幻灯片-第2章-特殊三角形1.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 特殊三角形,综合复习,(,一,),1,等腰三角形的性质与判定,1.,性质,(1),：等腰三角形的两个底角相等。,(2),：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。,2.,判定定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。,等边三角形,:,1,三个角都相等的三角形是等边三角形。,2,有一个角等于,60,的等腰三角形是等边三角形。,(,一,),2,以等腰三角形为条件时的常用辅助线,:,如图：若,AB=AC,作,ADBC,于,D,，必有结论,:1=2,BD=DC,若,BD=DC,，连结,AD,，必有结论：,1=2,，,ADBC,作,AD,平分,BAC,必有结论：,ADBC,，,BD=DC,作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作,ADBC,，使,1=2.,3,分析,：,我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程,已知：线段,a,、,h,求作：,ABC,，使,AB=AC=,a,，高,AD=,h,作法：,1,、作,PQMN,，垂足为,D,2,、在,DM,上截取,DA=,h,3,、以点,A,为圆心，以,a,为半径作弧，交,PQ,于点,B,、,C,4,、连结,AB,、,AC,则,ABC,为所求的三角形。,例题分析,例,1,已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。,4,例,2.,如图，已知在,ABC,中，,AB=AC,，,BDAC,于,D,，,CEAB,于,E,，,BD,与,CE,相交于,M,点。求证：,BM=CM,。,证明：,AB=AC,ABC=ACB,（等边对等角）,BDAC,于,D,，,CEAB,于,E,BEC=CDB=90,1+ACB=90,，,2+ABC=90,（直角三角形两个锐角互余）,1=2,（等角的余角相等）,BM=CM,（等角对等边）,说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。,例题分析,5,例,3.,已知：如图，,A=90,，,B=15,，,BD=DC.,请说明,AC=BD,的理由,.,解,BD=DC,，,B=15,DCB=B=15,（等角对等边）,ADC=B+DCB=30,（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）,A=90,AC=DC,AC=BD,例题分析,6,例,4.,已知：如图，,C=90,，,BC=AC,，,D,、,E,分别在,BC,和,AC,上，且,BD=CE,，,M,是,AB,的中点,.,求证：,MDE,是等腰三角形,.,分析,：要证,MDE,是等腰三角形，只需证,MD=ME,。连结,CM,，可利用,BMDCME,得到结果。,证明：连结,CM,C=90,，,BC=AC,A=B=45,M,是,AB,的中点,CM,平分,BCA,（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）,MCE=MCB=BCA=45,B=MCE=MCB,CM=MB,（等角对等边）,在,BDE,和,CEM,中,BDMCEM,（,SAS,）,MD=ME,MDE,是等腰三角形,例题分析,7,例,5.,如图，在等边,ABC,中，,AF=BD=CE,，请说明,DEF,也是等边三角形的理由,.,解：,ABC,是等边三角形,AC=BC,，,A=C,CE=BD,BC,BC=AC,CE,CD=AE,在,AEF,和,CDE,中,AEFCDE,（,SAS,）,EF=DE,同理可证,EF=DF,EF=DE=DF,DEF,是等边三角形,说明：证明等边三角形有三种思路：,证明三边相等证明三角相等证明三角形是有一个角为,60,的等腰三角形。,具体问题中可利用不同的方式进行求解。,例题分析,8,例,7.,如图,2-8-6,，在,ABC,中，,AB=AC=CB,，,AE=CD,，,AD,、,BE,相交于,P,，,BQAD,于,Q.,请说明,BP=2PQ,的理由,.,思路,在,RtBPQ,中，本题的结论等价于证明,PBQ=30,证明,AB=CA,，,BAE=ACD=60,，,AE=CD,，,BAEACD,ABE=CAD,BPQ=ABE+BAP,=CAD+BAP=60,又,BQAD,PBQ=30,BP=2PQ,说明,本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方法值得同学们细心体会。,例题分析,9,例,8,：,如图、在,ABC,中，,D,，,E,在,直线,BC,上，且,AB=BC=AC=CE=BD,，,求,EAC,的度数。,探索：,如图、在,ABC,中，,D,，,E,在直线,BC,上，且,AB=AC=CE=BD,，,DAE=100,，求,EAC,的度数。,例题分析,10,1.,下列结论叙述正确的个数为（）,（,1,）等腰三角形高、中 线、角平分线重合；,（,2,）等腰三角形两底角 的外角相等；,（,3,）等腰三角形有且只有一条对称轴；,（,4,）有一个角等于,60,的等腰三角形是等边三角形。,（,A,）,0,个 （,B,）,1,个 （,C,）,2,个 （,D,）,3,个,练习,11,2.,等腰三角形顶角为,36,，底角为,_,。,3.,等腰三角形顶角和一个底角之和为,100,，则顶角度数为,_,。,4.,等腰三角形两个角之比为,4:1,，则顶角为,_,，底角为,_,。,5.,等腰三角形两边长为,4,、,6,，这个三角形周长为,_,。,6.,已知,ABC,中,AB=AC,，,AB,垂直平分线交,AC,于,E,，交,AB,于,D,，连结,BE,，若,A=50,，,EBC=_,。,7.ABC,中，,AB=AC,，,ADBC,于,D,，若,ABC,的周长为,50,，,ABD,的周长为,40,，则,AD=_,。,8.,若等腰三角形顶角为,n,度，则腰上的高与底边的夹角为,_,。,12,9.,如图，线段,OD,的一个端点,O,在直线,a,上，以,OD,为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线,a,上，这样的等腰三角形能画多少个,?,150,a,13,10.,已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成：两部分，已知三角形底边长为，求腰长？,解：如图，令,CD,x,，则,AD,x,，,AB,2,x,底边,BC,5,BC,CD,5,x,AB,AD,3,x,(5+,x,),：,3,x,2:1,或,3,x,：,(5+,x,)=2:1,x,x,2,x,5,14,11,、如图，,D,是正,ABC,边,AC,上的中点，,E,是,BC,延长线上一点，且,CE=CD,，说明,BD=DE,的理由,.,A,B C E,D,1,2,解,:,ABC,是正三角形,ABC=ACB=60,0,（）,D,是,AC,边上的中点,1=ABC=30,0,（）,CE=CD,2=E,（）,2+E=ACB=60,0,（）,E=30,0,，,1=E,BD=DE,（）,15,12,、如图，在,Rt,ABC,中，,ACB,=90,0,，,CAB,的平分线,AD,交,BC,于,D,，,AB,边上的高线,CE,交,AB,于,E,，交,AD,于,F,，求证：,CD=CF,B,A,C,E,D,1,2,F,分析CD=CF,1=2,1=,B,+,BAD,2=3+,DAC,3=,B,1=90,BAD,=90,CAD,ACB,=90,，,CE,是,AC,边上高,16,小结,1,、,等腰三角形的有关概念。,2,、,等腰三角形的识别。,3,、,应用等腰三角形的性质定理和三线合一性质解决有关问题。,4,、通过习题，能总结代数法求几何角的大小、线段长度的方法。,17,例,1.,已知：如图，,AB=AC,，,AD=AE,，求证：,BD=EC,A,B,C,D,E,F,方法一：利用全等知识,方法二：利用,“,三线合一,”,18,例,2.,如图，等边,ABC,中，,B,、,C,的平分线交于点,O,，,OEAB,，,OFAC,，求图中等腰三角形的个数。,O,A,B,C,E,F,解：有,5,个等腰三角形，分别是,ABC,，,BOC,，,COF,，,OBC OEF,。,19,例,3.,已知，如图，,等边,ABC,和等边,CDE,中。,求证：,BE=AD,A,B,C,D,E,分析：要证明的两条线段分布在,两个不同的三角形中，考虑先,证线段所在的三角形全等，,根据等边三角形的性质，易得,AC=BC,，,CE=CD,，,ACB=ECD=60,ACB-ACE=ECD-ACE,BCE=,ACD,，,由,“,边角边,”,可证,20,将,CDE,绕点,C,逆时针旋转到如图位置，刚才的结论还成立吗？,A,B,C,D,E,变形题1,）,分析：要证明,BE=AD,，思想方法仍是,利用,“,SAS,”,证两个三角形全等，有所,不同的是这里证角等是通过,“,和,”,，,即,ACB+BCD=ECD+BCD,ACD=BCE,21,将,CDE,绕点,C,继续旋转，使,B,、,C,、,D,共线，刚才的结论还成立吗？,A,B,C,D,E,变形题（,2,）,证明：在等边,ABC,和等边,CDE,中,AC=BC,，,CD=CE,，,ACB=ECD=60,又,B,，,C,，,D,三点共线，,ACE=60,ACD=BCE=120,在,ACD,和,BCE,中,AC=BC,ACD=BCE,CD=CE,ACDBCE,（,SAS,）,BE=AD分析：要证明,BE=AD,，思想方法仍是先证两个三角形全等，这里证角等还是通过,“,和,”,22,已知，如图，,等边,ABC,和等边,CDE,中，,B,、,C,、,D,共线，,BC,与,AC,交于,M,，,AD,与,CE,交于,N,。,求证：,CM=CN,A,B,C,D,E,变形题（,3,）,M,N,分析,：上题已证,ACDBCE,所以，,CBM=CAN,，,BE=AD,，又因,BC=AC,，利用,“,边角边,”,条件可判定,BCMCAN,，结论成立。,23,已知，如图，,等边,ABC,和等边,CDE,中，,B,、,C,、,D,共线，,BE,与,AC,交于,M,，,AD,与,CE,交于,N,连结,MN,。,求证：,CMN,是等边三角形,A,B,C,D,E,变形题（,4,）,M,N,分析,：由上一题的结论已知,CM=CN,，根据等边三角形的判定方法，只要其中有一个角为,60,即可，,根据条件易得,MCN,为,60,24,例,4,、已知,AB=AC,，,EB=EC,，求证,B=C,A,B,C,E,变式,：,已知,AB=AC,，,B=C,，,求证,EB=EC,25,如图是某城市部分街道示意图，,ABC,和,CDE,都是等边三角形，,A,、,B,、,C,、,D,、,E,、,F,、,G,、,H,为公共汽车停靠站。公共汽车甲从,A,站出发，按照,A,、,H,、,G,、,D,、,E,、,C,F,的顺序到达,F,站。公共汽车乙从,B,站出发，按照,B,、,F,、,H,、,E,、,D,、,C,、,G,的顺序到达,G,。如果甲、乙分别从,A,、,B,站出发，在各站耽误的时间相同，两车行驶的速度也一样，试问哪辆公共汽车先到达指定车站。,A,B,C,D,E,拓展应用,F,G,H,26,1.,如图,在三角形,ABC,中,AB=AC,A=36,你能把,ABC,分成三个等腰三角形吗,?(,提供两中以上不同的作图方案,),A,B,C,D,E,A,B,C,D,E,A,B,C,27,A,B,C,A,B,C,A,B,C,28,区别与上一题,能否用剪刀剪一刀把一个等腰三角形分成,两个等腰三角形？若能，求出原来的等腰,三角形的顶角的度数。,29,3,。已知等腰三角形,ABC,的底边为,AB,直线,L,过直角顶点,C.,过点,A,点,B,分别作,L,的垂线为,AE,BF,垂足分别为,E,、,F,。,（,1,）如图甲，当直线,L,不与底边,AB,相交时，求证：,EF=AE+BF,（,2,）当直线,L,绕点,C,顺时针旋转，使直线,L,交底边,AB,于点,D,，且,ADBD,，请在图乙中画出相应的图形，写出,EF,，,AE,，,BF,之间的等量关系。,E,C,F,L,A,B,B,L,C,A,D,E,F,30,1.,我们学校有一块形状是等腰三角形的花坛,其中有一个角是,36(,如图,),现想在花坛中种上三种不同的花,且形状都是等腰三角形,请你试着分一分,在图上画出来,.,请你分一分,31,B,A,C,A,B,C,A,B,C,36,36,72,72,36,36,108,72,72,36,108,36,36,36,36,108,36,36,36,36,72,72,72,72,108,32,2.,在纸上画出,4,个点,要求任意三个点组成的三角形都是等腰三角形,请问这四个点怎样放,?,就一种情况吗,?(,若画,5,个点呢,?,请在课后完成,!),33,例,6.,如图,2-8-1,中，,AB=AC,，,D,为,AB,上一点，,E,为,AC,延长线上一点，且,BD=CE,，,DE,交,BC,于,G,请说明,DG=EG,的理由,.,思路,因为,GDB,和,GEC,不全等，所以考虑在,GDB,内作出一个与,GEC,全等的三角形。,说明,本题易明显得出,DG,和,EG,所在的,DBG,和,ECG,不全等，故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过,E,作,EFBD,，交,BC,的延长线于,F,，证明,DBGEFG,，同学们不妨试一试。,例题分析,34,