电大《复变函数》期末试题及答案.docx

电大《复变函数》2021期末试题及答案
一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）
1. 设z = x + （y,则|xF可用z表示为（）・
A. b顼

I）二二
2
2. 点 z = 2i 是集合 Eh，' 的（）.
A.孤立点 B.内点
C.外点 D.边界点
3. cosz =().
gl±£
C —
2
1一普
D -~~—
-2e
4j(z2+3z-2)tfe=Q.
I。卜1
A. 0 B. 1（：. 2 D. 3
).
5.函数"）=上在点E展成幕级数的收敛半径为（
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本题共20分，每小题4分）
1. 若点集E的全部聚点都属于E,则称£为（ ）集.
2. 设点a为函数f（x）的奇点，若，f（x）在点a的某个去心邻域Ov|z — o|v7?内解析，则
称点a为f（x）的（ ）奇点.
% 传「=•
.c Zsinz c、
4. Res（ ,0） = _.
z
5. 映射阡z-l将直线映射为（ ）・
三、计算题（本题共45分，每小题15分）
1. 设v = ex siny,试求以t,为虚部的解析函数D v w使得f （o）=l.
2. 计算积分- J—"
3. 将函数/（z） = —L 在点z=l的邻域内展成蓦级数.
z-2
四、证明题（本题t5分）
试证：点z=l是函数； -2： 1 1的二级极点.
试题答案及评分标准
一、 单项选择题（本题共20分，每小题4分）
1. C 2. C 3. B 4. A 5. B
二、 填空题（本题共20分。每小题4分）
1. 闭
2. 孤立
3. 1
4. 0
5. 直线
三、 计算题（本题共45分，每小题15分）
1.解：由C—R条件有
vz 匚
于是
u = /co&y 十
由此得
七=+ =_尘=一"Mny
从而有
©3） = c（c为任意常数）
因此
u —e cosy + c
故得
f (z) = (eJ cosy + c) + i(ex sin y)
由f (0)=1得c=0,故得 /(z) = (ex cosy) + i(ex sin*)
2. 解法1：设
因，(z)在c的内部只有两个有限奇点0与1,故作由定理4. 4
有

而

~T7^_ & = ［「j 1 血=2归(-^-了)， T(U— 1 ) J — 1 '
七 ”：
=_ 4?ri
\K土 i产 - f = 2瞧)L,
故
[・77点—d: =—4ki + 2；rei = 2^i(e — 2)
J x C c — I )
/( s)=
解法2：设' 因f(z)在c的内部只有两个有限奇点0与1,旦知0是f(z)的二
级极点，1是f(z)的一级极点，由定理7. 1得
|"由 ] )d* = /.0) 4- Res< f. 1) J
而
腿'(八。％ 职. ?77Hjr=，_2
Res( f ■ I) =lini(z— 1) • - —-— =e i L(L】＞
故
j沽而於=2心一力
3. 解：因为厂(z)的有限奇点只有z=2,所以f(z)在点z=l可展成暴级数，旦f(z)在|z—1 1<1内可展开，有
时 \ ] —I
，睥不一｝-“-!)
=—亮心―I 尸 I ? — 1 |< 1 •7
四、证明题(本题15分)证：因为
~ _ COHZ _ COS5
而函麴心)=8g在点Z=1解析，且Q)产0故由定理6. 4得知点z=l为函数f(z)的二级极
点・