理论力学(哈工大版)第十二章动量矩定理.doc

理论力学(哈工大版)第十二章动量矩定理（全面版）资料
第八章 动量矩定理
8-1　质点系的动量矩（待强化）
一．动量矩的概念
质点对点O的动量矩：
质点对轴 z 的动量矩：
对着轴看：顺时针为负 逆时针为正
质点对点O的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：
kg·ｍ2/s。
二．质点系的动量矩
质系对点O动量矩：
质系对轴z 动量矩：
三．质点系的动量矩的计算

质点系对任意定点O的动量矩，等于质点系对质心的动量矩，与将质点系的动量集中于质心对于O点动量矩的矢量和。
质点系对质心的绝对运动动量矩，等于质点系对随质心平动的参考系的相对运动动量矩。
结论：在计算质点系对于质心的动量矩时，用质点相对于惯性参考系的绝对速度vi，或用质点相对于固结在质心上的平动参考系的相对速度vi`，所得结果是一样的。
四、刚体的动量矩
1．平动刚体

2．定轴转动刚体

3．平面运动刚体

平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。

8-2　动量矩定理（待强化）
一．质点的动量矩定理

质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。
质点动量矩定理的应用：1、在质点受有心力的作用时。2、质点绕某心（轴）转动的问题。
二．质点系的动量矩定理

质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。

8-3　动量矩守恒
质点系的动量矩守恒：当时，常矢量。当时，常量。

8-4　刚体定轴转动微分方程（自：这里可以不用看）
一．转动惯量
1．定义：
若刚体的质量是连续分布：
单位：kg·m2
2．转动惯量的计算
（１）积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）
（2） 回转半径
由所定义的长度称为刚体对 z 轴的回转半径。

（3） 平行移轴定理（同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。）

（4）计算转动惯量的组合法
当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。
二．刚体定轴转动微分方程

解决两类问题：
已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。
已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。
特殊情况：
若,则恒量，刚体作匀速转动或保持静止。
若常量，则e =常量，刚体作匀变速转动。
8-5　质点系相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程
一．质点系相对质心的动量矩定理
（自：没什么区别）
质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系。
二．刚体平面运动微分方程

动量矩定理习题课
六．动量矩定理的应用
应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题：（对单轴传动系统尤为方便）
1．已知质点系的转动运动，求系统所受的外力或外力矩。
2．已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数，求刚体的角加速度或角速度的改变。
3．已知质点所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代数和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。
注意：
研究刚体平面运动的动力学问题，一定要建立补充方程，找出质心运动与刚体转动之间的联系。
应用动量矩定理列方程时, 要特别注意正负号的规定的一致性。

第十二章 函数方程与不等式证明
一. 证明不等式. (a > 1, n ³ 1)
证明: 令, 在上使用拉格朗日定理

即
所以
. (a > 1, n ³ 1)

二. 若a ³ 0, b ³ 0, 0 < p < 1, 证明

证明: 令
显然f(0) = 0. 当x ³ 0 时, 因为0 < p < 1

所以当x ³ 0时, f(x)单减, 所以f(a) £ f(0) = 0. 所以

即得

三. 设函数f(x)在[0, 1]上有连续导数, 满足. 求证

证明: 令, 显然F(0) = 0. 因为, 所以当x > 0时f(x) > 0.

= (1)
令, 显然F(0) = 0.

所以当x > 0时, F(x) > 0. 由(1)知(x > 0). 当x > 0时F(x) ³ F(0) = 0.所以F(1) ³ F(0) = 0. 立即得到

四. 求证 , (0 < p < 1).
求证: 先证当0 £ x £ 1, 0 < p < 1时, 有

令
. 0得 . . 所以. 所以当0 £ x £ 1, 0 < p < 1时, 有

2° 令, 则. 代入上述结论, 立即得到

即 , (0 < p < 1).

五. 求证: 若x + y + z = 6, 则, (x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0).
证明：方法1:

所以 ,
方法2:
解以下条件极值问题:
令F(x, y, z, l) = x2 + y2 + z2－l(x + y + z－6)
, ,
解得 x = y = z = 2. 只有一个驻点, 当x = y = z = 2时达到最小值12. 所以
, (x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0)

六. 证明: 1. 若f(x)在[a, b]上是增加的，且在其上，则

2. 若f(x)在[a, b]上是增加的，且在其上，则

证明：1. 方法1: 因为f(x)是增加的, 所以对于[a, b]中的一切x, 有f(x) > f(a), 所以

令

) (
=(因为)
所以F(x)单减. 又因为F(a) = 0, 所以F(b) < F(a) = 0. 立即可得

方法2: 将f(x)台劳展开
"t, x,
所以

上式二边积分得

所以

于是
即
2. 证法同1.
注: 无论方法1、 2, 右边的不等式都不需要f(x)单增的条件.

七. 证明:
1. ;
2.
证明. 有如下结论:
（1）
(2 )
1. 令
由(1 ) 所以
2. 令
由(2 )
所以 .

八. 若在[0, 2p]上连续, 且³ 0, "n(正整数)有

证明: =
=
所以

九. 设在[a, b]上, a < x1 < x2 < b, 0 < a < 1, 试证:

证明: (1)
(2)
(1)×a－(2)×(1－a)得到

因为, 所以

质点对点O 的动量矩与对轴二.质点系的动量矩
质系对点O 动量矩:质系对轴z 动量矩:

O L =L 动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点[(v m m O 2一.质点的动量矩定理
两边叉乘矢径而
(r v m r dt d =⨯质点对任一固定点的动量矩对时间的导数,等于作用在质
点上的力对同一点之矩。这就是故:

ϕ 02

=+ϕωn 则运动方程r P P B A -

I
∑∴=== 0 , my y m m m C i i i 例如,对于例1中均质细杆z' 轴的转动惯量为
22411212('ml l m I I z z +=+=刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值的重量分别为P 1 、P 2,半径分别为

2g g dt 补充运动学条件112222 ,εεωr a r v r ===3
3'22P T a g P -=+T
r M
a g P -=1
112P r M /-(1
✶✷可通过质心运动定理和相对质心的动量
矩定理来确定。
(
(e F

[例4]质量为m 半径为R 的均质圆轮置放于倾角为在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动
摩擦系数为f 、f ´,不计滚动摩阻,试分析轮的运动。✶
✶,✹两式中含有三个未知数a C 、F 、ε,需补充附加条件。
第十三章

,墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为f
,滚阻不计,求使圆柱停止转动所需要的时间。
0
处于水平位置时, T形杆具有角速度ω
N
96
5.-
=
N
3.
32
5.=
,半径均为r,一绳缠在
上,绳的另一端绕在圆柱B上,绳重B
A
ε=
,
5
2
r
g
B
=
=εg
a
5
4
=
✶
代入✶式,得
g
r
r
P
⋅
⋅
2
的质心将上升。
第十二章动量矩定理
一、质点对固定点动量矩的概念
(v M m O
(v M m O OQA
Δ=2sin r mv ϕ
=⋅⋅v
r m ×=
(v m M z []z
O m (v M =质点对O 点的动量矩矢在z 轴上的投影,等于对z 轴的动量矩
二、质点系对固定点动量矩的概念
O L ∑=(i i O m v M ∑×=i
i i m v r []z
O i i z z v m M L L ==∑(∑∑×==v
r v M L i i i i O O m m ([]v r ×=∑i i m v r ×=C m v
r m C ×=将全部质量集中于质心,作为一个质点计算其动量矩

∑=
(i i z z m M L v ∑=i i i v m r ∑=2
i
i r m ωωz J
=绕定轴转动的刚体对其转轴的动量矩等于
刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。
mm 400R
2221(18/2O O L J m R m l kgm s ωω==+=(1圆盘作定轴转动(2圆盘作平面运动s kgm l mv mR L A a O /202
122=+=ωO A r O a l v s rad ωωωω==+=,/8(3圆盘作平动
C O C C L L r mv =+×讨论
一、质点对固定点的动量矩定理

F v =(d d m t F r v r ×=×(d d m t F r v r ×=×(d d m t
((F M O O t d mv M d
=质点对定点的动量矩对时间的一
阶导数等于作用力对同一点的矩
二、质点对固定点动量矩的守恒

(0(==F M F M z O 或若t A t d A d t ΔΔ=→Δ0lim 2
vh =(F M O O t
d M d =Const
v r =×m
三、质点系对固定点的动量矩定理
11

(e O O dM M F dt =+(e Oi O i dM M F dt =+##(e On O n dM M F dt =+
解:取小球与杆构成的系统

为研究对象,由对z 轴的
动量矩守恒:
L m a a
z 102=⋅ωL L z z 12
=L m a l z 222=+ωα(sin ωαω=+a a l 2
20(sin
解:取在一个叶片上的水流质点系为研

究对象,受力分析和运动分析如图。由动量矩定理有:
∑=(d d z e i z M t
L F ABCD
abcd z L L L −=d abCD
ABab CDcd abCD L L L L −−+=ABab CDcd L L −=
∑=(d d z e i z M t
L F 222cos r v t d q L V
CDcd θρ⋅′=111cos r v t d q L V
ABab θρ⋅′=z V
M r v r v t d q ′=−′cos cos (111222θθρcos cos (d 111222r v r v t q n M V
z θθρ−′=ABab
CDcd z L L L −=

d

解:取鼓轮与两重物组成的系统研究对
象,由对O 轴的动量矩定理有:
∑=(e i o o F M dt dL 2
211222211(gr m gr m r m r m J dt
d o −=++ωωωg r m r m J r m r m o 2222112211(++−=α

Ox F =∑=e i F dt dp (2211ωωr m r m dt d +−0Ox F =121122Oy F W m g m g m r m r αα
=++−+=++−−++W m m g m r m r J m r m r g o ((1211222
11212212Oy F W m g m g
=−−−
动量矩定理应用小结第十二章动量矩定理应用动量矩定理求解动力学问题的步骤为:
定理一般用来解决系统已知力求运动的问题,在运动已确定的情况下也可用来求未知力。

第十二章动量矩定理刚体定轴转动微分方程∑=(d d z e i z M t L F ∑=((d d e i z z M J t
F ω∑=(e
i z z M J F
α刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积等于作
用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。∑=(e
i z z M J F ϕ
第十二章动量矩定理刚体定轴转动微分方程解:取物体为研究对象,受力分析和运

动分析如图。由动量矩定理有:
∑=(e
i z z M J F αϕϕ
sin mga J O −= 0=+ϕϕO J mga ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=θϕϕt J mga O sin 0mga
J T O π2
=
ir i i ir i C C v m r v m L ×′==∑∑
(M ∑×=i
i i O m v r L ∑×′+=i
i i C m v r r (∑∑×′+×=i
i i i i C m m v r v r C
C C O m v r L L ×+=一、质点系对质心的动量矩
质点系对任意点O 的动量矩等于质点系对其质心的动量矩与集中于质心的质点系动量对O 点的动量矩的矢量和。
ir
i i ir i C C v m r v m L ×′==∑∑
(

M i C i v v v ′
+=i i i C v m r L ′
×′∑=i
i i C v m r L ×′∑=质点系在相对运动和绝对运动
中对质心的动量矩是相等的。
二、质点系对质心的动量矩定理(∑×=+×=e i i C C C O m t t F r L v r L d d d d C C m t v r ×d d ∑×′=e i i C t
F r L d d ∑=(d d e i C C t
F M L C C m t
v r d d ×+t C d d L +∑×=e i C F r ∑×′+e i i F r 质点系对质心的动量矩对时间的导数等
于作用于质点系的外力对质心的主矩
刚体平面运动微分方程∑×′=ir i i C m v r L ∑=e ix C F t
x m 22d d ∑=e iy C F t
y m 22d d ∑=(d d 22e i C C M t J F ϕω
C J =讨

论第十二章动量矩定理
(e i
C m ∑=F a ∑=(e i C C M J F α

请分析直升飞机的尾浆有什么作用?其主浆的轴是在铅直方向吗?

解:取圆盘为研究对象,受力分析和运动

分析如图。由刚体平面运动方程有:
∑=ix F x
m F ma C =∑=iy F y
m mg F N −=0∑=C C M J αFr M m C
−=αρ2
若圆盘纯滚动,有运动学补充关系:
αr a C =C
ma F =mg F N =
(22r m Mr a C C +=ρr
r F M C (22+=ρ若圆盘纯滚动,应满足静滑动

摩擦定律:N
S F f F ≤r r
mg f M C S 2
2+≤ρ

解:1、杆在任意位置的受力分析
2、分析杆质心的运动
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==θθcos 2sin 2l y l x C C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫−==θθθθsin 2cos 2 l y l x C C −+θθθθθcos 2sin 22 l l
−+θθθθθcos 2sin 22 l l 3.列写杆的平面运动微分方程A C X l l g P X x m =+−∑=cos 2
sin 2(,2θθθθ P Y l l g P Y y m B C −=−−∑=sin 2cos 2(,2θθθθ θθθθcos 2sin 212
,F (2l X l Y l g P M J A B C C −=∑= 4.求解微分方程θθsin 23l
g =

r
P kR s 22
=ϕ由质点系对固定点的动量矩定理建立系统运动微分方程
(r P kR r g P g P dt d s 222121++−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+ϕϕϕρ 022221=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+ϕϕρkR r g P g P
∫−⋅
=2
22
l
l C
x dx
Jρ=
1
12
2
m l
∫⋅=l
A x
dx J
02
ρ=1
3
2

ml

∫⋅=R
O r rdr J 02
2ρπ=122mR ∫∫⋅=π
θρθ2002
cos (R y r dr rd J =⋅⎡⎣⎢⎤⎦⎥∫d r R θρθπ
cos 2400214=142mR x J =2
mR J z =

'(22
2i i i i i z y x m r m J ′+∑=′
∑=′d y y x x i i i i +=′=′,[][] 2(2
(222
22222i i i i i i i i
i i i i i z m d y m d y x m d dy y x m d y x m J ∑+∑++∑=+++∑=++∑=′0
==∑C i i my y m 2md J J zC z +=′
小
结
1.质点系动量矩
∑∑==×==n
i n
i i
i i i i O O v m r v m M L 11
(质点系对于某轴∑==n
i i i z z m M L 1
v (C C C O v m r L L ×+=2.质点系动量矩定理(e O O M dt
L d =4.质点系相对质心动量矩定理
(e C
C M dt
L d =5.刚体平面运动微分方程
⎪⎭⎪
⎬
⎫
∑=∑=∑=F (C C C C M J Y y m X x m ϕ
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫===
∑
∑∑
(((e z cz
e y cy e x
cx F Ma F Ma F
Ma 质心运动定理
∑==n
i e i
c F Ma 1
(刚体绕定轴转动微分方程
⎪
⎭⎪
⎬
⎫∑=∑=∑=(F M J Y ma X
ma C C Cy Cx α平面运动微分方程
(F M J J z Z Z ∑=⋅=αϕ

教程

教程
第十二章动量矩定理习题
本章习题
习题要求
1基本公式要列明;
2运动状态参量求得后要在图上画明;
3投影轴要画清写明;
质点和质点系的动量矩∑=(i i z z m M L v ∑=i i i v m r ∑⋅=ωi i i r m r ∑=2
i
i r m ωω
z J ±

=第十二章动量矩定理
刚体平面运动微分方程∑×′=ir i i C m v r L ∑=e ix
C F t x m 22
d d ∑=
e iy
C F t y m 22
d d ∑=(d d 22
e iy C C M t
J F ϕω
C J

=第十二章动量矩定理
1 均质实心圆柱A 和薄铁环B 的质量均为m ,半径都等于r ,两球用杆AB 铰接,无滑动地沿斜面滚下,斜面与水平面的夹角为θ,如杆的质量忽略不计,求杆AB 的加速度和杆的内力。D
R F F mg ma −+=θsin C R
F F mg ma −′−=θsin r
a
F F R R =
=′α,θ
θ
αsin 7
1
sin 74
mg F g r a R −===实体A :质心运动定理:
动量矩定理:D rF mr =α22
1圆环B :
C
rF mr =α2
a NC
F R
F ′C
F mg
mg
D
F NC
F R
F
D
rF mr =α2
2
1C
rF r a
mr mr ==2
2
αma
F C =ma
F D 2
1=环B 、实心圆柱A 及AB 杆应用质心运动定理∑=F
ma D
C F F mg ma −−=αsin 22θ
αsin 74
g r a ==C R
F F mg ma −′−=θsin 圆环B :
θ
sin 7
1
mg F R −=NC
F R
F ′C
F mg
mg
D
F NC
F R
F 环B 、实心圆柱A 应用动量矩定理
2重物A 质量为m 1,系在绳子上,绳子跨过不计质量的固定滑轮D 并绕在鼓轮B 上,由于重物下降,带动了轮C ,使它沿水平轨道滚动而不滑动。设鼓轮半径为r ,轮C 的半径为R ,两者固连在一起,总质量为m 2 ,对于其水平轴O 的回转半径为ρ。求重物A 的加速度。g
m 1AD
F BD
F g
m 2N
F S
F 解:
AD A F g m a m −=11S BD O F F a m −=2R
F r F m S BD +=⋅αρ2
2r R a A
+=
αBD
AD F F =
((
(2
22212
1R m R r m R r g m a A ++++=ρA
a O
a A a A
O a r
R R R a +==α
3 质量为m2半径为R的均质圆盘，置于质量为m1的平板上，沿平 板加一常力F 。设平板与地面间摩擦系数为f ，平板与圆盘间的接 触是足够粗糙的，求圆盘中心A点的加速度。 平板应用质 心运动定理 m1 a = F − F1 − F2′ ar m2 g a aA F2 m 2 a A = F2 圆盘作平面运动 1 2 m 2 R α = F2 R 2 F1 = fF N 1 = f ( m1 + m 2 g F − f ( m1 + m 2 g aA = m2 m1 + 3 a A = a − Rα F N2 F2′ F1 ′2 FN m1 g a
4 长为L、质量为m的均质杆AB受力如图。将绳子突然剪断。 求：该瞬时AB杆的角加速度和A处的约束反力 NAy NAx A C 绳子被突然剪断AB杆角速度为零， 角加速度不为零。 ω = 0 α ≠ 0 B AB杆作定轴转动 aC mg 根据质心运动定理 l 1 2 ml α = mg 3 2 l 3 τ aC = α = g 2 4 N Ax = 0 N Ay 1 = mg 4 3g α= 2l n aC =0 ma x = N Ax = 0 ma y = mg − N Ay
5 已知均质杆AB、BD，重均为P，LAB=LBD=l ，不计滑块重量。 求剪断绳子瞬时滑槽对滑块的反力。 D N/Bx B A 30。 mg NBy B NBx C N/By D ND BD杆作平面运动 绳子被剪断时两杆的角速度均为零 且角加速度相等。 ωAB = ωBD = 0, αAB = αBD = α 1 l n τ aD = aB + aDB + aDB = 0 aC = aB = α 2 2 P g P aC cos30D = P − N By g aC sin 30D = N Bx − N D aB 1 P 2 l D α = sin 30 l N a D D aC 12 g 2 mg l l AB杆作定轴转动 + N Bx sin 30 D − N By cos 30 D 2 2 l 3 l 1 P 2 3 3 ′ ′ l α = P l ND = − N Bx + N By P 4 3 g 2 2 2 2

第十二章 曲线积分与曲面积分 习题答案
习题12－1(A)

1．(1) (2) (3)
(4) (5)
2．

习题 12 －1 (B)

1．(1) (2) (3) (4) .
2．
3．(1)
(2)

习题 12 －2 (A)

3. (1) (2) 0 ; (3) (4) 13.
4. (1) (2) 11; (3) 14; (4) .

习题 12 －2 (B)

1. (1) (2) (3)
2. (1) (2) 1 ;
3.
4. .

习题 12 －3 (A)

2. (1) (2) .
3. (1) (2) 5 .
4. (1) (2) (3) 0 .

习题 12 －3 (B)

1．(1) (2) (3)
2．
3.
4．.
5.
6.
7．(1) 0 ; (2) (3) .

习题 12 －4 (A)

1. (1) (2) (3) .

2. (1) (2) .
3.
4.
5.

习题 12 －4 (B)

1.

2.
3. .

习题 12 －5 (A)

2.

习题 12 －5 (B)

1.
2. .
3. .

4.

习题 12 －6 (A)

1.
3.

习题 12 －6 (B)

1.
2. .
3. .
4. .
6. (1) 0 ; (2) .

习题 12 －7 (A)

1.
2.

3. (1) ; (2) .

4. 0 .

习题 12 －7 (B)

1. (1) 0 ; (2) .

总复习题十二

一、 选择题
C D C B D B D B A D

二、

(7); (8) 2 .
三、 1. .
2. .
3. .
4. .
5. 2ah .
6. .
7. .
8. .
10. .