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甘肃联合大学学生毕业论文

题 目 不等式的证明

作 者： 柳苗苗
指导老师： 朱谦

师范 学院 数学 系
数学教育 专业 10 级
3 年制 4 班

2013年 5 月 1日
不等式的证明方法

摘要：
不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面就不等式的证明方法列举如下。

关键词：
比较法；综合法；分析法；换元法；增值代换法；利用“1”的代换型；反证法； 放缩法；构造函数法

不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。
注意的变式应用。常用 (其中)来解决有关根式不等式的问题。
一、比较法
比较法[1]是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。
1、已知a,b,c均为正数，求证：
证明：∵a,b均为正数;∴
同理，
三式相加，可得
∴
二、 综合法
综合法[5]是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。
2、a、b、，，求证：
证：∴
3、设、、是互不相等的正数，求证：
证：∵ ∴
∵ 同理：
∴
4、 知a,b,c，求证:
证明：∵
即，两边开平方得
同理可得三式相加，得

5、且，证：。
证：
6、 已知
策略：由于

证明：。
三、分析法
分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。
7、已知、、为正数，求证：
证：要证：只需证：
即：∵ 成立∴ 原不等式成立
8、且，求证。
证：即：
∵ 即∴原命题成立
四、换元法
换元法[2]实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。
9、，求证：。
证明：令
左 ∴
10、，求证：
证：由设，∴
∴
11、已知a>b>c,求证：
证明：∵a－b>0, b－c>0, a－c>0 ∴可设a－b=x, b－c=y (x, y>0) 则a－c= x + y, 原不等式转化为证明即证，即证 ∵∴原不等式成立（当仅x=y当“=”成立）
12、已知1≤x＋y≤2，求证：≤x－xy＋y≤3．
证明：∵1≤x＋y≤2，∴可设x = rcos，y = rsin，其中1≤r≤2，0≤＜．
∴x－xy＋y= r－rsin= r(1－sin)，∵≤1－sin≤，∴r≤r(1－sin)≤r，而r≥，r≤3∴ ≤x－xy＋y≤3．

13、已知x－2xy＋y≤2，求证：| x＋y |≤．
证明：∵x－2xy＋y= (x－y)＋y，∴可设x－y = rcos，y = rsin，其中0≤r≤，0≤＜．
∴| x＋y | =| x－y＋2y | = | rcos＋2rsin| = r|sin(＋ractan)|≤≤．
14、解不等式＞
解：因为=6，故可令 = sin，＝ cos，∈［0，］
则原不等式化为 sin－ cos ＞所以 sin ＞+ cos
由∈［0，］知+ cos＞0，将上式两边平方并整理，得48 cos2+4 cos－23＜0
解得0≤cos＜所以x＝6cos2－1＜，且x≥－1，故原不等式的解集是｛x|-1≤x＜ .
15、－1≤－x≤．
证明：∵1－x≥0，∴－1≤x≤1，故可设x = cos，其中0≤≤．
则－x =－cos= sin－cos=sin(－)，∵－≤－≤，
∴－1≤sin(－)≤，即－1≤－x≤．
五、增量代换法[3]
在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简．
16、已知a，bR，且a＋b = 1，求证：(a＋2)＋(b＋2)≥．
证明：∵a，bR，且a＋b = 1，∴设a =＋t，b－t， (tR)
则(a＋2)＋(b＋2)= (＋t＋2)＋(－t＋2)= (t＋)＋(t－)= 2t＋≥．
∴(a＋2)＋(b＋2)≥．
六、利用“1”的代换型
17、策略：做“1”的代换。
证明： .

七、反证法
反证法的思路是“假设矛盾肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。
18、若p＞0，q＞0，p＋q= 2，求证：p＋q≤2．证明：反证法
假设p＋q＞2，则(p＋q)＞8，即p＋q＋3pq (p＋q)＞8，∵p＋q= 2，∴pq (p＋q)＞2．
故pq (p＋q)＞2 = p＋q= (p＋q)( p－pq＋q)，又p＞0，q＞0 p＋q＞0，
∴pq＞p－pq＋q，即(p－q) ＜0，矛盾．故假设p＋q＞2不成立，∴p＋q≤2．
19、已知、、（0，1），求证：，，，不能均大于。
证明：假设，，均大于∵ ，均为正 ∴
同理 ∴
∴ 不正确 ∴ 假设不成立 ∴ 原命题正确
20、已知a,b,c∈（0，1），求证：（1－a）b, （1－b）c, （1－c）a 不能同时大于。
证明：假设三式同时大于∵0＜a＜1 ∴1－a＞0 ∴
21、、、，，，，求证：、、均为正数。
证明：反证法：假设、、不均为正数 又 ∵ 、、两负一正
不妨设，， 又 ∵ ∴ 同乘以 ∴ 即，与已知矛盾
∴ 假设不成立 ∴ 、、均为正数
八、放缩法
放缩时常用的方法有：1去或加上一些项2分子或分母放大（或缩小）3用函数单调性放缩4用已知不等式放缩
22、已知a、b、c、d都是正数，求证：1＜＋＋＋＜2．
证明：∵＜＜，＜＜，
＜＜，＜＜，
将上述四个同向不等式两边分别相加，得：1＜＋＋＋＜2．
23、，求证：。
证明：∵
∴  

判别式法
24、A、B、C为的内角，、、为任意实数，求证：。
证明：构造函数，判别式法令

为开口向上的抛物线

无论、为何值， ∴ ∴ 命题真
九、构造函数法
构造函数法[4]证明不等式24 设0≤a、b、c≤2，求证：4a＋b＋c＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．
证明：视a为自变量，构造一次函数= 4a＋b＋c＋abc－2ab－2bc－2ca = (bc－2b－2c＋4)a＋(b＋c－2bc)，由0≤a≤2，知表示一条线段．又= b＋c－2bc = (b－c)≥0，= b＋c－4b－4c＋8 = (b－2)＋(c－2)≥0，
可见上述线段在横轴及其上方，∴≥0，即4a＋b＋c＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．
构造向量法证明不等式 根据已知条件与欲证不等式结构，将其转化为向量形式，利用向量数量积及不等式关系·≤||·||，就能避免复杂的凑配技巧，使解题过程简化．应用这一方法证明一些具有和积结构的代数不等式，思路清晰，易于掌握．
25、 设a、b∈R，且a＋b =1，求证：(a＋2)＋(b＋2)≥．
证明：构造向量= (a＋2，b＋2)，= (1，1)．设和的夹角为，其中0≤≤．
∵|| =，|| =，∴·= ||·||cos=··cos；
y
x
x＋y = 0

2
A
B
D
C
O
另一方面，·= (a＋2)·1＋(b＋2)·1 = a＋b＋4 = 5，而0≤|cos|≤1，
所以·≥5，从而(a＋2)＋(b＋2)≥．
构造解析几何模型证明不等式
如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系，则可根据已知式的结构挖掘出它的几何背景，通过构造解析几何模型，化数为形，利用数学模型的直观性，将不等式表达的抽象数量关系转化为图形加以解决．
26、设a＞0，b＞0，a＋b = 1，求证：＋≤2．
证明：所证不等式变形为：≤2．这可认为是点A()到直线 x＋y = 0的距离．
但因()＋()= 4，故点A在圆x＋y= 4 (x＞0，y＞0)上．如图所示，AD⊥BC，半径AO＞AD，即有：≤2，所以＋≤2．
1．实数绝对值的定义
　　|a|=　　这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。
　　2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。
　　若a>0时，则 　　|x|a x<-a或x>a。
　　注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。
　　3．常用的同解变形
　　|f(x)|g(x) f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)；
　　|f(x)|<|g(x)| f2(x)b||≤|a±b|≤|a|+|b|。

参考文献：
[1]荣德基，点拨，高二数学（上）[M]，北京，学院出版社，2005
[2]周美秀，杨志杰，不等式的证明[J]，伊犁教育学院学报，2004年03期 [3]田隆刚，再谈分式不等式中的代换法[J]，数学教学研究，2003年05期 [4]黄春华，不等式证明的函数方法[A]，数学及其应用文集——中南模糊数学和系统分会第三届年会论文集（下卷）[C]，1995
[5]裴丽群，证明不等式的通法举例[A]，科技创新与节能减排——吉林省第五届科学技术学术年会论文集（上册）[C]，2008

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主要内容简介：
无论在初等数学还是高等数学中,不等式都是十分重要的内容.而不等式的证明则是不等式知识的重要组成部分.在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法.在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等.从而使不等式的证明方法更加的完善，有利于我们进一步的探讨和研究不等式的证明. 通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯.