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1、第四章 回归分析 课后作业参考答案 4.1 炼铝厂测得铝的硬度x与抗张强度y的数据如下： 68 53 70 84 60 72 51 83 70 64 288 298 349 343 290 354 283 324 340 286 (1)求y对x的回归方程 (2)检验回归方程的显著性() (3)求y在x=65处的预测区间(置信度为0.95) 解：(1) 1、计算结果 一元线性回归模型只有一个解释变量 其中：x为解释变量，y为被解释变量，为待估参数，位随机干扰项。 使用普通最小二乘法估计参数 上述参数估计可写为 所求得的回归方程
2、为： 实际意义为：当铝的硬度每增加一个单位，抗张强度增加1.80个单位。 2、软件运行结果 根据所给数据画散点图 由散点图不能够确定y与x之间是否存在线性关系，先建立线性回归方程然后看其是否能通过检验 线性回归分析的系数 模型 非标准化系数 标准化系数 T值 P值 95% 系数的置信区间 学生残差 下限 上限 1 常数项 193.951 46.796 4.145 0.003 86.039 301.862 x 1.801 0.685 0.681 2.629 0.030 0.221 3.381
3、 由线性回归分析系数表得回归方程为：，说明x每增加一个单位，y相应提高1.801。 (2) 1、计算结果 ①回归方程的显著性检验(F检验) 线性回归效果不显著 线性回归效果显著 在给定显著性水平时，，所以拒绝，认为方程的线性回归效果显著 ②回归系数的显著性检验(t检验) 在给定显著性水平时，，所以拒绝，认为回归系数显著，说明铝的硬度对抗张强度有显著的影响。 ③回归方程的线性显著性检验(r检验) x与y线性无关 x与y线性相关 在给定显著性水平时，，所以拒绝，认为x与y之间具有线性关系。 2、软件运行结果 模型摘要 模型 R 修正的 估计的学生误差 1
4、0.681(a) 0.463 0.396 22.685 由上表得r=0.681，说明y与x的之间具有线性关系。 方差分析表 模型 平方与 自由度 平均平方值 F值 P值 1 回归平方与 3555.541 1 3555.541 6.909 0.030(a) 残差平方与 4116.959 8 514.620 总平方与 7672.500 9 由方差分析表知，p值小于给定的α，说明回归方程通过F检验，回归方程显著。 线性回归分析的系数 模型 非标准化系数 标准化系数 T值 P值
5、 95% 系数的置信区间 学生残差 下限 上限 1 常数项 193.951 46.796 4.145 0.003 86.039 301.862 x 1.801 0.685 0.681 2.629 0.030 0.221 3.381 由线性回归分析系数表知，p值小于给定的α，认为回归系数显著，说明铝的硬度对抗张强度有显著的影响。 综上所述，建立的回归方程通过以上的r检验、F检验、t检验，证明回归方程效果显著。 (3)当=65时，代入上述回归方程得=310.996 在1-a的置信度下，的置信区间为 95%置信度下的预
6、测区间为 [255.988 366.004]。 4.2 在硝酸钠()溶解度试验中，对不同温度测得溶解于100ml的水中的硝酸钠重量y的观测值如下: 0 4 10 15 21 29 36 51 68 66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.9 113.6 125.1 (1)求回归方程 (2)检验回归方程的显著性 (3)求y在时的预测区间(置信度为0.95) 解： (1) 1、计算结果 一元线性回归模型只有一个解释变量 其中：t为解释变量，y为被解释变量，为待估参数，位随机干扰项。 使用普通最小二乘法估计参数
7、 上述参数估计可写为 所求得的回归方程为： 实际意义为：在温度为0时，硝酸钠的溶解度为67.5313，温度每升高一度，溶解度增加0.8719。 2、软件运行结果 根据所给数据画散点图 由散点图可以看出y与t之间存在线性关系，因此建立线性回归模型如下 线性回归分析的系数 模型 非标准化系数 标准化系数 T值 P值 95% 系数的置信区间 学生残差 下限 上限 1 常数项 67.531 0.535 126.309 0.000 66.267 68.796 t 0.872 0.016 0.999 54.
8、747 0.000 0.834 0.910 由线性回归分析系数表得回归方程为：，说明温度每增加一度，溶解度相应提高0.872。 (2) 1、计算结果 ①回归方程的显著性检验(F检验) 线性回归效果不显著 线性回归效果显著 在给定显著性水平时，，所以拒绝，认为方程的线性回归效果显著 ②回归系数的显著性检验(t检验) 在给定显著性水平时，，所以拒绝，认为回归系数显著，说明温度对硝酸钠的溶解度有显著的影响。 ③回归方程的线性显著性检验(r检验) t与y线性无关 t与y线性相关 在给定显著性水平时，，所以拒绝，认为t与y线性相关。 2、软件运行结果 模型摘要 模型
9、 R 修正的 估计的学生误差 1 0.999(a) 0.998 0.997 1.0147 由上表得r=0.999，说明y与t之间线性关系显著。 方差分析表 模型 平方与 自由度 平均平方值 F值 P值 1 回归平方与 3086.252 1 3086.252 2997.287 0.000(a) 残差平方与 7.208 7 1.030 总平方与 3093.460 8 由方差分析表知，F值很大，p值很小，回归方程通过F检验，说明回归方程显著。 线性回归分析的系数 模型 非标准化
10、系数 标准化系数 T值 P值 95% 系数的置信区间 学生残差 下限 上限 1 常数项 67.531 0.535 126.309 0.000 66.267 68.796 t 0.872 0.016 0.999 54.747 0.000 0.834 0.910 由线性回归分析系数表知，p值很小，通过t检验，认为回归系数显著，说明温度对硝酸钠的溶解度有显著的影响。 综上所述，建立的回归方程通过以上的r检验、F检验、t检验，证明回归方程效果显著。 (3)当=25时，代入上述回归方程得=89.328 在1-a的
11、置信度下，的置信区间为 95%置信度下的预测区间为 [86.8113 91.8450]。 4.3 对同一个问题，两人分别在做线性回归。 甲：取样本值，得回归方程 乙：取样本值，得回归方程 (1)如何判断这两个回归方程是否相等(给定显著性水平)？ (2)若相等，如何求一个共同的回归方程？ 解： ①检验 若，则拒绝 其中 ②检验 若，则拒绝 其中 ③检验 若，则拒绝 这三步当中只有一个是拒绝原假设，则两回归方程不同。 (2)共同的回归方程为： 其中， 4.6 某化工厂研究硝化得率y与硝化温度、硝化液中硝酸浓度之间的统计相关关系。进行10次试验，得实验
12、数据如下表： 16.5 19.7 15.5 21.4 20.8 16.6 23.1 14.5 21.3 16.4 93.4 90.8 86.7 83.5 92.1 94.9 89.6 88.1 87.3 83.4 90.92 91.13 87.95 88.57 90.44 89.87 91.03 88.03 89.93 85.58 试求y对的回归方程。 解：用所给的数据建立多元回归方程并进行检验 模型摘要 模型 R 修正的 估计的学生误差 1 0.927(a) 0.859 0.819 0.760
13、66 由上表得r=0.927，说明y与x的之间线性关系显著。 方差分析表 模型 平方与 自由度 平均平方值 F值 P值 1 回归平方与 24.724 2 12.362 21.365 0.001(a) 残差平方与 4.050 7 0.579 总平方与 28.774 9 由方差分析表知，F值很大，p值很小，回归方程通过F检验，说明回归方程显著。 线性回归分析的系数 模型 非标准化系数 标准化系数 T值 P值 95% 系数的置信区间 学生残差 下限 上限r 1
14、常数项 51.798 6.079 8.521 0.000 37.424 66.172 x1 0.336 0.085 0.564 3.972 0.000 0.136 0.536 x2 0.352 0.065 0.770 5.423 0.000 0.198 0.505 由线性回归分析系数表知，与的p值都很小，通过了t检验，认为回归系数显著，说明硝化温度与硝化液中硝酸浓度对硝化得率均有显著的影响。 通过以上的r检验、F检验、t检验，证明回归方程效果显著。 最后得到的回归方程为： 说明硝化温度每增加一度，硝化得率增加0.336%；硝化液
15、中硝酸浓度每增加1%，硝化得率增加0.352%。 4.4 某建材实验室再作陶粒混凝土强度试验中，考察每立方米混凝土的水泥用量x（kg）对28天后的混凝土抗压强度y()的影响，测得如下数据 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 56.9 58.3 61.6 64.6 68.1 71.3 74.1 77.4 80.2 82.6 86.4 89.7 （1）求y对x的线性回归方程，并问：每立方米混凝土中增加1公斤水泥时，可提高的抗压强度是多少？ （2）检验线性回归方程效果的显著性（）
16、 （3）求回归系数的区间估计（）； （4）求时，的预测值及预测区间。 解：1.计算结果 （1）一元线性回归模型：只有一个解释变量 Y为被解释变量，X为解释变量，与为待估参数， 为随机干扰项。 用普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）估计与 记 上述参数估计量可以写成： 带入数字得： 所以求得的回归方程为：y=10.283+0.304x，即 x每增加一个单位，y相应提高0.304 （2）回归方程的显著性检验： 总体平方与,简记为S总或Lyy 回归平方与,记为S回或U 残差平方与,记为S残或Qe SST=SSE(Qe)+SSR
17、U) 对总体参数提出假设 H0： b1=0， H1：b1¹0 F检验： 因为 所以，拒绝原假设。 T检验： 因为|t|>2.2281,所以拒绝原假设，即对方程有显著影响。 线性关系的显著性检验： 代入数据得：r=0.999 拒绝原假设，即X与Y有显著的线性相关关系 对总体参数提出假设 H0： b0=0， H1：b0¹0 因为|t|>2.2281,所以拒绝原假设，即对方程有显著影响 (3)回归系数的区间估计，构造统计量 (1-a)的置信度下, 的置信区间是 得出：β1的95%
18、的置信区间为[-0.295，-0.313]。 （4）求预测值 代入数据计算得： 当x=22.5时，y=17.123 求预测区间 构造统计量 其中： 从而在1-a的置信度下， Y0的置信区间为 代入数据计算得： 95%置信度的预测区间为 [15.43 18.815 ] (2)SPSS软件运行结果： 根据数据的散点图为： 由上图可知，x与y基本成线性关系。建立线性模型，进行相关检验： 模型摘要 模型 R 修正后的 估计的学生残差 1 .999(a) .998 .998 .489162 由上表可以看出相关系数R接近于1，y与x的线性关系显著。
19、方差分析表 模型 平方与 自由度 均方 F值 P值 1 回归平方与 1321.427 1 1321.427 5522.521 .000(a) 残差平方与 2.393 10 .239 总平方与 1323.820 11 由方差分析表可见，F值很大，伴随概率p很小，说明回归方程通过F检验，及回归方程非常显著 =2.393/（12-2）=0.239 线性回归分析的系数 模型 非标准化系数 标准化系数 T值 P值 95% 系数的置信区间 学生残差 下限 上
20、限r 1 常数项 10.283 .850 12.092 .000 8.388 12.178 x .304 .004 .999 74.314 .000 .295 .313 （1）y对x的线性回归方程，由上图可得回归方程：y=10.28+0.304x。p很小，通过T检验。说明x对y有显著影响。X增加一个单位y相应提高0.304。 （2）回归方程效果的显著性，以上的R检验、F检验与t检验，已证明。 （3）β1的95%的置信区间为[-0.295，-0.313]。 （4）计算后的预测值表： x y 预测值 预测值误差 预测值均数的标准误差
21、预测下限 预测上限 150 56.9 55.881 1.019 0.266 55.289 56.473 160 58.3 58.921 -0.621 0.232 58.404 59.438 170 61.6 61.96 -0.36 0.201 61.512 62.409 180 64.6 65 -0.4 0.174 64.612 65.389 190 68.1 68.04 0.06 0.154 67.697 68.383 200 71.3 71.08 0.22 0.143 70.762 71.398 210
22、 74.1 74.12 -0.02 0.143 73.802 74.438 220 77.4 77.16 0.24 0.154 76.817 77.503 230 80.2 80.2 0 0.174 79.811 80.588 240 82.6 83.24 -0.64 0.201 82.791 83.688 250 86.4 86.279 0.121 0.232 85.762 86.796 260 89.7 89.319 0.381 0.266 88.727 89.911 22.5 . 17.123 .
23、 0.76 15.43 18.815 从上表查得，当x=22.5时，y=17.123 95%置信度的预测区间为 [15.43 18.815 ] 4.5假设x是一可控变量，y是一随机变量，服从正态分布，现在不同的x值下分别对y进行观测，得如下数据， x 0.25 0.37 0.44 0.55 0.60 0.62 0.68 0.70 0.73 y 2.57 2.31 2.12 1.92 1.75 1.71 1.60 1.51 1.50 x 0.75 0.82 0.84 0.87 0.88 0.90 0.95 1.00 y
24、 1.41 1.33 1.31 1.25 1.20 1.19 1.15 1.00 (1) 假设x与y之间有线性关系，求y对x的经验回归方程，并求的无偏估计； (2) 求回归系数； (3) 检验x与y之间的线性回归方程是否显著（）； (4) 求y的0.95预测区间； (5) 为了把观测值y限制在区间（1.08，1.68），需要把x的值限制在与范围之内？（） 解：1.计算过程及结果 （1）一元线性回归模型：只有一个解释变量 Y为被解释变量，X为解释变量，与为待估参数， 为随机干扰项。 用普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）估
25、计与 记 上述参数估计量可以写成： 带入数据得： 所以求得的回归方程为：y=3.033-2.070x 可以证明，的最小二乘估计量为 它是关于的无偏估计量，也称为剩余方差（残差的方差）。 代入数据得： （2） 由 于是得到:(1-a)的置信度下的置信区间是 再由，还可得的置信水平为的置信区间 这里, 代入数据得到， β0的95%的置信区间为[2.951，3.116]； β1的95%的置信区间为[-2.183，-1.957]； 的95%的置信区间为[Qe/X21-α/2(n-2),Qe/X2α/2(n-2)]=[0.03/27.488,0.03/6.262]
26、[0.0011,0.0048] （3）回归方程的显著性检验： 总体平方与,简记为S总或Lyy 回归平方与,记为S回或U 残差平方与,记为S残或Qe SST=SSE(Qe)+SSR(U) 对总体参数提出假设 H0： b1=0， H1：b1¹0 F检验： 因为 所以，拒绝原假设。 T检验： 因为|t|>2.1315,所以拒绝原假设，即对方程有显著影响。 线性关系的显著性检验： 代入数据得：r=0.995 拒绝原假设，即X与Y有显著的线性相关关系 对总体参数提出假设 H0： b0=0，
27、 H1：b0¹0 因为|t|>2.1315,所以拒绝原假设，即对方程有显著影响 （4） 其中 （5）因 代入数据得 2.SPSS软件运行结果 根据数据得到散点图： 由上图可知，x与y基本成线性关系。建立线性模型，进行相关检验： 模型摘要 模型 R 修正的 估计的学生误差 1 .995(a) .990 .990 .04454 由上表可以看出相关系数R接近于1，y与x的线性关系显著。 线性回归分析的系数 模型 非标准化系数 标准化系数 T值 P值 95% 系数的置信区间 学生残差 下限
28、 上限r 1 常数项 3.033 0.039 78.354 .000 2.951 3.116 x -2.070 0.053 -0.995 -39.139 .000 -2.183 -1.957 由上图可得回归方程：y=3.033+(-2.070)x。p很小，通过T检验。说明x对y有显著影响。 方差分析表 模型 平方与 自由度 平均平方值 F值 P值 1 回归平方与 3.039 1 3.039 1531.867 .000(a) 残差平方与 0.030 15 0.002 总平方与 3.069
29、16 由方差分析表可见，F值很大，伴随概率sig.p很小，说明回归方程通过F检验，及回归方程非常显著 （2） 线性回归分析的系数 模型 非标准化系数 标准化系数 T值 P值 95% 系数的置信区间 学生残差 下限 上限r 1 常数项 3.033 0.039 78.354 .000 2.951 3.116 x -2.070 0.053 -0.995 -39.139 .000 -2.183 -1.957 由上表可以看出β0的95%的置信区间为[2.951，3.11
30、6]；β1的95%的置信区间为[-2.183，-1.957]；σ2的置信区间为[Qe/X21-α/2(n-2), Qe/X2α/2(n-2)]=[0.030/27.488,0.030/6.262]=[0.0011,0.0048] （3）回归方程的显著性已在（1）中证明。 （4）可以得到=nσx2=17*(0.21056)2=0.7103， 的置信度为95%预测区间为[ ] 4.7某种商品的需求量y,消费者的平均收入以及商品的价格的统计数据如下表 1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300 5 7 6 6
31、 8 7 5 4 3 9 100 75 80 70 50 65 90 100 110 60 求y对、的回归方程。 解： 线性回归分析的系数 模型 非标准化系数 标准化系数 T值 P值 95% 系数的置信区间 学生残差 下限 上限r 1 常数项 111.692 23.531 4.747 0.002 56.050 167.333 消费者平均收入x1 0.014 0.011 0.306 1.284 .240 -0.012 0.04
32、1 商品价格x2 -7.188 2.555 -0.670 -2.813 0.026 -13.231 -1.146 由上图可知，得到回归方程：。 从表中得出，x1的T检验未通过，x1与x2有较强的共线性。 则由后退法，删除第一个变量，得到线性回归分析的系数表如下： 线性回归分析的系数 模型 非标准化系数 标准化系数 T值 P值 95% 系数的置信区间 学生残差 下限 上限r 1 常数项 140.00 8.551 16.372 0.000 120.281 159.719 商品价
33、格x2 -10.000 1.369 -0.933 -7.303 0.000 -13.158 -6.842 a.因变量：商品的需求y 得到回归方程： 4.8 铝合金化学铣切工艺中，为了便于生产操作，需要对腐蚀速度进行控制，因此要考查腐蚀液温度、碱浓度、腐蚀液含铝量对腐蚀速度的影响，一共做了44次试验，所得数据如下表： 试验号 试验号 1 73 12 200 0.0240 23 87 36 200 0.0360 2 73 21 200 0.0235 24 87 48 200 0.0325 3 75
34、 30 200 0.0240 25 77 19 150 0.0230 4 75 42 200 0.0190 26 77 19 175 0.0250 5 75 36 200 0.0245 27 77 19 200 0.0265 6 75 48 200 0.0185 28 77 19 225 0.0285 7 79 12 200 0.0320 29 77 19 250 0.0290 8 79 21 200 0.0300 30 81 27 150 0.0285 9 79 30 2
35、00 0.0290 31 81 27 175 0.0295 10 79 42 200 0.275 32 81 27 200 0.0310 11 79 36 200 0.0250 33 81 27 225 0.0315 12 79 48 200 0.0225 34 81 27 250 0.0320 13 83 12 200 0.0370 35 85 35 150 0.0345 14 83 21 200 0.0360 36 85 35 175 0.0355 15 83 30 20
36、0 0.0355 37 85 35 200 0.0370 16 83 42 200 0.0325 38 85 35 225 0.0390 17 83 36 200 0.0305 39 85 35 250 0.0405 18 83 48 20 0.0270 40 89 43 150 0.0375 19 87 12 200 0.0440 41 89 43 175 0.0380 20 87 21 200 0.0425 42 89 43 200 0.0400 21 87 30 200
37、 0.0420 43 89 43 225 0.0430 22 87 42 200 0.0390 44 89 43 250 0.0450 (1)求y对的线性回归方程； (2)对所得到的回归方程进行显著性检验； (3)对自变量的显著性进行检验； (4)求时，腐蚀速度的点预测与99%的预测区间。 解： 因为y值相对于x来说数量级非常的小，所以先将y扩大10000倍，然后使用SPSS对y与之间的关系做回归 由上表得r=0.097，说明y与之间线性关系极不显著。 由方差分析表知，F值很小，p值很大，回归方程通不过F检验，说明回归方程不显著。 由线性回归分
38、析系数表知，p值很大，通不过t检验，认为回归系数高度不显著，说明对y没有显著的影响。 综上所述，建立的回归方程不能通过以上的r检验、F检验、t检验，所以无法建立y与之间的回归方程。 4.9 有一架天平，称重时有随机误差。现对实重分别为的4个物体，按下述办法称重4次：第一次，都放在天平的右盘上，砝码放在左盘中，使其平衡，记砝码读数为。第k次 放在天平的右盘上，其余两个放在左盘中。为使天平达到平衡要放上读数为的砝码，若砝码放在右盘内，则；若放在左盘内，则。试求的最小二乘估计，并求出的方差。如果对分别进行称量，需要称多少次才能得到同样精度的无偏估计。 解： 由题意得到方程为： 令解得：
39、 同理可知 如果对分别进行称量，每个需要称4次才能得到的精度，则共需称重16次。 4.10 将16~30岁的男女运动员按年龄分成7组，把年龄组中值作为x，考察年量大小对“旋转定向”能力的影响，已知的7组数据如下： x(年龄) 17 19 21 23 25 27 29 y(旋转定力) 22.48 26.63 24.2 30.7 26.51 23.00 20.30 从散点图可以看出，用抛物线回归比较好，试求其回归多项式，并求。 解：题目要求使用抛物线回归，所以先计算出，然后再使用SPSS软件对y与x、的关系做回归 线性回归分析的系数 模型 非标准
40、化系数 标准化系数 T值 P值 学生残差 1 常数项 -63.629 32.653 -1.949 0.123 年龄x 8.150 2.900 10.287 2.810 0.048 xx -0.182 0.063 -10.575 -2.889 0.045 得到的抛物线方程为： 求的计算过程见下表： 17 22.48 22.32 0.16 0.02 19 26.63 25.52 1.11 1.23 21 24.20 27.26 -3.06 9.36 23 3
41、0.70 27.54 3.16 9.97 25 26.51 26.37 0.14 0.02 27 23.00 23.74 -0.74 0.55 29 20.30 19.66 0.64 0.41 合计 21.56 4.11 某矿脉中13个相邻样本点处，某种金属的含量y与样本点对远点的距离有如下实测值： x 2 3 4 5 7 8 10 y 106.42 108.20 109.58 109.50 110.00 109.93 110.49 x 11 14 15 16 18 19 y 110.59 110
42、60 110.90 110.76 111.00 111.20 分别按： (1) (2) (3) 建立y对x的回归方程，并用复相关函数指出其中哪一种相关最大。 解：（1）使用方程的形式进行回归拟合，先计算出的值，然后对y与进行线性拟合。 模型摘要 模型 R 修正的 估计的学生误差 1 .886(a) 0.785 0.766 0.64366 a 自变量:sqrtx 由上表得r=0.886,说明y与之间线性关系显著。 方差分析表 模型 平方与 自由度 平均平方值 F值 P值 1 回归平方与 16.653 1 16.6
43、53 40.197 0.000(a) 残差平方与 4.557 11 0.414 总平方与 21.211 12 由方差分析表知，F值很大，p值几乎为0,，回归方程通过F检验，说明回归方程显著。 线性回归分析的系数 模型 非标准化系数 标准化系数 T值 P值 学生残差 1 常数项 106.301 0.600 177.031 0.000 sqrtx 1.195 0.188 0.886 6.340 0.000 由线性回归分析系数表知，回归方程系数的p值几乎为0，通过了t检验，认
44、为回归系数显著。 通过以上的r检验、F检验、t检验，证明回归方程效果显著。 最后得到的回归方程为： (2)使用方程的形式进行回归拟合，先计算出lnx 的值，然后对y与lnx进行线性拟合 模型摘要 模型 R 修正的 估计的学生误差 1 .937(a) 0.877 0.866 0.48638 由上表得r=0.937，说明y与lnx的之间线性关系显著。 方差分析表 模型 平方与 自由度 平均平方值 F值 P值 1 回归平方与 18.608 1 18.608 78.661 0.000(a) 残差平方与 2.602 11 0
45、237 总平方与 21.211 12 由方差分析表知，F值很大，p值几乎为0，回归方程通过F检验，说明回归方程显著。 线性回归分析的系数 模型 非标准化系数 标准化系数 T值 P值 学生残差 1 常数项 106.315 0.430 247.225 0.000 lnx 1.714 0.193 0.937 8.869 0.000 由线性回归分析系数表知，回归方程系数的p值几乎为0，通过了t检验，认为回归系数显著。 通过以上的r检验、F检验、t检验，证明回归方程效果显著。 最后得到的回归
46、方程为： (3)使用方程的形式进行回归拟合，先计算出1/x的值，然后对y与1/x进行线性拟合 模型摘要 模型 R 修正的 估计的学生误差 1 0.987(a) 0.974 0.972 0.22352 由上表得r=0.987，说明y与1/x的之间线性关系显著。 方差分析表 模型 平方与 自由度 平均平方值 F值 P值 1 回归平方与 20.661 1 20.661 413.529 0.000(a) 残差平方与 0.550 11 0.050 总平方与 21.211 12 由方差分析表知，F值很
47、大，p值机会为0，回归方程通过F检验，说明回归方程显著。 线性回归分析的系数 模型 非标准化系数 标准化系数 T值 P值 学生残差 1 常数项 1116.487 0.098 1134.157 0.000 1/x -9.833 0.484 -0.987 -20.335 0.000 由线性回归分析系数表知，回归方程系数的p值几乎为0，通过了t检验，认为回归系数显著。 通过以上的r检验、F检验、t检验，证明回归方程效果显著。 最后得到的回归方程为： 计算复相关系数的计算过程见下表：
48、2 106.42 107.991 107.503 106.571 2.468 1.173 0.023 3 108.20 108.371 108.198 108.209 0.029 0 0 4 109.58 108.691 108.691 109.029 0.790 0.790 0.304 5 109.50 108.973 109.074 109.520 0.278 0.182 0 7 110.00 109.463 109.650 110.082 0.289 0.122 0.007 8 109.93 109.68
49、1 109.879 110.258 0.062 0.003 0.108 10 110.49 110.080 110.262 110.504 0.168 0.052 0 11 110.59 110.264 110.425 110.593 0.106 0.027 0 14 110.60 110.772 110.838 110.785 0.030 0.057 0.034 15 110.90 110.929 110.957 110.831 0.001 0.003 0.005 16 110.76 111.081 111.0
50、67 110.872 0.103 0.094 0.013 18 111.00 111.371 111.269 110.941 0.138 0.072 0.004 19 111.20 111.510 111.362 110.969 0.096 0.026 0.053 合计 4.558 2.601 0.551 4.12 在彩色显影中，根据以往经验，形成染科光学密度y与析出银的光学密度x之间有下面类型的关系： 我们通过11次试验得到下面数据： x 0.05 0.06 0.07 0.10 0.14 0.20 0.25 0.31 0
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