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2025 年高考数学解密之概率
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•惠来县校级模拟）有 6 个大小相同的小球，其中 1 个黑色，2 个蓝色，3 个红色．采用放回方式 从中随机取 2 次球，每次取 1 个球，甲表示事件“第一次取红球 ”，乙表示事件“第二次取蓝球 ”，丙表示 事件“两次取出不同颜色的球 ”，丁表示事件“两次取出相同颜色的球 ”，则 ( )
A ． 甲与乙相互独立 B ． 甲与丙相互独立
C ．乙与丙相互独立 D ．乙与丁相互独立
2 ．（2024•江西一模）中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于 2004 年被国际足联正式确认为世界足球运动 的起源．蹴鞠在 2022 年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统 非遗故事．为弘扬中华传统文化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“ 甲队 ”“乙队 ”“丙队 ”“丁 队 ” ) 进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次（积 分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得 3 分，平场得 1 分，负一场得 0 分．若 每场比赛中两队胜、平、负的概率均为 ，则在比赛结束时丙队在输了第一场且其积分仍超过其余三支球 队的积分的概率为 ( )

A ． B ． C ． D ．
3 ．（2024•全国二模）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为 0.6 ．我们通过设计模拟实验 的方法求概率，利用计算机产生1 ~ 5 之间的随机数：
425 123 423 344 144 435 525 332 152 342
534 443 512 541 135 432 334 151 312 354
若用 1 ，3 ，5 表示下雨，用 2 ，4 表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为 ( )
A ． B ． C ． D ．
4 ．（2024•保定一模）已知某羽毛球小组共有 20 名运动员，其中一级运动员4 人，二级运动员6 人，三级
运动员 10 人．现在举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为 0.9 ，0.6， 0.2 ，则这 20 名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为 ( )
A ．0.62 B ．0.58 C ．0.46 D ．0.42
5 ．（2024•济宁三模）若随机变量 X ~ N(3 ， 22 ) ，随机变量 则 )

1
A ．0 B ． C ． D ．2
6 ．（2024•全国一模）党的二十大报告提出：“深化全民阅读活动．”今天，我们思索读书的意义、发掘知 识的价值、强调阅读的作用，正是为了更好地满足人民群众精神文化生活新期待．某市把图书馆、博物馆、 美术馆、文化馆四个公共文化场馆面向社会免费开放，开放期间需要志愿者参与协助管理．现有 A ， B ， C ，D ，E 共 5 名志愿者，每名志愿者均参与本次志愿者服务工作，每个场馆至少需要一名志愿者，每名 志愿者到各个场馆的可能性相同，则 A ， B 两名志愿者不在同一个场馆的概率为 ( )
A ． B ． C ． D ．
7 ．（2024•拉萨二模）从 3 ，4 ，5 ，6 ，7 这 5 个数字中任取 3 个，则取出的 3 个数字的和为大于 10 的偶数 的概率是 ( )
A ． B ． C ． D ．
8 ．（2024•临沂一模）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有 的学生每天玩手机 超过1h ，这些人近视率约为 ，其余学生的近视率约为 ，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大 约是 ( )
A ． B ． C ． D ．
9 ．（2024•和平区模拟）下列说法中，正确的个数为 ( )
①样本相关系数 r 的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度
②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好
③随机变量 ξ 服从正态分布 N(1, σ 2 ) ，若 P(ξ< 3) = 0.8 ，则P(1 < ξ < 3) = 0.3
④随机变量 X 服从二项分布 B(4, p) ，若方差 则
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
10 ．（2024•石家庄模拟）某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有 50000 名考
生参加这次考试 ，数学成绩 X 近似服从正态分布 ，其正态密度函数为 且 P(70 .X .110) = 0.8 ，则该市这次考试数学成绩超过 110 分的考生人数约为 ( )
A ．2000 B ．3000 C ．4000 D ．5000
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•浙江模拟） 已知随机变量X ， Y ，其中 Y = 3X + 1 ，已知随机变量X 的分布列如下表

X
1
2
3
4
5

2
P
m

n

若 E(X) = 3 ，则 ( )
A ． B ． C ． E(Y) = 10 D ． D(Y) = 21
12 ．（2024•滁州模拟） 已知事件 A ， B 满足 P （A） = 0.6 ， P （B） = 0.2 ，则下列结论正确的是 ( )

A ． P(A) = 0.8, P(B) = 0.4
B ．如果B 二 A ，那么 P(AU B) = 0.6
C ．如果 A 与B 互斥，那么 P(AU B) = 0.8
D ．如果 A 与 B 相互独立，那么P(A . B) = 0.32
13 ．（2024•回忆版）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出 口后亩收入的样本均值 x = 2.1 ，样本方差 s2 = 0.01 ，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布 N(1.8 ， 0.12 ) ，假设推动出口后的亩收入 Y 服从正态分布 N(x ， s2 ) ，则 ( ) （若随机变量 Z 服从正态分布 N(μ,σ 2 ) ，则 P(Z < μ + σ) ≈ 0.8413)
A ． P(X > 2) > 0.2 B ． P(X > 2) < 0.5 C ． P(Y > 2) > 0.5 D ． P(Y > 2) < 0.8
14 ．（2024•南昌模拟）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件 A = “第一次出现 2 点 ”， B = “第二次的点数小于 5 点 ”， C = “两次点数之和为奇数 ”， D = “两次点数之和为 9 ”，则 下列说法正确的有 ( )
A ． A 与 B 不互斥且相互独立 B ． A 与D 互斥且不相互独立
C ． B 与D 互斥且不相互独立 D ． A 与 C 不互斥且相互独立
15．（2024•湖北模拟）已知 A ，B 为随机事件，P（A）= 0.5 ，P（B）= 0.4 ，则下列结论正确的有 ( )
A ．若 A ， B 为互斥事件，则 P(A + B) = 0.9

B ．若 A ， B 为互斥事件，则P(A + B) = 0.1
C ．若 A ， B 相互独立，则 P(A + B) = 0.7

D ．若 P(B | A) = 0.3 ，则 P(B | A) = 0.5
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•赤峰模拟）若连续抛两次骰子得到的点数分别为 a ， b ，则点 P(a, b) 在直线 a +b = 7 上的概率 为 ．
17 ．（2024•江西一模）斐波那契数列 (Fibonaccisequence) ，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多 . 斐波那

3
契 (LeonardoFibonacci) 以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列 ”，指的是这样一个数列：1 、1、2、
3 、5 、 8 、 13 、21 、34 、 … ，在数学上 ，斐波那契数列以如下递推的方式定义 ： a0 = 1 ， a1 = 1 ， an = an-1 + an-2 (n开2, n ∈ N* ) ， A = {a1 ， a2 ， … , a2024 } ， B 二 A 且 B ≠ ⑦ 中，则 B 中所有元素之和为奇数 的概率为 ．
18 ．（2024•天津模拟）两个三口之家进行游戏活动，从 6 人中随机选出2 人，则这 2 人来自同一个家庭的 概率为 ；若选出的 2 人来自同一个家庭，游戏成功的概率为 0.6 ，若来自不同的家庭，游戏成功的概 率为 0.3 ，则游戏成功的概率为 ．
19 ．（2024•新会区校级模拟）若 且 Y = 3X +1 ，则 D．
20 ．（2024•鼓楼区校级模拟）若事件 A ， B 发生的概率分别为 ， 且 A 与 B 相互独立， 则 P(AU B) = ．
四．解答题（共 5 小题）
21 ．（2024•江西一模）设 (X, Y) 是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为 (ai ， bj ) ，其中i ， j ∈ N * ，令 pij = P(X = ai ， Y = bj ) ，称 pij (i, j ∈ N*) 是二维离散型随机变量 (X, Y) 的联合分布列．与一维 的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：
Y / X
b1
b2
b3
…

a1
p1,1
p1,2
p1,3
…

a2
p2,1
p2,2
p2,3
…

a3
p3,1
p3,2
p3,3
…
…
…
…
…
…
现有 n(n ∈ N*) 个相同的球等可能的放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，记落下第 1 号盒子中的球的个数为 X ，落入第 2 号盒子中的球的个数为Y ．
（1）当 n = 2 时，求 (X, Y) 的联合分布列；
设 且 k .n ，计算 ．
22 ．（2024•黄山模拟）某校高三年级 1000 名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示， 其中成绩分组区间是[30 ， 50) ， [50 ， 70) ， [70 ， 90) ， [90 ， 110) ， [110 ， 130) ， [130 ， 150] ．
（1）求图中 a 的值，并根据频率分布直方图，估计这 1000 名学生的这次考试数学成绩的第 85 百分位数；

4
（2）从这次数学成绩位于[50 ，70) ，[70 ，90) 的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方．法抽取 9 人， 再从这 9 人中随机抽取 3 人，该 3 人中成绩在区间[70 ， 90) 的人数记为X ，求 X 的分布列及数学期望．

23．（2024•河南模拟）某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有 n 个 形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取 m 个球 (m.n) ，摸完后全部放回袋中， 球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额．
（1）若 n = 4 ， m = 2 ，当袋中的球中有 2 个所标面值为 40 元，1 个为 50 元，1 个为 60 元时，在员工所 获得的红包数额不低于 90 元的条件下，求取到面值为 60 元的球的概率；
（2）若 n = 5 ， m = 4 ，当袋中的球中有 1 个所标面值为 10 元，2 个为 20 元，1 个为 30 元，1 个为 40 元 时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差．
24 ．（2024•北京）某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机 抽取 1000 份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
索赔次数
0
1
2
3
4
保单份数
800
100
60
30
10
假设：一份保单的保费为 0.4 万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿 0.8 万元；第四次索赔时，保险公 司赔偿 0.6 万元．
假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．
（1）估计一份保单索赔次数不少于 2 的概率；
（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
(i) 记 X为一份保单的毛利润，估计 X 的数学期望 EX ；
(ii) 如果无索赔的保单的保费减少4% ，有索赔的保单的保费增加20% ，试比较这种情况下一份保单毛利 润的数学期望估计值与 (i) 中 EX 估计值的大小，（结论不要求证明）
25 ．（2024•回忆版）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队都由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一 阶段由参赛队中一名队员投篮 3 次，若 3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为 0 分，若至少投中一次， 则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮 3 次，每次投中得 5 分，未投中得 0 分，该队的比赛成绩 为第二阶段的得分总和．

5
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 p ，乙每次投中的概率为 q ，各次投中与否相互 独立．
（1）若 p = 0.4 ， q = 0.5 ， 甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于 5 分的概率；
（2）假设 0 < p < q ，
(i) 为使得甲、乙所在队的比赛成绩为 15 分的概率最大，则该由谁参加第一阶段比赛？ (ii) 为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

6
2025 年高考数学解密之概率
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•惠来县校级模拟）有 6 个大小相同的小球，其中 1 个黑色，2 个蓝色，3 个红色．采用放回方式 从中随机取 2 次球，每次取 1 个球，甲表示事件“第一次取红球 ”，乙表示事件“第二次取蓝球 ”，丙表示 事件“两次取出不同颜色的球 ”，丁表示事件“两次取出相同颜色的球 ”，则 ( )
A ． 甲与乙相互独立 B ． 甲与丙相互独立
C ．乙与丙相互独立 D ．乙与丁相互独立 【答案】 A
【考点】随机事件；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式 【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解
【分析】根据给定条件，求出事件甲、乙、丙、丁的概率，再利用相互独立事件的定义判断作答． 【解答】解：依题意，事件甲的概率 事件乙的概率 ，
有放回取球两次的试验的基本事件总数是 6 × 6 = 36 ，
显然事件丙与丁是对立事件，两次取出的球颜色相同含有的基本事件数为12 + 22 + 32 = 14 ， 事件丙的概率 事件丁的概率 ，
对于 A ，事件甲与乙同时发生所含的基本事件数为 6，
其概率 甲与乙相互独立， A 正确；
对于 B ，事件甲与丙同时发生所含的基本事件数为 9，
其概率 甲与丙不独立， B 错误；
对于 C ，事件乙与丙同时发生所含的基本事件数为 8，
其概率 乙与丙不独立， C 错误；
对于 D ，事件乙与丁同时发生所含的基本事件数为 4，
其概率 乙与丁不独立， D 错误．
故选： A ．
【点评】本题考查相互独立事件的判断，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用， 是基础题．
2 ．（2024•江西一模）中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于 2004 年被国际足联正式确认为世界足球运动 的起源．蹴鞠在 2022 年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统

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非遗故事．为弘扬中华传统文化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“ 甲队 ”“乙队 ”“丙队 ”“丁 队 ” ) 进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次（积 分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得 3 分，平场得 1 分，负一场得 0 分．若 每场比赛中两队胜、平、负的概率均为 ，则在比赛结束时丙队在输了第一场且其积分仍超过其余三支球 队的积分的概率为 ( )

A ． B ． C ． D ． 【答案】 D
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式 【专题】概率与统计；对应思想；定义法；数学运算
【分析】根据丙是最高分可得丙余下两场比赛全赢，再就甲乙、甲丁的输赢（丙的第一场对手若为甲）分 类讨论后可得正确的选项．
【解答】解：三队中选一队与丙比赛，丙输， 例如是丙甲， 若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得 4 分，
这时， 甲乙、 甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于 4 分，不合题意， 在甲输的情况下，乙、丁已有 3 分，
那个它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一人得分不小于 4 分，不合题意．
若丙全赢（概率是时，丙得 6 分，其他 3 人分数最高为 5 分， 这时甲乙， 甲丁两场比赛中甲不能赢，否则甲的分数不小于 6 分，
（1）若甲乙， 甲丁两场比赛中甲一平一输，则一平一输的概率是 ， 如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率是 ，
（2）若甲乙， 甲丁两场比赛中甲两场均平，概率是 ，
乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意，
（3）若甲乙， 甲丁两场比赛中甲都输，概率是 ，
乙丁这场比赛只能平，概率是 ．

8
综上，概率为 正确．
故选： D ．
【点评】本题考查相互独立事件的应用，属于中档题．
3 ．（2024•全国二模）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为 0.6 ．我们通过设计模拟实验 的方法求概率，利用计算机产生1 ~ 5 之间的随机数：
425 123 423 344 144 435 525 332 152 342
534 443 512 541 135 432 334 151 312 354
若用 1 ，3 ，5 表示下雨，用 2 ，4 表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为 ( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】 D
【考点】模拟方法估计概率
【专题】转化法；数学运算；概率与统计；转化思想
【分析】根据已知条件，先求出两天下雨随机数的个数，再结合总随机个数，即可求解． 【解答】解：设事件 A = “三天中至少有两天下雨 ”，
20 个随机数中，至少有两天下雨有 123 ，435 ，525 ，332 ，152 ，534 ，512 ，541 ，135 ，334 ，151 ，312，
354 ，即事件 A 发生了 13 次，用频率估计事件 A 的概率近似为 ．
故选： D ．
【点评】本题主要考查模拟方法估计概率，属于基础题．
4 ．（2024•保定一模）已知某羽毛球小组共有 20 名运动员，其中一级运动员4 人，二级运动员6 人，三级
运动员 10 人．现在举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为 0.9 ，0.6， 0.2 ，则这 20 名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为 ( )
A ．0.62 B ．0.58 C ．0.46 D ．0.42
【答案】 C
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式 【专题】概率与统计；方程思想；数学运算；定义法
【分析】利用全概率公式求解．
【解答】解：某羽毛球小组共有 20 名运动员，其中一级运动员4 人，二级运动员6 人，三级运动员 10 人， 现在举行一场羽毛球选拔赛，一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为 0.9 ，0.6 ，0.2，
设事件 A 表示“选中一级运动员 ”，事件 B 表示“选中二级运动员 ”，事件 C 表示“选中三级运动员 ”， 事件 D 表示“选中的运动员能晋级 ”，

9
则 P ， PD | A) = 0.9 ， P(D | B) = 0.6 ， P(D | C) = 0.2 ，
则这 20 名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为：
P （D） = P （A） P(D | A) + P （B） P(D | B) + P （C） P(D | C)
= 0.2 × 0.9 + 0.3 × 0.6 + 0.5 × 0.2
= 0.46 ．
故选： C ．
【点评】本题考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5 ．（2024•济宁三模）若随机变量 X ~ N(3 ， 22 ) ，随机变量 则 )
A ．0 B ． C ． D ．2
【答案】 B
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的均值（数学期望） 【专题】概率与统计；综合法；数学运算；对应思想
【分析】利用正态分布的两个参数就是随机变量的期望和方差，再利用两个线性随机变量之间的期望和方 差公式及性质即可得解．
【解答】解：因为 X ~ N(3 ， 22 ) ，
所以 E(X) = 3 ， D(X) = 4 ，又 ，

故选： B ．
【点评】本题考查了正态分布的特征及期望和方差的有关计算，属于基础题．
6 ．（2024•全国一模）党的二十大报告提出：“深化全民阅读活动．”今天，我们思索读书的意义、发掘知 识的价值、强调阅读的作用，正是为了更好地满足人民群众精神文化生活新期待．某市把图书馆、博物馆、 美术馆、文化馆四个公共文化场馆面向社会免费开放，开放期间需要志愿者参与协助管理．现有 A ， B ， C ，D ，E 共 5 名志愿者，每名志愿者均参与本次志愿者服务工作，每个场馆至少需要一名志愿者，每名 志愿者到各个场馆的可能性相同，则 A ， B 两名志愿者不在同一个场馆的概率为 ( )
A ． B ． C ． D ．

10
【答案】 D
【考点】古典概型及其概率计算公式
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算
【分析】先求出 A ， B 两名志愿者在同一个场馆的概率，再利用对立事件的概率关系求解．
【解答】解：5 名志愿者分配到 4 个场馆，共有 C5(2)A4(4)种不同的方法，A ，B 两名志愿者在同一个场馆共有 A4(4)种不同的方法，
所以 A ， B 两名志愿者不在同一个场馆的概率为 ．

故选： D ．
【点评】本题主要考查了排列组合的基本运算以及古典概型的概率，属于基础题．
7 ．（2024•拉萨二模）从 3 ，4 ，5 ，6 ，7 这 5 个数字中任取 3 个，则取出的 3 个数字的和为大于 10 的偶数 的概率是 ( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】 D
【考点】古典概型及其概率计算公式
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解
【分析】从 3 ，4 ，5 ，6 ，7 这 5 个数字中任取 3 个，利用列举法能求出取出 3 个数字的和为大于 10 的偶 数的概率．
【解答】解：从 3 ，4 ，5 ，6 ，7 这 5 个数字中任取 3 个，有 10 种不同的结果，分别为：
(3 ，4 ， 5) ， (3 ，4 ， 6) ， (3 ，4 ， 7) ， (3 ，5 ， 6) ， (3 ，5 ， 7) ， (3 ，6 ， 7) ， (4 ，5 ， 6) ， (4 ，5 ， 7) ， (4 ，6 ， 7) ， (5 ，6 ， 7) ， 其中取出 3 个数字的和为大于 10 的偶数的结果有 6 个，分别为：
(3 ，4 ， 5) ， (3 ，4 ， 7) ， (3 ，5 ， 6) ， (3 ，6 ， 7) ， (4 ，5 ， 7) ， (5 ，6 ， 7) ，
: 取出的 3 个数字的和为大于 10 的偶数的概率是 ．
故选： D ．
【点评】本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8 ．（2024•临沂一模）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有 的学生每天玩手机 超过1h ，这些人近视率约为 ，其余学生的近视率约为 ，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大 约是 ( )

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A ． B ． C ． D ． 【答案】 C
【考点】古典概型及其概率计算公式
【专题】分析法；数据分析；对应思想；概率与统计；计算题
【分析】根据近视情况分为超过1h 和低于1h 两种可能，利用古典概率模型计算可得．
【解答】解：某学校学生中，大约有 的学生每天玩手机超过1h ，则有 的学生每天玩手机低于1h ， 超过1h 近视率约为 ，低于1h 近视率约为 ，
所以从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是 故选： C ．
【点评】本题考查古典概率模型，属于基础题．
9 ．（2024•和平区模拟）下列说法中，正确的个数为 ( )
①样本相关系数 r 的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度
②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好
③随机变量 ξ 服从正态分布 N(1, σ 2 ) ，若 P(ξ< 3) = 0.8 ，则P(1 < ξ < 3) = 0.3
④随机变量 X 服从二项分布 B(4, p) ，若方差 则
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
【答案】 C
【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差
【专题】转化法；数学运算；转化思想；概率与统计
【分析】结合相关系数、残差的定义，正态分布的对称性，二项分布的知识，即可求解．
【解答】解：样本相关系数 r 的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，故①正确； 用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故②正确；
随机变量 ξ 服从正态分布 N(1, σ 2 ) ， 若 P(ξ < 3) = 0.8 ，
则 P(1 < ξ < 3) = P(ξ < 3) - P(ξ .1) = 0.8 - 0.5 = 0.3 ，故③正确； 随机变量 X 服从二项分布 B(4, p) ，
方差 ，
则 解得 或 ，

12
当 时
当 时 故④错误， 综上所述，正确的个数为 3．
故选： C ．
【点评】本题主要考查相关系数、残差的定义，正态分布的对称性，二项分布的知识，属于基础题．
10 ．（2024•石家庄模拟）某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有 50000 名考
生参加这次考试 ，数学成绩 X 近似服从正态分布 ，其正态密度函数为 兀 且 P(70 .X .110) = 0.8 ，则该市这次考试数学成绩超过 110 分的考生人数约为 ( )
A ．2000 B ．3000 C ．4000 D ．5000
【答案】 D
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【专题】概率与统计；数学运算；转化思想；综合法 【分析】根据正态分布的对称性即可得．
【 解 答 】 解 ： 由 题 易 知 均 值 μ = 90 ， 由 正 态 曲 线 的 对 称 性 可 知 P(X
则该市这次考试数学成绩超过 110 分的考生人数约为 0.1 × 50000 = 5000 ．
故选： D ．
【点评】本题考查正态分布的性质，属于基础题．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•浙江模拟） 已知随机变量X ， Y ，其中 Y = 3X + 1 ，已知随机变量X 的分布列如下表

X
1
2
3
4
5
P
m

n

若 E(X) = 3 ，则 ( )
A ． B ． C ． E(Y) = 10 D ． D(Y) = 21
【答案】 AC
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量及其分布列 【专题】整体思想；概率与统计；综合法；数学运算
【分析】 由已知结合概率的性质及期望公式先检验 A ， B ，然后再由期望及方差的性质即可求解．

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【解答】解： 由 E(X) = 1 × m + 2× 0. 1 + 3× 0.2 + 4× n + 5× 0.3 ，可得 m + 4n = 0.7 ，
由 m + 0. 1 + 0.2 + n + 0.3 = 1 ，可得 m + n = 0.4 ，
从而得： m = 0.3 ， n = 0. 1 ，故 A 正确， B 错误， E(Y) = 3E(X) +1 = 10 ，故 C 项正确，
因为 D(X) = 0.3 × (1 - 3)2 + 0.1 × (2 - 3)2 + 0.1 × (4 - 3)2 + 0.3 × (5 - 3)2 = 2.6 ， 所以 D(Y) = 9D(X) = 23.4 ．，故D 错误．
故选： AC ．
【点评】本题主要考查离散型随机变量及其分布列的求解，属于基础题．
12 ．（2024•滁州模拟） 已知事件 A ， B 满足 P （A） = 0.6 ， P （B） = 0.2 ，则下列结论正确的是 ( )

B ．如果B 二 A ，那么 P(AU B) = 0.6
C ．如果 A 与B 互斥，那么 P(AU B) = 0.8
D ．如果 A 与 B 相互独立，那么P(A . B) = 0.32 【答案】 BCD
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；互斥事件与对立事件 【专题】数学运算；定义法；概率与统计；方程思想
【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐个分析判断即可．

【解答】解：对于选项 A ， P(A) = 1 - P(A) = 0.4, P(B) = 1 - P(B) = 0.8 ，故 A 错误；
对于选项 B ，如果 B 二 A ，那么P(AU B) = P （A） = 0.6 ，故 B 正确；
对于选项 C ，如果 A 与 B 互斥，那么P(AU B) = P （A） +P （B） = 0.8 ，故 C 正确； 对于选项 D ，如果 A 与B 相互独立，那么
P(A . B) = P(A)P(B) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = 0.4 × 0.8 = 0.32 ，故 D 正确． 故选： BCD ．
【点评】本题考查互斥事件和独立事件的概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13 ．（2024•回忆版）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出
口后亩收入的样本均值 x = 2.1 ，样本方差 s2 = 0.01 ，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布 N(1.8 ， 0.12 ) ，假设推动出口后的亩收入 Y 服从正态分布 N(x ， s2 ) ，则 ( ) （若随机变量 Z 服从正态分布

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N(μ,σ 2 ) ，则 P(Z < μ + σ) ≈ 0.8413)

A ． P(X > 2) > 0.2 B ． P(X > 2) < 0.5 C ． P(Y > 2) > 0.5 D ． P(Y > 2) < 0.8 【答案】 BC
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【专题】综合法；概率与统计；转化思想；数学运算
【分析】易知 X ~ N(1.8 ， 0.12 ) ， Y ~ N(2.1 ， 0.12 ) ，由此逐项分析判断即可．

【解答】解：依题意， X ~ N(1.8 ， 0.12 ) ， Y ~ N(2.1 ， 0.12 ) ，

对于 X ~ N(1.8 ， 0.12 ) ，由于 2 = 1.8 + 2 × 0.1 = μ + 2σ ,
则 P(X > 2) = P(X > μ + 2σ) < P(X > μ + σ) = 1 - 0.8413 = 0.1587 ， A 错； P(X > 2) < P(X > 1.8) = 0.5 ， B 对；
对于 Y ~ N(2.1 ， 0.12 ) ，由于 2 = 2.1 - 0.1 = μ - σ , 则 P(Y > 2) > P(Y > 2. 1) = 0.5 ， C 对；
P(Y > 2) = P(Y > μ - σ) = P(Y < μ + σ) = 0.8413 > 0.8 ， D 错． 故选： BC ．
【点评】本题考查正态分布，考查运算求解能力，属于基础题．
14 ．（2024•南昌模拟）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件 A = “第一次出现 2 点 ”， B = “第二次的点数小于 5 点 ”， C = “两次点数之和为奇数 ”， D = “两次点数之和为 9 ”，则 下列说法正确的有 ( )
A ． A 与 B 不互斥且相互独