神奇的旋转几何题.doc

例1．有公共顶点C的△和△都是等边三角形.

（1）求证：；
（2）如果将△绕点C沿顺时针方向旋转一个任意角，还成立吗？

推广：四边形和都是正方形，连结，如果将绕点A旋转一个任意角，问和有何关系.

例2.课本例题推广：
（1）如图，在四边形中，＝，∠∠90°，且四边形的面积36，求线段和的和.

（2）已知：在五边形中，＝，＋＝，∠＋∠＝180°．
求证：是∠的平分线．

（3）如图，在梯形中，∥，且＞；∠D＝90°，＝＝12，∠＝45°．若＝10，求的长．

A
D
B
F
C
E
M

例3．已知E、F分别在正方形边和上，1，∠45°.求△的周长.

例4. 已知：在△中，∠＝90°，＝，D、E
在边上，且使得∠＝45°．求证：、、三条线段确定的数量关系

练习：
1． 在△中，，如图，∠90°，∠45°，2，3 .
求的长.

拓展：如图，在等腰三角形中，，
（1）P是三角形内的一点，且∠∠．求证：．
（2）D是三角形内一点，若∠＞∠．求证∠＞∠．
（3）若P为正方形内一点，∶∶1∶2∶3．试证∠135°

2．（正方形中的三角形旋转）已知：如图，E是正方形边上任意一点，平分∠交于F，试说明.

拓展：已知：在正方形中，E、F分别是、上的点，
（1）如图（1），若有，求：∠的度数.
（2）如图（2），若有∠ =45º.求证：.
（3）如图（3），若∠45º，⊥．求证：．
（4）如图（4），若正方形边长为1，△的周长为2．求∠的大小．
（5）如图（5），若，且∠30º，∠15º，求△的面积．
（6）如图（6），正方形被两条和边平行的线段、分割成4个小矩形，P是和的交点，若矩形的面积恰是矩形面积的2倍．试确定∠的大小，写出推导的过程．

（1） （2） （3）

（4） （5）

练习：（答案）
1．在△中，，如图，∠90°，∠45°，2，3 .求的长.

拓展：如图，在等腰三角形中，，
（1）P是三角形内的一点，且∠∠．求证：．
（2）D是三角形内一点，若∠＞∠．求证∠＞∠．

　　分析: 将△以A为中心逆时针旋转一角度∠，到△的位置．连，由∠＞∠，得 ∠＞∠．又 ∠∠，相减，得 ∠＞∠．
　　∴ ＞．
即 ＞，从而∠＞∠．
拓展（3）若P为正方形内一点，∶∶1∶2∶3．试证∠135°．

　　分析:利用正方形的特点设法经过旋转使、、相对集中，为简单起见不妨设1， 2，3．绕B点顺时针旋转90º，使△到△的位置，这时2，3，∠90º→，∠45º.又
　　∴ ∠90°．于是 ∠135°．
拓展（4）在等边三角形内有一点P．连接P和各顶点的三条线段的长为3、4、5.求正三角形的边长.（答案：）
分析:将△旋转到△′B，连接′，延长，过A作⊥.易知△′是直角三角形，因为∠′=60º，所以∠30º，则2，.
旋转讲解2
例1：（05大连）如图1，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上（＞），取线段的中点M．（1）探究：线段、的关系，并加以证明．
（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
①的延长线交于点N，且；②将正方形绕点C逆时针旋转45°（如图2），其他条件不变；③在②的条件下，且2．
（3）将正方形绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变．探究：线段、的关系，并加以证明．
图２
A
B
C
D
F
M
G
E
A
B
C
D
F
M
G
E
A
B
C
F
M
G
E
图1
图３
Ｄ

图1
练：1.（08北京）请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形和菱形中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段的中点，连结、.若∠＝∠＝60°，探究和的位置关系及的值.
小聪同学的思路是：延长交于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.
请参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段和的位置关系及的值；
（2）将图1中的菱形绕点B顺时针旋转，使菱形的对角线恰好和菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2），你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；
（3）若图1中∠＝∠＝（0°＜＜90°），将菱形绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．

例2.在平面直角坐标系中，已知直线y＝－x＋交x轴于点C,交y轴于点A.等腰直角三角板的顶点D和点C重合，如图1所示.把三角板绕着点O顺时针旋转，旋转角度为，使B点恰好落在上的B＇处，如图2所示.
（1） 求图1中的点B的坐标；
（2） 求的值；
（3） 若二次函数y＝2＋3x的图象经过（1）中的点B，判断点B＇是否在这条抛物线上，并说明理由.

图1 图2

练：1.如图9，若△和△为等边三角形，M，N分别，的中点，易证：，△是等边三角形．
（1）当把△绕A点旋转到图10的位置时，是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；
（2）当△绕A点旋转到图11的位置时，△是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当2时，△和△及△的面积之比；若不是，请说明理由．
图9 图10 图11

图8

2.已知正方形中，E为对角线上一点，过E点作⊥交于F，连接，G为中点，连接，．
（1）求证：；
（2）将图①中△绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取中点G，连接，．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
F
B
A
D
C
E
G
图①
F
B
A
D
C
E
G
图②
D
F
B
A
C
E
图③

图1
（答案）练：1.（08北京）请阅读下列材料：
问题：如图1在菱形和菱形中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段的中点，连结、.若∠＝∠＝60°，探究和的位置关系及的值.
小聪同学的思路是：延长交于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.
请参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段和的位置关系及的值；
（2）将图1中的菱形绕点B顺时针旋转，使菱形的对角线恰好和菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2），你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；
（3）若图1中∠＝∠＝（0°＜＜90°），将菱形绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．
【解答】（1）线段和的位置关系是⊥；．
（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．
证明：如图，延长交于点H，连结、．
∵ P是线段的中点，
∴ = ．
由题意可知 ∥．
∴ ∠∠ ．
∵ ∠∠ ，
∴ △≌△．
∴ ， ．
∵ 四边形是菱形，
∴ ，∠＝∠＝60°．
由∠＝∠＝60°，且菱形的对角线恰好和菱形的边在同一条直线上，
可得 ∠＝60°．
∴ ∠ =∠．
∵ 四边形是菱形，
∴ ．
∴ ．
∴ △≌△．
∴ ，∠＝∠．
∴ ∠＋∠＝∠∠120°．
即 ∠＝120°．
∵ ，，
∴ ⊥，∠＝∠60°．
∴ ．
（3）．
6.（2007海淀二模）在平面直角坐标系中，已知直线y＝－x＋交x轴于点C,交y轴于点A.等腰直角三角板的顶点D和点C重合，如图1所示.把三角板绕着点O顺时针旋转，旋转角度为，使B点恰好落在上的B＇处，如图2所示.
（4） 求图1中的点B的坐标；
（5） 求的值；
（6） 若二次函数y＝2＋3x的图象经过（1）中的点B，判断点B＇是否在这条抛物线上，并说明理由.

图1 图2
解：（1）∵直线y＝＋交x轴于点C,交y轴于点A，∴点A的坐标为（０，），点C的坐标为（2，0）. ∵等腰直角三角板的顶点D和点C重合，∴２，.过点B作⊥于M.∴.∴1，.∴点B的坐标为（１，１）；
（2）∵，2，，∴∠30°.过点O作⊥于E. ∴1.
∵在ΔB＇中，＇=，1，∴∠B′45∘.∴∠90∘.又∵∠60∘，∴∠30∘.∴=30∘；（3）判断：点B＇在这条抛物线上. ∵点B＇在直线上，∴点B＇的坐标为（A，＋）.∵A2＋（＋）2 ＝＇2，∴A2＋（＋）2＝（）2.解方程，得A1＝，A2＝（不合题意，舍去）.∴点B＇的坐标为（，）. 又∵二次函数y＝2＋3x过Ｂ（１，１），∴M＝－２.∴二次函数的解析式为y＝-2x2＋3x. 把代入y＝-2x2＋3x，得.∴点Ｂ＇在这条抛物线上.

20、2009年常德市）
图9 图10 图11

图8

如图9，若△和△为等边三角形，M，N分别，的中点，易证：，△是等边三角形．
（1）当把△绕A点旋转到图10的位置时，是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；
（2）当△绕A点旋转到图11的位置时，△是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当2时，△和△及△的面积之比；若不是，请说明理由．
提示：（1）抓住不变量易解，
F
B
A
D
C
E
G
图①
F
B
A
D
C
E
G
图②
（2）能证得△ 和 △是直角三角形，再用勾股定理和相似三角形的性质求解。
21、（2009东营）
已知正方形中，E为对角线上一
点，过E点作⊥交于F，连接
，G为中点，连接，．
（1）求证：；
（2）将图①中△绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取中点G，连接，．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
D
F
B
A
C
E
图③
提示：考查三角形的中线、三角形全等、矩形的性质等。（2）作适当辅助线，构造全等三角形。也可连接,得,过点G作的垂线，证.

y =