2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(北京卷)理科.doc

2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷
（北京卷）理科2

一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）
1．设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（　　）
A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}
2．下列各式的运算结果为纯虚数的是（　　）
A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i） C．（1+i）2 D．i（1+i）
3．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
4．若实数x，y满足条件则z=3x﹣4y的最大值是（　　）
A．﹣13 B．﹣3 C．﹣1 D．1
5．函数在上的最大值是（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
6．已知向量都是非零向量，“”是“”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（　　）
A． B． C． D．3
8．下列命题正确的是（　　）
A．若lna﹣lnb=a﹣3b，则a＜b＜0 B．若lna﹣lnb=a﹣3b，则0＜a＜b
C．若lna﹣lnb=3b﹣a，则a＞b＞0 D．若lna﹣lnb=3b﹣a，则0＞a＞b

二．填空题（共6小题，每题5分，共30分）
9．双曲线的焦点坐标是　 　．
10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若3，a7，a5也成等差数列，则S17　 　．
11．（坐标系与参数方程选做题）
若直线l的极坐标方程为，曲线C：ρ=1上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为　 　．
12．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（1，﹣2），则sin2α=　 　．
13．方程9x+3x﹣2=0的解是　 　．
14．某班开展一次智力竞赛活动，共a，b，c三个问题，其中题a满分是20分，题b，c满分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a与题b的人数之和为29，答对题a与题c的人数之和为25，答对题b与题c的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是　 　；该班的平均成绩是　 　．

三．解答题（共6小题，共80分）
15．（13分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a=csinA﹣acosC．
（1）求C；
（2）若c=，求△ABC的面积S的最大值．
16．（14分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，△PAC是边长为2的等边三角形，，AP=4AF．
（Ⅰ）求证：PO⊥底面ABCD；
（Ⅱ）求直线CP与平面BDF所成角的大小；
（Ⅲ）在线段PB上是否存在一点M，使得CM∥平面BDF？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由．

17．（13分）医生的专业能力参数K可有效衡量医生的综合能力，K越大，综合能力越强，并规定：能力参数K不少于30称为合格，不少于50称为优秀．某市卫生管理部门随机抽取300名医生进行专业能力参数考核，得到如图所示的能力K的频率分布直方图：

（1）求出这个样本的合格率、优秀率；
（2）现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为20的样本，再从这20名医生中随机选出2名．
①求这2名医生的能力参数K为同一组的概率；
②设这2名医生中能力参数K为优秀的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．
18．（14分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过点C（﹣2，0）的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，•=12．
（I）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．
19．（13分）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣﹣2．
20．（13分）“远望嵬嵬塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几碗灯？”源自明代数学家吴敬所著的《九章詳註比纇算法大全》，
（1）通过计算可得尖头几碗？
（2）若设每层灯碗数构成一个数列{an}（n∈n*），求数列{n•an}前n项和Tn．

2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（北京卷）理科2
参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）
1．（2017•天津）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（　　）
A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}
【分析】由并集概念求得A∪B，再由交集概念得答案．
【解答】解：∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，
又C={x∈R|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．
故选：B．

2．（2017•新课标Ⅰ）下列各式的运算结果为纯虚数的是（　　）
A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i） C．（1+i）2 D．i（1+i）
【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论．
【解答】解：A．i（1+i）2=i•2i=﹣2，是实数．
B．i2（1﹣i）=﹣1+i，不是纯虚数．
C．（1+i）2=2i为纯虚数．
D．i（1+i）=i﹣1不是纯虚数．
故选：C．

3．（2017•广州一模）阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果；直到满足判断框中的条件，执行输出．
【解答】解：经过第一次循环得到的结果为k=0，n=16，
经过第二次循环得到的结果为k=1，n=49，
经过第三次循环得到的结果为k=2，n=148，
经过第四次循环得到的结果为k=3，n=445，满足判断框中的条件，执行“是”输出的k为3
故选B

4．（2017•河西区一模）若实数x，y满足条件则z=3x﹣4y的最大值是（　　）
A．﹣13 B．﹣3 C．﹣1 D．1
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=3x﹣4y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=y=1时，z达到最大值﹣1．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，
其中A（﹣1，3），C（1，1），B（3，3）．
设z=F（x，y）=3x﹣4y，将直线l：z=3x﹣4y进行平移，
观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经点C时，目标函数z达到最大值，
∴z最大值=F（1，1）=﹣1，
故选：C

5．（2017•上饶一模）函数在上的最大值是（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
【分析】求出f（x）的导数，判断导数符号，可得f（x）的单调性，即可得到所求最大值．
【解答】解：函数的导数为f′（x）=﹣1﹣，
则f′（x）＜0，
可得f（x）在[﹣2，﹣]上递减，
即有f（﹣2）取得最大值，且为2﹣=．
故选：A．

6．（2017•长宁区校级三模）已知向量都是非零向量，“”是“”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件
【分析】由向量，都是非零向量，“•=||•||”表示两向量同线，而“∥”表示两向量同向或反向，进而根据充要条件的定义，可得答案．
【解答】解：•=||•||=||•||•cos＜，＞
即cos＜，＞=1
即向量、同向，此时“∥”一定成立
而“∥”时，向量、同向或反向，

此时，“•=||•||”不一定成立
故“•=||•||”是“∥”的充分不必要条件
故选：A．

7．（2017•洛阳二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（　　）
A． B． C． D．3
【分析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论．
【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，
则S△AED==，S△ABC=S△ABE==，S△ACD==，
故选：B．

8．（2017•丽水模拟）下列命题正确的是（　　）
A．若lna﹣lnb=a﹣3b，则a＜b＜0 B．若lna﹣lnb=a﹣3b，则0＜a＜b
C．若lna﹣lnb=3b﹣a，则a＞b＞0 D．若lna﹣lnb=3b﹣a，则0＞a＞b
【分析】由lna﹣lnb=3b﹣a，可得：lna+a=lnb+b+2b，即可得出．
【解答】解：由lna﹣lnb=3b﹣a，可得：lna+a=lnb+b+2b，可得a＞b＞0．
故选：C．

二．填空题（共6小题）
9．（2017•丰台区二模）双曲线的焦点坐标是　　．
【分析】确定双曲线的焦点在x轴上，a=2，b=1，利用c=，即可求出双曲线的焦点坐标．
【解答】解：双曲线中a=2，b=1，
∴c==，
∵双曲线的焦点在x轴上，
∴双曲线的焦点坐标是．
故答案为：．

10．（2017•东莞市二模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若3，a7，a5也成等差数列，则S17　51　．
【分析】由等差数列通项公式求出a1+8d=3．再由=17（a1+8d），能求出结果．
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，3，a7，a5也成等差数列，
∴2（a1+6d）=3+（a1+4d），
a1+8d=3．
=17（a1+8d）=51．
故答案为：51．

11．（2015•中山二模）（坐标系与参数方程选做题）
若直线l的极坐标方程为，曲线C：ρ=1上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为　　．
【分析】求出直线的直角坐标方程，圆的直角坐标方程，通过圆心到直线的距离求出d的最大值．
【解答】解：直线的直角坐标方程为x+y﹣6=0，曲线C的方程为x2+y2=1，为圆；
d的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为
故答案为：．

12．（2017•孝义市模拟）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（1，﹣2），则sin2α=　﹣　．
【分析】根据三角函数的定义，求出sinα和cosα，利用二倍角公式可得sin2α的值．
【解答】解：由三角函数的定义，
可得：sinα==，
cosα==，
那么sin2α=2sinαcosα=×2×=﹣．
故答案为：．

13．（2016•长宁区一模）方程9x+3x﹣2=0的解是　0　．
【分析】将原方程中的9x看成是3x的平方，对方程进行因式分解，求出x，化简成同底的指数方程，利用函数的单调性解指数方程即可．
【解答】解：∵9x+3x﹣2=0
即（3x）2+3x﹣2=0
∴（3x+2）（3x﹣1）=0
⇒3x=﹣2（舍），3x=1．
解得x=0
故答案为0

14．（2017•西城区二模）某班开展一次智力竞赛活动，共a，b，c三个问题，其中题a满分是20分，题b，c满分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a与题b的人数之和为29，答对题a与题c的人数之和为25，答对题b与题c的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是　4　；该班的平均成绩是　42　．
【分析】利用方程组求出答对题a，题b，题c的人数，再计算答对一题的人数和平均成绩．
【解答】解：设xa、xb、xc分别表示答对题a，题b，题c的人数，
则有，
解得xa=17，xb=12，xc=8；
∴答对一题的人数为37﹣1×3﹣2×15=4，
全班人数为1+4+15=20；
平均成绩为×（17×20+12×25+8×25）=42．
故答案为：4，42．

三．解答题（共6小题）
15．（2017•深圳一模）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a=csinA﹣acosC．
（1）求C；
（2）若c=，求△ABC的面积S的最大值．
【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（C﹣）=1，结合C的范围，可得C的值．
（2）由余弦定理，基本不等式可求ab≤1，进而利用三角形面积公式可求△ABC面积的最大值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）∵2a=csinA﹣acosC，
∴由正弦定理可得：2sinA=sinCsinA﹣sinAcosC，…2分
∵sinA≠0，
∴可得：2=sinC﹣cosC，解得：sin（C﹣）=1，
∵C∈（0，π），可得：C﹣∈（﹣，），
∴C﹣=，可得：C=．…6分
（2）∵由（1）可得：cosC=﹣，
∴由余弦定理，基本不等式可得：3=b2+a2+ab≥3ab，即：ab≤1，（当且仅当b=a时取等号）…8分
∴S△ABC=absinC=ab≤，可得△ABC面积的最大值为．…12分

16．（2016•河东区一模）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，△PAC是边长为2的等边三角形，，AP=4AF．
（Ⅰ）求证：PO⊥底面ABCD；
（Ⅱ）求直线CP与平面BDF所成角的大小；
（Ⅲ）在线段PB上是否存在一点M，使得CM∥平面BDF？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由．

【分析】（Ⅰ）证明PO⊥底面ABCD，只需证明PO⊥AC，PO⊥BD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出直线CP的方向向量，平面BDF的法向量，利用向量的夹角公式可求直线CP与平面BDF所成角的大小；
（Ⅲ）设=λ（0≤λ≤1），若使CM∥平面BDF，需且仅需=0且CM⊄平面BDF，即可得出结论．
【解答】（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，
所以O为AC，BD中点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）
又因为PA=PC，PB=PD，
所以PO⊥AC，PO⊥BD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
所以PO⊥底面ABCD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（Ⅱ）解：由底面ABCD是菱形可得AC⊥BD，
又由（Ⅰ）可知PO⊥AC，PO⊥BD．
如图，以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz．
由△PAC是边长为2的等边三角形，，
可得．
所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
所以，．
由已知可得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
设平面BDF的法向量为=（x，y，z），则
令x=1，则，所以=（1，0，﹣）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
因为cos=﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
所以直线CP与平面BDF所成角的正弦值为，
所以直线CP与平面BDF所成角的大小为30°．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
（Ⅲ）解：设=λ（0≤λ≤1），则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
若使CM∥平面BDF，需且仅需=0且CM⊄平面BDF，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）
所以在线段PB上存在一点M，使得CM∥平面BDF．
此时=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）

17．（2017•安徽三模）医生的专业能力参数K可有效衡量医生的综合能力，K越大，综合能力越强，并规定：能力参数K不少于30称为合格，不少于50称为优秀．某市卫生管理部门随机抽取300名医生进行专业能力参数考核，得到如图所示的能力K的频率分布直方图：

（1）求出这个样本的合格率、优秀率；
（2）现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为20的样本，再从这20名医生中随机选出2名．
①求这2名医生的能力参数K为同一组的概率；
②设这2名医生中能力参数K为优秀的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．
【分析】（1）根据合格率、优秀率的意义即可得出；
（2）利用分层抽样的方法、古典概型的概率计算公式、随机变量的分布列和期望即可得出．
【解答】解：（1）解：各组的频率依次为0.2，0.3，0.2，0.15，0.1，0.05，
∴这个样本的合格率为1﹣0.2=0.8，
优秀率为0.15+0.1+0.05=0.3．
（2）①用分层抽样抽出的样本容量为20的样本中，各组人数依次为4，6，4，3，2，1．
从20名医生中随机选出2名的方法数为，
选出的2名医生的能力参数K为同一组的方法数为．
故这2名医生的能力参数K为同一组的概率．
②20名医生中能力参数K为优秀的有6人，不是优秀的有14人．
依题意，X的所有可能取值为0，1，2，则，，．
∴X的分布列为
X
0
1
2
P

∴X的期望值．

18．（2017•兴庆区校级一模）已知抛物线y2=2px（p＞0），过点C（﹣2，0）的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，•=12．
（I）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．
【分析】（Ⅰ）设l：x=my﹣2，代入y2=2px，可得根与系数的关系，再利用•=12，可得x1x2+y1y2=12，代入即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）（∗）化为y2﹣4my+8=0．设AB的中点为M，可得|AB|=2xm=x1+x2=m（y1+y2）﹣4=4m2﹣4，又|AB|=|y1﹣y2|=，联立解出m即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）设l：x=my﹣2，代入y2=2px，
可得y2﹣2pmy+4p=0．（∗）
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2=2pm，y1y2=4p，
则x1x2==4．
∵•=12，
∴x1x2+y1y2=12，
即4+4p=12，
得p=2，抛物线的方程为y2=4x．
（Ⅱ）由（Ⅰ）（∗）化为y2﹣4my+8=0．
y1+y2=4m，y1y2=8．
设AB的中点为M，
则|AB|=2xm=x1+x2=m（y1+y2）﹣4=4m2﹣4，①
又|AB|=|y1﹣y2|=，②
由①②得（1+m2）（16m2﹣32）=（4m2﹣4）2，
解得m2=3，m=±．
∴直线l的方程为x+y+2=0，或x﹣y+2=0．

19．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣﹣2．
【分析】（1）题干求导可知f′（x）=（x＞0），分a=0、a＞0、a＜0三种情况讨论f′（x）与0的大小关系可得结论；
（2）通过（1）可知f（x）max=f（﹣）=﹣1﹣ln2﹣+ln（﹣），进而转化可知问题转化为证明：当t＞0时﹣t+lnt≤﹣1+ln2．进而令g（t）=﹣t+lnt，利用导数求出y=g（t）的最大值即可．
【解答】（1）解：因为f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x，
求导f′（x）=+2ax+（2a+1）==，（x＞0），
①当a=0时，f′（x）=+1＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0，由于x＞0，所以（2ax+1）（x+1）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a＜0时，令f′（x）=0，解得：x=﹣．
因为当x∈（0，﹣）f′（x）＞0、当x∈（﹣，+∞）f′（x）＜0，
所以y=f（x）在（0，﹣）上单调递增、在（﹣，+∞）上单调递减．
综上可知：当a≥0时f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，f（x）在（0，﹣）上单调递增、在（﹣，+∞）上单调递减；
（2）证明：由（1）可知：当a＜0时f（x）在（0，﹣）上单调递增、在（﹣，+∞）上单调递减，
所以当x=﹣时函数y=f（x）取最大值f（x）max=f（﹣）=﹣1﹣ln2﹣+ln（﹣）．
从而要证f（x）≤﹣﹣2，即证f（﹣）≤﹣﹣2，
即证﹣1﹣ln2﹣+ln（﹣）≤﹣﹣2，即证﹣（﹣）+ln（﹣）≤﹣1+ln2．
令t=﹣，则t＞0，问题转化为证明：﹣t+lnt≤﹣1+ln2．…（*）
令g（t）=﹣t+lnt，则g′（t）=﹣+，
令g′（t）=0可知t=2，则当0＜t＜2时g′（t）＞0，当t＞2时g′（t）＜0，
所以y=g（t）在（0，2）上单调递增、在（2，+∞）上单调递减，
即g（t）≤g（2﹣×2+ln2=﹣1+ln2，即（*）式成立，
所以当a＜0时，f（x）≤﹣﹣2成立．

20．（2017•明山区校级学业考试）“远望嵬嵬塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几碗灯？”源自明代数学家吴敬所著的《九章詳註比纇算法大全》，
（1）通过计算可得尖头几碗？
（2）若设每层灯碗数构成一个数列{an}（n∈n*），求数列{n•an}前n项和Tn．
【分析】（1）每层的灯数构成等比数列{an}，公比为2．S7=381．利用求和公式即可得出．
（2）由（1）可得：an=3×2n﹣1．nan=3n•2n﹣1．再利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（1）每层的灯数构成等比数列{an}，公比为2．S7=381．
∴381=，解得a1=3．
（2）由（1）可得：an=3×2n﹣1．
nan=3n•2n﹣1．
∴数列{n•an}前n项和Tn=3[1+2×2+3×22+…+n×2n﹣1]，
2Tn=3[2+2×22+…+（n﹣1）×2n﹣1+n•2n]，
∴﹣Tn=3[1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n]=3，
∴Tn=3（n﹣1）•3•2n+3．