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解三角形应用举例
【学习目标】
1.能够利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题；
2.提高运用所学知识解决实际问题的能力，并初步掌握数学建模的思想方法；
3.掌握运用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题的方法.
【学习策略】
解斜三角形的知识主要用于测量及航海两大类型问题.实际应用中，首先要弄清题意，画出直观示意图，将实际问题转化为解三角形的问题，再确定是哪类解三角形问题，即应用哪个定理来解决.
【要点梳理】
要点一、解三角形应用题的步骤
解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确.其解题的一般步骤是：
(1)准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；
(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；
(3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；
(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题.
要点二、解三角形应用题的基本思路
实际问题 画图 数学问题 解三角形 数学问题的解 检验 实际问题的解
要点三、实际问题中的一些名词、术语
仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：

坡角和坡度
坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。
方位角与方向角：
方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角。方位角的取值范围为0°～360°。
如图，点的方位角是。

方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度。
如图为南偏西方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转）；

如图为北偏东方向（指从正北开始向正东方向旋转）.

东南方向：指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线.依此可类推西南方向、西北方向等；

要点四、解三角形应用中的常见题型
正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：
1.测量距离问题：这类问题的情景一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”，在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度.
2.测量高度问题：这类问题的情景属于“测量底（顶）部不能到达的物体的高度”.测量过程中，要注意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确度.
3.测量角度问题：这类问题的情景属于“根据需要，对某些物体定位”.测量数据越精确，定位精度越高
【典型例题】
类型一：距离问题
例1．如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌，其中D为顶端，长35米，长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．
(1)设计中是铅垂方向，若要求α≥2β，问的长至多为多少(结果精确到0.01米)？
(2)施工完成后，与铅垂方向有偏差，现在实测得α＝38.12°，β＝18.45°，求的长(结果精确到0.01米)．

【答案】(1) 28.28米.(2) 26.93米.
【思路点拨】
(1)这是一道关于求两点之间的距离问题。题目条件告诉了边、的长以及以A、C为顶点的两个角，根据正切函数的定义及性质得到一个关于x的不等式，解之得到的长度。（2）根据三角形的内角和定理和正弦定理，解得的长。
【解析】(1)设的长为x米，则α＝，β＝，
∵，
∴α≥2β，
∴，
即，
解得0，
即的长至多为28.28米．
(2)设＝a，＝b，＝m，
则∠＝180°－α－β＝123.43°，
由正弦定理得，
即，
∴，
答：的长为26.93米．
【总结升华】
1. 此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来.
2 解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。
（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。
3. 在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。

举一反三：
【变式1】如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠＝60°，C点的仰角∠＝45°以及∠＝75°；从C点测得∠＝60°．已知山高＝100m，则山高＝　　m．

【答案】△中，∵∠＝45°，∠＝90°，＝100，
∴＝＝100．
△中，∵∠＝75°，∠＝60°，
∴∠＝45°，由正弦定理可得，
即 ，解得＝100．
△中，＝•∠＝100×60°＝150(m)，
故答案为：150．
　【变式2】为了开凿隧道，要测量隧道上D、E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，如图，测得400m，600m， ∠60°，又测得A、B两点到隧道口的距离80m，40m(A、D、E、B在一条直线上)，计算隧道的长.
【答案】在△中，400m，600m， ∠60°，
由余弦定理得
∴
∴
答：隧道长约为409.2m.
【变式3】（2016春 邢台校级期中）张晓华同学骑电动自行车以24 ／h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】如图，由已知可得，
在△中，∠30°，6，∠180°－75°=105°，∠45°
由正弦定理可得

故选B

类型二：测量高度问题
【高清课堂：解三角形应用举例377493 例2】
例2 某人在塔的正东沿着南偏西的方向前进40米后，望见 塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为，求塔高.
【思路点拨】
画出空间图形后，先寻找可解的三角形，进而解目标所在三角形。
【解析】由上图所示，过B做于点E,由题意知在E点测得塔的最大仰角，在
.由正弦定理，得
∴

在中，
∴
在中，∴（米）
故所求塔高为米
【总结升华】 测量高度是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，在依条件结合正弦定理和余弦定理来解，解决测量高度的问题时，常出现仰角与俯角的问题，要注意它们的区别与联系.
举一反三：
【变式1】（2016 绵阳校级模拟）如图，无人机在离地面高200 m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°，已知∠60°，则山的高度为。

【答案】在△中，∠∠45°，∠90°，200，
∴，
∵∠60°，∴∠180°－∠－∠75°，
∵∠15°+45°=60°，∴∠180°－∠－∠45°。
在△中，由正弦定理得，即
解得。
∵，
∴。
故答案为：300。
【变式2】在某点B处测得建筑物的顶端A的仰角为，沿方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物的高。

【答案】所求角，建筑物高度为15m。
类型三：方位角问题
例3 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在西偏北的方向上,行驶后到达B处,测得此山顶在西偏北的方向上,仰角为,求此山的高度.

【思路点拨】
欲求出，只需在中求出或，而在中先求边比较适合；或设,列方程解答.
【解析】方法一：在中, ，，,
根据正弦定理： = ,有，
∴ .
方法二：设，则，
根据正弦定理： = ,有，
∴，解得，即.
【总结升华】正确地画出其空间示意图是解题的关键.
举一反三：
【变式1】两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a ,灯塔A在观察站C的北偏西30，灯塔B在观察站C南偏西60，则A、B之间的距离为 ；
【答案】；

如图，，，。
【变式2】如图示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(   )

A.   B. C.  D.
【答案】B
类型四：航海问题
【高清课堂：解三角形的应用举例377493 例3】
例4如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为()的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A为2 的C处的缉私船奉命以的速度追截走私船.此时走私船正以10的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间.

【思路点拨】这里必须弄清楚三个概念：
(1)方位角；
(2)沿什么方向追，即按什么方位角航行；
(3)最快追上，即应理解为按直线航行，且两船所用时间相等，画出示意图，即可求出的方位角及由C到D所需航行的时间.
【解析】设缉私船追上走私船需，则，.
由余弦定理，得

，
由正弦定理，得，
∴，而，
∴
∴，.
∴，即，∴
答：缉私船向东偏北方向，只需便能追上走私船.
【总结升华】航海问题中关键是方向角的表示，最好要参照方向坐标，准确的画出图形.
举一反三：
【变式1】如图A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，求该救援船到达D点需要多长时间？

【答案】　由题意知＝5(3＋)海里，∠＝90°－60°＝30°，∠＝90°－45°＝45°，
∴∠＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△中，由正弦定理得
∴
＝
＝
＝10 (海里)
又∠＝∠＋∠＝30°＋(90°－60°)＝60°
＝20海里
在△中，由余弦定理得
2＝2＋2－2··∠
＝300＋1 200－2×10×20×＝900
∴＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)
答：救援船到达D点需要1小时．
【高清课堂：解三角形应用举例377493 变式演练3】
【变式2】如图所示，海中小岛A的周围38海里内有暗礁，某船正由北向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？
【答案】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线的距离与38海里的大小.于是，只要先算出(或)，再算出A到所在直线的距离，将它与38海里比较即得问题的解.
在中，，，，
∴，
由正弦定理知：，∴
∴
于是A到所在直线的距离为(海里)
它大于38海里，所以继续向南航行无触礁危险.
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