括苍镇冬种作物及春粮面积指标.doc

括苍镇冬种作物及春粮面积指标（全面版）资料
括苍镇冬种作物及春粮面积指标

村民
冬种（亩）
春粮（亩）
村民
冬种（亩）
春粮（亩）
张家渡
500
100
东长枧
500
120
下井潭
450
200
维前王
370
70
钱 徐
750
120
陶 西
390
80
旺人灯
1000
250
大 岙
690
130
方 溪
150
20
岭 溪
450
150
里 程
220
15
下洋顾
450
70
车口溪
90
10
宝上岙
300
70
里外施
130
10
独 山
150
60
黄家辽
200
10
俞家岙
350
100
林家坑
80
10
三 星
350
100
峡 头
60

大 岭
350
110
麻 峙
50

箬 溪
350
120
新树坑
60

叶家岙
140
60
尚 山
100
10
湖 新
350
60
黄石坦
100
25
长 潭
550
100
门 前
320
100
小海门
500
100
井 头
210
60
陈应新
350
80
下 泛
250
60
大路上
550
80
上 泛
250
90
山头许
730
80
范 山
270
80
小 岭
350
70
下外山
150
10
舟 岭
300
90
景 山
210
20
山头何
620
220
阵 车
280
20
杨家山
150
50
新 村
60
20
合 计
15230
3410

面积，行列式，积分因子和Green公式

刘成仕, 杜兴华
大庆石油学院数学系，黑龙江 大庆 163318
Email:

摘要 利用二阶行列式的几何意义是有向面积及积分因子的存在性给Green公式一个新的证明。尽管技术上走得远了些，但从概念上揭示了Green公式异常简明的几何意义，即Green公式只是面积的两种不同表达方式。同时这也蕴含了一个更深刻的哲学含义，一般性隐含于特殊性（或特例）之中。
关键词 Green公式，面积，行列式，积分因子

1 二阶行列式表示有向面积

引理1: 二阶行列式
， （1）
表示向量和所形成的平行四边形的有向面积S 。
证明: （可参考文献[1]，这里给出一个证明）不妨假设在第一象限, O为坐标原点, 设D和C的坐标分别为和, 过D和C分别做x轴的垂线, 与x轴分别交于A和B两点, 从而有

.

2 简单闭曲线所围面积的公式

设L为一简单闭曲线，所围区域为D, 不妨设原点位于D内。
引理2.: D的面积为
（2）
证明 设A的坐标为(x，y), 即r=OA=(x,y), dr=(dx,dy), 因此由引理1知r和dr组成的微元三角形的面积为，
， （3）
因此L所围的面积为
， （4）
又由D的面积的二重积分表示知（2）成立。

3 积分因子
引理3 设均为二元可微函数，则存在二元可微函数P和Q, 使得
（5）
证明 由常微分方程的结论知，存在积分因子使得

取，，即得（5）。

4 Green公式的新证明

定理(Green公式): 设L为分段光滑的简单闭曲线，所围区域为D, P和Q为D上连续二元可微函数，则有下面的Green公式
（6）
证明 不妨设原点在D内，否则作变量平移即可。由引理3中（5）有
（7）
（8）
由式(7)和(8)有
（9）
由引理2和引理3中式（2）和式（5）以及式(9）有

这就完成了Green公式的证明。
尽管技术上走得远了些，但从概念上揭示了Green公式异常简明的几何意义，即Green公式只是面积的两种不同表达方式。同时这也蕴含了一个更深刻的哲学含义: 一般性隐含于特殊性（或特例）之中。
附注: 本文完成后, 恰好南京大学物理系杨化通博士(现在北京大学物理学院做博士后研究)来访, 他给出了本证明的物理意义如下: 通过坐标变换将旋度归一化.

参考文献
[1]Maclane. S. A survey of Modern Algebra [M]. 4th ed. NewYork: Macmillan. 1977.
[2]王柔怀，伍卓群. 常微分方程讲义[M]. 北京：人民教育出版社，1979.

Area, Determinant, Integral Factor and Green Formulation
LIU Cheng-Shi, DU Xing-Hua
(Department of Mathematics, Daqing Petroleum Institute, Daqing 163318,China)

Abstract A new proof for Green formulation is given by using integral factor and the relation between area and determinant. It showed that Green formulation was just two different representations for area.
Keywords Green formulation, area, determinant, integral factor
煤的比表面积测定
比表面积是指每克固体物质所具有的表面积。煤的比表面积也就是每克煤所具有的表面积．以m3/g 来表示．
固体表面都有吸附特性，煤对气体和液体有吸附现象。由煤经过特殊加工制成的活性炭其表面积可达1000m3/g ，是一种广泛应用的良好吸附剂。在吸附现象中起主要作用的是表面积和孔隙率，因而吸附作用的强弱与表面积有密切的关系。表面积越大，吸附作用也越强．煤的比表面积是煤的特殊加工工艺和气化工艺的一项重要的参数。最广泛，最普遍应用的是BET 法计算比表面积。因为氮气是化学惰性气体，而且在液氮温度下不易发生化学吸附，所以低温氮吸附法是最常用来测比表面积的一种方法。
一、方法简介：
将经过规定条件下干燥后的已知质量的煤样放入测定仪的试样管中，在－196℃下通入高纯氮，在不同相对压力下测定煤对氮的吸附量。　然后根据 BET 方程计算出每克煤的表面积，即煤的比表面积（m3/g ）。
二、仪器设备
容量法测定气体吸附的测定仪主要由试杆g 、气体量管和水银压力计组成，均由毛细管互相连接。气体量管是由5个逐渐递减容积的球组成，由毛细管彼此相连的每个球之间的容积用水银来校准，并融刻基准刻度。气体量管外有恒温水套管。水银压力计左侧支管除下部10cm 长以外，其余是毛细管。压力计附有刻度尺（米制）用来读取压力。
三、测定前的准备
l 、煤样的脱气干燥处理
煤样粒度不宜过细以免脱气处理时随气流损失，但又不宜过大，否则难以装入试样管内。煤样在测定比表面积前必须经过脱气干燥处理以除去煤吸附的气体和水．脱气干燥处理一般在真空度为1.33x10-2Pa ，温度在110 ℃下干燥16h ．认为在这样的条件下，煤的表面已无水（或其他气体吸附），然后将试样在无氧条件下冷到室温备用。
2 、等效死空间的校准煤的比表面积是根据吸附气体量来计算，而吸附气体量应由通入的气体体积减去未被吸附的气体体积所得．未被吸附的气体积即为等效死体积。其定义如下：在一定的室温、一定的液氮温度以及试样管浸泡到液氮中一固定标记刻度．在一定的吸附平衡压力下，试样管中未被吸附的气体体积（标准状态：273K 和1013hPa时的体积）。校准步骤如下：
( l ）系统抽真空达1.33Xl0-2Pa以上，并检漏之后即关闭s1 、s2：活塞．将装有液氮的容器套在试样管上，使试样管浸入液氮到一固定的刻度。
（2）调节量管下部的水银面到其最高刻度（即O 刻度）。
（3）通入高纯氮，将压力计左侧支管的水银面调到X 标记处，并记录气体压力。
（4）调水银面到量管的每一个刻度，记录相应压力．由于量管的体积是已知的，根据气体方程PAVA ＝PBVB , 可以计算出未知体积V1 , 取其平均值。
（5）测定包括装有样品的试样管到活塞S1的体积，也就是死空间V2 ．打开活塞S1 , 使高纯氮扩充到试样管内，形成平衡后记录压力，然后依次充填或排空量管球中的水银，记录量管上相应刻度下的压力。由下式计算死空间的体积：
P(V + V1 + V2 ) = K
式中：v ----里管球体积总和，cm3
V1---- 除试样管和皿管以外的体积，cm3
V2---- 死空间．cm3
P----量管球内未注入水银时的压力，mmHg 柱：
K----常数。
四、测定步骤
（1）将经过脱气干燥后已知质量的煤样（一般0.5g 左右，比表面积较大的煤应适当减少煤样量，否则吸附不易平衡，试验时间过长）放入试样管中，真空检漏后仍继续抽真空对煤样再进行脱气处理，直到系统内的压力维持在133x10-2Pa，脱气时间约1-6h 。
（2）关闭S1 , ，将样品管置于液氮中一固定标记，使煤样在-196℃下恒温。
（3）调节水银面到气体量管的最低刻度。通入高纯氮后关闭S3 ，测气体压力。打开S1 气体进入试样管与试样接触．当达到平衡时（压力在1min 内变化不超过0.lmmHg 柱），记录此时的压力。升高水银面达到逐次高度测得相应平衡压力（最多5个点）．由于气体在每克固体表面的吸附量V 依赖于气体的性质、固体表面性质、吸附平衡温度T 以及吸附质的平衡压力P ，即V =f ( T , P ，气体，固体）。当选定了吸附剂、吸附质及吸附平衡温度后则吸附量v 就只是吸附平衡压力P 的函数，则v =f ( P ) T 气体固体。由此可得到吸附等温线。

当平衡温度T 在吸附质的临界温度以下时则吸附质的平衡压力通常用相对压力X 来表示。设Ps 为吸附质在温度T 时的饱和蒸汽压，则X =P/Ps 。用氮气作吸附质时通常选用X 在0.3 --0.25 范围内的若干吸附量数据．由v 对X 作图得到吸附等温线，也就是各相对压力下的吸附量。（吸附等温线）
五、结果报告
测定了吸附量之后根据BET 方程计算比表面积。

图2 六方密堆积方式的吸附层平面的示愈图
假设单个被吸附氮分子所占的面积为a 。a 通常可由氮液态密度p 和其摩尔质量M 计算得到。
如果氮分子是半径r 的圆球，则在煤的表面上被吸附的氮分子以六方密堆积方式排列，如图2 所示。
由图2 可见，正六边形每边长等于分子的直径2r ，其面积则等于

牧草和饲料作物
播种量（斤／亩）
株行距（厘米）

覆土厚度（厘米）
草用
种用
草用
种用
紫花苜蓿
1.5-2.0
0.5－1
20－30
45－60
1－2或3－4
黄花苜蓿
1.5
0.5－1
20－30
45
1－2或3－4
草木栖
2－3
0.5－1
20－30
60
1－2或3－4
红豆草
8－10

20－30
45－60

春箭筈豌豆
8－12
6－8
30
45
3－4或4－5
冬箭筈豌豆
6－8
3－4
30
45－60
3－4或4－5
豌　豆

10（小粒种
75（大粒种）

大　豆

10－16

45－60
4－5或6－7
饲用甜菜
2－3

45－60
2－3
胡萝卜
1.5－2.5

45－60
2－3
无芒雀麦
3－4
1－1.5
15－30
45－60
2－3
扁穗雀麦
5－6
2－3
15－30
45－60
2－3
羊草（碱草）
5－7
2－3
15－30
45－60
2－3
达乌里披碱草
3－4
1.5－2
30
45－60
2－3
肥披碱草
3－4
1.5－2
30
45－60
2－3
老芒麦
2－3
1－1.5
15－30
45
2－3
垂穗披碱草
2－3
1－1.5
15－30
45
2－3
扁穗冰草
2－3
1－1.5
15－30
45
2－3
早熟草
0.8－1
0.4－0.6
15－30
30
表播、镇压
　　苏丹草
3－5
2－3
15－30
45
3－5或6－8
大　麦
－
20－25
15－30
30

燕 麦

15－25
15－30
30

玉　米
8－10
6－8
45×45
70×70
4－5
谷　子
1－2
0.6－1
15×30

第四节 对面积的曲线积分
教学目的：理解和掌握对面积的曲线积分的概念性质及计算
教学重点：对面积的曲线积分的计算
教学难点：对面积的曲线积分的计算
教学内容：
一、概念和性质
1．空间曲面质量
在对平面曲线弧长的曲线积分中，将曲线换为曲面，线密度换为面密度，二元函数换为三元函数即可得对面积的曲面积分。设有一曲面。其上不均匀分布着面密度为上的连续函数，求曲面的质量。经分割，代替，求和，取极限四步，

2．定义
设曲面是光滑的，在上有界，把分成小块，任取，作乘积，再作和，当各小块曲面直径的最大值时，这和的极限存在，则称此极限为在上对面积的曲面积分或第一类曲面，记，即
=
说明：（1）为封闭曲面上的第一类曲面积分
（2）当连续时， 存在
（3）当为光滑曲面的密度函数时，质量
（4）=1时，为曲面面积
（5）性质同第一类曲线积分
（6）若为有向曲面，则与的方向无关。
二、计算
定理 设曲面的方程，在面的投影，若在上具有一阶连续偏导数，在上连续，则=
说明 （1）设为单值函数
（2）若：或可得到相应的计算公式。
（3）若为平面里与坐标面平行或重合时=
例1 计算，为立体的边界
解 设，为锥面，
为上部分，
在面投影为
=，
图10-4-1
∴+=
=
例2 计算，由，，，的边界
解
：，：，：，：
由对称性==
=。
==
==
∴原式==）+（）+（）=
例3 计算，为被平面所割得部分
解 设第一象限内的部分为：，，
==
==）
=
或
==
==
小结：
1对面积的曲线积分的概念和性质
2对面积的曲线积分的计算
作业：
作业卡p38-39

第五节 对坐标的曲面积分
教学目的：理解和掌握对坐标的曲面积分的概念和性质
教学重点：对坐标曲面积分的计算
教学难点：对坐标曲面积分的计算
教学内容：
一、定义、性质
1．有向曲面
侧：设曲面，若取法向量朝上（与轴正向的夹角为锐角），则曲面取定上侧，否则为下侧；对曲面，若的方向与正向夹角为锐角，取定曲面的前侧，否则为后侧，对曲面，的方向与正向夹角为锐角取定曲面为右侧，否则为左侧；若曲面为闭曲面，则取法向量的指向朝外，则此时取定曲面的外侧，否则为内侧，取定了法向量即选定了曲面的侧，这种曲面称为有向曲面
2．投影
设是有向曲面，在上取一小块曲面，把投影到面上，得一投影域 （表示区域，又表示面积），假定上任一点的法向量与轴夹角的余弦同号，则规定投影为 实质将投影面积附以一定的符号，同理可以定义在面，面上的投影，
3．流向曲面一侧的流量
设稳定流动的不可压缩的流体（设密度为1）的速度场为
=++，为其中
一片有向曲面，在上连续，求单位时间内流向指定
侧的流体在此闭域上各点处流速为常向量，又设为该平面的 图10-5-1
单位法向量，则在单位时间内流过这闭区域的流体组成一底面积为，斜高为的斜柱体，斜柱体体积为 时，此即为通过区域流向所指一侧的流量。当时，流量为0，当时，流量为负值称为流体通过闭区域流向所指一侧的流量均称为。
解 但所考虑的不是平面闭区域而是一片曲面，且流速也不是常向量，故采用元素法。把分成小块，设光滑，且连续，当很小时，流过的体积近似值为以为底，以为斜高的柱体，任，为
处的单位法向量，故流量，
= 又
，
∴
∴，其中为最大曲面直径
4．定义
设为光滑的有向曲面，在上有界，把分成块，在面上投影，是上任一点，若，
存在，称此极限值为在上对坐标的曲面积分，或在有曲面上的第二类曲面积分，记为。类似对及曲面积分分别为
=
=
说明：（1）有向，且光滑
（2）在上连续，即存在相应的曲面积分
（3）++=
（4）稳定流动的不可压缩流体，流向指定侧的流量=
（5）若，则+
（6）设为有向曲面，表示与相反的侧
则 =
=
=
二、计算
定理 设由给出的曲面的上侧，在面上的投影为，在内具有一阶连续偏导数，在上连续，则=。
∵取上侧，则，即，又为上的点，则
，∴=，令
，取极限则=
说明：（1）将用代替，将投影到面上，再定向，则
=
（2）若：取下侧，则，
∴=
（3），与此类似
：时，右侧为正，左侧为负
：时，前侧为正，后侧为负
例1 计算，为，的上侧
解 将向面投影为半圆，，
=
==
由对称性 =，=
∴ 原式==
注意： 必须为单值函数，否则分成片曲面
例2 为与围成
，取外侧。
解 圆锥面上底，，上侧
圆锥面侧面，为前侧， 为后侧
=，
，， ∴
+=

=
+=
∴ 原式=
三、两类曲面积分间的关系
若：，在面的投影域，在上有一阶连续偏导数，在上连续，取上侧
=
，，
=
=
若取下侧，=
=
=
类似=， =
∴=
为在点处的法向量的方向余弦。
例3 计算 是介于和之间部分的下侧
解
，
∴=
==

∴原式==
=
练习： 设是球面的外侧，投影域： ，下面等式是否成立？将错的更正
（1）=
（2）
（3）
两类曲面积分间的关系用向量形式表示如下：

其中 =，为有向曲面上点，处的单位法向量，={}称为有向曲面元，为向量在向量上的投影
小结：
1．对坐标的曲面积分的感念和性质
2．对坐标的曲面积分的计算
3．两类曲面积分的联系
作业：
作业卡p40-41

第六节 高斯公式，通量与散度

教学目的：理解和掌握高斯公式及应用，了解通量与散度的概念
教学重点：高斯公式
教学难点：高斯公式的应用
教学内容：
一、Gauss公式
定理 设空间闭区域是有分片光滑的闭曲面所围成的，函数，，在上具有一阶连续偏导数，则
=
=
其中是的整个边界曲面的外侧，是上点处的法向量的方向余弦，称之为高斯公式。
证明 设在面上证明：设在面上的投影域，
且过内部且平行于轴的直线与的边界曲面的交点
恰好两个，则由组成，取下侧，
取上侧，，是以
的边界曲线为准线，母线平行于轴的柱面的一部分，取外侧， 图10-6-1

类似，若过内部且平行于x轴，y 轴的直线与的边界曲面的交点也且由两个时有

(1)+(2)+(3)即可证得高斯公式。
若不满足上述条件，可添加辅助面将其分成符号条件的若干块，且在辅助面两侧积分之和为零。
例1 围成表面的外侧
解 令

例2 计算的上侧
解 添上与构成封闭曲面。
令，
。
而，
原式=。
二、通量与散度
高斯公式：
右端物理意义：为单位时间内（流体经过流向指定侧的流体的质量）离开闭域的流体的总质量。
流体不可压缩且流动是稳定的，有流体离开的同时，其部必须有产生流体的“源头”产生同样多的流体来进行补充，故左端可解释为分布在内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量
高斯公式可用向量形式表示：
同除闭区域的体积:
左端为内的源头在单位时间、单位体积内所产生流体质量的平均值，应用中值定理得：，令缩为一点取极限得，称为在点M的散度，记，即，
散度可看成稳定流动的不可压缩流体在点M的源头强度——单位时间内、单位体积所产生的流质的质量.如果为负时，表示点M处流体在消失
一般若向量场，有一阶连续偏导数，为场内一片有向曲面，为上点处的单位法向量，则称为向量场通过曲面向着指定侧的通量（流量），而叫做向量场的散度，即
高斯公式又一形式，为的边界曲面，

是向量在曲面的外侧法向量上的投影。
例3 试计算，为曲线绕轴旋转所成的旋转曲面，其法矢量与轴正向夹角为钝角。
解 方程：添上平面的前侧，
构成封闭曲面外侧，令，
图10-6-2

练习:
1.计算曲线绕轴旋转一周所成曲面的外侧
2.设有连续的一阶导数，计算
所围立体的外侧。
小结：
1．高斯公式
2．通量和散度
作业：
作业卡p42-43
第七节 斯托克斯公式、环流量、旋度
教学目的：理解和掌握斯托克斯公式，及环流量和旋度的概念
教学重点：斯托克斯公式
教学难点：斯托克斯公式的应用
教学内容：
一、 stokes公式
定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则，在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有

说明：
1.为便于记忆
2.由两类曲面间关系，stokes公式另一形式
，为的单位法向量
3．若是面上的一块闭区域，则stokes公式变为Green公式,即Green公式为stokes公式的特例
例1 计算为平面被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，它的方向与这个三角形上侧的法向量间符合右手规则
解 令
，
图10-7-1
由stokes公式：原式=
的法向量方向余弦均为正，且由对称性

二、 环流量、旋度
设，
则向量称为向量场的旋度，记

stokes公式向量形式
为的法向量，为的切向量，或
称为向量场沿有向闭曲线的环流量
小结：
1．斯托克斯公式
2．环流量和旋度
作业：
课本P224 ，1 （1）（2）， 3