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福建省龙岩市一级校联盟2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量检查数学试题
一、单选题
1．计算（　　）
A．34 B．35 C．36 D．37
2．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．已知直线l的法向量为，且经过点，则原点O到l的距离为（　　）
A． B． C． D．
4．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层的球数构成一个数列，则（　　）

A． B． C． D．
5．某学校高二（1）班上午安排语文、数学、英语、体育、物理门课，要求第一节不安排体育，语文和数学必须相邻，则不同的排课方法共有（　　）
A．种 B．种 C．种 D．种
6．已知O为坐标原点，P是直线上一动点，Q是圆上一动点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．已知数列是公差为的等差数列，是其前项和，且,，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知是双曲线的左、右焦点，经过点的直线与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．

二、多选题
9．已知二项式的展开式，则（　　）
A．常数项是 B．系数为有理数的项共有4项
C．第5项和第6项的二项式系数相等 D．奇数项的二项式系数和为256
10．已知经过点且斜率为k的直线l与圆交于不同的两点M，N，线段的中点为P，则（　　）
A． B．当时，直线l平分圆C
C．当时， D．点P的轨迹方程为
11．已知直线l与抛物线交于、两点，且与轴交于点，为坐标原点，直线、斜率之积为，则（　　）
A．当时，
B．当时，线段中点的轨迹方程为
C．当时，以为直径的圆与轴相切
D．当时，的最小值为
12．已知数列各项均为负数，其前项和满足，则（　　）
A．数列的第项小于 B．数列不可能是等比数列
C．数列为递增数列 D．数列中存在大于的项

三、填空题
13．编号不同的四个球放入四个不同的盒子中，恰有一个空盒的不同放法有 种.（用数字回答）
14．已知圆与圆外离，则实数a的取值范围为 .
15．已知椭圆的离心率为，、是左、右焦点，为椭圆的下顶点，连接并延长交椭圆于点，则直线的斜率为 .
16．已知数列各项均为，在其第项和第项之间插入个，得到新数列，记新数列的前项和为，则 ， .

四、解答题
17．在①各项系数之和为；②常数项为；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题.
在的展开式中， .
(1)求n；
(2)证明：能被6整除.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

18．在数列中，，且分别是等差数列的第1，3项.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求的前n项和.

19．已知圆M的圆心在直线上，并且与直线相切于点.
(1)求圆M的标准方程；
(2)直线与圆M相交于A，B两点，，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，求.

20．抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知点为抛物线的焦点，为坐标原点，点在抛物线上，且其纵坐标为，满足.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)已知平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经过抛物线上另一点，最后沿方向射出，若射线平分，求实数的值.

21．已知函数满足，数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.

22．已知定点，直线相交于点M，且它们的斜率之积为，记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)点满足，直线与双曲线分别相切于点A，B.证明：直线与曲线C相切于点Q，且.

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．A 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．C 8．D
9．ACD 10．AB 11．AC 12．BCD
13．144 14． 15．/ 16．
17．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）选条件①各项系数之和为，取，则，解得；
选条件②常数项为，由，则常数项为，解得；
选条件③各项系数的绝对值之和为1536，即的各项系数之和为1536，取，则，解得.
（2）
，
所以能被6整除.
18．(1),
(2)
【详解】（1）由题意得，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，
又因为，解得，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以.
（2）由题意，
若
则，
若，
则，
所以的前n项和.
19．(1)
(2)
【详解】（1）设与直线垂直的直线方程为，
代入点可得，解得，
可知圆M的圆心在直线上，
联立方程，解得，
即圆M的圆心，半径，
所以圆M的标准方程为.
（2）设，
联立方程，消去y得，
则，
因为，解得，
此时，即符合题意，
则，
所以.

20．(1)
(2)
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的焦点为，将代入抛物线方程可得，
即点，
由可得，解得，
故抛物线的标准方程为.
（2）由题意可知，直线的方程为，由可得，即点，
则，直线的方程为，
联立可得，即点，

设直线的倾斜角为，则，
由题意可知，，且为锐角，，可得，所以，，
因为，可得，解得.
21．(1)
(2)
【详解】（1）解：函数满足，数列满足，
则，
所以，，
故.
（2）解：由（1）可得，
则，
所以，，
上式下式可得，
所以，，则，
所以，，
由可得，则，
因为，
因为函数在上单调递增，
且，故当时，取最大值，故.
因此，实数的取值范围是.
22．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设，则，
由题意可得，整理得，
所以曲线C的方程.
（2）设，直线的斜率分别为直线，
则，，
可知直线的方程为，
联立方程，消去y得，
则，
可得，
且，即，
代入可得，则，
同理可得，
又因为切线均过点，
可知为方程的两根，
且，则，可得，
则，即，可知为直角三角形，
又因为，整理得，
同理可得，
可知直线的方程为，即直线的斜率，
联立方程，消去y得，
且且，则，可得，解得，
且，即直线与曲线C相切于点，
则，可得，可知，
则，可得，即，
所以直线与曲线C相切于点Q，且.

答案第7页，共7页