等腰三角形性质定理.doc

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课型
专题
课题
等腰三角形的性质定理
教学目标
通过观察发现等腰三角形的性质；
掌握等腰三角形的识别方法，会用等腰三角形的性质进行简单的计算和证明；
理解等腰三角形和等边三角形的相互关系；
能够利用等腰三角形的识别方法判断等腰三角形；掌握等边三角形的特征和识别方法；掌握一般文字命题的解题方法
教学重点
重点：等腰三角形的性质和判定。 难点：比较复杂图形、题目的推理证明
教学安排

版块
时长
1
等腰三角形的性质
30分钟
2
等腰三角形的判定
30分钟
3
例题讲解
40分钟
4
随堂练习
20分钟

等腰三角形

等腰三角形的性质定理

知识点一：等腰三角形、腰、底边

　　在小学里我们就已经学过，有两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角

　　如图所示，在△中，，则它叫等腰三角形，其中、为腰，为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

知识点二：三角形按边分类

不等边三角形

三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形

等边三角形（正三角形）

知识点三：等腰三角形的性质

　　1、性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．

　　　 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
　　2、这两个性质证明如下：
　　　 在△中，，如图所示．

　　　 作底边的高，则有
　　　 ∴ △≌△．
　　　 ∴ ∠∠C，∠1=∠2．．
　　　 于是性质1、性质2均得证．

　　3、说明：
　　（1）①等腰三角形的性质1用符号表示为：∵，∴∠∠C；
　　　 　②性质1是等腰三角形的一条重要（主要）性质，也是今后我们证明角相等的又一个重要依据．
　　（2）①性质2实质包含三条性质，符号表示为：∵ ，⊥，∠1=∠2，∴ ；
　　　 　　或∵ ，，∠∠2，∴ ⊥．
　　　 　②性质2的用途更为广泛，可以用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
　　（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．

一、 规律方法指导
1． 等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。

2． 常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。

二、 难点分析
1、 对于“等腰三角形的三线合一”一定要注意是底边上的高线、中线和顶角平分线，其他的高、中线、角平分线不满足三线合一。

2、 分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法，在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边或角，要对已知的边和角进行讨论，分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。

类型一：和度数有关的计算

　1．如图，在△中，D在上，且，∠1=30°，求∠2的度数。　　思路点拨: 解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2=∠1+∠C，只要再找出∠C和∠2的关系问题就好解决了，而∠∠B，所以把问题转化为欲找出∠2和∠B之间有什么关系，变成△的角之间的关系，问题就容易的多了。
　　解析：∵
　　　　　 ∴∠B =∠C
　　　　　 ∵
　　　　　 ∴∠2=∠3
　　　　　 ∵∠2=∠1+∠C
　　　　　 ∴ ∠2=∠1+∠B
　　　　　 ∵∠2+∠3+∠180°
　　　　　 ∴∠180°－2∠2
　　　　　 ∴∠2=∠1+180°－2∠2
　　　　　 ∴3∠2=∠1+180°
　　　　　 ∵∠1=30°
　　　　　 ∴∠2=70°
　　总结升华：关于角度问题可以通过建立方程进行解决。
　　举一反三：
　　【变式1】如图，D、E在△的边上，且，，若∠122°，求∠的度数。

　　【变式2】在△中，，D在上，E在上，且，∠30°，求∠的度数。

类型二：等腰三角形中的分类讨论　
　2．当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论
　　（1）已知等腰三角形的两边长分别为8和10，求周长。
　　（2）等腰三角形的两边长分别为3和7，求周长。
　　思路点拨: 由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。
　　解析：（1）因为8+8＞10，10+10＞8，则在这两种情况下都能构成三角形；
　　　　　　　 当腰长为8时，周长为8+8+10=26；
　　　　　　　 当腰长为10时，周长为10+10+8=28；
　　　　　　　 故这个三角形的周长为26或28。
　　　　　（2）当腰长为3时，因为3+3＜7，所以此时不能构成三角形；
　　　　　　　 当腰长为7时，因为7+7＞3，所以此时能构成三角形，因此三角形的周长为：7+7+3=17；故这个三角形的周长为17。
　　总结升华：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形
　　 举一反三：
　　【变式1】当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论
　　等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数

【变式2】当高的位置关系不确定时，必须分类讨论
　　等腰三角形一腰上的高和另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数。

【变式3】由腰的垂直平分线所引起的分类讨论
　　在三角形中，，边上的垂直平分线和所在的直线相交所得的锐角为45°，求∠B的度数。

【变式4】由腰上的中线引起的分类讨论
　　等腰三角形底边长为5，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3，求腰长。

类型三：等腰三角形的性质定理和全等三角形的应用
3.如图，五边形中，，∠∠，点F是的中点．求证：⊥

思路点拨: 要证明⊥，而点F是的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，于是连接、，证明，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论．
解析：连接、 
在△和△中，
（已知）
∠∠（已知）
（已知）
∴△≌△（）
∴（全等三角形的对应边相等）
　　又∵△中是边的中线（已知）
∴⊥（等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合）
【变式1】如图，△中，点D是延长线上一点，⊥于F交于E，求证：△是等腰三角形．

课后作业

　　一、填空：
　　1、等腰三角形的的两边长为4和9，则该等腰三角形的周长为。

　　2、等腰三角形的周长为20 ，一边长为6 ，则底边长为。

　　3、等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为30°，则顶角为。

　　4、已知是等腰△的角平分线，如果∠80°，那么∠等于。

5、如图，在等腰△1中，∠1=90°，1，以1为直角边作等腰△1A2，以2为直角边作等腰△2A3，…则4的长度为。

6、如图，在△中，＝，∠＝120°，D是的中点，⊥.  则 : ＝。

　　7、如图，C为线段上一动点（不和点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，和交于一点O，和交于点P，和交于点Q，连结．以下五个结论：①； ②∥； ③；④；⑤∠60°.恒成立的有（把你认为正确的序号都填上）。

第6题图 第7题图
　　二、选择题
　　1. 若一个三角形的三个外角度数比为2：3：3，则这个三角形是（ ）
　　A. 等腰三角形 　　　B. 等边三角形
　　C. 直角三角形 　　　D. 等腰直角三角形
　　2. 将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成如图1所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图1
　　A. 4个 　　　B. 3个 　　　C. 2个　　　 D. 1个

　　3. 如图2，C、E和B、D、F分别在∠的两边上，且，若∠18°，则∠的度数是（ ）
A．80° B．90° C．100° D．108°
图2 图3
4. 如图3，已知∠60°，点P在边上，12，点M，N在边上，，若2，则（　　）
A．
3
B．
4
C．
5
D．
6

5. 在△中，，下列推理中错误的是（   ）
A、如果是中线，那么⊥，∠∠ 
B、如果是高，那么是角平分线 
C、如果是高，那么∠∠、 
D、如果是角平分线，那么也是边的垂直平分线

三、解答题
　　1、等腰三角形的周长为12，且其各边长均为整数，求各边长。

2、（1）等腰三角形的一个角为50°，求另外两个角的度数。
　　　 （2）等腰三角形的一个外角为100°，求该等腰三角形的顶角。

　　3、等腰三角形一腰上的中线将等腰三角形的周长分成8和10的两部分，求该等腰三角形的各边长。

4、 如图2所示，△和△都是等边三角形。　求证：＝。

　 5、如图，等腰△中，，∠15°，的垂直平分线交于点D，求∠A的度数

　　6、“有两边相等的两个直角三角形全等”这个命题对和否，甲、乙、丙三位同学给出了如下论断：
　　甲：正确。因为若两边都是直角边，则用（）全等识别法就可以证它们全等。
　　乙：正确。因为若其中一边是直角边，另一边是斜边，则可用（）定理证全等。
　　丙：不正确。若一个三角形较长的直角边和另一三角形斜边相等，较短的直角边和另一三角形较长的直角边相等，则显而易见两个三角形不全等。
　　请你就这三个同学的见解发表自己的意见。