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第四章 回归分析
课后作业参考答案
4.1 炼铝厂测得铝的硬度x与抗张强度y的数据如下：
68
53
70
84
60
72
51
83
70
64
288
298
349
343
290
354
283
324
340
286
(1)求y对x的回归方程
(2)检验回归方程的显著性()
(3)求y在x=65处的预测区间(置信度为0.95)
解：(1) 1、计算结果
一元线性回归模型只有一个解释变量
其中：x为解释变量，y为被解释变量，为待估参数，位随机干扰项。
使用普通最小二乘法估计参数
上述参数估计可写为
所求得的回归方程为：
实际意义为：当铝的硬度每增加一个单位，抗张强度增加1.80个单位。
2、软件运行结果
根据所给数据画散点图
由散点图不能够确定y与x之间是否存在线性关系，先建立线性回归方程然后看其是否能通过检验
线性回归分析的系数
模型
非标准化系数
标准化系数
T值
P值
95% 系数的置信区间
学生残差
下限
上限
1
常数项
193.951
46.796
4.145
0.003
86.039
301.862
x
1.801
0.685
0.681
2.629
0.030
0.221
3.381
由线性回归分析系数表得回归方程为：，说明x每增加一个单位，y相应提高1.801。
(2) 1、计算结果
①回归方程的显著性检验(F检验)
线性回归效果不显著 线性回归效果显著
在给定显著性水平时，，所以拒绝，认为方程的线性回归效果显著
②回归系数的显著性检验(t检验)
在给定显著性水平时，，所以拒绝，认为回归系数显著，说明铝的硬度对抗张强度有显著的影响。
③回归方程的线性显著性检验(r检验)
x与y线性无关 x与y线性相关
在给定显著性水平时，，所以拒绝，认为x与y之间具有线性关系。
2、软件运行结果
模型摘要
模型
R
修正的
估计的学生误差
1
0.681(a)
0.463
0.396
22.685
由上表得r=0.681，说明y与x的之间具有线性关系。
方差分析表
模型
平方与
自由度
平均平方值
F值
P值
1
回归平方与
3555.541
1
3555.541
6.909
0.030(a)
残差平方与
4116.959
8
514.620
总平方与
7672.500
9
由方差分析表知，p值小于给定的α，说明回归方程通过F检验，回归方程显著。
线性回归分析的系数
模型
非标准化系数
标准化系数
T值
P值
95% 系数的置信区间
学生残差
下限
上限
1
常数项
193.951
46.796
4.145
0.003
86.039
301.862
x
1.801
0.685
0.681
2.629
0.030
0.221
3.381
由线性回归分析系数表知，p值小于给定的α，认为回归系数显著，说明铝的硬度对抗张强度有显著的影响。
综上所述，建立的回归方程通过以上的r检验、F检验、t检验，证明回归方程效果显著。
(3)当=65时，代入上述回归方程得=310.996
在1-a的置信度下，的置信区间为
95%置信度下的预测区间为 [255.988 366.004]。
4.2 在硝酸钠()溶解度试验中，对不同温度测得溶解于100ml的水中的硝酸钠重量y的观测值如下:
0
4
10
15
21
29
36
51
68
66.7
71.0
76.3
80.6
85.7
92.9
99.9
113.6
125.1
(1)求回归方程
(2)检验回归方程的显著性
(3)求y在时的预测区间(置信度为0.95)
解： (1) 1、计算结果
一元线性回归模型只有一个解释变量
其中：t为解释变量，y为被解释变量，为待估参数，位随机干扰项。
使用普通最小二乘法估计参数
上述参数估计可写为
所求得的回归方程为：
实际意义为：在温度为0时，硝酸钠的溶解度为67.5313，温度每升高一度，溶解度增加0.8719。
2、软件运行结果
根据所给数据画散点图
由散点图可以看出y与t之间存在线性关系，因此建立线性回归模型如下
线性回归分析的系数
模型
非标准化系数
标准化系数
T值
P值
95% 系数的置信区间
学生残差
下限
上限
1
常数项
67.531
0.535
126.309
0.000
66.267
68.796
t
0.872
0.016
0.999
54.747
0.000
0.834
0.910
由线性回归分析系数表得回归方程为：，说明温度每增加一度，溶解度相应提高0.872。
(2) 1、计算结果
①回归方程的显著性检验(F检验)
线性回归效果不显著 线性回归效果显著
在给定显著性水平时，，所以拒绝，认为方程的线性回归效果显著
②回归系数的显著性检验(t检验)
在给定显著性水平时，，所以拒绝，认为回归系数显著，说明温度对硝酸钠的溶解度有显著的影响。
③回归方程的线性显著性检验(r检验)
t与y线性无关 t与y线性相关
在给定显著性水平时，，所以拒绝，认为t与y线性相关。
2、软件运行结果
模型摘要
模型
R
修正的
估计的学生误差
1
0.999(a)
0.998
0.997
1.0147
由上表得r=0.999，说明y与t之间线性关系显著。
方差分析表
模型
平方与
自由度
平均平方值
F值
P值
1
回归平方与
3086.252
1
3086.252
2997.287
0.000(a)
残差平方与
7.208
7
1.030
总平方与
3093.460
8
由方差分析表知，F值很大，p值很小，回归方程通过F检验，说明回归方程显著。
线性回归分析的系数
模型
非标准化系数
标准化系数
T值
P值
95% 系数的置信区间
学生残差
下限
上限
1
常数项
67.531
0.535
126.309
0.000
66.267
68.796
t
0.872
0.016
0.999
54.747
0.000
0.834
0.910
由线性回归分析系数表知，p值很小，通过t检验，认为回归系数显著，说明温度对硝酸钠的溶解度有显著的影响。
综上所述，建立的回归方程通过以上的r检验、F检验、t检验，证明回归方程效果显著。
(3)当=25时，代入上述回归方程得=89.328
在1-a的置信度下，的置信区间为
95%置信度下的预测区间为 [86.8113 91.8450]。
4.3 对同一个问题，两人分别在做线性回归。
甲：取样本值，得回归方程
乙：取样本值，得回归方程
(1)如何判断这两个回归方程是否相等(给定显著性水平)？
(2)若相等，如何求一个共同的回归方程？
解：
①检验
若，则拒绝
其中
②检验
若，则拒绝
其中
③检验
若，则拒绝
这三步当中只有一个是拒绝原假设，则两回归方程不同。
(2)共同的回归方程为：
其中，
4.6 某化工厂研究硝化得率y与硝化温度、硝化液中硝酸浓度之间的统计相关关系。进行10次试验，得实验数据如下表：
16.5
19.7
15.5
21.4
20.8
16.6
23.1
14.5
21.3
16.4
93.4
90.8
86.7
83.5
92.1
94.9
89.6
88.1
87.3
83.4
90.92
91.13
87.95
88.57
90.44
89.87
91.03
88.03
89.93
85.58
试求y对的回归方程。
解：用所给的数据建立多元回归方程并进行检验
模型摘要
模型
R
修正的
估计的学生误差
1
0.927(a)
0.859
0.819
0.76066
由上表得r=0.927，说明y与x的之间线性关系显著。
方差分析表
模型
平方与
自由度
平均平方值
F值
P值
1
回归平方与
24.724
2
12.362
21.365
0.001(a)
残差平方与
4.050
7
0.579
总平方与
28.774
9
由方差分析表知，F值很大，p值很小，回归方程通过F检验，说明回归方程显著。
线性回归分析的系数
模型
非标准化系数
标准化系数
T值
P值
95% 系数的置信区间
学生残差
下限
上限r
1
常数项
51.798
6.079
8.521
0.000
37.424
66.172
x1
0.336
0.085
0.564
3.972
0.000
0.136
0.536
x2
0.352
0.065
0.770
5.423
0.000
0.198
0.505
由线性回归分析系数表知，与的p值都很小，通过了t检验，认为回归系数显著，说明硝化温度与硝化液中硝酸浓度对硝化得率均有显著的影响。
通过以上的r检验、F检验、t检验，证明回归方程效果显著。
最后得到的回归方程为：
说明硝化温度每增加一度，硝化得率增加0.336%；硝化液中硝酸浓度每增加1%，硝化得率增加0.352%。
4.4 某建材实验室再作陶粒混凝土强度试验中，考察每立方米混凝土的水泥用量x（kg）对28天后的混凝土抗压强度y()的影响，测得如下数据
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
56.9
58.3
61.6
64.6
68.1
71.3
74.1
77.4
80.2
82.6
86.4
89.7
（1）求y对x的线性回归方程，并问：每立方米混凝土中增加1公斤水泥时，可提高的抗压强度是多少？
（2）检验线性回归方程效果的显著性（）；
（3）求回归系数的区间估计（）；
（4）求时，的预测值及预测区间。
解：1.计算结果
（1）一元线性回归模型：只有一个解释变量
Y为被解释变量，X为解释变量，与为待估参数， 为随机干扰项。
用普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）估计与
记
上述参数估计量可以写成：
带入数字得：
所以求得的回归方程为：y=10.283+0.304x，即 x每增加一个单位，y相应提高0.304
（2）回归方程的显著性检验：
总体平方与,简记为S总或Lyy
回归平方与,记为S回或U
残差平方与,记为S残或Qe
SST=SSE(Qe)+SSR(U)
对总体参数提出假设
H0： b1=0， H1：b1¹0
F检验：
因为
所以，拒绝原假设。
T检验：
因为|t|>2.2281,所以拒绝原假设，即对方程有显著影响。
线性关系的显著性检验：
代入数据得：r=0.999
拒绝原假设，即X与Y有显著的线性相关关系
对总体参数提出假设
H0： b0=0， H1：b0¹0
因为|t|>2.2281,所以拒绝原假设，即对方程有显著影响
(3)回归系数的区间估计，构造统计量
(1-a)的置信度下, 的置信区间是
得出：β1的95%的置信区间为[-0.295，-0.313]。
（4）求预测值
代入数据计算得：
当x=22.5时，y=17.123
求预测区间
构造统计量
其中：
从而在1-a的置信度下， Y0的置信区间为
代入数据计算得：
95%置信度的预测区间为 [15.43 18.815 ]
(2)SPSS软件运行结果：
根据数据的散点图为：
由上图可知，x与y基本成线性关系。建立线性模型，进行相关检验：
模型摘要
模型
R
修正后的
估计的学生残差
1
.999(a)
.998
.998
.489162
由上表可以看出相关系数R接近于1，y与x的线性关系显著。
方差分析表
模型
平方与
自由度
均方
F值
P值
1
回归平方与
1321.427
1
1321.427
5522.521
.000(a)
残差平方与
2.393
10
.239
总平方与
1323.820
11
由方差分析表可见，F值很大，伴随概率p很小，说明回归方程通过F检验，及回归方程非常显著
=2.393/（12-2）=0.239
线性回归分析的系数
模型
非标准化系数
标准化系数
T值
P值
95% 系数的置信区间
学生残差
下限
上限r
1
常数项
10.283
.850
12.092
.000
8.388
12.178
x
.304
.004
.999
74.314
.000
.295
.313
（1）y对x的线性回归方程，由上图可得回归方程：y=10.28+0.304x。p很小，通过T检验。说明x对y有显著影响。X增加一个单位y相应提高0.304。
（2）回归方程效果的显著性，以上的R检验、F检验与t检验，已证明。
（3）β1的95%的置信区间为[-0.295，-0.313]。
（4）计算后的预测值表：
x
y
预测值
预测值误差
预测值均数的标准误差
预测下限
预测上限
150
56.9
55.881
1.019
0.266
55.289
56.473
160
58.3
58.921
-0.621
0.232
58.404
59.438
170
61.6
61.96
-0.36
0.201
61.512
62.409
180
64.6
65
-0.4
0.174
64.612
65.389
190
68.1
68.04
0.06
0.154
67.697
68.383
200
71.3
71.08
0.22
0.143
70.762
71.398
210
74.1
74.12
-0.02
0.143
73.802
74.438
220
77.4
77.16
0.24
0.154
76.817
77.503
230
80.2
80.2
0
0.174
79.811
80.588
240
82.6
83.24
-0.64
0.201
82.791
83.688
250
86.4
86.279
0.121
0.232
85.762
86.796
260
89.7
89.319
0.381
0.266
88.727
89.911
22.5
.
17.123
.
0.76
15.43
18.815
从上表查得，当x=22.5时，y=17.123
95%置信度的预测区间为 [15.43 18.815 ]
4.5假设x是一可控变量，y是一随机变量，服从正态分布，现在不同的x值下分别对y进行观测，得如下数据，
x
0.25
0.37
0.44
0.55
0.60
0.62
0.68
0.70
0.73
y
2.57
2.31
2.12
1.92
1.75
1.71
1.60
1.51
1.50
x
0.75
0.82
0.84
0.87
0.88
0.90
0.95
1.00
y
1.41
1.33
1.31
1.25
1.20
1.19
1.15
1.00
(1) 假设x与y之间有线性关系，求y对x的经验回归方程，并求的无偏估计；
(2) 求回归系数；
(3) 检验x与y之间的线性回归方程是否显著（）；
(4) 求y的0.95预测区间；
(5) 为了把观测值y限制在区间（1.08，1.68），需要把x的值限制在与范围之内？（）
解：1.计算过程及结果
（1）一元线性回归模型：只有一个解释变量
Y为被解释变量，X为解释变量，与为待估参数， 为随机干扰项。
用普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）估计与
记
上述参数估计量可以写成：
带入数据得：
所以求得的回归方程为：y=3.033-2.070x
可以证明，的最小二乘估计量为
它是关于的无偏估计量，也称为剩余方差（残差的方差）。
代入数据得：
（2）
由
于是得到:(1-a)的置信度下的置信区间是
再由，还可得的置信水平为的置信区间
这里,
代入数据得到，
β0的95%的置信区间为[2.951，3.116]；
β1的95%的置信区间为[-2.183，-1.957]；
的95%的置信区间为[Qe/X21-α/2(n-2),Qe/X2α/2(n-2)]=[0.03/27.488,0.03/6.262]=[0.0011,0.0048]
（3）回归方程的显著性检验：
总体平方与,简记为S总或Lyy
回归平方与,记为S回或U
残差平方与,记为S残或Qe
SST=SSE(Qe)+SSR(U)
对总体参数提出假设
H0： b1=0， H1：b1¹0
F检验：
因为
所以，拒绝原假设。
T检验：
因为|t|>2.1315,所以拒绝原假设，即对方程有显著影响。
线性关系的显著性检验：
代入数据得：r=0.995
拒绝原假设，即X与Y有显著的线性相关关系
对总体参数提出假设
H0： b0=0， H1：b0¹0
因为|t|>2.1315,所以拒绝原假设，即对方程有显著影响
（4）
其中
（5）因
代入数据得
2.SPSS软件运行结果
根据数据得到散点图：
由上图可知，x与y基本成线性关系。建立线性模型，进行相关检验：
模型摘要
模型
R
修正的
估计的学生误差
1
.995(a)
.990
.990
.04454
由上表可以看出相关系数R接近于1，y与x的线性关系显著。
线性回归分析的系数
模型
非标准化系数
标准化系数
T值
P值
95% 系数的置信区间
学生残差
下限
上限r
1
常数项
3.033
0.039
78.354
.000
2.951
3.116
x
-2.070
0.053
-0.995
-39.139
.000
-2.183
-1.957
由上图可得回归方程：y=3.033+(-2.070)x。p很小，通过T检验。说明x对y有显著影响。
方差分析表
模型
平方与
自由度
平均平方值
F值
P值
1
回归平方与
3.039
1
3.039
1531.867
.000(a)
残差平方与
0.030
15
0.002
总平方与
3.069
16
由方差分析表可见，F值很大，伴随概率sig.p很小，说明回归方程通过F检验，及回归方程非常显著
（2）
线性回归分析的系数
模型
非标准化系数
标准化系数
T值
P值
95% 系数的置信区间
学生残差
下限
上限r
1
常数项
3.033
0.039
78.354
.000
2.951
3.116
x
-2.070
0.053
-0.995
-39.139
.000
-2.183
-1.957
由上表可以看出β0的95%的置信区间为[2.951，3.116]；β1的95%的置信区间为[-2.183，-1.957]；σ2的置信区间为[Qe/X21-α/2(n-2), Qe/X2α/2(n-2)]=[0.030/27.488,0.030/6.262]=[0.0011,0.0048]
（3）回归方程的显著性已在（1）中证明。
（4）可以得到=nσx2=17*(0.21056)2=0.7103，
的置信度为95%预测区间为[ ]
4.7某种商品的需求量y,消费者的平均收入以及商品的价格的统计数据如下表
1000
600
1200
500
300
400
1300
1100
1300
300
5
7
6
6
8
7
5
4
3
9
100
75
80
70
50
65
90
100
110
60
求y对、的回归方程。
解： 线性回归分析的系数
模型
非标准化系数
标准化系数
T值
P值
95% 系数的置信区间
学生残差
下限
上限r
1
常数项
111.692
23.531
4.747
0.002
56.050
167.333
消费者平均收入x1
0.014
0.011
0.306
1.284
.240
-0.012
0.041
商品价格x2
-7.188
2.555
-0.670
-2.813
0.026
-13.231
-1.146
由上图可知，得到回归方程：。
从表中得出，x1的T检验未通过，x1与x2有较强的共线性。
则由后退法，删除第一个变量，得到线性回归分析的系数表如下：
线性回归分析的系数
模型
非标准化系数
标准化系数
T值
P值
95% 系数的置信区间
学生残差
下限
上限r
1
常数项
140.00
8.551
16.372
0.000
120.281
159.719
商品价格x2
-10.000
1.369
-0.933
-7.303
0.000
-13.158
-6.842
a.因变量：商品的需求y
得到回归方程：
4.8 铝合金化学铣切工艺中，为了便于生产操作，需要对腐蚀速度进行控制，因此要考查腐蚀液温度、碱浓度、腐蚀液含铝量对腐蚀速度的影响，一共做了44次试验，所得数据如下表：
试验号
试验号
1
73
12
200
0.0240
23
87
36
200
0.0360
2
73
21
200
0.0235
24
87
48
200
0.0325
3
75
30
200
0.0240
25
77
19
150
0.0230
4
75
42
200
0.0190
26
77
19
175
0.0250
5
75
36
200
0.0245
27
77
19
200
0.0265
6
75
48
200
0.0185
28
77
19
225
0.0285
7
79
12
200
0.0320
29
77
19
250
0.0290
8
79
21
200
0.0300
30
81
27
150
0.0285
9
79
30
200
0.0290
31
81
27
175
0.0295
10
79
42
200
0.275
32
81
27
200
0.0310
11
79
36
200
0.0250
33
81
27
225
0.0315
12
79
48
200
0.0225
34
81
27
250
0.0320
13
83
12
200
0.0370
35
85
35
150
0.0345
14
83
21
200
0.0360
36
85
35
175
0.0355
15
83
30
200
0.0355
37
85
35
200
0.0370
16
83
42
200
0.0325
38
85
35
225
0.0390
17
83
36
200
0.0305
39
85
35
250
0.0405
18
83
48
20
0.0270
40
89
43
150
0.0375
19
87
12
200
0.0440
41
89
43
175
0.0380
20
87
21
200
0.0425
42
89
43
200
0.0400
21
87
30
200
0.0420
43
89
43
225
0.0430
22
87
42
200
0.0390
44
89
43
250
0.0450
(1)求y对的线性回归方程；
(2)对所得到的回归方程进行显著性检验；
(3)对自变量的显著性进行检验；
(4)求时，腐蚀速度的点预测与99%的预测区间。
解：
因为y值相对于x来说数量级非常的小，所以先将y扩大10000倍，然后使用SPSS对y与之间的关系做回归
由上表得r=0.097，说明y与之间线性关系极不显著。
由方差分析表知，F值很小，p值很大，回归方程通不过F检验，说明回归方程不显著。
由线性回归分析系数表知，p值很大，通不过t检验，认为回归系数高度不显著，说明对y没有显著的影响。
综上所述，建立的回归方程不能通过以上的r检验、F检验、t检验，所以无法建立y与之间的回归方程。
4.9 有一架天平，称重时有随机误差。现对实重分别为的4个物体，按下述办法称重4次：第一次，都放在天平的右盘上，砝码放在左盘中，使其平衡，记砝码读数为。第k次
放在天平的右盘上，其余两个放在左盘中。为使天平达到平衡要放上读数为的砝码，若砝码放在右盘内，则；若放在左盘内，则。试求的最小二乘估计，并求出的方差。如果对分别进行称量，需要称多少次才能得到同样精度的无偏估计。
解：
由题意得到方程为：
令解得：
同理可知
如果对分别进行称量，每个需要称4次才能得到的精度，则共需称重16次。
4.10 将16~30岁的男女运动员按年龄分成7组，把年龄组中值作为x，考察年量大小对“旋转定向”能力的影响，已知的7组数据如下：
x(年龄)
17
19
21
23
25
27
29
y(旋转定力)
22.48
26.63
24.2
30.7
26.51
23.00
20.30
从散点图可以看出，用抛物线回归比较好，试求其回归多项式，并求。
解：题目要求使用抛物线回归，所以先计算出，然后再使用SPSS软件对y与x、的关系做回归
线性回归分析的系数
模型
非标准化系数
标准化系数
T值
P值
学生残差
1
常数项
-63.629
32.653
-1.949
0.123
年龄x
8.150
2.900
10.287
2.810
0.048
xx
-0.182
0.063
-10.575
-2.889
0.045
得到的抛物线方程为：
求的计算过程见下表：
17
22.48
22.32
0.16
0.02
19
26.63
25.52
1.11
1.23
21
24.20
27.26
-3.06
9.36
23
30.70
27.54
3.16
9.97
25
26.51
26.37
0.14
0.02
27
23.00
23.74
-0.74
0.55
29
20.30
19.66
0.64
0.41
合计
21.56
4.11 某矿脉中13个相邻样本点处，某种金属的含量y与样本点对远点的距离有如下实测值：
x
2
3
4
5
7
8
10
y
106.42
108.20
109.58
109.50
110.00
109.93
110.49
x
11
14
15
16
18
19
y
110.59
110.60
110.90
110.76
111.00
111.20
分别按：
(1)
(2)
(3)
建立y对x的回归方程，并用复相关函数指出其中哪一种相关最大。
解：（1）使用方程的形式进行回归拟合，先计算出的值，然后对y与进行线性拟合。
模型摘要
模型
R
修正的
估计的学生误差
1
.886(a)
0.785
0.766
0.64366
a 自变量:sqrtx
由上表得r=0.886,说明y与之间线性关系显著。
方差分析表
模型
平方与
自由度
平均平方值
F值
P值
1
回归平方与
16.653
1
16.653
40.197
0.000(a)
残差平方与
4.557
11
0.414
总平方与
21.211
12
由方差分析表知，F值很大，p值几乎为0,，回归方程通过F检验，说明回归方程显著。
线性回归分析的系数
模型
非标准化系数
标准化系数
T值
P值
学生残差
1
常数项
106.301
0.600
177.031
0.000
sqrtx
1.195
0.188
0.886
6.340
0.000
由线性回归分析系数表知，回归方程系数的p值几乎为0，通过了t检验，认为回归系数显著。
通过以上的r检验、F检验、t检验，证明回归方程效果显著。
最后得到的回归方程为：
(2)使用方程的形式进行回归拟合，先计算出lnx
的值，然后对y与lnx进行线性拟合
模型摘要
模型
R
修正的
估计的学生误差
1
.937(a)
0.877
0.866
0.48638
由上表得r=0.937，说明y与lnx的之间线性关系显著。
方差分析表
模型
平方与
自由度
平均平方值
F值
P值
1
回归平方与
18.608
1
18.608
78.661
0.000(a)
残差平方与
2.602
11
0.237
总平方与
21.211
12
由方差分析表知，F值很大，p值几乎为0，回归方程通过F检验，说明回归方程显著。
线性回归分析的系数
模型
非标准化系数
标准化系数
T值
P值
学生残差
1
常数项
106.315
0.430
247.225
0.000
lnx
1.714
0.193
0.937
8.869
0.000
由线性回归分析系数表知，回归方程系数的p值几乎为0，通过了t检验，认为回归系数显著。
通过以上的r检验、F检验、t检验，证明回归方程效果显著。
最后得到的回归方程为：
(3)使用方程的形式进行回归拟合，先计算出1/x的值，然后对y与1/x进行线性拟合
模型摘要
模型
R
修正的
估计的学生误差
1
0.987(a)
0.974
0.972
0.22352
由上表得r=0.987，说明y与1/x的之间线性关系显著。
方差分析表
模型
平方与
自由度
平均平方值
F值
P值
1
回归平方与
20.661
1
20.661
413.529
0.000(a)
残差平方与
0.550
11
0.050
总平方与
21.211
12
由方差分析表知，F值很大，p值机会为0，回归方程通过F检验，说明回归方程显著。
线性回归分析的系数
模型
非标准化系数
标准化系数
T值
P值
学生残差
1
常数项
1116.487
0.098
1134.157
0.000
1/x
-9.833
0.484
-0.987
-20.335
0.000
由线性回归分析系数表知，回归方程系数的p值几乎为0，通过了t检验，认为回归系数显著。
通过以上的r检验、F检验、t检验，证明回归方程效果显著。
最后得到的回归方程为：
计算复相关系数的计算过程见下表：
2
106.42
107.991
107.503
106.571
2.468
1.173
0.023
3
108.20
108.371
108.198
108.209
0.029
0
0
4
109.58
108.691
108.691
109.029
0.790
0.790
0.304
5
109.50
108.973
109.074
109.520
0.278
0.182
0
7
110.00
109.463
109.650
110.082
0.289
0.122
0.007
8
109.93
109.681
109.879
110.258
0.062
0.003
0.108
10
110.49
110.080
110.262
110.504
0.168
0.052
0
11
110.59
110.264
110.425
110.593
0.106
0.027
0
14
110.60
110.772
110.838
110.785
0.030
0.057
0.034
15
110.90
110.929
110.957
110.831
0.001
0.003
0.005
16
110.76
111.081
111.067
110.872
0.103
0.094
0.013
18
111.00
111.371
111.269
110.941
0.138
0.072
0.004
19
111.20
111.510
111.362
110.969
0.096
0.026
0.053
合计
4.558
2.601
0.551
4.12 在彩色显影中，根据以往经验，形成染科光学密度y与析出银的光学密度x之间有下面类型的关系：
我们通过11次试验得到下面数据：
x
0.05
0.06
0.07
0.10
0.14
0.20
0.25
0.31
0
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