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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 特殊三角形,综合复习,(,一,),1,等腰三角形的性质与判定,1.,性质,(1),:等腰三角形的两个底角相等。,(2),:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。,2.,判定定义:有两边相等的三角形是等腰三角形。判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形。,等边三角形,:,1,三个角都相等的三角形是等边三角形。,2,有一个角等于,60,的等腰三角形是等边三角形。,(,一,),2,以等腰三角形为条件时的常用辅助线,:,如图:若,AB=AC,作,ADBC,于,D,,必有结论,:1=2,,,BD=DC,若,BD=DC,,连结,AD,,必有结论:,1=2,,,ADBC,作,AD,平分,BAC,必有结论:,ADBC,,,BD=DC,作辅助线时,一定要作满足其中一个性质的辅助线,然后证出其它两个性质,不能这样作:作,ADBC,,使,1=2.,3,分析,:,我们首先在草稿上画好一个示意图,然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程,已知:线段,a,、,h,求作:,ABC,,使,AB=AC=,a,,高,AD=,h,作法:,1,、作,PQMN,,垂足为,D,2,、在,DM,上截取,DA=,h,3,、以点,A,为圆心,以,a,为半径作弧,交,PQ,于点,B,、,C,4,、连结,AB,、,AC,则,ABC,为所求的三角形。,例题分析,例,1,已知一腰和底边上的高,求作等腰三角形。,4,例,2.,如图,已知在,ABC,中,,AB=AC,,,BDAC,于,D,,,CEAB,于,E,,,BD,与,CE,相交于,M,点。求证:,BM=CM,。,证明:,AB=AC,ABC=ACB,(等边对等角),BDAC,于,D,,,CEAB,于,E,BEC=CDB=90,1+ACB=90,,,2+ABC=90,(直角三角形两个锐角互余),1=2,(等角的余角相等),BM=CM,(等角对等边),说明:本题易习惯性地用全等来证明,虽然也可以证明,但过程较复杂,应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。,例题分析,5,例,3.,已知:如图,,A=90,,,B=15,,,BD=DC.,请说明,AC=BD,的理由,.,解,BD=DC,,,B=15,DCB=B=15,(等角对等边),ADC=B+DCB=30,(三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和),A=90,AC=DC,AC=BD,例题分析,6,例,4.,已知:如图,,C=90,,,BC=AC,,,D,、,E,分别在,BC,和,AC,上,且,BD=CE,,,M,是,AB,的中点,.,求证:,MDE,是等腰三角形,.,分析,:要证,MDE,是等腰三角形,只需证,MD=ME,。连结,CM,,可利用,BMDCME,得到结果。,证明:连结,CM,C=90,,,BC=AC,A=B=45,M,是,AB,的中点,CM,平分,BCA,(等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合),MCE=MCB=BCA=45,B=MCE=MCB,CM=MB,(等角对等边),在,BDE,和,CEM,中,BDMCEM,(,SAS,),MD=ME,MDE,是等腰三角形,例题分析,7,例,5.,如图,在等边,ABC,中,,AF=BD=CE,,请说明,DEF,也是等边三角形的理由,.,解:,ABC,是等边三角形,AC=BC,,,A=C,CE=BD,BC,BC=AC,CE,CD=AE,在,AEF,和,CDE,中,AEFCDE,(,SAS,),EF=DE,同理可证,EF=DF,EF=DE=DF,DEF,是等边三角形,说明:证明等边三角形有三种思路:,证明三边相等证明三角相等证明三角形是有一个角为,60,的等腰三角形。,具体问题中可利用不同的方式进行求解。,例题分析,8,例,7.,如图,2-8-6,,在,ABC,中,,AB=AC=CB,,,AE=CD,,,AD,、,BE,相交于,P,,,BQAD,于,Q.,请说明,BP=2PQ,的理由,.,思路,在,RtBPQ,中,本题的结论等价于证明,PBQ=30,证明,AB=CA,,,BAE=ACD=60,,,AE=CD,,,BAEACD,ABE=CAD,BPQ=ABE+BAP,=CAD+BAP=60,又,BQAD,PBQ=30,BP=2PQ,说明,本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数,这种转换问题的方法值得同学们细心体会。,例题分析,9,例,8,:,如图、在,ABC,中,,D,,,E,在,直线,BC,上,且,AB=BC=AC=CE=BD,,,求,EAC,的度数。,探索:,如图、在,ABC,中,,D,,,E,在直线,BC,上,且,AB=AC=CE=BD,,,DAE=100,,求,EAC,的度数。,例题分析,10,1.,下列结论叙述正确的个数为(),(,1,)等腰三角形高、中 线、角平分线重合;,(,2,)等腰三角形两底角 的外角相等;,(,3,)等腰三角形有且只有一条对称轴;,(,4,)有一个角等于,60,的等腰三角形是等边三角形。,(,A,),0,个 (,B,),1,个 (,C,),2,个 (,D,),3,个,练习,11,2.,等腰三角形顶角为,36,,底角为,_,。,3.,等腰三角形顶角和一个底角之和为,100,,则顶角度数为,_,。,4.,等腰三角形两个角之比为,4:1,,则顶角为,_,,底角为,_,。,5.,等腰三角形两边长为,4,、,6,,这个三角形周长为,_,。,6.,已知,ABC,中,AB=AC,,,AB,垂直平分线交,AC,于,E,,交,AB,于,D,,连结,BE,,若,A=50,,,EBC=_,。,7.ABC,中,,AB=AC,,,ADBC,于,D,,若,ABC,的周长为,50,,,ABD,的周长为,40,,则,AD=_,。,8.,若等腰三角形顶角为,n,度,则腰上的高与底边的夹角为,_,。,12,9.,如图,线段,OD,的一个端点,O,在直线,a,上,以,OD,为一边画等腰三角形,并且使另一个顶点在直线,a,上,这样的等腰三角形能画多少个,?,150,a,13,10.,已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成:两部分,已知三角形底边长为,求腰长?,解:如图,令,CD,x,,则,AD,x,,,AB,2,x,底边,BC,5,BC,CD,5,x,AB,AD,3,x,(5+,x,),:,3,x,2:1,或,3,x,:,(5+,x,)=2:1,x,x,2,x,5,14,11,、如图,,D,是正,ABC,边,AC,上的中点,,E,是,BC,延长线上一点,且,CE=CD,,说明,BD=DE,的理由,.,A,B C E,D,1,2,解,:,ABC,是正三角形,ABC=ACB=60,0,(),D,是,AC,边上的中点,1=ABC=30,0,(),CE=CD,2=E,(),2+E=ACB=60,0,(),E=30,0,,,1=E,BD=DE,(),15,12,、如图,在,Rt,ABC,中,,ACB,=90,0,,,CAB,的平分线,AD,交,BC,于,D,,,AB,边上的高线,CE,交,AB,于,E,,交,AD,于,F,,求证:,CD=CF,B,A,C,E,D,1,2,F,分析:,CD=CF,1=2,1=,B,+,BAD,2=3+,DAC,3=,B,1=90,BAD,=90,CAD,ACB,=90,,,CE,是,AC,边上高,16,小结,1,、,等腰三角形的有关概念。,2,、,等腰三角形的识别。,3,、,应用等腰三角形的性质定理和三线合一性质解决有关问题。,4,、通过习题,能总结代数法求几何角的大小、线段长度的方法。,17,例,1.,已知:如图,,AB=AC,,,AD=AE,,求证:,BD=EC,A,B,C,D,E,F,方法一:利用全等知识,方法二:利用,“,三线合一,”,18,例,2.,如图,等边,ABC,中,,B,、,C,的平分线交于点,O,,,OEAB,,,OFAC,,求图中等腰三角形的个数。,O,A,B,C,E,F,解:有,5,个等腰三角形,分别是,ABC,,,BOC,,,COF,,,OBC OEF,。,19,例,3.,已知,如图,,等边,ABC,和等边,CDE,中。,求证:,BE=AD,A,B,C,D,E,分析:要证明的两条线段分布在,两个不同的三角形中,考虑先,证线段所在的三角形全等,,根据等边三角形的性质,易得,AC=BC,,,CE=CD,,,ACB=ECD=60,ACB-ACE=ECD-ACE,BCE=,ACD,,,由,“,边角边,”,可证,20,将,CDE,绕点,C,逆时针旋转到如图位置,刚才的结论还成立吗?,A,B,C,D,E,变形题(,1,),分析:要证明,BE=AD,,思想方法仍是,利用,“,SAS,”,证两个三角形全等,有所,不同的是这里证角等是通过,“,和,”,,,即,ACB+BCD=ECD+BCD,ACD=BCE,21,将,CDE,绕点,C,继续旋转,使,B,、,C,、,D,共线,刚才的结论还成立吗?,A,B,C,D,E,变形题(,2,),证明:在等边,ABC,和等边,CDE,中,AC=BC,,,CD=CE,,,ACB=ECD=60,又,B,,,C,,,D,三点共线,,ACE=60,ACD=BCE=120,在,ACD,和,BCE,中,AC=BC,ACD=BCE,CD=CE,ACDBCE,(,SAS,),BE=AD,分析:要证明,BE=AD,,思想方法仍是先证两个三角形全等,这里证角等还是通过,“,和,”,22,已知,如图,,等边,ABC,和等边,CDE,中,,B,、,C,、,D,共线,,BC,与,AC,交于,M,,,AD,与,CE,交于,N,。,求证:,CM=CN,A,B,C,D,E,变形题(,3,),M,N,分析,:上题已证,ACDBCE,所以,,CBM=CAN,,,BE=AD,,又因,BC=AC,,利用,“,边角边,”,条件可判定,BCMCAN,,结论成立。,23,已知,如图,,等边,ABC,和等边,CDE,中,,B,、,C,、,D,共线,,BE,与,AC,交于,M,,,AD,与,CE,交于,N,,连结,MN,。,求证:,CMN,是等边三角形,A,B,C,D,E,变形题(,4,),M,N,分析,:由上一题的结论已知,CM=CN,,根据等边三角形的判定方法,只要其中有一个角为,60,即可,,根据条件易得,MCN,为,60,24,例,4,、已知,AB=AC,,,EB=EC,,求证,B=C,A,B,C,E,变式,:,已知,AB=AC,,,B=C,,,求证,EB=EC,25,如图是某城市部分街道示意图,,ABC,和,CDE,都是等边三角形,,A,、,B,、,C,、,D,、,E,、,F,、,G,、,H,为公共汽车停靠站。公共汽车甲从,A,站出发,按照,A,、,H,、,G,、,D,、,E,、,C,、,F,的顺序到达,F,站。公共汽车乙从,B,站出发,按照,B,、,F,、,H,、,E,、,D,、,C,、,G,的顺序到达,G,。如果甲、乙分别从,A,、,B,站出发,在各站耽误的时间相同,两车行驶的速度也一样,试问哪辆公共汽车先到达指定车站。,A,B,C,D,E,拓展应用,F,G,H,26,1.,如图,在三角形,ABC,中,AB=AC,A=36,你能把,ABC,分成三个等腰三角形吗,?(,提供两中以上不同的作图方案,),A,B,C,D,E,A,B,C,D,E,A,B,C,27,A,B,C,A,B,C,A,B,C,28,区别与上一题,能否用剪刀剪一刀把一个等腰三角形分成,两个等腰三角形?若能,求出原来的等腰,三角形的顶角的度数。,29,3,。已知等腰三角形,ABC,的底边为,AB,直线,L,过直角顶点,C.,过点,A,点,B,分别作,L,的垂线为,AE,BF,垂足分别为,E,、,F,。,(,1,)如图甲,当直线,L,不与底边,AB,相交时,求证:,EF=AE+BF,(,2,)当直线,L,绕点,C,顺时针旋转,使直线,L,交底边,AB,于点,D,,且,ADBD,,请在图乙中画出相应的图形,写出,EF,,,AE,,,BF,之间的等量关系。,E,C,F,L,A,B,B,L,C,A,D,E,F,30,1.,我们学校有一块形状是等腰三角形的花坛,其中有一个角是,36(,如图,),现想在花坛中种上三种不同的花,且形状都是等腰三角形,请你试着分一分,在图上画出来,.,请你分一分,31,B,A,C,A,B,C,A,B,C,36,36,72,72,36,36,108,72,72,36,108,36,36,36,36,108,36,36,36,36,72,72,72,72,108,32,2.,在纸上画出,4,个点,要求任意三个点组成的三角形都是等腰三角形,请问这四个点怎样放,?,就一种情况吗,?(,若画,5,个点呢,?,请在课后完成,!),33,例,6.,如图,2-8-1,中,,AB=AC,,,D,为,AB,上一点,,E,为,AC,延长线上一点,且,BD=CE,,,DE,交,BC,于,G,请说明,DG=EG,的理由,.,思路,因为,GDB,和,GEC,不全等,所以考虑在,GDB,内作出一个与,GEC,全等的三角形。,说明,本题易明显得出,DG,和,EG,所在的,DBG,和,ECG,不全等,故要构造三角形的全等,本题的另一种证法是过,E,作,EFBD,,交,BC,的延长线于,F,,证明,DBGEFG,,同学们不妨试一试。,例题分析,34,
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