层次分析法在实际问题中的应用.doc

层次分析法在实际问题中的应用（可编辑）
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引言
层次分析法(Analytic Hierarchy Process简称AHP)是美国运筹学家T. L. Saaty教授于70年代初期提出的， AHP是对定性问题进行定量分析的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。它的特点是把复杂问题中的各种因素通过划分为相互联系的有序层次，使之条理化，根据对一定客观现实的主观判断结构(主要是两两比较)把专家意见和分析者的客观判断结果直接而有效地结合起来，将一层次元素两两比较的重要性进行定量描述。而后，利用数学方法计算反映每一层次元素的相对重要性次序的权值，通过所有层次之间的总排序计算所有元素的相对权重并进行排序。该方法自1982年被介绍到我国以来，以其定性与定量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛的重视和应用。

摘要：
层次分析法是社会经济系统决策的有力工具。它是将半定性，半定量问题转化为定量问题的行之有效的方法。以其定性与定量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛的重视和应用。

关键词：层次分析法，一致性指标，权重

主要案例：
案例1.
江淮无线电厂新建一栋宿舍楼，三间一套，一共40套。职工申请者有80家。为了做好分房工作，长方决定成立了一个分房工作组。工作组第一次开会，就决定以：
.A现在住房条件
.B家庭人口数量与组成情况
.C申请者工作年数
.D申请者工作性质
.E申请者获奖情况
这五个标准来分别评价80名申请者，然后求出综合分，即以以上五个标准得分的带权平均分。再按照80名申请者的综合分排序，从大到小，给前40名分房。如果发生40名与第41名综合分相同的情况，再参考申请者的配偶的情况由工作组讨论判定谁优先。
要使以上方法行得通，必须确定五个标准的评分表，必须定出五个标准的权系数。经过讨论，工作组决定五个标准都采用五级分制。
至于权系数，采用逆方阵法来确定：
A:0.503
B:0.265
分级
条件 分
标准 级
5
4
3
2
1
A
已婚，仍住集体宿舍
已婚，住父母家中
住房面积过小
住房面积并不小，但质量差
住房条件尚可
B
人口超过4，四代同堂
人口超过3，三代同堂
人口超过3，异性大龄子女
人口数为3
人口数不超过2
C
超过30年
超过20年
超过10年
超过5年
不超过5年
D
经常有职工上门谈话的领导
需要在家参阅资料或工作的技术人员
一般职工

E
国家级奖
省级奖
市、行业奖
本厂奖

C:0.134
D:0.070
E:0.027
于是，每个申请者的评价分计算公式是：
0.503A的分+0.265B的分+0.134C的分+0.07D的分+0.027E的分
用此公式计算出80名申请者的综合得分，按大小顺序排列名次。
例如，王大进、周卫红、张耀武三名申请者的分数如下：

A
B
C
D
E
综合分
王大进
3
5
2
4
3
3.463
周卫红
2
5
3
4
2
2.064
张耀武
2
4
3
4
5
2.883
顺序是：王、周、张

案例2.
某市为了合理建设市政工程，使综合效益最高，提出的决策方案有：建铁路，建高速公路，景观工程，综合管线工程，水利工程。在决策时要考虑经济效益，社会效益，环境效益三个方面。据此构建层次结构模型如下图所示：

合理建设市政工程，使综合效益最高

环境效益
社会效益
经济效益

综合管线工程
建高速公路
水利工程
建地铁
景观工程

构造第二层相对于第一层的判断矩阵

经济效益
社会效益
环境效益
经济效益

2
1/2
社会效益

2
环境效益

通过计算的判断矩阵的特征向量和特征值

1、合理建设市政工程，使综合效益最高 ， 判断矩阵一致性比例：0.0386 ； 对目标的权重：1.000；\lambda-{max}:3.041
综合效益最高
经济效益
社会效益
环境效益
Wi
经济效益
1.0000
1.2214
0.8187
0.3333
社会效益
0.8187
1.0000
1.2214
0.3333
环境效益
1.2214
0.8187
1.0000
0.3333
C.R.=0.0386<0.1
说明判断矩阵的一致性可以接受。
同理，构造第三层相对于第二层的判断矩阵：

2、经济效益，判断矩阵一致性比例：0.0056； 对目标的权重：0.3333； \lambda-{max}:4.0150
经济效益
建高速公路
建地铁
综合管线工程
水利工程
Wi
建高速公路
1.0000
1.4918
1.2214
0.8187
0.2699
建地铁
0.6703
1.0000
1.2214
0.6703
0.2102
综合管线工程
0.8187
0.8187
1.0000
0.5488
0.1902
水利工程
1.2214
1.4918
1.8221
1.0000
0.3297

3、社会效益，判断矩阵一致性比例：0.0104； 对目标的权重：0.3333； \lambda-{max}:5.0466
社会效益
建高速公路
建地铁
综合管线工程
水利工程
景观工程
Wi
建高速公路
1.0000
1.4918
0.6703
1.8221
1.2214
0.2311
建地铁
0.6703
1.0000
0.8187
1.2214
1.0000
0.1818
综合管线工程
1.4918
1.2214
1.0000
1.4918
1.2214
0.2504
水利工程
0.5488
0.8187
0.6703
1.0000
1.0000
0.1549
景观工程
0.8187
1.0000
0.8187
1.0000
1.0000
0.1818

4、环境效益，判断矩阵一致性比例：0.0043； 对目标的权重：0.3333； \lambda-{max}:3.0044
环境效益
建高速公路
建地铁
景观工程
Wi
建高速公路
1.0000
0.6703
0.5488
0.2302
建地铁
1.4918
1.0000
0.6703
0.3213
景观工程
1.8221
1.4918
1.0000
0.4484

计算结果：

最终结果
备选方案
权重
建高速公路
0.2438
建地铁
0.2378
综合管线工程
0.1469
水利工程
0.1615
景观工程
0.2101

目标：合理建设市政工程，使综合效益最高

结果表明
为了合理建设市政工程，使综合效益最高，建高速公路是首选方案。

案例3.
随着社会对人才需求的提高和研究生扩招步伐的加速，考研似乎成了当今大学校园里的一个热门话题。从而使高校大学生徘徊在人生的岔路口，常常不知如何选择，是就业、考公务员从政还是考研，每年都会使许多学生为之彷徨，迷茫。毕业前究竟是精心准备考研，还是为就业积累经验去实习或参加社会实践活动，这些都是当今大学生普遍面临的难题。本文就三种常见的毕业抉择( 考研、就业、出国) 运用层次分析法把一些定性的因素加以量化, 在每一层次上, 通过两两比较, 用设计判断矩阵的方法来提高毕业生对各个毕业出路差异的认识, 从而提高目标权重设定的准确性, 综合各种因素能够很有理性的从众多的决策方案中选择最优的方案。
1．基本假设
（1）假设文中所列准则因素均符合层次分析法的具体结构要求；
（2）模型中各个分析因素具有全面性；
（3）假设在短时间内，题中各层因素结构不会发生变化。
2．原理方法
层次分析法（Analytic Hierarchy Process）是T.L. Saaty等人在二十世纪七十年代提出的一种系统化、层次化的分析方法，其方法思想朴素，但却能很有效的整合那些影响一个复杂决策系统的因素和数据信息。在诸如资源分配、选优排序、政策分析、冲突求解等领域得到广泛的应用。
层次分析法的基本步骤
1） 立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同的属性自上而下地分解成若干个层次。同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。最上层为目标层，通常只有一个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，通常为准则或指标层。当准则过多时（譬如多于9个）应进一步分解出子准则层；
2） 构造成对比较矩阵 从层次结构模型的第二层开始，对于从属于（或影响及）上层每个因素的同一层诸因素，用1-9比较尺度构造成对比较矩阵，直到最下层；
Yi/Yj
相同
稍强
强
明显强
绝对强
aij
1
3
5
7
9
表1：1-9尺度含义
3） 计算权向量并做一致性检验 对于每一个成对比较阵计算其最大特征值及对应特征向量，利用一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量，否则需重新构造成对比较阵；
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
RI
0
0
0.58
0.90
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
1.49
1.51
表2：随机一致性指标RI的数值
4） 计算组合权向量并做组合一致性检验 计算方案层对顶（目标）层的组合权向量，并逐步进行组合一致性检验。若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需重新构造那些一致性比率CR较大的成对比较阵。
3．案例分析
3.1.案例的层次结构图

经济情况
大学生毕业选择出路
住房条件
工作环境
发展情况
社会地位
考研
就业
从政

3.2.构造成对比教矩阵

A= 1 9 4 1/2 3
1/9 1 3 1/7 1/5
1/4 1/3 1 1/3 1/2
2 7 3 1 2
1/3 5 2 1/2 1
对每一矩阵元素求和：
则得到矩阵：
2.221
TR= 0.394
0.425
2.426
1.108
对该矩阵做归一化处理
计算排序权向量为 0.338
0.060
0.065
0.369
0.169
然后计算矩阵的最大特征值为5.3154.
CI=(5.3154-5)/(5-1)=0.079
RI=1.12
CR=CI/RI=0.079/1.12=0.07<0.1
由CR的计算结果看出A矩阵的一致性良好,通过了一致性检验,所以前面的特征向量作权重的计算有效.
3.3.计算下一层的两两对比矩阵

B1= 1 2 5 B2= 1 1/3 1/8 B3= 1 1 1
1/2 1 2 3 1 1/3 1 1 3
1/5 1/2 1 8 3 1 1/3 1/3 1

B4= 1 3 4 B5= 1 1 1/4
1/3 1 1 1 1 1/4
1/4 1 1 4 4 1

由第三层的成对比较阵Bk计算出权向量Wk(3),最大特征值和一致性指标,结果如表:
k
1
2
3
4
5
Wk(3)
0.595
0.082
0.429
0.633
0.166
0.277
0.236
0.429
0.193
0.166
0.129
0.682
0.142
0.175
0.668
最大特征根
3.005
3.002
3
3.009
3
CIk
0.003
0.001
0
0.005
0
由此可见，上述CIk均可通过一致性指标。
下面的问题是由各准则对目标的权向量W(2)和各方案对每一准则的权向量Wk(3)（k=1,2,3,4,5）,计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量。记为W(3).所以方案一在目标中的组合权重应该为他们相应项的两两乘积之和即0.595×0.338+0.082×0.060+0.429×0.065+0.633×0.369+0.166×0.169=0.496
同样可以算出方案二和方案三的组合权重为0.235和0.269。于是组合权重向量
W(3)=(0.496,0.235,0.269)T。
因此结果表明方案一考研在大学生毕业选择中所占权重接近一半，远大于就业和从政，应作为第一选择。
5.结果分析
模型中方案层权重系数的求解是根据被测试者所列出的成对比较阵得出，即首选方案是去报考研究生。其中考研、就业以及考公务员所占的权重分别为：0.496、0.235、0.269，由此可以得，在众多层次结构因素的测评下，测试者报考公务员与选择就业的几率很低，研究生应该是他的最先要选择的。

总结：
通过以上几个案例可以得出：AHP即层次分析法,它是一种强有力的系统分析+运筹学方法，对多因素、多标准、多方案的综合评价及趋势预测相当有效.面对由“方案层+因素层+目标层”构成的递阶层次结构决策分析问题，给出了一整套处理方法与过程.AHP最大的优点是可以处理定性和定量相结合的问题，可以将决策者的主观判断与政策经验导入模型，并加以量化处理.AHP从本质上讲是一种科学的思维方式.其主要的特点是：
1）面对具有层次结构的整体问题综合评价，采取逐层分解，变为多哥单准则评价问题，在多个单准则评价的基础上进行综合；
2）为解决定性因素的处理及可比性问题，以“重要性”（数学表现为权值）比较作为统一的处理格式.并将比较结果按重要程度以1至9级进行量化标度.
3）检验与调整比较链上的传递性，即检验一致性的可接受程度；
4）对汇集全部比较信息的矩阵集，使用线性代数理论与方法加以处理.挖掘出深层次的、实质性的综合信息作为决策支持.
局限性：
1）AHP方法也有致命的缺点，它只能在给定的策略中去选择最优的，而不能给出新的策略；
2）AHP方法中所用的指标体系需要有专家系统的支持，如果给出的指标不合理则得到的结果也就不准确；
3）AHP方法中进行多层比较的时候需要给出一致性比较，如果不满足一致性指标要求，则AHP方法方法就失去了作用；
4）AHP方法需要求矩阵的特征值，但是在AHP方法中一般用的是求平均值（可以算术、几何、协调平均）的方法来求特征值，这对于一些病态矩阵是有系统误差的。