高三数学基础复习资料第十讲圆锥曲线.doc

《圆锥曲线》知识点小结
一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内和两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：表示椭圆；表示线段；没有轨迹；
（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：

中心在原点，焦点在轴上
中心在原点，焦点在轴上
标准方程

图 形

x
O
F1
F2
P
y
A2
A1
B1
B2

A1
x
O
F1
F2
P
y
A2
B2
B1

顶 点

对称轴
轴，轴；短轴为，长轴为
焦 点

焦 距

离心率
（离心率越大，椭圆越扁）
通 径
（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）
3．常用结论：（1）椭圆的两个焦点为，过的直线交椭圆于两点，则的周长=
（2）设椭圆左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交椭圆于两点，则的坐标分别是
二、双曲线：
（1）双曲线的定义：平面内和两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：和（）表示双曲线的一支。
表示两条射线；没有轨迹；
（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

中心在原点，焦点在轴上
中心在原点，焦点在轴上
标准方程

图 形

x
O
F1
F2
P
y
A2
A1

y
x
O
F1
P
B2
B1
F2

顶 点

对称轴
轴，轴；虚轴为，实轴为
焦 点

焦 距

离心率
（离心率越大，开口越大）
渐近线

通 径

（3）双曲线的渐近线：
①求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。
②和双曲线共渐近线的双曲线系方程是；
（4）等轴双曲线为，其离心率为
（4）常用结论：（1）双曲线的两个焦点为，过的直线交双曲线的同一支于两点，则的周长=
（2）设双曲线左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点，则的坐标分别是
三、抛物线：
（1）抛物线的定义：平面内和一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。
其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。
（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：

焦点在轴上，
开口向右
焦点在轴上，
开口向左
焦点在轴上，
开口向上
焦点在轴上，
开口向下
标准方程

图 形
x
O
F
P
y

O
F
P
y

x

O
F
P
y

x

O
F
P
y

x

顶 点

对称轴
轴
轴
焦 点

离心率

准 线

通 径

焦半径

焦点弦

焦准距

四、弦长公式：
其中,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y后所得关于x的一元二次方程
的判别式和的系数
求弦长步骤：（1）求出或设出直线和圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程设，，由韦达定理求出，；（3）代入弦长公式计算。
法（二）若是联立两方程，消去x,得关于y的一元二次方程则相应的弦长公式是：
注意（1）上面用到了关系式和

注意（2）求和弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法
五、弦的中点坐标的求法
法（一）：（1）求出或设出直线和圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程设，，由韦达定理求出；（3）设中点，由中点坐标公式得；再把代入直线方程求出。
法（二）：用点差法，设，，中点，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出。
六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c，再代入公式
法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e (求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1，而双曲线离心率取值范围是e﹥1)1.设为过抛物线的焦点的弦，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．无法确定
2.若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
F
x
y
A
B
C
O
3.如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A．B，交其准线于点C，若，且，则此抛物线的方程为 （ ）
A．B．
C．D．
4.设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线和抛物线相交于A，B两点，和抛物线的准线相交于C，=2，则BCF和ACF的成面积之比=
A． B． C． D．
5.点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是
A．直线上的所有点都是“点” B．直线上仅有有限个点是“点”
C．直线上的所有点都不是“点” D．直线上有无穷多个点是“点”
6.设F1，F2分别是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°且|AF1|=3|AF2|，则双曲线的离心率等于 （ ）
A． B． C． D．
7.双曲线的实轴长和虚轴长分别是( )
A．，4 B．4，C．3，4D．2，
8.若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点, 、分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若,则（ ）
A．1 B． 2 C．3 D．4
9.已知点P是椭圆上的动点，、为椭圆的两个焦点，是坐标原点，若M是的角平分线上一点，且，则的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
10.已知p、q、p+q是等差数列，p、q、pq是等比数列，则椭圆的准线方程
A. B.
C. D.
11.双曲线的渐近线方程为（　　）
A、 B、
C、 D、
12.已知抛物线方程为，过该抛物线焦点且不和轴垂直的直线交抛物线于两点，过点,点分别作垂直于抛物线的准线，分别交准线于两点，那么必是 （ ）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D． 以上皆有可能
13.已知方程，它们所表示的曲线可能是（ ）

Ａ．　　　　　　　　Ｂ．　　　　　　　 Ｃ．　　　　　　 Ｄ
14.已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，若是和的等比中项，是和的等差中项，则椭圆的离心率是
. . .
15.已知椭圆上的一点P到左焦点的距离为，则点P到右准线的距离为（ ）
A． B． C．5 D．3
16.已知点分别是双曲线的两个焦点，P为该曲线上一点，若为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
17.在三角形ABC中，已知动点B的轨迹方程（ ）
A.； B.；
C.； D.。

1
则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 )
A、2．　　B、 ．　　　C、．　　　D、 ．
19.
如图,用和圆柱的母线成角的平面截圆柱得一椭圆截线,
则该椭圆的离心率为 ( )
A．B．C．D．非上述结论
20.D
C
B
A
P

所在的平面和四边形ABCD所在的平面垂直，且，
则点P在平面内的轨迹是（ ）
A.圆的一部分 B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
21.设是曲线上的点，，则必有…………（ ）
A． B．
C． D．
22.有一矩形纸片ABCD，按图所示方法进行任意折叠，使每次折叠后点B都落在边AD上，将B的落点记为，其中EF为折痕，点F也可落在边CD上，过作H∥CD交EF于点H，则点H的轨迹为……………………………………………………………………………（ ）
A．四分之一圆
B．四分之一椭圆
C．双曲线的一部分
D．抛物线的一部分
23.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
24.经过抛物线y2=4x的焦点弦的中点轨迹方程是（ ）
A．y2=x－1 B．y2=2(x－1) C．y2=x－ D.y2=2x－1
25.直线和曲线的交点个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
26.已知双曲线(a＞0, b＞0)的离心率为e∈，则它的两条渐近线所成的角中以实轴为平分线的角的大小为（ ）
A． B． C． D．
27.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M在AB上,且AM=,点P是平面ABCD上的动点,且动点P到直线A1D1的距离和动点P到点M的距离的平方差为1,则动点的轨迹是( )
A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.直线
28.不论为何值,直线和双曲线总有公共点,实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
30.直线交抛物线于M,N两点,向量和弦MN交于点E,若E点的横坐标为,则的值为 ( )
A.2 B.1 C. D.
31.直线交椭圆于M,N两点,MN的中点为P,若(O为原点),则等于 ( )
A. B. C. D.
32.已知定点，点P为抛物线上一动点点P到直线的距离为，则|PA|+d的最小值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
33.点是双曲线右支上一点，是该双曲线的右焦点，点为线段的中点。若，则点到该双曲线右准线的距离为（）
A、 B、 C、 D、
34.过双曲线的右焦点F，作渐近线的垂线和双曲线左右两支都相交，则双曲线的离心率的取值范围为 ( )
A、 B、 C、 D、
35.定义椭圆的面积为，若，，，则所表示图形的面积为（）
A、1 B、 C、 D、
36.一条线段AB (|AB| = 2a)的两个端点A和B分别在x轴上、y轴上滑动，则线段AB中点M的轨迹方程为（ ）
A．x2 + y2 = a2 (x≠0) B．x2 + y2 = a2 (y≠0)
C．x2 + y2 = a2 (x≠0且y≠0) D．x2 + y2 = a2
37.如果方程表示双曲线，则下列椭圆中，和该双曲线共焦点的是（ ）A. B. C.D.
38.已知椭圆的焦点是,P是椭圆上的一个动点,如果延长到Q,使得,那么动点Q的轨迹是 ( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线
39.经过抛物线y2=4x的焦点弦的中点轨迹方程是（ ）
A．y2=x－1 B．y2=2(x－1) C．y2=x－ D.y2=2x－1
40.设P为双曲线右支异于顶点的任一点，F1，F2为两个焦点，则△PF1F2的内心M的轨迹方程是 （ ）
A、x=4, (y≠) B、x=3 ,(y≠) C、x=5 ,(y≠) D、x=, (y≠)
41.双曲线中，被点P（2，1）平分的弦所在的直线方程为（ ）
　　 A、 B、 C、 D、不存在
42.若双曲线的右支上一点P（a,b）到直线y=x的距离为，则a+b 的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
43.过点A（，0）作椭圆的弦，弦中点的轨迹仍是椭圆，记为,若和的离心率分别为和，则和的关系是（ ）。
A ＝ B ＝2 C 2＝ D 不能确定
44.过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于，则为（ ）
A 4 B －4 C D
45.已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为，若双曲线上有一点M（），使，那双曲线的交点（ ）。
A 在轴上 B 在轴上 C 当时在轴上 D 当时在轴上
46.若直线和曲线有公共点，则的取值范围是
A． B． C． D．
47.已知抛物线的顶点为，抛物线上两点满足，则点到直线的最大距离为
A.1 B.2 C.3 D.4
48.若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为
A B C D

49.椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是
A B C D
50.设双曲线的半焦距为C，直线L过两点，已知原点到直线L的距离为，则双曲线的离心率为
A 2 B 2或 C D
答案
1.C 解析：垂直于对称轴的通径时最短，即当
2.B 解析：点到准线的距离即点到焦点的距离，得，过点所作的高也是中线
，代入到得，
3. B4.A5.A6.B7.A8.B9.B
10.A
解析：因为 所以所以椭圆方程为，故准线方程为
11D12.B13.B14.D15.C16.B17.C18.B19.A

20.A. 解析：在.以AB的中点O为原点，以射线OB为x轴，在内建立平面直角坐标系，则，化简得
，故选A.

21. A22.D23.D24.B25.C26.C27.B28.B29.C30.D31.A32.B33.A34.C35.B
22. 36.解析：因原点即在x轴上，又在y轴上，故本题无特殊情况，选D.
37.D38.A39.B40.A41.答案：D42.答案：B
43.正解：A。设弦AB中点P（，则B（
由+=1，+=1*
=
误解：容易产生错解往往在*式中前一式分子不从括号里提取4，而导致错误。
44.正解：D。 特例法：当直线垂直于轴时，
注意：先分别求出用推理的方法，既繁且容易出错。
45.正解：B。 由得，可设，此时的斜率大于渐近线的斜率，由图像的性质，可知焦点在轴上。所以选B。
误解：设双曲线方程为，化简得：，
代入，，，焦点在轴上。这个方法没错，但确定有误，应，焦点在轴上。
误解：选B，没有分组。
46.D47.D
48.解析：C49.解析：D50.解析：D
易错原因：忽略条件对离心率范围的限制。

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