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《概率论与数理统计》复习试题带答案
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
第1题 若随机变量X的方差存在，由切比雪夫不等式可得P{|X-E(X)|〉1}<()
3) 日翥c~心)D一私
【正确答案】A
【你的答案】
本题分数2分
第2题 若D(X), D(Y)都存在，则下面命题中错误的是()
A. X 与 Y 独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)
B. X 与 Y 独立时，D(X-Y)=D(X)+D(Y)
C. X 与 Y 独立时，D(XY)=D(X)D(Y)
D. D(6X)=36D(X)
【正确答案】C
【你的答案】
本题分数 2 分
第3题 设F(x)=P{X<x}是连续型随机变量X的分布函数，则下列结论中不正确的是()
A. F(x)不是不减函数
B. F(x)是不减函数
C. F(x)是右连续的
D. F(-8)=0,F(+8)=1
【正确答案】A
【你的答案】
本题分数 2 分
第4题
【正确答案】D
【你的答案】
本题分数2分
第5题从一批零件中随机抽出1个测量其直径，测得的平均直径为5.2cm，标准方差为1.6cm，若 想知这批零件的直径是否符合标准直径5cm，因此采用了 t-检验法，那么，在显著性水平a下，接受 域为()
A. I / I
住(99
C. 1/ I
硕99）
B. | / | < 借（I。。）
D I / I
【正确答案】A
【你的答案】
2 分
本题分数
第6题 设V0是n次重复试验中事件A出现的次数,p是事件A在每次试验中出现的概率，则对任意& >0,均有 limnT8p^0n-p》& ()
A.
=0
B.
=1
C.
>0
D.
不存在

【正确答案】A
【你的答案】 分
本题分数2
第7题 设X的分布列为X0123P0.10.30.40.2F(x)为其分布函数，则F(2) = ()
A. 0.2
B. 0.4

C. 0.8
D. 1
【正确答案】C
【你的答案】
本题分数2分
第8题 做假设检验时，在()情况下，采用t-检验法.
A. 对单个正态总体，已知总体方差，检验假设H0：^ = ^0
B. 对单个正态总体，未知总体方差，检验假设H0：^ = ^0
C. 对单个正态总体，未知总体均值，检验假设H0：o2=o20
D. 对两个正态总体，检验假设H0：o21=o22
【正确答案】B
【你的答案】
本题分数 2 分
第 9 题 已知 E(X)=-1,D(X)=3，则 E [ 3(X2-2)]=()
A. 9
B. 6
C. 30
D. 36
【正确答案】B
【你的答案】
本题分数 2 分
第 10 题 X N（n,o2）, V P{v-ko<X<v+ko} = （）
A. ①（k）+①（-k）
B. 2①（k）
C. 2①（k-1）
D. 2①（k）-1
【正确答案】D
二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)请在每小题的空格上填上正确答案。错填、 不填均无分。
第1题 某射手命中率为2/3,他独立地向目标射击4次，则至少命中一次的概率为___.
【正确答案】0.99
【你的答案】
本题分数2分修改分数
你的得分
第2题图中空白处答案应为：一―
设 X ~，若 Pix w 昌=P\x > r(,则仁 M 一
【正确答案】门
【你的答案】
本题分数2分修改分数
第3题三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,0.7, 则这三台机器中至少有一台发生故障的概率是一一一.
【正确答案】0.496
【你的答案】
本题分数2分修改分数
第4题 若X服从［；,b ］上的均匀分布，则Y=2X+1服从___.
【正确答案】U(2a+1,2b+1)
【你的答案】
修改分数
①(x)为其分布函数，则①(x)+①(-x)=——
本题分数2分
你的得分
第5题设随机变量X~N ( 0, 1),
【正确答案】1
【你的答案】
本题分数2分修改分数
第6题从分别标有1,2,...，9号码的九件产品中随机取三件，每次取一件，取后放回，则取得的三件 产品的标号都是偶数的概率是_一.
【正确答案】
【你的答案】
本题分数2分修改分数
第7题图中空白处答案应为：一―
若- a2> 0,由切比宵夫不等式可估计曰一 3= w \ w从+ 3(r\
【正确答案】
【你的答案】
本题分数2分修改分数
第8题 已知E(X) = v,D(X)=2.5，由切比雪夫不等式可估计P{|X-^|>5}<___.
【正确答案】0.1
【你的答案】
本题分数2分修改分数
第9题 已知D(X)=25, D(Y)=16, X与Y的相关系数为0.4,则D(X-2Y)=___.
【正确答案】57
【你的答案】
本题分数2分修改分数
第10题 随机变量X月服从［1,4］上的均匀分布，则P{3<x
【正确答案】1/3
【你的答案】
本题分数2分修改分数
</x第11题.三人独立破译一密码，他们能单独译出的概率分别为15,13,14，则此密码被译出的概 率为——
【正确答案】0.6
【你的答案】
本题分数2分
修改分数

你的得分
第12题设(X,Y)服从区域D上的均匀分布，其中D是一个以原点为圆心，以R为半径的圆域，则(X,Y) 的密度函数f(x,y)=.___
【正确答案】1nR2,x2+y2<R2, 0,其他.
【你的答案】
本题分数2分修改分数
第13题 将一枚均匀骰子掷10次,X表示点数6出现的次数，用切比雪夫不等式可估计P{|X-E(X)| < 2}>
【正确答案】0.653
【你的答案】
本题分数2分修改分数
第14题 设k在［0,5］上服从均匀分布，则方程4x2+4kx+k+2=0有实根的概率为.―一
【正确答案】0.6
【你的答案】
修改分数
本题分数2分
你的得分
第15题___
设随机变量X服从参数为K的也松分布「.若已知£[3-1 ）以-2） ] = L则n =?
【正确答案】1
三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
第1题 某实验室有12台电脑，各台电脑开机与关机是相互独立的，如果每台电脑开机时间占总工作 时间的4/5,试求在工作时间内任一时刻关机的电脑台数不超过两台的概率以及最有可能有几台电脑 同时开机？
【正确答案】
设；T表示任一时刻开机的电监合数,则
X〜研 12,0. 8）
“关机的电脑台数不起过两台\即T m 1。”
10：=天. 1。 + P；X = 11 ! + Fix = 12 :
二哗（。8）%。2），十 C取壮&（d 2）十8）旧
〜0- 609
靛有可能同时开祝的电崩合教为
矽二 12 x 0. S + 0. 8 二 10 （台）
【你的答案】
本题分数修改分
8分数
你的得分
第2题
:在电压不超过2V <2 - 24OV,超过24OV三种情况下,某种电子元件损坏的概率分别为化
1蠢1和CL 2,若申，源前压尤2必,W ）,
' 求：（1）元件损坏的概率g
:（2）元件损坏时；电源电压在2 - 240V的概率厚
X ^.2(
=8) -0.8) = 2<P(0. 8)
F(』J = l - P^i? - Pl A心=0.212 (l)由全概隼容因
B二八元件损弈”，缶、心溥目构成一个对分
P(A^ = ?[2 << 240(=聊「4。源2就 |_ 列 笏220
(X 二心)=F[/l] j尸(El At.).十尸(/^)尸(召 I A*，] +Si A.)
投凡=[/ <2(
=I -(P(C. 8)二 0_212
二 0. 212 XC
.I +C. 5760. i + 0.2L2 xO.2 = 0. 0642
(2沽=尹(&
【正确答案］"
g)
0. 0642
【你的答案】
四、综合题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)
第1题设二维连续型随机变量(X,Y)的分布函数为(如下图)求(X,Y)的概率密度f(x,y).
其他,
3+W
【正确答案】
rh"l
其他.

【你的答案】
修改
分数
本题分
数12
分
你的得分
第 2 题 A、B 为两事件，已知 P (A) =14, P(B|A)=P(A|B)=12
令X=1A发生
0A不发生，Y=1B发生
0B不发生
求X与Y的联合分布律并判断X与Y是否独立.
【正确答案】P{X=1,Y=1}=P(AB)=P(A)P(B|A)=14x12=18
P(X=1,Y=0)=P(A)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=14-18=18 由 P (AB)=P (B)P (A|B),可得 P(B)=14 P{X=0,
Y=1)=P (B)=P (B-AB) =P(B)-P(AB) =14-18=18 P{X=0, Y=0}=1-18-18-18=58 Y
X010581811818P{X=0}=68,P{Y=0}=68 P{X=0,Y=0}*P{Y=0}・P{Y=0} X 与 Y 不独立.
【你的答案】
五、应用题(10分)
第1题30.某商店从两个灯泡厂各购进一批灯泡，假定使用寿命服从正态分布，标准差分别为80(小 时)和94(小时),今从两批灯泡中各取50个进行检测，测得 平均寿命分别为1282 (小时)和1208 (小 时)，可否由此认为两厂灯泡寿命相同？(a=0.02)
【正确答案】.解：H0：1=^2H1：1。2选取统计量u=-802+94250〜N(0, 1)(在H0成立条 件下)， 对 a=0.02,u0.01=2.33 */=1280, =1208, 计算得 u=4.12>2.33 u 落入拒绝域，拒绝 H0. 即认为这两个厂的灯泡寿命不相同.
【你的答案】
《概率论与数理统计》试题带答案
1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝 对值.试写出X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表:
X
0
1
2
3
1
0
C111 1 3
3 2 2 2 8
C2 2 2 2 3/8
0
3
1
8
0
.
0
.
1111
2 2 2 8

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的 只数.求X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表：
X
0
1
2
3
0
0
0

C2 C2
32
3

C3 C1
32
2

C4「
7
35

C4「
7
35
1
0
Ci 2_
C1 C2 22
6
C2・C1 C
1
工
12
C3・C1
2

C4
7
35
C4
7

35
32
C4
7
35
2
P (0黑,2红,2白)=
C 2 C 2 /C 4_!
2 2735
C1・C2・C1
2a
6
C2・C2・ ——3 X
3

0 .

C4 -
7
35
3L
C4
7
35

F（x，y）
n sinxsiny, 0 x -2,0
y n 其他2
3. 设二维随机变量（X, Y ）的联合分布函数为
0,
求二维随机变量（X, Y）在长方形域。X
n
7-内的概率.
3

n n
【解】如图P{0 X
4 6
Y 目公式(3.2)
3
F品F
(0®

n
si『si
4
n
3
N (摆
1).

n n
si『si『
4 6
n
sin0 sin—
3
n
sin0 si『
6
题3图

再求概率。
说明：也可先求出密度函数，
4. 设随机变量（X, Y ）的分布密度
f（X，
Ae (3x 4y),
0,
0,y 0,
其他.

求：（1 ）常数A;
（2 ）随机变量（X, Y ）的分布函数;
Ae-(* 4y)dxdy
o o
12

【解】(1)由 f(x, y)dxdy
得A=12
(2)由定义，有
F (x, y)y xf (u,v) dudv

y y12e (3u 4v)dudv
0 0
0,
(1 e 3x)(1 e 4y) y 0, x 0,
0, 其他
⑶ P{0 X 1,0 Y 2}
P {0 X 1,0 Y 2}
1 212e(3x 4y)dxdy (1 e 3)(1 e 8) 0.9499. 0 0
5. 设随机变量(X, Y )的概率密度为
k (6 xy), 0 x 2,2 y 4,
0,其他.
(1 )确定常数k;
(2 )求 P{X<1,Y<3};
(3 )求 P {X<1.5};
(4)求 P{X+Y<4}.
【解】(1)由性质有
f(x, y) dxdy
2 4k (6 xy) dydx 8k 1,
0 2
(2) P{X 1,Y 3}
1 3 f(x, y) dydx

(3) P {X
(4) P {X
1 3 — k(6 x y)dydx -
0 2 8 8
1.5} f (x, y)dxdy如图 a f (x, y)dxdy
x 1.5 D
一 』1 , 27
i.5dx 4- (6 x y)dy 一.
0 2 8 32
Y 4} f (x, y)dxdy如图 b f (x, y)dxdy

X Y 4 D2
2dx 4x1 (6 x y)dy 2. 0 2 8 3
(a)

6. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0, 0.2 ）上服从均匀分布，Y的密度函数为
fY (y) =
5e 5y, y 0,
0, 其他.
求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y《}.

题6图
【解】（1）因X在（0,0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为

f (x)
X
——，0 x 0.2, 0.2
0,
其他.
而
C /、 5e 5y, y 0,f (y), y ,
Y 0, 其他.
所以 f (x, y)X ,Y 独立 f (x) f (y)
—X Y
— 5e 5y 25e 5y, 0 x 0.2且y 0, 0.2*「 皿
0,其他.
(2) P(YX ) f (x, y)dxdy 如图 25e 5ydxdy
y xD
0.2dx x25e-5ydy(2( 5e5x 5)dx
0
=e-i 0.3679.
7.设二维随机变量(X, Y )的联合分布函数为
F ( x, y )=
1 e 4x) 1 e 2y), x 0, y 0,
0,其他.
求（X, Y）的联合分布密度.
【解】f (x, y)
2F (x, y)
8e (4x 2y), x 0, y 0, 0, 其他.
8.设二维随机变量（X,
Y）的概率密度为

f(x ,y )
4.8y(2 x), 0 x 1,0 y x,
0,其他.
求边缘概率密度.
【解】fx(x)
f (x, y) dy
x4.8y(2 x)dy
0
0,
2.4x2 (2 x), 0 x 1,
0,其他.
f (y)f (x, y) dx
Y
14.8y(2 x) dx
y
0,
2.4y(3 4y y2), 0 y 1,
0,其他.

题9图
f(x，y )=
e y, 0 x y,
0, 其他

题8图
9.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为

求边缘概率密度.
【解】fx (x)
f (x, y) dy

e ydyex, x 0,
x
0,
0, 其他.

f (y)f (x, y) dx
Y
ye ydxye x, y 0,
)0, 其他.
题10图
10.设二维随机变量(X, Y )的概率密度为
f (x , y )=
cx2y,
0,
x2 y 1,
其他.

(1 )试确定常数c；
(2)求边缘概率密度.
【解】（1）
f (x, y) dxdy如图f (x, y) dxdy
21
(x)
f (y)
Y
11.设随机变量（x
1 dx
-1
1 cx2 ydy
x2
241c 1.
f (x, y) dy
1 21
1 — x2 ydy
x24
0,
f(x, y) dx
(21.
y — x2 ydx
•.； 4
0,
21
—x2 (1
8
0,
7 2y2,
0,
Y）的概率密度为
X4),
其他.
1,
其他.
y)= L lyl0,
1,
x, 0
其他:
求条件概率密度fx （y I x）,
Y | X
(x|y).
题11图
【解】fx
(x)
f (x, y) dy
x 1dy 2x, 0
其他.
1,
所以
x
0,
f (y)
Y
f (x, y) dx
1 1dx 1
y
(dx 1
y
0,
y,1 y 0,
y,0 y 1,
其他.
f (y lx)
Y |X
f(x, y)
ttxt
X
土，lyl x
0, 其他.
1,

y x 1,
fxY(x|y)
f (x y)
f (y)
Y
y x 1,
0,
其他.

12.袋中有五个号码1, 2, 3, 4, 5,从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X,最大的号码为Y.
(1 )求X与Y的联合概率分布；
(2) X与Y是否相互独立？
【解】(1) X与Y的联合分布律如下表

3
4
5
P{X x}
i
1
11
C310
5
22
C310
5
33
C310
5
6
10
2
0
11
C310
5
22
C310
5
3
10
3
0
0
11
C210
5
1
10
P{Y y}
i
1
10
3
10
6
10

(2)因 I
故X与Y不
13.设二维随
--、X
Y、
){X1}P{Y3}-6-1-L-1P{X1,Y3},
10 10 1 10
独立
皇机变量(X, Y)的联合分布律为
258
0.4
0.8
0.150.3.35
0.050.120.03
(1) 求关于
(2) X 与 Y
【解】(1)X和Y
X和关于Y的边缘分布；
是否相互独立？
的边缘分布如下表
258
P {Y=y J
0.4
0.8
0.150.3.35
0.050.120.03
0.8
0.2
P{X x}
i
0.20.420.38

⑵因 P{X 2} P{Y0.4} 0.2 0.8 0.16 0.15 P (X 2,Y 0.4),

故X与Y不独立.
14. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0, 1)上服从均匀分布，Y的概率密度为
1—
fY(y)= 2ey/2，y 0，
0, 其他.
(1 )求X和Y的联合概率密度；
(2)设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.
【解】(1)因f (x)
X
1, 0 x 1, 0,其他；
1 a 寸 1 —e2 , y 1, f (y)2
Y、、
0, 其他.
—e y/20 x 1, y 0
故 f (x, y)X ,Y 独立 f (x) f (y)2
—XY
0, 其他.
题14图

⑵方程a22Xa Y 0有实根的条件是
(2X)2 4Y 0
故X2X,
从而方程有实根的概率为：
P{X2 Y}f (x, y)dxdy
x2y
Mx x2_e y/2dy 2
1 g-[ (1)(0)]
0.1445.
15. 设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计)，并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度 为
f(x )=
10
x2
0,
x 10,
其他.

求Z=X/Y的概率密度.
【解】如图,Z的分布函数F (z) P{Z z} P{* z} zY
(1)当z<0时，F⑵ 0
Z
)如图a)
(2 )当 0<z<1 时，(这时当 x=10 时,y=
F (z)
Z
106 ,,
dxdy
X2y2
x
z
103
z
dy
106 yz dx
103 X2y2
103
106
dy
zy3
103 y2
z
题15图
(3)当z》1时,(这时当y=103时，x=103z)(如图b)
106
dxdy
x2 y2
x y
z
F (z)
Z
106
dy zy -dx
103 103 x2y2
103
103
y2
106」 ——dy
砰
2z
1,
(z)
z
2,
0,
z 1,
其他.
f (z)
Z
2z2
1
2,
0,
1,
z 1,
其他.

只，求其中没有一只寿
16. 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N ( 160, 202)分布.随机地选取4 命小于180的概率.
【解】设这四只寿命为X(=1,2,3,4)则X「N ( 160, 202), 从而
180}
180}
P{min(X ,X ,X ,X ) 180} X 之间独立P{X 180} P {X 1234i 12
P {X 180} P {X3 4
[1 P {X180}] [1 P {X 180}] [1 P {X 180}] [1 P {X
1234
[1 P(X1 180)]411^ 4
[1(1)](0.158) 0.063.
17. 设X, Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为
P{X=k}= p(k)，k=0，1，2，…，P {Y= r}= q ( r)， r=0 ， 1， 2，...
证明随机变量Z= X+Y的分布律为
P {Z=i}= 1p(k)q(i k) , i=0, 1, 2,.... k 0
【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数， 所以
{Z 1} {X Y 1}
{X0,Y1}{X 1,Y 1 1}{X1,Y0}
于是uu-u
P {Z 1)1P {X k,Y 1 k}X,Y相互独立 1P{X k}P{Y 1 k}
k 0k 0
1p(k)q(1 k).
k 0
18. 设X, Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n,「的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n, p的二项分布. 【证明】方法一：X+Y可能取值为0, 1, 2,..., 2n.
k
P{X Y k} P {X[Y k 1)
1 0 k
P (X 1) P{Y k 1) 1 0 k n. n八
.pg . Pkiqn k i 1k I
1 0 k n n .1. pkq2n k
1 k 1 1 0 2n . pkq2n k k
方法二：设弓,班...,《; h'K，. U均服从两点分布(参数为p),则 x=耳+ .+•••+ * y= h' +2,+...世, X+Y=H+B+...+ jin+H' +2'+...*', 所以，X+Y服从参数为(2n,p)的二项分布.
19.设随机变量（X,Y ）的分布律为
>

0
1
2
3
4
5
0
1

0
0.09
0. 01

0. 03
0. 05
0.07

(2 )
(3)
(4)
求 V=max求 U =min
(X, Y )的分布律;
(X, Y)
求W=X+Y的分布律.
的分布律;
【解】(1) P{X
2 |Y 2)
P {X 2,Y 2) —P{__2)—

0.05
0.25
1
2,
P {Y
3 |X 0)
P {Y 3,X 0)
p{x—0)

P {X2,Y2)
5P{X i,Y 2)
i 0

0.01
商
L
3'

P {X 0,Y 3)
3
3P{X
j 0

⑵P{V
i P{max(X,Y)
i)
P{X i,Y i)
P{X i,Y i)
i1P{X i,Y
k 0
所以V的分布律为
k)
iP {X k,Y
k 0
，，i 0,1, 2,3,4, 5

V=max(X,Y)
0
1
2
3
4
5
P
0
0.04
0.16
0.28
0.24
0.28

(3) P«Ji) P{min(X,Y) }
i 0,1,2,3,
P{X i,Y i P {X i,Y i)
3.5-
P {X i,Y k) P {X k,Y i
k ik i 1
于是
U=min(X,Y)
0

1

2

3

P
0.28

0.30

0.25

0.17

(4)类似上述过程，有

W=X+Y 0
1
2
3
4
5
6
7
8
P0
0.02
0.06
0.13
0.19
0.24
0.19
0.12
0.05
20.雷达的圆形屏幕半径为^设目标出现点(X, Y)在屏幕上服从均匀分布.

(1 ) 求P{Y>0 |Y>X);
(2)设 M =max{ X , Y),求 P{M >0).
题20图
【解】因(X, Y)
的联合概率密度为
f(x, y)
1
7R2
0,
X2
y2R2,
其他.

⑴P{Y
0|Y X} P(Y °,Y X} P (Y X}
f (x, y)d
y 0 -y-x
f (x, y)d
y-x
nd R — rdr n/40 爪2
(d RLrdr n/40忒2
3/8 3.
1/2 4,
(2) P (M0} P(max(X,Y) 0} 1 P(max(X,Y) 0}
,、-,、13
1 P(X0,Y 0} 1 f (x, y)d1 -—.
4 4
x 0y 0
21. 设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0, x=1,x=e2所围成，二维随机变量(X , Y)在区域D上服从均匀分
布，求(X, Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少？
题21图
【解】区域D的面积为S° 1<dx 1呻2
2. (X,Y )的联合密度函数为

f(x, y)
-,1 x e2, 0 2
0, 其他.
(X, Y)关于X的边缘密度函数为
1/xU 11
f (x)
X
1/x-dy1 x e2,
o 22x
0,其他.
所以f⑵；
X 4
22. 设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X, 丫）联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部 分数值.试将其余数值填入表中的空白处.
【解】因p{y y}
j
2 p{x
i 1
y},
j
故 P{Y y}
1
P {X
从而 P{X x ,Y y}
1
x,Y
1
1
6
y}
1
1
8 24
P {X
x2，Y
y},
1
独立，
故P{X
x} p {y
y?
P {X
x「Y
y},
i
从而p{x
x}
1
p{x
y}
1
即：p{x
x}
1
又p{x
1 即_
1 4 24
x}
1
1
8
P {X
p{x
从而p{x
x,Y
1
同理p{y
y}
2
y}
3
1
2,
x,Y
1
xY
1,
1
12
y}
1
P {X
x,Y
1
y2}
P {X
x,Y
1
y3}，
y},
3
p{x
x ,Y
2
y}
2
又 3 p{y
j 1
y?
1,故p{y
^3}
1
3.
同理p{x
x}
2
从而
P{X x ,Y
2
y}
3
p{y
y} P{X
3
x,Y
1
y}
3
1 1 1
3 12 4

y1
y2
y3
P {X = x.}= p i
x1

1/8

x2
1/8

P {Y= yj}= pj
1/6
1

X
y
1
y
2
y
3
P {X x} P
ii
x
1
1
24
1
8
1
12
1
4
x
2
1
8
3
8
1
4
3
4
P{Y y} p jj
1
6
1
2
1
3
1

23. 设某班车起点站上客人数X服从参数为入(A0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p (0< p<1 )，且中 途下车与否相互独立，以丫表示在中途下车的人数，求：(1)在发车时有「个乘客的条件下，中途有田人下车 的概率；(2)二维随机变量(X，Y )的概率分布.
【解】(1) P{Ym |Xn}C m pm (1p)n m ,0 mn,n0,1,2,.
n
(2) P{Xn,Ym}P{X n}P{Y m |Xn}
• • •
e
Cm pm (1. p)n m n,n m n,n 0,1,2,.
nn!
……，，—一 —12一，，一 ，，\
24. 设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X j ,而Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概
0.3 0.7
率密度gU).
【解】设F (y)是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为
G U) P{XYu} 0.3P{XY u|X1} 0.7P {XY u |X 2}
0.3P{Y u 1|X1}0.7P{Yu2 |X2}
由于X和Y独立，可见
G u) 0.3P{Y u 1} 0.7P {Y u 2}
0.更(a 1) 0.7F (a 2).
由此，得U的概率密度为
g (u) G (u) 0.3F (u 1) 0.7F (u 2)
0.3f(a 1) 0.7f (j 2).
25. 25.设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间［0,3］上的均匀分布，求P {max{ X,Y} <1}.
解：因为随即变量服从［0, 3］上的均匀分布，
于是有
1
1
,、x
3,/、一，y 3,
f(x)3,
'f(y)3,y '
0, x 0, x
3;0, y 0,y 3.

因为X, Y相互独立，所以
1
f (x, y)9
x0 3, 0 y 3,

0, x 0, y 0, x 3, y 3.
推得
P{max{X,Y} 1}
26. 设二维随机变量(X, Y )的概率分布为
...X
1
0
Y

1
a
0
0
0.1
b
1
0
0.1

1
0.2
0.2
c

其中a,b,c为常数，且X的数学期望E(X) =
0. 2,P{Y<0|X <0}=0.5，记 Z=X+Y .求:

(1 ) a,b,c 的值；
(2 ) Z的概率分布;
(3 ) P{X=Z}.
解 ⑴
由概率分布的性质知，
a+b+c +0.6=1
即
a+b+c = 0.4.
由 E (X)
0.2，可得

a c
0.
1 .

” P {X0,Y 0} a
b
0.1…
再由
P {Y 0|X
0} , 一
P {X 0}a
b
——0.5, 0.5
得

a b 0.3.

解以上关于a，b, c的三个方程得

⑵Z的可能取值为2， 1，0，1，2，
P {Z2}
P {X
1,Y
1} 0.2，

P {Z 1}
P{X
1,Y 0}
P{X
0,Y
1} 0.1，
P{Z 0} P {X
1,Y 1}
P{X
0,Y 0}
P{X
1,Y 1}
P{Z 1}
P{X
1,Y 0}
P{X
0,Y 1}
0.3，

P {Z2}
P {X
1,Y 1}
0.1，

a 0.2,b 0.1,c 0.1.
0.3,

即Z的概率分布为

Z
2
1
0
1
2

P
0.2
0.1
0.3
0.3
0.1
⑶
P{X
Z} P{Y
0}
0.1 b 0.2
0.1
0.1 0.2