第3章静态场的边值问题及解的唯一性定理.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,3,章,3.4,静态场的边值问题及解的惟一性定理,前面讨论了静电场、恒定电场和稳恒磁场，得到了这些场的位函数满足的微分方程和边界条件；并且在均匀线性媒质中，对一些简单的场源分布情况求出了场的解。,但在工程中通常会遇到更复杂的情况，此时求解场的问题就须要解场的二阶偏微分方程，并满足一定的边界条件，即通常所说的边值问题。本节讨论静态场边值问题解法。,求解边值问题的方法通常有解析和数值法。解析法包括镜像法、变量分离法、格林函数法、复变函数法等；数值法包括有限差分法、矩量法、有限元法等。本章主要讨论几种经典的解析法。,1,3.4.1,边值问题的类型,边值问题包括位方程（拉普拉斯方程或泊松方程）和边界条件，根据在场域,V,的边界,S,上的边界条件，边值问题类型有：,第一类边值问题：给定整个边界上的位函数值,如果,f,1,(,S,)=0,称为齐次边界条件,狄里赫利问题,第三类边值问题：给定一部分边界上每一点的电位，同时给定另一部分边界上每一点的电位法向导数。,纽曼问题,混合边值问题,第二类边值问题：给定边界上每一点位函数的法向导数,2,涉及不同介质时，还有介质分界面处的边界条件。,3.4.2,解的唯一性定理,对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。,解的,存在性,是指在给定的定解条件下，方程是否有解。,解的,稳定性,是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会发生很大的变化。,解的,唯一性,是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。,自然边界条件,如果场域伸展到无限远处，必须提出所谓无限远处的边界条件。对于场源分布在有限区域的情况，在无限远处应有,它表明在无限远处位函数取值为零。,电磁场是客观存在的，因此位函数的微分方程的解的存在确信无疑。泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。下面证明电位微分方程解也是惟一的。,3,静电场唯一性定理的表述,对于三类边值问题中的任何一类，在满足泊松方程（或拉普拉斯方程）和边界条件下，无论用什么方法所得的解都是正确的，且是唯一的。,静电场唯一性定理的证明,设有两个解,1,和,2,，分别满足方程,则在,V,内,令,在格林第一恒等式中，令 则,4,对于第一类和第二类边值问题，在边界,S,上分别有,对于第三类边值问题，可以得到同样的结论。,1,、指出了静态场边值问题具有唯一解的条件；,2,、为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据。,唯一性定理的意义：,5,3,.5,镜 像 法,依据：,唯一性定理，若能找到一个函数既满足该问题的微分方程，又满足该问题的边界条件，则它一定是场的真解，且唯一。,关键和原则,：确定像电荷（像电流）的位置、个数和电量大小以及电流的流向等，但必须满足场区域的边界条件且像电荷（或像电流）只能置于求解区域外。,3.5.1,接地导体平面的镜像,例,1,、,求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为,h,处的点电荷,q,的电位。,基本思想：,在研究的区域外，用一些假想电荷（电流）代替边界面处复杂的、未知的感应电荷、极化电荷或电流。用假想电荷（电流）与原有电荷（电流）一起产生的场来满足原来的边界条件，那么它们的电位（磁矢位）的叠加就是解,6,在导体上方，（除点电荷所在位置）,在导体表面处,，,分析：,导体平面上空的电场是由点电荷 和导体表面的感应电荷共同产生。但感应电荷分布非均匀，且未知，直接求解困难。,设在导体下方与点电荷对称的位置处有一点电荷 （像电荷），用该像电荷代替导体上的感应电荷，即引入 后，就像把导体平面抽走一样，用两点电荷的场叠加计算。,7,用一个处于镜像位置的点电荷代替导体边界的影响，,则,z0,空间任一点,P,的电位由,q,及,q,共同产生，即,解：,即像电荷,q,与原点电荷,q,电量相等，电性相反；用,q,代替了导体上的感应电荷。,在,z0,区域内，,P,点的电位为,8,导体表面总的感应电荷：,在,z0,区域内，电场为,9,电场线与等位面的分布特性与前述的电偶极子的上半部分完全相同。,由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。,说明：,应用镜像法时仅针对导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。,例,2,、,求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为,h,处的长直线电荷的电位。,10,l,z,x,=,h,l,-h,显然可将感应电荷的作用用位于,h,处的镜像线电荷,l,l,替代。,显然，满足边界条件。所以，原问题不变，所得的解是正确的,。,R,R,考察原问题是否得到满足：由于像电荷位于,z,a),，求球外任一点的电位。,分析,：,球外电场是电荷,q,与导体球面感应电荷产生的，但感应电荷未知。,P,q,a,r,R,d,球面上的感应电荷可用镜像电荷,q,来等效。,q,应位于导体球内（显然不影响原方程），且在点电荷,q,与球心的连线上，距球心为,d,。则有,14,接地导体球面上任一点电位,在上式中,q,和,d,是待求量。,解得,总的感应电荷,取球面上的,A,、,B,两点，得可确定,q,d,的两个方程：,15,讨论：,1,）导体球不接地：,导体球面为等位面但电位不为,0,；球面上存在正、负感应电荷,但感应电荷总量为,0,。,处理方法：电位叠加原理：,1,、先假设导体球面接地，则球面上存在电量为,q,的感应电荷，镜像电荷可采用前面的方法确定 。,2,、为了满足电荷守恒原理。断开接地线，将电量为,-,q,的电荷加到导体球面上，使这些电荷均匀分布在球面上，使导体球为等势体，且表面总电荷为零。,3,、对于,均匀分布在球面上的,-,q,电荷，可用另一个,镜像电荷,q=,-,q,代替，但必须位于球心。,16,结论：点电荷,q,对非接地导体球面的镜像电荷有两个：,镜像电荷,1,：,电量：,位置：,镜像电荷,2,：,电量：,位置：,位于球心。,球外空间某点电位为：,球面上电位为：,17,图,1.,点电荷与接地导体的电场,图,2.,点电荷与不接地导体的电场,2,）,若导体球不接地，且带电荷,Q,，求球外的电场。像电荷,q,位置和大小同上，像电荷,q,的位置也在球心，但,q,=,Q,+,qa/d,。,18,3,）,若一点电荷,q,位于一个半径为,a,的接地导体球面内，距球心,d,处（,d a),用电轴法求解。,设两个导体圆柱单位长带电分别为 ，等效电轴（两线电荷）相距原点均为,b,，有几何关系为,两个导体面的电位分别为,两导体圆柱间的电压为,两导体圆柱间的单位长度电容为,27,3.5.4,、介质平面的镜像,设两种介电常数分别为,1,、,2,的介质充填于,z,0,及,z,0,的半空间，在介质,2,中点,(h,0,0),处有一点电荷,q,如图所示，求空间各点的电位分布。,原问题,：,除点电荷在的位置，满足,分析：,电荷,q,产生的电场将使两介质极化，从而在分界面上产生不均匀的极化电荷。极化电荷对两个区域中的电位都有贡献。空间电位由极化电荷和电荷,q,共同产生。,解决方法：,镜像法，即用镜像电荷等效极化电荷作用。,1,、点电荷对电介质分界面的镜像,28,为求上半空间的场可将整个空间填充满,1,的均匀介质，边界上的极化电荷可用原点电荷,q,的镜像电荷,q,等效代替。,q,的大小未知,.,区域,1,的电位由,q,和位于区域,2,中的镜像电荷,q,共同产生，则,29,但，必须使所求得的场符合原先的边界条件，即,为求下半空间的场可整个空间填充以,2,的均匀介质，边界上极化电荷可用原点电荷处的镜像电荷,q,等效代替。,q,的大小未知，,区域,2,的电位由,q,和位于镜像电荷,q,共同产生,注意：若为真空与介质分界面，则将对应介质介电常数代换为 即可。,30,图,1,线电流与磁介质分界平面,图,2,磁介质,1,的镜像线电流,特点：,在直线电流,I,产生的磁场作用下，磁介质被磁化，在分界面上有磁化电流分布，空间中的磁场由线电流和磁化电流共同产生。,问题,：如图,1,所示，磁导率分别为 和 的两种均匀磁介质的分界面是无限大平面，在磁介质,1,中有一根无限长直线电流平行于分界平面，且与分界平面相距为,h,。,分析方法：,在计算磁介质,1,中的磁场时，用置于介质,2,中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为 的均匀介质，如图,2,所示。,2,、线电流,与无限大磁介质平面的镜像,31,因为电流沿轴方向流动，所以矢量磁位只有,y,分量，则磁介质,1,和磁介质,2,中任一点的矢量磁位分别为,图,3,磁介质,2,的镜像线电流,在计算磁介质,2,中的磁场时，用置于介质,1,中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为 的均匀介质，如图,3,所示。,32,相应的磁场可由,求得。,可得到,故,利用矢量磁位满足的边界条件,33,1,）为满足原方程，镜像（电荷或电流）应选择在所讨论的区域以外,2,）镜像（电荷或电流）的选择应保持原边界条件不变,3,）镜像（电荷或电流）只对所讨论的区域有效,4),局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有 可能确定其镜像电荷。,总结：,34,求解思路：,将偏微分方程中含有,n,个自变量的待求函数表示成,n,个函数（只含一个变量）的乘积，把偏微分方程分解成,n,个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，使其满足给定的边界条件。,3.6,分 离 变 量 法,理论依据：,分离变量法的理论依据是唯一性定理，因为分离后的解既满足微分方程，又满足边界条件，故其是真解。,分离变量法是求解边值问题最经典的方法，它属于解析法，可给出解的精确表达式。但由于采用正交坐标系，要求边界应与某一正交坐标系的坐标面重合，分离变量法的应用范围有限。,35,1,、,直角坐标系中的分离变量法,设 可以表示为两个函数的乘积,代人上式得,用,fg,除左式,令,式中 称为分离常数，待定量。它们可以是实数或虚数，但,不可全为实数或虚数。他们,并不是独立的，它们必须满足,在直角坐标系中，若位函数与,z,无关，则拉普拉斯方程为,36,由此，将拉普拉斯方程的求解问题分解为两个分别仅与,x,、,y,变量有关的常微分方程组的求解,由上可见，经过变量分离后，二维偏微分方程式被简化为二个一维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且二个常微分方程又具有同一结构，因此它们解的形式也一定相同。,下面以关于,x,的微分方程 为例，说明当分离变数取不同值时的特征解,1,）当 时,2),当 时,37,或,3),当 时 的解,其中,a,0,b,0,a,1,b,1,a,2,b,2,a,3,b,3,为待定常数。,如何确定分离常数？由边界条件来确定，方法如下：,1,）若某些坐标面,(x=0),上的边界条件可看成周期性的，则该坐标的分离常数,(,k,x,),为实数；其解为三角函数；,2,）若位函数与某一坐标变量无关，则该坐标的分离常数必须为零；其解为常数；,3,）若在某些坐标面上，边界条件是非周期性的，则该坐标的分离常数为虚数；其解为双曲函数或者衰减函数。有界区域为双曲函数，无界区域为衰减函数。,38,对于含变量,y,的常微分方程，其解具有完全相同的形式。,当各坐标变量的解确定后，它们的乘积就是原微分方程的一个特解。如该特解满足所有边界条件，则该解就是边界问题的真解；否则必须将所有可能的特解叠加起来，并使其满足边界条件；再确定待定的组合系数，最后得到边值问题的真解,例,1,无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽绝缘，盖板电位为 ，金属槽接地，横截面如下图所示，试计算此导体槽内的电位分布。,解：该问题的的数学模型：,39,再考虑到,x=0,和,x=a,的槽壁上电位 为零，故可认为沿,x,方向作周期性的变化，为非零实数。所以,很明显，金属槽中的电位 与,z,无关，故 ，满足,二维拉普拉斯方程,40,取不同的,n,值对应的 叠加，通解为,其中,上式左右两边同乘以,sin(,m,x,/,a,),并在区间,(0,，,a,),积分，有,41,得到待求区域的电位为,利用三角函数的正交性，有,42,图,2,接地金属槽内的等位线,图,1,接地金属槽,43,例,2,、矩形导体长槽，上下底面（即,y=0,与,y=b,平面）是两无限大接地导体平面。侧面（,x=a,处）是电位为,U,0,导体平面，且四条棱线间绝缘，如图示，试求矩形长槽内的电位函数。,解,：,槽中电位与,z,无关，只是,x,、,y,的函数。在区域,0,x,a,、,0,y,b,内，,边界条件为：,x,=0,=0,；,x,=a,(a,y,)=,u,0,；,y,=0,(,x,0)=0,；,y,=,b,(,x,b,)=0,设 ，利用分离变量法求解,由边界条件知,g(y),具有周期性，故,44,取不同的,n,值对应的 叠加，通解为,其中,45,上式左右两边同乘以 ，并在区间,(0,，,b),对,y,积分，有,46,2,、圆柱坐标系中的分离变量法,运用分离变量法，令,，代入上式,当电位与坐标变量,z,无关时，上式第三项为零，此时电位满足,47,式中,k,为分离常数，,它可以是实数或虚数。通常变量,的变化范围为 ，且,(r,),与,(,r,),为空间同一位置，因此,场量随,的变化一定是以,2,为周期的周期函数。因此，上式的解一定是三角函数，令,当,n,0,式中,A,B,为待定常数。,相应地，欧拉方程,其通解,48,将关于坐标变量,r,，,的函数乘积起来，并线性组合，再利用给定的边界条件确定分离常数和组合系数后，得,电位 的通解为上式对,n,的求和,考虑到以上各种情况，,电位微分方程,的解可取下列一般形式,若所讨论的静电场又与变量,无关，则,n,=0,。,那么，电位微分方程,:,其解为,49,例,1,、在无限大的均匀电场中放一根无限长、半径为,a,的接地导体圆柱，电场强度方向垂直于导体圆柱，如图所示。试求放入导体圆柱后的场分布。,解,：,选取圆柱坐标系，令,z,轴为圆柱轴线，电场强度的方向与,x,轴一致，即,放入导体前空间任一点的电位,（设,O,点位零电位）,导体柱是一个等位体，且接地，在柱内,(,r,a,),;,圆柱外电位 分布与,z,无关，故满足二维拉普拉斯方程。本例的边界条件是：,r,，柱外电场,E,2,E,0,e,x,，,r,=,a,，导体柱内、外电位连续，即 。,50,由于,且电位关于,x,轴对称，于是，,同时，,所以，圆柱外任一点的电位为,下面由边界条件确定常数,C,n,、,D,n,、和,n,的取值,由,r=a,时 得,要使上式成立，,n,只能取,1,，故,51,这样原问题的解为,则圆柱外电场强度为,x,y,a,E,0,电场线,等位面,圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如右图所示。,52,例,2,、若在电场强度为,E,0,的均匀静电场中放入一个半径为,a,的电介质圆柱，柱的轴线与电场互相垂直，介质柱的介电常数为,，柱外为真空，如图所示，求柱内、外的电场。,53,解,:,设柱内电位为,1,，柱外电位为,2,，,1,和,2,与,z,无关。取坐标原点为电位参考点，边界条件如下：,r,2,=-,E,0,r,cos,r,=0,1,=0,r,=,a,1,=,2,r,=,a,54,于是，柱内、柱外电位的通解为,:,考虑本题的外加电场、极化面电荷均关于,x,轴对称，柱内、柱外电位解只有余弦项，即,:,于是,根据边界条件,r,=0,1,=0,，可知,C,n,=o,r,2,=-,E,0,r,cos,可知,n=1,，且,A,n,=-E,0,55,由边界条件和，可得,:,其中，,r,=,/,0,，是介质圆柱的相对介电常数。,56,于是柱内、外的电位为,57,3,、球坐标系中的分离变量法,当仅与坐标（）有关时，为,令 ，代入上式，并用 乘该式的两边，得,58,上式的第一项只是,r,的函数，第二项只是,的函数。要其对空间任意点成立，必须使每一项为常数。令第一项等于,k,，于是有,设 ，（,2,）式可表为,59,（,2,/,）式称为勒让德方程，它的解具有幂级数形式，且在,-1,x,1,收敛。如果选择,k,=,n,(,n,+1),，其中,n,为正整数，则解的收敛域扩展为,-1,x,1,。当,k,=,n,(,n,+1),时，勒让德方程的解为,n,阶勒让德多项式,P,n,(,x,),：,60,勒让德多项式也是正交函数系，正交关系为,将,k,=,n,(,n,+1),代入,R,(,r,),的方程式（,1),，解之得,其中,A,n,、,B,n,是待定系数。取不同的,n,值对应的基本解进行叠加，得到球坐标系中二维拉普拉斯方程的通解为,61,例,1,、假设真空中在半径为,a,的球面上有面密度为,0,cos,的表面电荷，其中,0,是常数，求任意点的电位,解：,球面上的边界条件为,r=a,r,=,a,62,利用边界条件（,1,）、（,2,），有,得,63,利用勒让德多项式的唯一性，即将区间,-1,1,内的函数可以唯一的用勒让德多项式展开，并考虑,P,1,(cos,)=cos,，得,64,