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福建省龙岩市一级校联盟2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量检查数学试题
一、单选题
1.计算( )
A.34 B.35 C.36 D.37
2.已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知直线l的法向量为,且经过点,则原点O到l的距离为( )
A. B. C. D.
4.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状,后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层(即第一层)有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,…,设“三角垛”从第一层到第n层的各层的球数构成一个数列,则( )
A. B. C. D.
5.某学校高二(1)班上午安排语文、数学、英语、体育、物理门课,要求第一节不安排体育,语文和数学必须相邻,则不同的排课方法共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
6.已知O为坐标原点,P是直线上一动点,Q是圆上一动点,则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知数列是公差为的等差数列,是其前项和,且,,则( )
A. B. C. D.
8.已知是双曲线的左、右焦点,经过点的直线与双曲线C的左右两支分别交于A,B两点,若,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题
9.已知二项式的展开式,则( )
A.常数项是 B.系数为有理数的项共有4项
C.第5项和第6项的二项式系数相等 D.奇数项的二项式系数和为256
10.已知经过点且斜率为k的直线l与圆交于不同的两点M,N,线段的中点为P,则( )
A. B.当时,直线l平分圆C
C.当时, D.点P的轨迹方程为
11.已知直线l与抛物线交于、两点,且与轴交于点,为坐标原点,直线、斜率之积为,则( )
A.当时,
B.当时,线段中点的轨迹方程为
C.当时,以为直径的圆与轴相切
D.当时,的最小值为
12.已知数列各项均为负数,其前项和满足,则( )
A.数列的第项小于 B.数列不可能是等比数列
C.数列为递增数列 D.数列中存在大于的项
三、填空题
13.编号不同的四个球放入四个不同的盒子中,恰有一个空盒的不同放法有 种.(用数字回答)
14.已知圆与圆外离,则实数a的取值范围为 .
15.已知椭圆的离心率为,、是左、右焦点,为椭圆的下顶点,连接并延长交椭圆于点,则直线的斜率为 .
16.已知数列各项均为,在其第项和第项之间插入个,得到新数列,记新数列的前项和为,则 , .
四、解答题
17.在①各项系数之和为;②常数项为;③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答问题.
在的展开式中, .
(1)求n;
(2)证明:能被6整除.
(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)
18.在数列中,,且分别是等差数列的第1,3项.
(1)求数列和的通项公式;
(2)记,求的前n项和.
19.已知圆M的圆心在直线上,并且与直线相切于点.
(1)求圆M的标准方程;
(2)直线与圆M相交于A,B两点,,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,求.
20.抛物线具有光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知点为抛物线的焦点,为坐标原点,点在抛物线上,且其纵坐标为,满足.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)已知平行于轴的光线从点射入,经过抛物线上的点反射后,再经过抛物线上另一点,最后沿方向射出,若射线平分,求实数的值.
21.已知函数满足,数列满足:.
(1)求数列的通项公式;
(2)数列满足,其前项和为,若对任意恒成立,求实数的取值范围.
22.已知定点,直线相交于点M,且它们的斜率之积为,记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)点满足,直线与双曲线分别相切于点A,B.证明:直线与曲线C相切于点Q,且.
试卷第3页,共4页
参考答案:
1.A 2.B 3.C 4.D 5.B 6.C 7.C 8.D
9.ACD 10.AB 11.AC 12.BCD
13.144 14. 15./ 16.
17.(1)
(2)证明见解析
【详解】(1)选条件①各项系数之和为,取,则,解得;
选条件②常数项为,由,则常数项为,解得;
选条件③各项系数的绝对值之和为1536,即的各项系数之和为1536,取,则,解得.
(2)
,
所以能被6整除.
18.(1),
(2)
【详解】(1)由题意得,所以数列是以1为首项,2为公比的等比数列,
所以,
又因为,解得,
所以数列是以为首项,为公差的等差数列,
所以.
(2)由题意,
若,
则,
若,
则,
所以的前n项和.
19.(1)
(2)
【详解】(1)设与直线垂直的直线方程为,
代入点可得,解得,
可知圆M的圆心在直线上,
联立方程,解得,
即圆M的圆心,半径,
所以圆M的标准方程为.
(2)设,
联立方程,消去y得,
则,
因为,解得,
此时,即符合题意,
则,
所以.
20.(1)
(2)
【详解】(1)解:由题意可知,抛物线的焦点为,将代入抛物线方程可得,
即点,
由可得,解得,
故抛物线的标准方程为.
(2)由题意可知,直线的方程为,由可得,即点,
则,直线的方程为,
联立可得,即点,
设直线的倾斜角为,则,
由题意可知,,且为锐角,,可得,所以,,
因为,可得,解得.
21.(1)
(2)
【详解】(1)解:函数满足,数列满足,
则,
所以,,
故.
(2)解:由(1)可得,
则,
所以,,
上式下式可得,
所以,,则,
所以,,
由可得,则,
因为,
因为函数在上单调递增,
且,故当时,取最大值,故.
因此,实数的取值范围是.
22.(1)
(2)证明见解析
【详解】(1)设,则,
由题意可得,整理得,
所以曲线C的方程.
(2)设,直线的斜率分别为直线,
则,,
可知直线的方程为,
联立方程,消去y得,
则,
可得,
且,即,
代入可得,则,
同理可得,
又因为切线均过点,
可知为方程的两根,
且,则,可得,
则,即,可知为直角三角形,
又因为,整理得,
同理可得,
可知直线的方程为,即直线的斜率,
联立方程,消去y得,
且且,则,可得,解得,
且,即直线与曲线C相切于点,
则,可得,可知,
则,可得,即,
所以直线与曲线C相切于点Q,且.
答案第7页,共7页
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