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2025 年高考数学解密之解答题
一．解答题（共 25 小题）
1 ．（2024•泸州模拟）设函数 f(x) =| 2x 一 2 | + | x + 2 | ．
（1）解不等式f(x) .6 一 x ；
（2）令 f(x) 的最小值为T ；正数 a ， b ， c 满足 a + b + c = T ，证明： 开 ．
2 ．（2024•长安区一模） ΔABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，设 ．
（1）求 B ；
（2）若 ΔABC 的面积等于 ，求 ΔABC 的周长的最小值．
在 ΔABC 中 ．
（1）求 a ；
（2）求 sin A ；
（3）求 cos(B 一 2A) ．
4 ．（2024•天津）设函数 f(x) = xlnx ．
（1）求 f(x) 图像上点 (1 ， f （1） ) 处的切线方程；
若 在 x ∈(0, +∞) 时恒成立，求 a 的值；
若 x1 ， x2 ∈ (0, 1) ，证明 | f 一 f | .| x1 一
5．（2024•西城区模拟）如图，在三棱柱 ABC 一 A1B1C1 中，侧面 A1ACC1 为正方形，AB 丄 AC ，AB = AC = 2 ， D 为 BC 的中点．
( Ⅰ ) 求证： A1C / / 平面 AB1D ；

( Ⅱ ) 若 A1C 丄 AB ，求二面角D 一 AB1 一 A1 的余弦值．

6 ．（2024•抚州模拟）已知四棱锥 P 一 ABCD 的底面是一个梯形， AB / /DC ． 上ABC = 90O ， AB = BC = 4 ，
.

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（1）证明：平面 PAD 丄 平面 ABCD ；
（2）求二面角C - PA - D 的余弦值．

7 ．（2024•盐湖区一模） 已知 F1 、 F2 是双曲线 的左、右焦点，直线l 经过双曲线的左焦点 F1 ， 与双曲线左、右两支分别相交于 A 、 B 两点．
（1）求直线 l 斜率的取值范围；
若 求 ΔAOB 的面积．
8 ．（2024 •一模拟） 已知 ΔABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 AD 是 BC 边上的

（1）求角 A ；
若 求 AD ．
9 ．（2024•梅州模拟） 已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）求椭圆 C 上的点到直线 l : y = 2x 的距离的最大值．
10 ．（2024•江西模拟）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它
们互为“姊妹 ”圆锥曲线．已知椭圆 双曲线 C2 是椭圆 C1 的“姊妹 ”圆锥曲线，
e1 ， e2 分别为 C1 ， C2 的离心率，且 ，点M ， N 分别为椭圆 C1 的左、右顶点．
（1）求双曲线 C2 的方程；

（2）设过点 G(4, 0) 的动直线l 交双曲线 C2 右支于 A ，B 两点，若直线 AM ，BN 的斜率分别为 kAM ，kBN ．
(i) 试探究 kAM 与 kBN 的比值是否为定值．若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
求 的取值范围．
11 ．（2024•贵州模拟） 已知函数 f(x) = xlnx ．
（1）若函数 g(x) = f(x) - a 有两个零点，求实数 a 的取值范围；
（2）已知 A(x1 ，y1 ) ，B(x2 ，y2 ) ，C(x3 ，y3 )（其中 x1 < x2 < x3 且 x1 ，x2 ，x3 成等比数列）是曲线 y = f(x)

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上三个不同的点，判断直线 AC 与曲线y = f(x) 在点 B 处的切线能否平行？请说明理由．
12 ．（2024•德城区校级三模）设函数 f(x) = ex + acos x ， a ∈ R ．曲线 y = f(x) 在点 (0 ， f(0)) 处的切线方 程为 y = x + 2 ．
( Ⅰ ) 求 a 的值；
( Ⅱ ) 求证：方程 f(x) = 2 仅有一个实根；
(Ⅲ) 对任意 x ∈(0, +∞) ，有 f(x) > k sin x + 2 ，求正数 k 的取值范围．
13 ．（2024•天津） 已知四棱柱 ABCD — A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为梯形， AB / /CD ， A1A 丄 平面 ABCD ， AD 丄 AB ，其中 AB = AA1 = 2 ， AD = DC = 1 ． N 是B1C1 的中点， M 是DD1 的中点．
（1）求证： D1N / / 平面 CB1M ；

（2）求平面 CB1M 与平面BB1C1C 的夹角余弦值；

（3）求点B 到平面 CB1M 的距离．

14 ．（2024•毕节市模拟）某地区工会利用“健步行 APP ”开展健步走活动．为了解会员的健步走情况，工 会在某天从系统中抽取了 100 名会员，统计了当天他们的步数（千步为单位），并将样本数据分为[3 ，5) ， [5 ， 7) ， [7 ， 9) ， … , [17 ， 19) ， [19 ， 21] 九组，整理得到如图所示的频率分布直方图．
( Ⅰ ) 根据频率分布直方图，估计样本数据的 70% 分位数；
( Ⅱ ) 据统计，在样本数据 [3 ， 9) ， [9 ， 15) ， [15 ， 21] 的会员中体检为“健康 ”的比例分别为 以频率作为概率，估计在该地区工会会员中任取一人，体检为“健康 ”的概率．

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15 ．（2024 •南开区校级模拟） 已知 ΔABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，满足已知
（1）求角 A 的大小；
若 求 sin 的值；
（3）若 ΔABC 的面积为 ， a = 3 ，求 ΔABC 的周长．
16 ．（2024•开福区校级三模） 如图，在四棱锥 P — ABCD 中， PA 丄 底面 ABCD ，底面 ABCD 是矩形， PA = 2AD = 4 ，且 点 E 在 PC 上．
（1）求证： BD 丄 平面 PAC ；
（2）若 E 为 PC 的中点，求直线 PC 与平面 AED 所成的角的正弦值．

17 ．（2024•保定三模）如图，在三棱柱 ABC — A1B1C1 中， CA = CB ，四边形 ABB1A1 为菱形， 上 ，
.
AC1 丄 B1C

（1）证明： BC = BB1 ．

（2） 已知平面 ABC 丄 平面 ABB1A1 ，求二面角B — CC1 — A 的正弦值．

18 ．（2024•东湖区校级一模） 已知各项均不为 0 的数列{an } 的前 n 项和为 Sn ，且 ．
（1）求{an } 的通项公式；

（2）若对于任意 n ∈ N* ， 2n . λ开Sn 成立，求实数 λ 的取值范围．

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19 ．（2024•如皋市模拟）如图，在三棱柱 ABC — A1B1C1 中， AC = BB1 = 2BC = 2 ， 上CBB1 = 2上 且平面 ABC 丄 平面 B1C1CB ．
（1）求证：平面 ABC 丄 平面 ACB1 ；

（2）设点P 为直线 BC 的中点，求直线 A1P 与平面 ACB1 所成角的正弦值．

20 ．（2024•回忆版）已知双曲线C : x2 — y2 = m(m > 0) ，点P1 (5, 4) 在 C 上， k 为常数， 0 < k < 1 ，按照如下 方式依次构造点 Pn (n = 2 ，3 ， …) ，过 Pn —1 斜率为 k 的直线与 C 的左支交于点 Qn —1 ，令 Pn 为 Qn —1 关于 y 轴的 对称点，记 Pn 的坐标为 (xn ， yn ) ．
若 求 x2 ， y2 ；
（2）证明：数列{xn — yn } 是公比为 的等比数列；
（3）设 Sn 为△ Pn Pn+1Pn+2 的面积，证明：对任意的正整数 n ， Sn = Sn+1 ．

21 ．（2024•长安区校级一模） 已知数列{an } 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 = 3 ， Sn = an + n2 —1．

（1）求{an } 的通项公式；
若 ， Tn = b1b2 + b2b3 + … + bn bn+1 ，求 Tn ．
22．（2024•江西一模）已知椭圆的左右顶点分别为 A 、B ，点 C 在E 上，点M (6, yM ) ，N(6, yN ) 分别为直线 AC 、 BC 上的点．
（1）求 yM . yN 的值；
（2）设直线BM 与椭圆E 的另一个交点为D ，求证：直线 CD 经过定点．
23 ．（2024•河南模拟）设任意一个无穷数列{an } 的前 n 项之积为 Tn ，若 n ∈ N* ，Tn ∈ {an } ，则称{an } 是T 数列．
（1）若{an } 是首项为 —2 ，公差为 1 的等差数列，请判断{an } 是否为T 数列？并说明理由；

（2）证明：若{an } 的通项公式为 an = n . 2n ，则{an } 不是T 数列；

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（3）设{an } 是无穷等比数列，其首项 a1 = 5 ，公比为 q(q > 0) ，若{an } 是 T 数列，求 q 的值．

24 ．（2024•江西一模）在 ΔABC 中，已知内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，且 ΔABC 的面积为 ， 点D 是线段 BC 上靠近点 B 的一个三等分点， AD = 1 ．
（1）若 上
（2）若b2 + 4c2 = 11 ，求 sin 上BAC 的值．
25 ．（2024•河南模拟）如图所示，在△ ABC 中，点D 在边 BC 上，且 CD = 2BD ，E 为边 AB 的中点．S 是
平面 ABC 外一点，且 (SA + SB) . SC = (AB + 2AC) . SC = 0 ．
--→ --→ -- ---→ ---→ --

（1）证明： SC 丄 SD ；
已知 直线 BC 与平面 SDE 所成角的正弦值为 ．
(i) 求△SDE 的面积；
(ii) 求三棱锥 S — ABC 的体积．

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2025 年高考数学解密之解答题
参考答案与试题解析
一．解答题（共 25 小题）
1 ．（2024•泸州模拟）设函数 f(x) =| 2x — 2 | + | x + 2 | ．
（1）解不等式f(x) .6 — x ；
（2）令 f(x) 的最小值为T ；正数 a ， b ， c 满足 a + b + c = T ，证明： 开 ． 证明见解析．
【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明
【专题】数学运算；不等式的解法及应用；推理和证明；对应思想；分析法 【分析】（1）分类讨论 x 的取值，脱掉绝对值符号，解不等式，可得答案；
（2）分类讨论 x 的取值，求出 f(x) 的最小值为展开，利用基本不等式证明
即可证明结论．
【解答】解： (l) 当 x < —2 时， f(x) .6 — x ，即 —2x + 2 — x — 2 .6 — x ，解得 x开— 3 ，故 —3 .x < —2 ； 当 —2.x.1 时， f(x) .6 — x ，即 —2x + 2 + x + 2 .6 — x ， :4 .6 ，则 —2 .x .1 ；
当 x > 1 时， f(x) .6 — x ，即 2x — 2 + x + 2 .6 — x ，解得 故 ，
综上所述，原不等式的解集为 ；
（2）证明：若x < —2 ，则 f(x) = —3x > 6 ；
若 —2 .x .1 ，则 f(x) = —x + 4开3 ； 若 x > 1 ，则 f(x) = 3x > 3 ，
所以函数 f(x) 的最小值 T = 3 ，故 a +b + c = 3 ． 又 a 、 b ， c 为正数，

当且仅当 ， 时等号成立，
所以开 ．
【点评】本题考查不等式的证明，基本不等式的换一法，属于中档题．
2 ．（2024•长安区一模） ΔABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，设
（1）求 B ；

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（2）若 ΔABC 的面积等于 ，求 ΔABC 的周长的最小值．
【考点】基本不等式及其应用；解三角形
【专题】综合题；函数思想；转化思想；分析法；转化法；解三角形；不等式
【分析】（1）先利用边角互化将 转化为关于 B 的方程，求出 上B ．
（2）因为B 已知，所以求面积的最小值即为求 ac 的最小值，结合余弦定理和基本不等式可以求得．
解： 因为 ．

由正弦定理得 显然 sin A > 0 ，所以
所以
所以 ．
（2）依题意
所以当且仅当a = c =2 时取等号．
又由余弦定理得b2 = a2 + c2 — 2ac cosB = a2 + c2 + ac开3ac = 12 ． : ．
当且仅当 a = c =2 时取等号．
所以ΔABC 的周长最小值为 ．
【点评】本题主要考查解三角形、基本不等式等知识，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核 心素养，属于中档题．
在 ΔABC 中 ．
（1）求 a ；
（2）求 sin A ；
（3）求 cos(B — 2A) ．
【答案】（1）4； （2） （3） ．
【考点】正弦定理；两角和与差的三角函数；余弦定理
【专题】逻辑推理；数学运算；转化思想；函数的性质及应用；综合法 【分析】（1）设 a = 2k ，则 c = 3k ， k > 0 ，利用余弦定理能求出 a ；
（2） 由同角三角函数关系式，先求出sin B ．再由正弦定理求出sin A ．
（3）利用二倍角公式求出 sin 2A ，再由同角三角函数关系式求出 cos 2A ，利用两角差三角函数能求出

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cos(B 一 2A) ．
解： 在 ΔABC 中 ， 设 a = 2k ，则 c = 3k ， k > 0 ，

解得 k = 2 ，
: a = 2k = 4 ；
由 得 一 由正弦定理得 即 ，
解得 ．
是锐角，且 ，

: cos(B 一 2A) = cos Bcos 2A + sin B sin 2A

【点评】本题考查余弦定理、正弦定理、二倍角公式、同角三角函数关系式、两角差三角函数等基础知识， 考查运算求解能力，是中档题．
4 ．（2024•天津）设函数 f(x) = xlnx ．
（1）求 f(x) 图像上点 (1 ， f （1） ) 处的切线方程；
若 在 x ∈(0, +∞) 时恒成立，求 a 的值；
若 x1 ， x2 ∈ (0, 1) ，证明 | f 一 f | .| x1 一 【答案】（1） y = x 一 1 ；
（2）2；
（3）详见解答过程．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程

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【专题】逻辑推理；导数的综合应用；数学运算；整体思想
【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义可切线斜率，进而可求切线方程；
（2）设 g(t) = a(t —1) — 2lnt ，命题等价于对任意 t ∈(0, +∞) ，都有 g(t)开0 ，利用特殊值赋值法，即可求解；
（3）结合重要不等式t —1开lnt 可先证明对 0 < a < b ，有 然后结合 x1 ， x2 的 各种情况进行证明即可．
【解答】解：（1） 由于 f(x) = xlnx ，故 f /(x) = lnx +1 ， 所以 f （1） = 0 ， f / （1） = 1，
所以所求的切线经过 (1, 0) ，且斜率为 1， 故其方程为 y = x — 1 ；
设 h = t —1 —lnt ，则 从而当 0 < t < 1时 h/(t) < 0 ，当 t > 1时 h/(t) > 0 ， 所以 h(t) 在 (0 ， 1] 上递减，在[1 ， +∞) 上递增，这就说明 h(t)开h （1），
即 t —1开lnt ，且等号成立当且仅当 t = 1 ， 设 g(t) = a(t —1) — 2lnt ，

当 x ∈(0, +∞) 时， 的取值范围是 (0, +∞) ，
所以命题等价于对任意 t ∈(0, +∞) ，都有 g(t)开0 ．
一方面，若对任意 t ∈(0, +∞) ，都有 g(t)开0 ，则对t ∈(0, +∞) ，

取 t = 2 ，得 0 .a —1 ，故 a开1 > 0 ．
再取 得 所以 a = 2 ．
另一方面，若 a = 2 ，则对任意t ∈(0, +∞) 都有 g(t) = 2(t —1) — 2lnt = 2h(t)开0 ，满足条件．
综合以上两个方面知 a = 2 ．
证明：（3）先证明一个结论：对 0 < a < b ，有
证明：前面已经证明不等式t —1开lnt ，

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所以
由 f’(x) = lnx + 1 ，可知当 时， f’ 当 x > 时 f’(x) > 0 ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
不妨设 x1 .x2 ，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论．
情况一：当 时，有 结论成 立；
情况二：当 时，有 | f(x1 ) — f(x2 ) |= f(x1 ) — f(x2 ) = x1lnx1 — x2 lnx2
对任意的 设
由 于 φ’(x) 单 调 递 增 ， 且 有

且当 时， 由 可知，

所以 φ’(x) 在 (0, c) 上存在零点 x0 ，再结合φ’(x) 单调递增，即知 0 < x < x0 时φ’(x) < 0 ，x0 < x < c 时φ’(x) > 0 故φ (x) 在 (0 ， x0 ]上递减，在[x0 ， c] 上递增．
①当 x0 .x.c 时，有φ (x) .φ （c） = 0 ；
②当 0 < x < x0 时， 由于 故我们可以取 ． 从而当 时， 由 ，

c
再根据φ (x) 在 (0 ， x0 ]上递减，即知对 0 < x < x0 都有φ (x) < 0 ；

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综合①②可知对任意 0 < x .c ，都有φ .0 ，即
根据 和 0 < x.c 的任意性，取 c = x2 ， x = x1 ，就得到
x2 — x1
所以 | f(x1 ) — f(x2 ) |= f(x1 ) — f(x2 ) = x1lnx1 — x2 lnx2 .
情况三：当 时，根据情况一和情况二的讨论，

而根据 f(x) 的单调性，知 或
故一定有 成立．
综上，结论成立．
【点评】本题主要考查了导数几何意义在切削方程求解中的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围， 及不等式的证明，属于难题．
5．（2024•西城区模拟）如图，在三棱柱 ABC — A1B1C1 中，侧面 A1ACC1 为正方形，AB 丄 AC ，AB = AC = 2 ， D 为 BC 的中点．
( Ⅰ ) 求证： A1C / / 平面 AB1D ；

( Ⅱ ) 若 A1C 丄 AB ，求二面角D — AB1 — A1 的余弦值．

【答案】 (I) 证明过程请见解答；( Ⅱ ) .
【考点】直线与平面平行；二面角的平面角及求法
【专题】空间位置关系与距离；逻辑推理； 向量法；空间角；转化思想；数学运算
【分析】 (I) 连接 A1B ，设 A1B∩ AB1 = E ，连接DE ， 由中位线的性质知DE / /A1C ，再由线面平行的判定 定理，即可得证；
( Ⅱ ) 先证 AB ，AC ，AA1 两两相互垂直，再以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角， 即可得解．

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【解答】 (I) 证明：连接 A1B ，设 A1B∩ AB1 = E ，连接DE ，则 E 为 A1B 的中点， 因为 D 为 BC 的中点，
所以DE / /A1C ，

又 A1C / 平面 AB1D ， DE 平面 AB1D ， 所以 A1C / / 平面 AB1D ．

( Ⅱ ) 解：因为 AB 丄 A1C ， AB 丄 AC ，且 A1C∩ AC = C ， 所以 AB 丄 平面 A1ACC1 ，
又 AA1 平面 A1ACC1 ，所以 AB 丄 AA1 ，

又 AA1 丄 AC ，

所以 AB ， AC ， AA1 两两相互垂直，
故以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(0 ，0 ， 0) ， B1 (2 ，0 ， 2) ， D(1 ，1 ， 0) ， C(0 ，2 ， 0) ，
所以
设平面 AB1D 的法向量为 = (x, y, z) ， 则 即
令 x = —1 ，所以 = (—1 ，1 ， 1) ，
因为 AC 丄 平面 A1ABB1 ，

---→
所以 AC = (0, 2, 0) 是平面 A1ABB1 的一个法向量，

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所以

由题意知，二面角D — AB1 — A1 的平面角为钝角，
所以二面角D — AB1 — A1 的余弦值为 ．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行的判定定理，线面垂直的判定、性质定理，以 及利用向量法求二面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
6 ．（2024•抚州模拟）已知四棱锥 P — ABCD 的底面是一个梯形， AB / /DC ． 上ABC = 90O ， AB = BC = 4 ， .
（1）证明：平面 PAD 丄 平面 ABCD ；
（2）求二面角C — PA — D 的余弦值．

【考点】平面与平面垂直；二面角的平面角及求法 【专题】空间角； 向量法；转化思想；数学运算
【分析】（1）分别取 AD ，BC 的中点O ，E ，连接 OP ，OE ，PE ，结合等腰三角形的性质与勾股定理， 可证 OP 丄 AD ， OP 丄 OE ，从而知 OP 丄 平面 ABCD ，再由面面垂直的判定定理，即可得证；
（2） 以 C 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角，即可得解． 【解答】（1）证明：分别取 AD ， BC 的中点 O ， E ，连接 OP ， OE ， PE ，
在直角梯形 ABCD 中 因为 PA = PD = 3 ，
所以 OP 丄 AD ，且
又 的中点， 所以 所以 OP2 + OE2 = PE2 ，即 OP 丄 OE ，
又 AD∩ OE = O ， AD 、 OE 平面 ABCD ， 所以 OP 丄 平面 ABCD ，

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因为 OP 平面 PAD ，所以平面 PAD 丄 平面 ABCD ．
（2）解：以 C 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(4 ，4 ， 0) ， C(0 ，0 ， 0) ， D(2 ，0 ， 0) ， P(3 ，2 ， 2) ，
所以 AP = (一1 ， 一2 ， 2) ， CA = (4 ，4 ， 0) ， DA = (2 ，4 ， 0) ，
---→ -- ---→

设平面 PAC 的法向量为 则 取 x = 一2 ，则 y = 2 ， z = 1 ，所以 = (一2 ，2 ， 1) ，
设平面 PAD 的法向量为 则 取b = 1 ，则 a = 一2 ， c = 0 ，所以 = (一2 ，1 ， 0) ，
所以 由图可知，二面角 C 一 PA 一 D 为锐角，
故二面角 C 一 PA 一 D 的余弦值为 ．

【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理，利用向量法求二面角是解 题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
7 ．（2024•盐湖区一模） 已知 F1 、 F2 是双曲线 的左、右焦点，直线l 经过双曲线的左焦点 F1 ， 与双曲线左、右两支分别相交于 A 、 B 两点．
（1）求直线 l 斜率的取值范围；
若 求 ΔAOB 的面积． ;
（2） ．

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【考点】双曲线与平面向量
【专题】数形结合；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算；方程思想；综合法
【分析】（1）设直线l 的方程为 y = k(x + 2) ，将该直线方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线的位 置关系可得出关于实数 k 的不等式组，即可解得 k 的取值范围；
（2）设直线l 的方程为 x = my — 2 ，设点 A(x1 ，y1 ) 、B(x2 ，y2 ) ，由平面向量的坐标运算可得出y2 = 5y1 ， 将直线l 的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理求出 m 的值，可得出 | y1 | 的值，然后利用三角形的面 积公式可求得 ΔAOB 的面积．
【解答】解：（1）在双曲线 中 则
该双曲线的左焦点为 F1 (—2, 0) ，若直线l 的斜率不存在，则直线l 与双曲线交于左支上的两点，不合乎题意， 设直线l 的方程为 y = k(x + 2) ，设点 A(x1 ， y1 ) 、 B(x2 ， y2 ) ，
联立 可得 (k2 — 3)x2 + 4k2x + (4k2 + 3) = 0 ， 因为直线 l 与双曲线左、右两支分别相交于 A 、 B 两点，
所以 解得 ，
因此，直线l 的斜率的取值范围是 ．

---→ ---→
（2）因为F1B = (x2 + 2, y2 ) ， AB = (x2 — x1, y2 — y1 ) ， 由 可得 则 y2 = 5y1 ，
当直线l 与 x 轴重合时，则点 此时， 不合乎题意，

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设直线l 的方程为 x = my — 2 ，联立 可得y2 —12my + 9 = 0 ， 由 可得 则 或 ，
由韦达定理可得 则 ，
即 解得 则 ，
【点评】本题考查了双曲线的性质，考查了直线与双曲线的综合，考查了方程思想及数形结合思想，属于 中档题．
8 ．（2024 •一模拟） 已知 ΔABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 AD 是 BC 边上的

（1）求角 A ；
若 求 AD ． 【答案】（1）
（2）6．
【考点】正弦定理；余弦定理；解三角形
【专题】解三角形；综合法；数学运算；计算题；转化思想
【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式可得 利用余弦定理可得 结合 A ∈(0, 兀) ，即可求解 A 的值；
（2）由题意利用三角函数恒等变换可求 设 AD = x ，BD = y ，DC = z ，可得 , 由题意可得 3y = 2z ，又y + z = 5 ，解得： z = 3 ， y = 2 ，利用三角函数恒等变换的应用即可求 解．
解： 因为 C ，

利用正弦定理可得 可得 ， 利用余弦定理
由于 A ∈(0, 兀) ， 所以

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因为 sin 可得 sin Bcos C 一
又 可得 由 ，
所以 可得 2 tan B = 3 tan C ，即 在 ΔABC 中， AD 丄 BC ，设 AD = x ， BD = y ， DC = z ，
则 ，
所以由③可得 整理得： 3y = 2z ， 由于： y + z = 5 ，
解得： z = 3 ， y = 2 ，
由于
所以： 可得 ，整理可得 x2 一 5x 一 6 = 0 ，
解得： x = 6 或 一1 （舍去），即 AD = 6 ．

【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用，考查了学生的运 算能力和数学思维能力，属于中档题．
9 ．（2024•梅州模拟） 已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）求椭圆 C 上的点到直线 l : y = 2x 的距离的最大值． 【答案】（1） （2） ．
【考点】椭圆的几何特征；直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程
【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题；设而不求法；数学运算；转化思想

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【分析】（1） 由椭圆的离心率，可得 a ， b 的关系，设椭圆的方程，将点T 的坐标代入椭圆的方程，可得 参数的值，即可得 a ， b 的值，求出椭圆的方程；
（2）设与 y = 2x 平行的直线的方程，与椭圆的方程联立，由判别式为 0 ，可得参数的值，进而求出两条直 线的距离，即求出椭圆上的点到直线的最大距离．
【解答】解：（1） 由椭圆的离心率为 可得 ， 可得 3a2 = 4b2 ，设椭圆的方程为
又因为椭圆经过点 所以， 解得 t2 = 1 ，
所以椭圆的方程为 ；
（2）设与直线y = 2x 平行的直线的方程为 y = 2x + m ，
联立 ，整理可得： 19x2 +16mx + 4m2 -12 = 0 ， △ = 162 m2 - 4× 19× (4m2 -12) = 0 ，可得m2 = 19 ，则 ，
所以直线 y = 2x + m 到直线y = 2x 的距离 ．
所以椭圆 C 上的点到直线 l : y = 2x 的距离的最大值为 ．
【点评】本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
10 ．（2024•江西模拟）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它
们互为“姊妹 ”圆锥曲线．已知椭圆 双曲线 C2 是椭圆 C1 的“姊妹 ”圆锥曲线，
e1 ， e2 分别为 C1 ， C2 的离心率，且 ，点M ， N 分别为椭圆 C1 的左、右顶点．
（1）求双曲线 C2 的方程；

（2）设过点 G(4, 0) 的动直线l 交双曲线 C2 右支于 A ，B 两点，若直线 AM ，BN 的斜率分别为 kAM ，kBN ．
(i) 试探究 kAM 与 kBN 的比值是否为定值．若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
求 的取值范围． ;

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（2） ， 【考点】直线与圆锥曲线的综合
【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想；数学运算；综合法
【分析】（1） 由题意可设双曲线 利用 可求b ；
（2）(i) 设 A(x1 ，y1 ) ，B(x2 ，y2 ) ，直线 AB 的方程为 x = ty + 4 ，与双曲线联立方程组可得 ，
进而计算可得 为定值．
(ii) 设直线 AM : y = k (x + 2) ，代入双曲线方程可得 进而可得
进而由 可得 进而求得 的取值范围．
【解答】解：（1） 由题意可设双曲线 ， 则 解得b2 = 1，
: 双曲线 C2 的方程为
（2） (i) 设 A(x1 ， y1 ) ， B(x2 ， y2 ) ，直线 AB 的方程为 x = ty + 4 ，
由 ，消去 x 得 (t2 - 4)y2 + 8ty +12 = 0 ，则 t ≠ ±2 ，△ > 0 ，

(ii) 设直线 AM : y = k (x + 2) ，代入双曲线方程并整理得 (1 - 4k2 )x2 -k2x -16k2 - 4 = 0(1 - 4k2 ≠ 0) ， 由于点M 为双曲线的左顶点， : 此方程有一根为 -2 ，
解得 ，
: 点 A 在双曲线的右支上
解得 即 ， 同理可得

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【点评】本题考查椭圆和双曲线的标准方程与离心率，双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，渐 近线与双曲线的位置关系，属中档题．
11 ．（2024•贵州模拟） 已知函数 f(x) = xlnx ．
（1）若函数 g(x) = f(x) — a 有两个零点，求实数 a 的取值范围；
（2）已知 A(x1 ，y1 ) ，B(x2 ，y2 ) ，C(x3 ，y3 )（其中 x1 < x2 < x3 且 x1 ，x2 ，x3 成等比数列）是曲线 y = f(x)
上三个不同的点，判断直线 AC 与曲线y = f(x) 在点 B 处的切线能否平行？请说明理由．
不能，详见解答过程．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的最值 【专题】整体思想；数学运算；综合法；导数的综合应用
【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性关系及函数零点存在条件即可求解；
（2）由已知结合直线的斜率公式及等比数列的性质可得关于 q 的方程，结合等式特点构造函数，对其求导， 结合导数与单调性关系即可求解．
【解答】解：（1）令 g(x) = 0 ，由题设知方程 f(x)= a 有两个实数根， 因为 f’(x) = lnx +1 ，
当 时， f’(x) < 0 ， f(x) 单调递减，当 时， f’(x) > 0 ， f(x) 单调递增， 当 时，函数取得极小值 ，
当 及 且 ，
当 x > 1 时f(x) > 0 ， f （1） = 0 且 x → +∞ 时 f(x) → +∞ .
所以当 时， y = f(x) 与 y = a 有两个不同的交点，即 g(x) = f(x) — a 有两个不同的零点．
（2）因为x1 < x2 < x3 且 x1 ， x2 ， x3 成等比数列，设公比为 q(q > 1) ，

则 x2 = x1q ， x3 = x1q2 ，（8 分）

直线 AC 的斜率 函数 y = f(x) 在点 B 处的切线斜率 kB = f’(x2 ) = lnx2 + 1 = lnx1 + lnq + 1 ，

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假设直线 AC 与函数y = f(x) 在点 B 处的切线平行，则 kAC = kB ， 整理成 ，
令 所以 在 (1, +∞) 单调递增，所以 g(x) > g （1） = 0 ， 所以 在 q > 1时无实数解，
所以直线 AC 与函数y = f(x) 在点 B 处的切线不能平行．
【点评】本题主要考查了导数与单调性关系及函数性质在零点存在问题中的应用，还考查了等比数列性质 的应用，属于中档题．
12 ．（2024•德城区校级三模）设函数 f(x) = ex + acos x ， a ∈ R ．曲线 y = f(x) 在点 (0 ， f(0)) 处的切线方 程为 y = x + 2 ．
( Ⅰ ) 求 a 的值；
( Ⅱ ) 求证：方程 f(x) = 2 仅有一个实根；
(Ⅲ) 对任意 x ∈(0, +∞)