1)2 > 8 ， D 正确．
故选： AD ．
【点评】本题主要考查了对数函数的性质及基本不等式的应用，属于中档题．
14 ．（2024•抚州模拟）若实数 a > b > 0 ，则下列不等式一定成立的是 ( )
A ． 0.3a < 0.3b B ． lga > lgb C ． D ． 【答案】 ABD
【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式；对数值大小的比较
【专题】整体思想；数学抽象；综合法；函数的性质及应用 【分析】 由已知结合函数的单调性检验各选项即可判断．
【解答】解：因为 a > b > 0 ，
y = 0.3x 在 (0, +∞) 上单调递减，则 0.3a < 0.3b ， A 正确；
y = lgx 在 (0, +∞) 上单调递增，则 lga > lgb ， B 正确；
当 显然错误；
在 (0, +∞) 上单调递增，则 > ， D 正确．
故选： ABD ．
【点评】本题主要考查了函数单调性在不等式大小比较中的应用，属于基础题．
15 ．（2024•驻马店三模）若表示集合M和 N 关系的Venn 图如图所示，则M ， N 可能是 ( )

A ． M = {0 ，2 ，4 ， 6} ， N = {4} B ． M = {x | x2 < 1} ， N = {x | x > 一1}
C ．M = {x | y = lgx} ， N = {y | y = ex + 5} D ．M = {(x, y) | x2 = y2 } ， N = {(x, y) | y = x} 【答案】 ACD
【考点】 Venn 图表示交并补混合运算；指数函数的值域；求对数函数的定义域 【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；数学运算
【分析】分别解出各选项，再考查它们的关系，结合韦恩图即可判断．

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【解答】解： 由题中韦恩图可得 N二 M ，
对于 A ， M = {0 ，2 ，4 ， 6} ， N = {4} ， N 二 M ，故 A 正确；
对于 B ， M = {x | x2 < 1} = {x | —1 < x < 1} ， N = {x | x > —1} ，M 二 N ，故 B 错误；
对于 C ， M = {x | y = lgx} = {x | x > 0} ， N = {y | y = ex + 5 > 5} ， N 二 M ，故 C 正确；
对于 D ， M = {(x ， y) | x2 = y2 } = {(x, y) | y = x 或 y = —x} ， N = {(x, y) | y = x} ， N 二 M ，故D 正确． 故选： ACD ．
【点评】本题考查集合的含义、集合间的关系以及韦恩图，较简单．
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•南岸区模拟 【答案】 —1 ．
【考点】有理数指数幂及根式；对数的运算性质
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解
【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质计算即可求解． 解：原式

故答案为： —1 ．
【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
17 ．（2024•崇明区二模） 已知幂函数 y = f(x) 的图象经过点 (2, 4) ，则 f （3） = 9 ． 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用
【分析】设出幂函数 y = f(x) 的解析式，根据其图象经过点 (2, 4) ，求函数的解析式，再计算 f （3）的值． 【解答】解：设幂函数 y = f(x) = xα (α ∈ R) ，
其图象经过点 (2, 4) ，
:2α = 4 ，
解得 α = 2 ，
:f(x) = x2 ；
: f （3） = 32 = 9 ． 故答案为：9．

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【点评】本题考查了求幂函数的解析式以及利用函数的解析式求函数值的应用问题，是基础题目．
18 ．（2024•浦东新区三模） 已知实数 x1 、 x2 、 y1 、 y2 满足 x1(2) + y1(2) = 1 ， x2(2) + y2(2) = 3 ， 则

| x1x2 + y1y2 |= 1 ．
【答案】1．
【考点】有理数指数幂及根式
【专题】数学运算；综合法；三角函数的求值；转化思想；计算题 【分析】 由题意结合三角换元和三角恒等变换即可求解．
【解答】解： : 实数 x1 、 x2 、 y1 、 y2 满足 x1(2) + y1(2) = 1 ， x2(2) + y2(2) = 3 ，

: 可令 ，

可得 ，
则 | x1x2 + y1y2 |=| cosα . cosβ + s 故答案为：1．
【点评】本题考查了三角换元的运用，三角恒等变换，是中档题．
19 ．（2024•海淀区一模） 已知 则 ．
【答案】4．
【考点】对数的运算性质
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】利用对数的运算性质求解．
解 故答案为：4．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
20 ．（2024•闵行区三模）方程 lg(—2x) = lg(3 — x2 ) 的解集为 {x | x = —1} ． 【答案】 {x | x = —1} ．
【考点】对数方程求解
【专题】整体思想；函数的性质及应用；综合法；数学运算

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【分析】依题意得到 解得即可．
【解答】解：因为 lg(-2x) = lg(3 - x2 ) ， 则 解得 x = -1 ，
所以方程 lg(-2x) = lg(3 - x2 ) 的解集为{x | x = -1} ．
故答案为： {x | x = -1} ．
【点评】本题主要考查了对数运算性质的简单应用，属于基础题．
四．解答题（共 5 小题）
21 ．（2023•城关区校级模拟） 已知函数
( Ⅰ ) 若函数 f(x) 是 R 上的奇函数，求 a 的值；
( Ⅱ ) 若函数 f(x) 的定义域是一切实数，求 a 的取值范围；
(Ⅲ) 若函数 f(x) 在区间[0 ， 1] 上的最大值与最小值的差不小于 2 ，求实数 a 的取值范围． 【考点】 4N ：对数函数的图象与性质
【专题】35：转化思想； 4R ：转化法；51：函数的性质及应用
【分析】( Ⅰ ) 函数f(x) 是 R 上的奇函数，则 f(0) = 0 ，解得 a 的值；
( Ⅱ ) 若函数 f(x) 的定义域是一切实数， 恒成立．即 恒成立，进而可得答案；
(Ⅲ) 若函数 f(x) 在区间[0 ，1] 上的最大值与最小值的差不小于 2 ，则 解得答 案．
【解答】解：( Ⅰ ) 函数f(x) 是 R 上的奇函数，则 f(0) = 0 ，求得 a = 0 ． …………………… （2 分） 又此时 f(x)= -x 是 R 上的奇函数．
所以 a =0 为所求． ……………………………… （4 分）
( Ⅱ ) 函数 f(x) 的定义域是一切实数，则 恒成立．
即 恒成立， 由于 ∈ (-∞, 0) ． …………………………………… （6 分）
故只要 a开0 即可 ……………………………………………………………… （7 分）
(Ⅲ) 由已知函数 f(x) 是减函数，故 f(x) 在区间[0 ， 1] 上的最大值是 f(0) = log2 (1 + a) ， 最小值是

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由题设 →
故 为所求． ………………………………………… （12 分）
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，难度中档．
22 ．（2023•广西一模） 已知函数 f(x) = log2 (| x —1| + | x — 5 | —a) ．
（1）当 a = 2 时，求函数 f(x) 的最小值；
（2）当函数 f(x) 的定义域为R 时，求实数 a 的取值范围． 【考点】对数函数的定义域；对数函数的单调性与特殊点
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算
设 g =| x —1| + | x — 5 | ，则 由此可知 g(x)min ．
（2） 由题意知， g(x) =| x —1| + | x — 5 | 的最小值为 4 ， | x —1| + | x — 5 | —a > 0 ，由此可知 a 的取值范围． 【解答】解：函数的定义域满足 | x —1| + | x — 5 | —a > 0 ，即 | x —1| + | x — 5 |> a ，
（1）当 a = 2 时， f(x) = log2 (| x —1| + | x — 5 | —2)
设 =| x —1| + | x — 5 | ，则 （3 分）
g(x)min = 4 ， f(x)min = log2 (4 — 2) = 1 ．（5 分）
（2） 由 (I) 知， g(x) =| x —1| + | x — 5 | 的最小值为 4 ，7 分 | x —1| + | x — 5 | —a > 0 ，
: a < 4
:a 的取值范围是 (—∞, 4) ．（10 分）
【点评】本题考查对数函数的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．
23 ．（2023•南京二模） 已知函数 f(x) = ax—1 — loga x ， a > 1 ．
（1）若 a = e ，求证： f(x)开1 ；
（2）若关于 x 的不等式 f(x) < 1 的解集为集合 B ，且 B a) ，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2） a ∈ [2 ， +∞) ．
【考点】对数函数的图象
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解

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【分析】（1）先得到 f = ex一1 一 在 (0, +∞) 上单调递增，f （1） = 0 ，再得到 f(x) 在 (0, 1) 上单调递减， 在 (1, +∞) 上单调递增，证明即可；
（2）先得到 f(x) 在 (0, x0 ) 上递减，在 (x0 ， +∞) 上递增，再分类讨论，求解即可． 【解答】证明：（1）若 a = e ，则 f(x) = ex一1 一 lnx ，函数定义域为 (0, +∞) ，
则 f = ex一1 一 在 (0, +∞) 上单调递增， : f （1） = 0 ，
: 当 0 < x < 1时， f （1） < 0 ，当 x > 1 时， f （1） > 0 ， 则 f(x) 在 (0, 1) 上单调递减，在 (1, +∞) 上单调递增，
则当 x =1 时，函数取得最小值为 f （1），
: f(x)开f （1） = 1；
解 f = ax一1lna 一 为增函数，
当 x → 0 时， f (x) → 一∞ , x → +∞ , f (x) → +∞ , 则存在 x0 ∈ (0, +∞) ，使 f (x0 ) = 0 ，
: f(x) 在 (0, x0 ) 上递减，在 (x0 ， +∞) 上递增，
又 f （1） = 1 ，由（1）可知 a = e ，有 f(x)开1 ，可得 B = ⑦ , 满足B 二 ①若 l < a < e ，有 x0 < 1 ， :存在 x1 > x0 ，使 f(x1 ) = 1 ，则 x1 .a ，
有 f （a） = aa一1 一1开1 ，则 (a 一1)lna开ln2 ， 设 g （a） = (a 一1)lna ， l < a < e ，
则 g 一 为增函数，
: g （1） = 0 ， :g （a） = (a 一1)lna 在 (l, e) 上递增， : (a 一1)lna开ln2 ， :2 .a < e ，
②若 a > e ，有 x0 > 1 ， : 存在 x2 <