2025年高考数学压轴训练一十九.docx

2025 年高考数学压轴训练 19
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•安庆模拟）已知抛物线 C : x2 = 2py(p > 0) 的焦点F 到其准线的距离为 2 ，点M (x1 ，y1 ) ， N(x2 ， y2 ) 是抛物线 C 上两个不同的点，且 则 )
A ． B ． C ． D ．3
2 ．（2024•海州区校级模拟）过抛物线 y2 = 2px(p > 0) 焦点的直线l 交抛物线于 A ，B 两点，已知 | AB |= 8 ， 线段 AB 的垂直平分线经过点M (6, 0) ，则 p = ( )
A ．2 B ．4 C ．6 D ． 8
3 ．（2024•成都三模） 已知点 P ， Q 分别是抛物线 C : y2 = 4x 和圆 E : x2 + y2 一10x + 21 = 0 上的动点，若抛 物线 C 的焦点为 F ，则 2 | PQ | + | QF | 的最小值为 ( )
A ．6 B ． C ． D ．

4 ．（2024•李沧区校级一模） 已知 P 为抛物线x2 = 4y 上的一点，过P 作圆 x2 + (y一 3)2 = 1 的两条切线，切 点分别为 A ， B ，则 cos 上APB 的最小值是 ( )
A ． B ． C ． D ．
5 ．（2024•启东市校级模拟）已知点F 为抛物线 C : y2 = 4x 的焦点，过 F 的直线l 与 C 交于 A ，B 两点，则 | AF | +2 | BF | 的最小值为 ( )
A ． B ．4 C ． D ．6

6．（2024•海陵区校级模拟）过抛物线 C : y2 = 4x 焦点F 且斜率为 的直线与 C 交于 A 、B 两点，若 PF 为
ΔPAB 的内角平分线，则 ΔPAB 面积最大值为 ( )
A ． B ． C ． D ．16
7 ．（2024•广东模拟）抛物线y2 = 4x 的焦点为 F ，过F 的直线交该抛物线于 A 、B 两点，则 | AF |+4 | BF | 的最小值为 ( )
A ．8 B ．9 C ．10 D ．11
8 ．（2024•辽宁模拟） 已知抛物线 E : y2 = 2px(p > 0) 的焦点为 F ，过点F 作两条互相垂直的直线 l1 ， l2 ， 分别与抛物线 E 相交于点 A ， B 和点 是抛物线 E 上一点，且 从 点 P 引抛物线 E 的准线的垂线，垂足为M ，则 ΔMPF 的内切圆的周长为 ( )

1
A ． 兀 B ． 兀 C ． 兀 D ． 兀
9 ．（2024•海南模拟）已知过抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) 焦点F 的直线交 C 于 A ，B 两点，点 A ，B 在 C 的 准线上的射影分别为点 A1 ， B1 ，线段 AB 的垂直平分线 l 的倾斜角为120O ，若 | A1B1 |= 4 ，则 p = ( )
A ． B ．1 C ．2 D ．4
10．（2024•青羊区校级模拟）已知抛物线C : y2 = 4x 的焦点为 F ，直线 y = k (x 一1)(k ∈ R 且 (k ≠ 0)) 交 C 于 A ， B 两点，直线 OA ， OB 分别与 C 的准线交于M ， N 两点， (O 为坐标原点），下列选项正确的有 ( )
A ． k ∈ R 且k ≠ 0, O(-)-M--→ . O(-)-A = O(-)- . O(-)- B ． k ∈ R 且k ≠ 0 ， O(-)-M--→ . O(-)- = O(-)-A . O(-)-
C ． k ∈ R 且 k ≠ 0, O(-)-M--→ . O(-)- = O(-)-2 D ． 3k ∈ R 且 k ≠ 0, O(-)-M--→ . O(-)- = O(-)-2
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•盐湖区一模）抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) 的焦点为 F ， A(x1 ， y1 ) 、 B(x2 ， y2 ) 是抛物线上的两 个动点， M 是线段 AB 的中点，过M作 C 准线的垂线，垂足为 N ，则 ( )
A ．若 A(-)- = 2F--B ，则直线 AB 的斜率为 或 一2·、i2
则
C ．若 A(-)- 和F--B 不平行，则 |
D ．若 上AFB = 120O ，则 的最大值为

12 ．（2024•回忆版）抛物线C : y2 = 4x 的准线为l ，P 为 C 上的动点，过P 作 A : x2 + (y一 4)2 = 1的一条切 线， Q 为切点，过点 P 作l 的垂线，垂足为B ，则 ( )
A ． l 与 A 相切
B ．当 P ， A ， B 三点共线时，
C ．当 | PB |= 2 时， PA 丄 AB
D ．满足 | PA |=| PB | 的点 P 有且仅有 2 个
13 ．（2024•南关区校级模拟）已知抛物线 C : y2 = 2x 的焦点为 F ，准线为l ，点 A ， B 在 C 上 (A 在第一象
---→ ---→
限），点 Q 在l 上， 以 AB 为直径的圆过焦点F ， QB = λBF ，则 ( )
A ．若 λ = 2 ，则 B ．若 λ = 一 则

2
C ． 上 则 D ． 上 则 | FA |= 2
14 ．（2024•永州三模） 已知抛物线 C : x2 = 2y 的焦点为 F ，过点 F 且倾斜角为锐角的直线 l 与抛物线 C 相 交于 A ， B 两点（点 A 在第一象限），过点 A 作抛物线 C 的准线的垂线，垂足为M ，直线l 与抛物线 C 的 准线相交于点 N ，则 ( )
A ． | AF | + | BF | 的最小值为 2
B ．当直线l 的斜率为 时， | AB |= 8
C ．设直线BM ， MF 的斜率分别为 k1 ， k2 ，则
D ．过点 B 作直线 AM 的垂线，垂足为 Q ， BQ 交直线MF 于点P ，则 | BP |=| PQ |
15 ．（2024•姜堰区校级模拟）已知抛物线 C : y2 = 4x ，过点 T(4, 0) 的直线与抛物线交于 A(x1 ， y1 ) ， B(x2 ， y2 ) 两点， O 为坐标原点，抛物线的焦点为 F ，则 ( )
A ． OA 丄 OB
B ．点T 与抛物线上任意一点的最短距离为 4
C ． y1(2) + y2(2) 的最小值为 32

D ． | x1 - y1 + 2 | + | x2 - y2 + 2 | 的最小值为 11
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•合肥模拟）抛物线C : y2 = 4x 的焦点为 F ，准线为l ， A 为 C 上一点，以点F 为圆心，以 | AF |
---→ --- ----→
为半径的圆与 l 交于点B ， D ，与 x 轴交于点M ， N ，若 AB = FM ，则 | AM |= ．
17．（2024•淮北模拟）已知抛物线 y2 = 2px(p > 0) 准线为l ，焦点为F ，点 A ，B 在抛物线上，点 C 在l 上，
满足： A(-)- = λF--B ， A(-)- = μB-- ，若 λ = 3 ，则实数 μ = ．

18 ．（2024•西城区校级模拟）设点 P(x0 ，y0 ) 在抛物线 C : x2 = 8y 上，已知 A(0, 2) ，B(0, -2) ．若 | AP |= 5 ， 则 y0 = ；若 x0 > 0 ，则直线 BP 斜率的最小值为 ．

19 ．（2024•雁峰区校级模拟）已知 Q 为抛物线 C : y2 = 4x 上的动点，动点M 满足到点 A(2, 0) 的距离与到点 F (F 是 C 的焦点）的距离之比为 ，则 | QM | + | QF | 的最小值是 ．
20 ．（2024•河北一模）已知抛物线y2 = 4x 的焦点为 F ，过点F 的直线l 交抛物线于 A ，B 两点，AB 的中 点为 P ，以 AB 为直径的圆与 y 轴交于M ， N 两点，当 上MPN 取最大值时，此时 sin 上MPN = ．

3
四．解答题（共 5 小题）
21 ．（2024•朝阳区校级模拟）已知 O 为坐标原点，抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) ，过点 G(1, 0) 的直线交抛物线

-- ---→
于 A ， B 两点， OA . OB = 一1 ．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）若点D(一1, 0) ，连接 AD ， BD ，证明： | AD | . | BG |=| BD | . | AG | ；
（3） 已知圆 G 以 G 为圆心，1 为半径，过 A 作圆 G 的两条切线，与y 轴分别交于点M ， N 且M ， N 位 于 x 轴两侧，求 ΔAMN 面积的最小值．
22．（2024•昌乐县校级模拟）如图，O 为坐标原点，F 为抛物线y2 = 2x 的焦点，过 F 的直线交抛物线于 A ，
B 两点，直线 AO 交抛物线的准线于点D ，设抛物线在 B 点处的切线为l ．
（1）若直线 l 与 y 轴的交点为E ，求证： | DE |=| EF | ；
（2）过点B 作l 的垂线与直线 AO 交于点 G ，求证： | AD |2 =| AO | . | AG | ．

23 ．（2024•四川模拟）已知抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) 的焦点为 F ，过点 F 的动直线 l 与抛物线交于 A ，B 两点， M 为 AB 的中点，且点M 到抛物线的准线距离的最小值为 2．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）设抛物线在 A ， B 两点的切线相交于点 Q ，求点 Q 的横坐标．
24．（2024•安徽模拟）已知 F 为抛物线 E : y2 = 2px(p > 0) 的焦点，O 为坐标原点，M 为 E 的准线l 上一点， 直线MF 的斜率为 一1 ，ΔOFM 的面积为 ．已知 P(3, 1) ，Q(2, 1) ，设过点P 的动直线与抛物线 E 交于 A 、 B 两点，直线 AQ ， BQ 与 E 的另一交点分别为 C ， D ．
( Ⅰ ) 求抛物线 E 的方程；
( Ⅱ ) 当直线 AB 与 CD 的斜率均存在时，讨论直线 CD 是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请 说明理由．

4

25 ．（2024•五莲县校级模拟）已知抛物线 E : y = x2 ，过点 T(1, 2) 的直线与抛物线E 交于 A ，B 两点，设抛 物线 E 在点 A ， B 处的切线分别为 l1 和 l2 ，已知 l1 与x 轴交于点M ， l2 与 x 轴交于点N ，设 l1 与 l2 的交点 为 P ．
（1）证明：点P 在定直线上；
（2）若 ΔPMN 面积为 求点P 的坐标；
（3）若 P ， M ， N ， T 四点共圆，求点P 的坐标．

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2025 年高考数学压轴训练 19
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•安庆模拟）已知抛物线 C : x2 = 2py(p > 0) 的焦点F 到其准线的距离为 2 ，点M (x1 ，y1 ) ， N(x2 ， y2 ) 是抛物线 C 上两个不同的点，且 则 )
A ． B ． C ． D ．3
【答案】 A
【考点】抛物线的焦点与准线
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；整体思想；数学运算；综合法 【分析】 由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解．
【解答】解：已知抛物线 C : x2 = 2py(p > 0) 的焦点F 到其准线的距离为 2， 则 p = 2 ，
即抛物线 C 的方程为 x2 = 4y ，

又点M (x1 ， y1 ) ， N(x2 ， y2 ) 是抛物线 C 上两个不同的点，且 则 x12 - 3x22 = 8 ，
即 y1 - 3y2 = 2 ，

即 (y1 + 1) = 3(y2 + 1) ， 即 | MF |= 3 | NF | ，
则 ．
故选： A ．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属中档题．
2 ．（2024•海州区校级模拟）过抛物线 y2 = 2px(p > 0) 焦点的直线l 交抛物线于 A ，B 两点，已知 | AB |= 8 ， 线段 AB 的垂直平分线经过点M (6, 0) ，则 p = ( )
A ．2 B ．4 C ．6 D ． 8
【答案】 B
【考点】抛物线的焦点与准线
【专题】计算题；数学运算；整体思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法

6
【分析】设直线 l 的方程为 ，利用设而不求法求弦长 | AB | 的表达式，再求线段 AB 的垂直平分 线， 由条件列方程求 m ， p 可得结论．
【解答】解：抛物线 y2 = 2px 的焦点F 的坐标为 ，
若直线l 的斜率为 0 ，则直线l 与抛物线 y2 = 2px 只有一个交点，不满足条件， 故可设直线l 的方程为 ，
联立 ，化简可得 y2 一 2pmy 一 p2 = 0 ， 方程 y2 一 2pmy 一 p2 = 0 的判别式△ = 4p2 m2 + 4p2 > 0 ， 设 A(x1 ， y1 ) ， B(x2 ， y2 ) ，
则 y1 + y2 = 2pm, y1y2 = 一p2 ，

所以 | AB |= x1 + x2 + p = m(y1 + y2 ) + 2p = 2p(m2 +1) ， 由已知 2p(m2 +1) = 8 ，
设 AB 的中点为 P(x0 ， y0 ) ， 则 ，
所以线段 AB 的垂直平分线方程为 y 一 pm = 一m
因为M (6, 0) 在线段 AB 的垂直平分线上， 所以 p = 6 一 pm2 一 故 ， 所以 m = 0 ， p = 4 ．
故选： B ．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
3 ．（2024•成都三模） 已知点 P ， Q 分别是抛物线 C : y2 = 4x 和圆 E : x2 + y2 一10x + 21 = 0 上的动点，若抛 物线 C 的焦点为 F ，则 2 | PQ | + | QF | 的最小值为 ( )
A ．6 B ． C ． D ． 【答案】 C
【考点】抛物线的焦点与准线

7
【专题】综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；直线与圆；转化思想；数学运算
【 分析】 设 点 Q 的坐标为 (x0 ， y0 ) ， T(t, 0) 是 x 轴上一点 ， 令 | QF |= 2 | QT | ， 可解得 t = 4 ，进而 2 | PQ | + | QF |= 2(| PQ | + | QT |) ，最后运用两点的距离公式及三角形的性质可求解．
【解答】解：设点 Q 的坐标为 (x0 ， y0 ) ， T(t, 0) 是 x 轴上一点， 由抛物线的性质知点F 的坐标为 (1, 0) ，

令 | QF |= 2 | QT | ，则
将 y0(2) = 一x0(2) +10x0 一 21 ，代入化简得 t = 4 ，
即点 T(4, 0) 满足 | QF |= 2 | QT | ，
所以 2 | PQ | + | QF |= 2 | PQ | +2 | QT |= 2(| PQ | + | QT |) ，
设点 P 坐标为 一

所以 2 | PQ | + | QF |= 2(| PQ | + | QT |)开2 | PT | 开4 ·、 ．
故选： C ．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查两点的距离公式，考查三角形的基础知识，属于中档题．
4 ．（2024•李沧区校级一模） 已知 P 为抛物线x2 = 4y 上的一点，过P 作圆 x2 + (y一 3)2 = 1 的两条切线，切 点分别为 A ， B ，则 cos 上APB 的最小值是 ( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】 C
【考点】抛物线的焦点与准线；圆与圆锥曲线的综合
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想；综合法；数学运算
设 ，由 | PC | 取得最小值时， 上APB 最大， cos 上APB 最小即可求解．
【解答】解：如图所示：

8

因为 上APB = 2上APC ， sin 上
设 则 一 2 + 8 ，
当 t2 = 4 时， | PC | 取得最小值 ，此时， 上APB 最大， cos 上APB 最小，
故选： C ．
【点评】本题主要考查圆与抛物线的综合知识，考查计算能力，属于中档题．
5 ．（2024•启东市校级模拟）已知点F 为抛物线 C : y2 = 4x 的焦点，过 F 的直线l 与 C 交于 A ，B 两点，则 | AF | +2 | BF | 的最小值为 ( )
A ． B ．4 C ． D ．6
【答案】 C
【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合
【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算；转化思想；综合法
【分析】设过 F 的直线l 的方程为 y = k(x 一1) ，k ≠ 0 ，联立直线与抛物线方程，通过根与系数关系及基本 不等式，即可求解．
【解答】解： :抛物线 C 方程为： y2 = 4x ，
: p = 2 ， F(1, 0) ，准线方程为 x = 一1 ，
设过 F 的直线l 的方程为 y = k(x 一1) ， k ≠ 0 ，
联立 ，可得 k2x2 一 (2k2 + 4)x + k2 = 0 ， 设 A(x1 ， y1 ) ， B(x2 ， y2 ) ，

9
:x1x2 = 1 ， x1 > 0 ，

当且仅当 即 时等号成立，
:| AF |+2 | BF | 的最小值为 ．
故选： C ．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，基本不等式的应用，属中档题．
6．（2024•海陵区校级模拟）过抛物线 C : y2 = 4x 焦点F 且斜率为 的直线与 C 交于 A 、B 两点，若 PF 为
ΔPAB 的内角平分线，则 ΔPAB 面积最大值为 ( )
A ． B ． C ． D ．16
【答案】 B
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想；数学运算；综合法；计算题
【分析】求出直线 AB 的方程，与抛物线方程联立求出点 A ，B 的坐标，由内角平分线可得 ， 由此求出点P 的坐标满足的关系，进而求出点 P 到直线 AB 距离的最大值即可得解．
【解答】解：抛物线 C : y2 = 4x 焦点F(1, 0) ，直线 AB 的方程为 ，
由 解得 不妨令 ， 则 由 PF 为 ΔPAB 的内角平分线， 得 设点 P(x, y) ，

整理得 显然点 P 在以点为圆心，2 为半径的圆上， 因此点 P 到直线 AB 距离的最大值为 2，

10
所以 ΔPAB 面积最大值为 ． 故选： B ．

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，借助三角形面积公式求出角平分线的性质，进而 求出角顶点的轨迹方程是解题之关键，是中档题．
7 ．（2024•广东模拟）抛物线y2 = 4x 的焦点为 F ，过F 的直线交该抛物线于 A 、B 两点，则 | AF |+4 | BF | 的最小值为 ( )
A ．8 B ．9 C ．10 D ．11
【答案】 B
【考点】抛物线的焦点与准线
【专题】数学运算；计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；转化法；等差数列与等比数列 【分析】设 A(x1 ， y1 ) ， B(x2 ， y2 ) ．当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y = k(x 一1)(k ≠ 0) ， 然后利用 | AF |+4 | BF |= x1 +1 + 4(x2 +1) 及其基本不等式的性质求出 | AF |+4 | BF | 的最小值，当直线 AB 的 斜率不存在时，直接求出即可．
【解答】解：抛物线 y2 = 4x 的焦点为 F(1, 0) ，

设 A(x1 ， y1 ) ， B(x2 ， y2 ) ．
当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y = k(x 一1)(k ≠ 0) ． 联立 ，化为 k2x2 一 (2k2 + 4)x + k2 = 0 ，
则

当且仅当 x1 = 4x2 时取等号．
又 ，

11
当直线 AB 的斜率不存在时， | AF |+4 | BF |= 5p = 10 ． 综上， | AF | +4 | BF | 的最小值为 9．
故选： B ．
【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题，基本不等式的性质，考查 了分类讨论的思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8 ．（2024•辽宁模拟） 已知抛物线 E : y2 = 2px(p > 0) 的焦点为 F ，过点F 作两条互相垂直的直线 l1 ， l2 ， 分别与抛物线 E 相交于点 A ， B 和点 是抛物线 E 上一点，且 从 点 P 引抛物线 E 的准线的垂线，垂足为M ，则 ΔMPF 的内切圆的周长为 ( )
A ． 兀 B ． 兀 C ． 兀 D ． 兀 【答案】 A
【考点】直线与抛物线的综合
【专题】综合法；数学运算；圆锥曲线中的最值与范围问题；对应思想
【分析】根据题意可知直线 AB 的斜率存在且设直线 AB 方程为 ，然后与抛物线方程联立，利 用根与系数关系求得 一 同理求 出 | CD |= 2p(1 +k2 ) ， 再 由几何关系
求得 p = 1 ，设 P(x0 ， y0 ) ，由抛物线焦半径公式求得 x0 = 2 ，从而可求解．
【解答】解：如图，由题意，得抛物线 E 的焦点为 ，易知直线 AB 的斜率存在且不为 0，
设直线 AB 的方程为 代入 y2 = 2px ，整理得： x2 一 由根与系数的关系得 ，

又直线 CD 的方程为 同理 | CD |= 2p

所以 p = 1 ，故抛物线E : y2 = 2x ，
设点 ，则 所以 x0 = 2 ，所以 y02 = 2x0 = 4 ，所以 | y0 |= 2 ，
所以 ΔMPF 的面积为

12
易知 ， 或 则 ， 设 ΔMPF 的内切圆的半径为 r ，内心为点 O’，
则由 S△O’MF + S△O’FP + S△O’PM = SΔMPF ，得 解得 ，
所以 ΔMPF 的内切圆的周长为 2兀 兀 ．
故选： A ．
【点评】本题考查了直线与抛物线位置关系的综合应用，属于中档题．
9 ．（2024•海南模拟）已知过抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) 焦点F 的直线交 C 于 A ，B 两点，点 A ，B 在 C 的 准线上的射影分别为点 A1 ， B1 ，线段 AB 的垂直平分线 l 的倾斜角为120O ，若 | A1B1 |= 4 ，则 p = ( )
A ． B ．1 C ．2 D ．4
【答案】 B
【考点】抛物线的焦点与准线
【专题】综合法；转化思想；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】首先求直线 AB 的倾斜角和直线方程，再联立直线 AB 和抛物线方程，利用韦达定理表示弦长， 即可求解．
【解答】解：如图，过点 B 作BB2 丄 AA1 ，
由条件可知直线l 的倾斜角为120O ，则直线 AB 的倾斜角为 30O ， 由 | BB2 |=| A1B1 |= 4 ， 上B2 AF = 30O ，所以
设直线 AB 的直线方程为 ， 联立 得 ， 易知△ > 0 ，则 x1 + x2 = 7p ，
而 | AB |= x1 + x2 + p = 8p = 8 ，得 p = 1 ．

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故选： B ．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于中档题．
10．（2024•青羊区校级模拟）已知抛物线C : y2 = 4x 的焦点为 F ，直线 y = k(x 一1)(k ∈ R 且 (k ≠ 0)) 交 C 于 A ， B 两点，直线 OA ， OB 分别与 C 的准线交于M ， N 两点， (O 为坐标原点），下列选项正确的有 ( )
A ． k ∈ R 且k ≠ 0, O(-)-M--→ . O(-)-A = O(-)- . O(-)- B ． k ∈ R 且k ≠ 0 ， O(-)-M--→ . O(-)- = O(-)-A . O(-)-
C ． k ∈ R 且 k ≠ 0, O(-)-M--→ . O(-)- = O(-)-2 D ． 3k ∈ R 且 k ≠ 0, O(-)-M--→ . O(-)- = O(-)-2
【答案】 B
【考点】直线与抛物线的综合
【专题】数学运算；综合法；整体思想；圆锥曲线中的最值与范围问题；计算题
【分析】联立直线与抛物线方程，得 k2x2 一 2(k2 + 2)x +k2 = 0 ，设 A(x1 ， y1 ) ， B(x2 ， y2 ) ，由韦达定理可 得 x1x2 = 1, y1y2 = 一 再由向量的数量积逐一判 断．
解： 由 ，可得 k2x2 一 2x + k2 = 0 ，

设 A(x1 ， y1 ) ， B(x2 ， y2 ) ，
则

y1y2 = k2 (x1 一1) . (x2 一1) = k2 [x1x2 一 (x1 + x2 ) +1] = 一4 ，

直线 OA 的方程为 由 可得 ， 同理可得 ，

14
所以

只有当 x1 = 1 时， 一 一 4 = 一x1 一 4 ，此时 x2 = 1 ，直线与 x 轴垂直，不存在斜率，不满足题意，
所以 一 一 4 ≠ 一x1 一 4 ，故 A 错误；
OA . OB = (x1,y1 ) . (x2,y2 ) = x1x2 + y1y2 = 1一 4 = 一3 = OM . ON ，故 B 正确；
对于 B ，因为 一 4 = 一3 ， -- ---→ ----→ ---→
对于 C ，由 B 得O(-)-M--→ . O(-)- = 一3 ，而 O(-)-2 = 1 ，所以O(-)-M--→ . O(-)- ≠ O(-)- 2 ，故 C 错误；

→ → → 2
对于 D ，由 C 可知不存在 k ∈ R 且k ≠ 0 ，使 O(-)-M-- . O(-)-N- = O(-)-F- 成立，故D 错误．
故选： B ．
【点评】本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•盐湖区一模）抛物线 C : y2 = 2px(p > 0) 的焦点为 F ， A(x1 ， y1 ) 、 B(x2 ， y2 ) 是抛物线上的两 个动点， M 是线段 AB 的中点，过M作 C 准线的垂线，垂足为 N ，则 ( )
---→ --
A ．若 AF = 2FB ，则直线 AB 的斜率为或 一
则
C ．若 A(-)- 和F--B 不平行，则 |
D ．若 上AFB = 120O ，则 的最大值为 【答案】 ABD
【考点】直线与抛物线的综合
【专题】数学运算；计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法
【分析】设直线 AB 的方程为 ，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理求出 m 的 值，可判断 A 选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断 B 选项；利用三角形三边关系可判断 C 选项；利用余

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弦定理、基本不等式可判断 D 选项．
【解答】解：易知抛物线 C 的焦点为 ，
对于 A 选项，若直线 AB 与 y 轴垂直，则直线 AB 与抛物线 C 只有一个交点，不合乎题意，
因为A(-)- = 2F--B ，则 F 在直线 AB 上，设直线 AB 的方程为 ，
联立 可得 y2 一 2mpy 一 p2 = 0 ，则△ = 4m2p2 + 4p2 > 0 ， 由韦达定理可得 y1 + y2 = 2mp ， y1y2 = 一p2 ，
因为 即 一 x1, 一y1 ) = 2 可得 一y1 = 2y2 ，即 y1 = 一2y2 ，
所以， y1 + y2 = 2mp = 一y2 ，可得 y2 = 一2mp ， y1y2 = 一2y2(2) = 一2× 4m2p2 = 一p2 ，解得 ，
此时，直线 AB 的斜率为对；
对于 B 选项，当 A(-)- / /F--B 时，则 F 在直线 AB 上，
则 B 对；

---→ --
对于 C 选项，当 AF 和 FB 不平行时，则 A 、 F 、 B 三点不共线，

对于 D 选项，设 | AF |= a ， | BF |= b ，
当 上AFB = 120o 时， | AB |2 = a2 + b2 一 2abcos120o = a2 + b2 + ab ， 由 C 选项可得 ，

即 ，当且仅当 a =b 时，等号成立，故 的最大值为 D 对．

故选： ABD ．

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【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查圆锥曲线中的最值问题解决方法，是中档题．
12 ．（2024•回忆版）抛物线C : y2 = 4x 的准线为l ，P 为 C 上的动点，过P 作 ΘA : x2 + (y一 4)2 = 1 的一条切 线， Q 为切点，过点 P 作l 的垂线，垂足为B ，则 ( )
A ． l 与 Θ A 相切
B ．当 P ， A ， B 三点共线时，
C ．当 | PB |= 2 时， PA 丄 AB
D ．满足 | PA |=| PB | 的点 P 有且仅有 2 个 【答案】 ABD
【考点】抛物线的焦点与准线
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算 【分析】选项 A 中，抛物线的准线为 x = 一1 ，判断是圆 A 的一条切线；
选项 B 中，当 P 、 A 、 B 三点共线时，求出点P ，计算 PQ 即可；
选项 C 中，当 PB = 2 时， PA 与 AB 并不垂直；
选项 D 中， 由 PB = PF 得出 P 在 AF 的中垂线上，判断该直线与抛物线有两交点．
【解答】解：对于 A ，抛物线y2 = 4x 的准线为 x = 一1 ，是 x2 + (y一 4)2 = 1 的一条切线，选项 A 正确；
对于 B ，Θ A 的圆心为 A(0, 4) ，当 P 、A 、B 三点共线时，P(4, 4) ，所以一一 ， 选项 B 正确；
对于 C ，当 PB = 2 时， P(1, 2) 或 P(1, 一2) ，对应的 B(一1, 2) 或 (一1, 一2) ， 当 P(1, 2) 时 不垂直，
当 P(1, 一2) 时 不垂直，选项 C 错误；
对于 D ，焦点 F(1, 0) ，由抛物线的定义知PB = PF ，则 PA = PB 等价于 P 在 AF 的中垂线上，
该直线的方程为 ，它与抛物线有两交点，选项D 正确．
故选： ABD ．

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【点评】本题考查了直线与抛物线方程应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
13 ．（2024•南关区