资源描述
{
#{QQABTY4UogCoABJAAAhCUQViCEIQkhCACYgOxAAIMAABiRFABAA=}#}
-
{
#{QQABTY4UogCoABJAAAhCUQViCEIQkhCACYgOxAAIMAABiRFABAA=}#}
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2
024～2025 学年度高三十一月
数学试卷参考答案
题号
答案
1
B
2
3
C
4
B
5
B
6
A
7
D
8
D
9
10
BD
11
B
AD
BCD
8
．D
解：如图所示：
F F = 2c,| PF |= t ,
设椭圆与双曲线的焦距为
由题意可得
1
2
1
Q
t + c = 2a1,t -c = 2a2
\
t = 2a - c,t = 2a + c
\2a - c = 2a + c
a -a = c
，即
，
1
2
1
2
1
2
\1
-
1
=1，即
e =
1
e2
e2 +1
e1 e2
e2
e2
2
1
\
e - e = e -
+1= +1=
2
1
2
2
e2
e2
æ
ö
1
1 ，
+
ç
÷
e ø e2
è
2
1
1
e >1
2
可知0 <
< 1，令
x = Î(0,1)
，\y = x + xÎ (0, 2)
2
由
，
e2
e2
1
所以e - e > ，故选 D.
2
1
2
11．BCD
x2
y2
4
解：A 选项：由椭圆方程
+
=1，所以a2 = 8，b2 = 4 ，所以c2 = a2 -b2 = 4，
8
Ð
F1PF
2
所以VF PF 的面积为
S = b2 tan
2
= 4，故 A 错误；
1
2
答案第 1页，共 7页
{
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B 选项：当 PF ^ F F 或 PF ^ F F 时VF PF 为直角三角形，这样的点 P 有 4 个，
1
1
2
2
1
2
1
2
1
1
设椭圆的上下顶点分别为S ，T ，则 F F = 4, OS = 2,\ OS = F F ,同理 OT = F F ，
1
2
1
2
1
2
2
2
知ÐF SF = ÐFTF = 90° ，所以当 P 位于椭圆的上、下顶点时VF PF 也为直角三角形，
1
2
1
2
1
2
其他位置不满足，满足条件的点 P 有 6 个，故 B 正确；
C 选项：由于 PF - 2 PF = 2a - PF - 2 PF = 4 2 -3 PF
，
1
2
2
2
2
PF
PF2 = a -c = 2 2 - 2
PF1 -2 PF
时， 取得最大值6 - 2 2 ，故 C 正确；
所以当
最小即
2
2
D 选项：因为 PF + PM = 2a - PF + PM = 4 2 + PM - PF
，
1
2
2
5
5
5
又 PM - PF £ MF =
，则
PF PM
+
的最大、最小值分别为 4 2
+
和 4 2
-
，
1
2
2
2
2
2
当点 P 位于直线 MF2 与椭圆的交点时取等号，故 D 正确.
故选：BCD
1
4．[5,+¥)
(
)．
解：由题意，知 2x3 - 2mx + m £ -3x2 ，即
2
x3 +3x2 £ m 2x -1
æ
2x3 +3x2 ö
2x -1 ø
2
x
3
+3x2 在[1,+¥)
上有解，只需
xÎ 1,+¥
[
)，所以 m
m ³ ç
因为
³
÷
．
2
x -1
è
min
2
x
3
+3x2
设 h(x) =
(x ³ 1)，对函数 ( )
h x
求导，
2
x -1
(
+ 3)(2x - 3)
2x 2x
8
(2
x
3
-
6x
得 h¢(x) =
=
>0，
- )2
x 1
(
- )
2x 1
2
所以函数 h(x)在[1,+¥)
h(x)min = h(1)= 5
m ³ 5．
，所以
上单调递增，所以
故答案为：[5,+¥)．
答案第 2页，共 7页
{
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3
4
5
1
5．解（1）在VABC 中，由已知可得b > a > c，故由sinC = ，可得cosC =
.
5
由已知及余弦定理，有c2 = a2 +b2 - 2ab cosC = 13 ，所以c = 13 ，
a
c
asinC 3 13
=
，得sin A =
=
由正弦定理
，
sin A sinC
c
13
3
13
3
c
所以， 的值为 13 ，sin A 的值为
.
1
4
（
2）设 BC 边的中点为 D ，在VACD 中，cosC = ，由余弦定理得：
5
2
æ ö2
5
æ
è
BC
ö
BC
æ 5 ö
4
73
2
AD = AC
2
+ ç
÷ - 2´ AC ´
2 ø
´cosC = 62 + ç ÷ - 2´6´ç ÷´
è 2 ø è 2 ø 5
=
.
2
1
6．解（1）由已知，可设抛物线的方程为 y2 = 2 px( p > 0)，
x
2
2
y
2
2
= 1(a > 0,b > 0)
双曲线的标准方程为
-
a
b
p = 2
把点 M (1, 2)代入抛物线方程，求得
\抛物线的方程为 y2 = 4x，焦点坐标为
，
F (1,0)
1
．
则对于双曲线，右焦点坐标为 F1(1, 0) ，则另一个焦点坐标为
F -1,0
(
)，故c =1
，
2
又 M (1, 2)在双曲线上，根据双曲线的定义知，
2
a = MF - MF =
2
2
+ 22 - 02 + 22 = 2 2 - 2 ，
，b2 = c2 -a2 = 2 2 -2．
2 2
1
2
\
a = 2 -1，
a2
=
-
3
x2
-2 2 2 2 -2
2）由题意可得， AP 的中点为C ，l 的方程为
个点， DE 的中点为 H ，则CH ^ l .
x + 3 y ö
y2
-
=1．
故双曲线的标准方程为
3
（
x=n，以线段 AP 为直径的圆C 交 l 于 D 、 E 两
y ö
æ
æ
设 A(x , y )，则C ç
÷ ， (
)，
x = n H ç x ,
，
，
1
,
1
D x , y
1
1
1
2
2
2
2
÷
è
2
2
ø
è
2
ø
x1 + 3
2
1
1
1
DC = AP =
(x1 -3)2 + y12 ， CH =
- x2 = (x - 2x )+ 3 ，
则
1
2
2
2
2
p
因为，VCHD 为直角三角形，且ÐCHD = ， CD
2
=
2
+
2
CH
HD
2
1
1
DH |2 = DC |2 - | HC |2 =
4[(x1 -3)2
+ y12 ]- [x - 2x ) + 3]2 = (n - 2)x1 - n2 + 3n ，
所以，
1
2
4
显然，当 n = 2 时， DH
2
= -4 + 6 = 2 为定值.
答案第 3页，共 7页
{
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所以，弦长为 DE = 2 DH = 2 2 为定值．
x
l
故存在垂直于 轴的直线 （即直线 DE ），被圆截得的弦长为定值，
直线l 的方程为 x = 2 ．
1
7．解（1）连接 BC ，交 B C 于点 N ，连接 NE ，
1
1
因为侧面 BCC B 是平行四边形，
1
1
所以 N 为 B1C 的中点，又因为点 E 为线段 AC 的中点，
NE//AB
所以
，
1
因为 AB Ë 面 BEC ， NE Ì 面 BEC ，
1
1
1
所以 AB // 面 BEC .
1
1
π
3
2）连接 A1C ，
AE ，因为ÐA1 AC =
1
，
AC = AA1 = 2
，
（
所以△AAC 为等边三角形， AC = 2，
1
1
因为点 E 为线段 AC 的中点，
所以 A1E ^ AC ，
ACC A ^
ACC A I
ABC = AC A E Ì
因为侧面
底面
ABC
，平面
平面
，
平面
ACC1 A
，
1
1
1
1
1
1
所以 A1E ^ 底面 ABC ，
过点 E 在底面 ABC 内作 EF ^ AC ，如图以 E 为坐标原点，分布以 EF ，EC ，EA1 的方向为
x, y, z
轴正方向建立空间直角坐标系，
答案第 4页，共 7页
{
#{QQABTY4UogCoABJAAAhCUQViCEIQkhCACYgOxAAIMAABiRFABAA=}#}
æ
ö
3
1
2
则 (
)，
,- ,0÷ C (0, 2, 3 )，
E 0,0,0
Bç
ç
÷ ，
1
2
è
ø
u
uur æ 3
ö
1
(
)
所以 EB = ç
,- ,0÷ ， EC
=
0, 2, 3 ，
1
2
2
è
ø
设平面 BEC1 的法向量为
，
ì
r uuur
m×EB =
3
1
ï
x - y = 0
则 í
2
2
，令 x =1，则 y = 3, z = -2 ，
uuuur
m×EC = 2y + 3z = 0
ï
r
î
1
r
(
- )
所以平面 BEC 的法向量为m 1, 3, 2 ，
=
1
n = 0, 0,1
(
)，
又因为平面 ABE 的法向量为
r
r
-2
+3+ 4
2
则cosm,n =
= -
，
1
2
A- BE - C
经观察，二面角
的平面角为钝角，
1
2
A- BE - C
所以二面角
的余弦值为
-
.
1
2
1
8．解（1）当 k = 2 时， f (x)= x -1-2ln x ，(x > 0) ，
2
所以 f ¢(x) =1- ，所以切线的斜率为
f ¢(1)= -1
，
x
又因为 f (1)=1-1- 2ln1= 0 ，
所以曲线 f (x)在
x =1处的切线方程为 y = -(x -1)，即 y = -x +1.
答案第 5页，共 7页
{
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k
x
x -k
2）因为 f ¢(x) =1-
=
,k ¹ 0 ，
（
x
x - k
当 k < 0 时， f ¢(x) =
> 0，
x
所以 f (x) = x -1-k lnx 在(0,+¥)上单调递增，
æ
1 ö
又因为 f ç ÷ = - +k ln 2 < 0 ，与 f (x)³ 0 不符；
2 ø
1
è
2
x - k
当 k > 0 时，由 f ¢(x) =
> 0得 x > k ，
x
所以 f (x) = x -1-k lnx 在(0,k)
上单调递减，在
(k,+¥) 上单调递增.
所以 f (x)³ f (k) = k -1- k ln k ，所以k -1- k ln k = 0，
设 g(x) = x -1- xln x (x > 0) ，
则 g¢(x) =1- (1+ ln x) = -ln x ，
由 g¢(x) > 0 ，可得0 < x <1，
所以 g(x) = x -1- xln x 在(0,1)上单调递增，在(1,+¥)上单调递减，
所以 g (x)£ g(1) =1-1- ln1= 0 ，
所以 k -1-k lnk = 0 有唯一解，且 k =1.
（
3）由（2）知当 x > 0 时， f (x)= x-1-ln x ³ 0
，
当且仅当 x =1时， f (1) = 0.
所以当 x > 0 且 x ¹1时， f (x) = x -1- ln x > 0 ，
则 x -1> ln x.
1
1
1
取 x =1+ （nÎ N* ），所以 > ln(1+ ) ，
2
n
2
n
2
n
1
1
1
1
1
1
所以ln(1+ ) < ，ln(1+ ) <
，
，ln(1+ ) <
2
1
2
2
2
2
2
2
n
2
n
所以ln(1+ ) +ln(1+ 12) + L+ln(1+ 1n) <
1
2
1
1
.
+
+ L+
2
2
2
2
2
2
n
1
1
(1-
)
é
ë
1
2
1
1 ù
2
n
所以ln ê(1
+
)(1+
2)
L(1+
)ú
< 2
2
2
n
û
1
1
-
2
1
2n
所以(1+ )(1+ )L(1+ 1n) < e
1
1
1-
< e
2
2
2
2
答案第 6页，共 7页
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æ
1 öæ
于是对于任意正整数 n，ç1+ ÷ç1+ ÷Lç1+ ÷ < m，
2 øè
1 ö
æ
1 ö
è
2
2
ø
è
2
n
ø
只需e £ m ，又因为 mÎZ，所以m ³ 3 ，
则 m 的最小值为3.
æ
è
π
ö
ø
1
9．解（1）因为 f (x)= cosç + x÷ + cos(-x)= -sin x + cos x，所以 f (x)的互生向量OM = (-1,1) .
2
æ
ö
3
1
2
æ
è
π ö
6 ø
2）由题意可得 f (x)= 3 sin x - cos x = 2ç
sin x - cos x÷ = 2sinç x - ÷ ，所以
（
2
è
ø
æ
è
π ö
(
) =
-
f 2x 2sinç2x
÷ ，
6 ø
π
π
π
π
π
令 2kπ - £ 2x - £ 2kπ + , k ÎZ，解得 kπ - £ x £ kπ+ ,k Î Z ，
2
6
2
6
3
é
ë
πù
2û
π
3
因为 xÎ ê0, ú ，所以0 £ x £
，
é
ë
π ù
2 û
é
ë
π ù
3 û
y = f (2x)在
xÎ ê0, ú
所以函数
上的严格增区间为
ê0, ú .
3）由题 f (x)= 2sin x
，则
g (x)= f (x )+ 2 3 cosx -k = 2sinx + 2 3 cosx -k
，
（
若函数 ( )在
[0, 2π]上有四个零点，则 k = 2sin x + 2 3 cosx 在[0, 2π]上有四个实数根，
g x
则函数 h(x)= 2sin x + 2 3 cosx 与 y = k 在[0,2π]上的图象有四个交点，
ï
2
2
因为 h(x)= 2sin x + 2 3 cosx = í
，
π < < 3π
ï
-
ì
æ
π ö
3ø
π
2
3π
2
4sin ç x + ÷,0 £ x £
或
£ x £ 2 π
ï
ï
è
æ
所以 h(x)= í
，
π ö π
3π
ï
4
sin ç x + ÷, < x <
ï
î
è
3 ø 2
2
则由三角函数性质作其函数图象如图所示，
由三角函数图象及性质可知 k 的取值范围为(2,2 3)È(2 3,4 ).
答案第 7页，共 7页
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