2021届重庆市巴蜀中学高三上学期适应性月考(二)数学试题(教师版含解析).doc

巴蜀中学2021届高考适应性月考卷(二)
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时l20分钟．
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．
1. 设集合，，则( )．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简集合，再根据交集运算求解即可
【详解】，，
故
故选：B
【点睛】本题考查集合的交集运算，一元二次不等式的解法，属于基础题
2. 设为虚数单位，已知，则的虚部为( )．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算可得，即可得答案；
【详解】，的虚部为，
故选：C.
【点睛】本题考查复数的虚部概念以及复数的除法，属于基础题.
3. “”是“为锐角三角形”的( )．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
以为起点的两个向量数量积大于零，说明它两个的夹角是锐角，但不能说明其他角的情况，当三角形是锐角三角形时，以三个顶点为起点的每组向量数量积都大于零．
【详解】解：以为起点的两个向量数量积大于零，
夹角是锐角，但不能说明其他角的情况，
在中，“”不能推出“为锐角三角形”，
为锐角三角形，
，
前者是后者的必要不充分条件，
故选：．
【点睛】两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．
4. 交通运输部发布了《城市轨道交通客运组织与服务管理办法》，对乘客在地铁内一系列行为进行规范，其中就包括“使用电子设备时外放声音”，不听劝阻者将被列入“乘客行为黑名单”．该办法已于2020年4月开始施行．通常我们以分贝为单位来表示声音大小的等级，分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病．如果强度为的声音对应的分贝数为，那么满足：．若在地铁中多人外放电子设备加上行车噪音，车厢内的声音的分贝能达到，则的声音与的声音强度之比为( )．
A. 40 B. 100
C. 40000 D. 10000
【答案】D
【解析】
【分析】
直接把数值代入，两式作除法运算可得比值.
【详解】由公式可知，，，
所以，
故选：D．
【点睛】本题考查对数函数模型的应用，属于基础题.
5. 设单位向量，满足：，则( )．
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件对两边平方，进行数量积的运算即可求出，然后根据即可求出答案．
【详解】解：，
，，
．
故选：．
【点睛】本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．
6. 某中学新学期的选修课即将开启选课，甲、乙、丙三人在足球、篮球、摄影、书法四门选修课中选择，学校规定每人限选一门课，若甲不选足球，乙不选篮球，则共有( )种不同的结果．
A. 36 B. 27 C. 24 D. 18
【答案】A
【解析】
【分析】
甲空掉足球，乙空掉篮球，再结合分步计数乘法原理求解即可
【详解】由于甲不选足球，共有种选法，乙不选篮球，共有种选法，丙共有种选法，故共有种选法
故选：A
【点睛】本题考查排列组合公式的应用，属于基础题
7. 的展开式中，含项的系数为( )．
A. 60 B. C. D. 80
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二项式定理写出通项公式，再令的幂为1即可求解
【详解】的展开式中，第项为，令，即时，含项的系数为，
故选：C．
【点睛】本题考查二项式定理中具体项的系数求解，属于基础题
8. 设函数，则下列说法正确的是( )．
A. 是奇函数 B. 是周期函数
C. 的图象关于点对称 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用正弦函数的图象和性质逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【详解】解：对于函数，
当时，函数，为常数函数，显然不是奇函数，故错误；
由于，故该函数为周期函数，故正确．
当时，，不一定等于零，故错误；
当，时，，故不正确，
故选：B．
【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
9. 设，若，则( )．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
结合余弦二倍角公式化简即可求解
【详解】结合题干，由可得，
即所以或，
故选：D．
【点睛】本题考查二倍角余弦公式的使用，属于基础题
10. 设中角，，所对的边分别为，，，下列式子一定成立的是( )．
A.
B.
C. ．
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
A项不妨令，可判断错误；B项由余弦定理判断错误；C先采用边化角得，再结合同角三角函数代换关系将正弦化余弦可求证；D项结合角化边得，再结合余弦定理两式代换可判断错误
【详解】对A，令，可判断等式不成立，故A错误；
对B,由余弦定理可得，故B错误；
对于C选项，由可得，
即，
整理得，移项可得C选项，故C正确；
对于D选项，由，有，，而，
可得，故D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查由正弦定理和余弦定理进行公式推导证明，考查了数学运算的核心素养，属于中档题
11. 为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路(如图中虚线处)，要求该道路与两条直线道路平滑连接(注：两直线道路：，分别与该曲线相切于，，已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分，则该解析式为( )．

A.
B
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先设函数解析式，再求导，根据导数几何意义列方程，解得结果.
【详解】由题意得三次函数过两点，，所以可设

又，所以

故选：C
【点睛】本题考查求函数解析式、导数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.
12. 如图，设在中，，从顶点连接对边上两点，，使得，若，，则边长( )．

A. 38 B. 40 C. 42 D. 44
【答案】B
【解析】
【分析】
结合正弦定理，设，，对可得，同理对可得，联立解方程即可求解；也可对和使用余弦定理求得，再对使用正弦定理面积公式和余弦定理，联立方程即可求解
【详解】方法一：设，，在中，由正弦定理：，可以化简得，在中，由正弦定理：，可以化简得，联立可得，可以化简得，解得，(舍去)，故选B．
方法二：利用余弦定理得，，，而的面积，则，则在中，由余弦定理得，，简化整理得，即，(舍)，
故选：B．
【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的具体应用，数学运算的核心素养，属于中档题
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 设向量，，若，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据，由，利用坐标运算求解.
【详解】向量，，
因为，
所以，即，
解得 ．
故答案为：3
【点睛】本题主要考查平面向量数量积运算，属于基础题.
14. 设函数，则在上的最大值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】
由，得到，然后再利用正弦函数的最值求解.
【详解】已知函数，
因为，
所以，
所以，
所以在上的最大值为2
故答案为：2
【点睛】本题主要考查三角函数的最值的求法，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
15. 去年底，新一代的无线网络技术发布.相比于上一代，加入了新的技术，支持多个终端同时并行传输，有效提升了效率并降低延时，小明家更换了支持的新路由器，设在某一时刻，家里有个设备接入该路由器的概率为，且那么没有设备接入的概率______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可列出，再结合计算公式代值计算即可
【详解】由，且，
所以有，可求得．
故答案为：
【点睛】本题考查具体问题中概率求解问题，属于基础题
16. 函数称为取整函数，也称高斯函数，其中不超过实数的最大整数称为的整数部分，例如：，设函数，则函数在的值域为______．(其中：，，)
【答案】
【解析】
【分析】
求导得，令，再次求导后可推出在，上单调递增，故有，从而得在，上单调递增，再求出在，上的最大值和最小值即可．
【详解】解：，，
令，则，
，，，即在，上单调递增，
(2)，即，
在，上单调递增，
；，
在，上的值域为，2，．
故答案为：，2，．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，需要构造函数，多次求导来确定函数的单调性，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力.
三、解答题(共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. 在中，角，，的对边分别为，，，且．
(1)求的值；
(2)若，且为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】
(1)结合二倍角公式将代换，再全部转化为关于的表达式即可；
(2)由为锐角三角形，再结合(1)知，且，结合余弦定理解关于的不等式组即可求解
【详解】(1)因为，
则，即，
因，，则，．
(2)因为，，且为锐角三角形，则角一定为锐角，
因为，所以，即，，
又，所以，，即，
综上所述，的取值范围是．
【点睛】本题考查二倍角公式的使用，余弦定理解三角形的具体应用，属于中档题
18. 甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，规定每一局比赛获胜方记1分，失败方记0分谁先获得5分就获胜，比赛结束，假设每局比赛甲获胜的概率都是．
(1)求比赛结束时恰好打了7局的概率；
(2)若现在的比分是3比1甲领先，记表示结束比赛还需打的局数，求的分布列及期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，.
【解析】
【分析】
(1)利用事件的独立性，分两种情况，恰好打了7局甲获胜和恰好打了7局乙获胜，再将概率相加，即可得答案；
(2)记的可能取值为，利用二项分布求出分布列，即可得答案；
【详解】解：(1)恰好打了7局甲获胜的概率是，
恰好打了7局乙获胜的概率是，
故比赛结束时恰好打了7局的概率．
(2)的可能取值为，
，，
，，
故的分布列为

2
3
4
5

则的数学期望．
【点睛】本题考查相互独立事件和二项分布的概率计算，考查运算求解能力，求解时注意识别概率模型.
19. 已知．
(1)若函数的最小正周期为，求的值及单调递增区间；
(2)若时，方程恰好有两个解，求实数的取值范围．
【答案】(1)，，；(2).
【解析】
【分析】
(1)由二倍角公式和辅助角公式化简得，根据最小正周期可求出，再令可解出单调递增区间；
(2)可知恰好有两个解，可得，解出即可.
【详解】(1)，
所以，
因为最小正周期，又，
所以，即，
所以，解得，，
所以的单调递增区间为，．
(2)因为时恰好有两个解，
即恰好有两个解，所以，
即，解得，
所以实数的取值范围是．
【点睛】本题考查二倍角公式和辅助角公式化简，考查三角函数的性质，属于中档题.
20. 如图，已知三棱柱的底面是正三角形，且平面，是的中点，且．

(1)求证：平面；
(2)已知三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】
【分析】
(1)连接交于，根据中位线定理可得，于是平面；
(2)证明平面，根据棱锥体积计算棱柱的高，建立空间坐标系，求出两平面法向量，根据法向量夹角得出二面角大小．
【详解】(1)证明：连接交于，则为的中点，
又是的中点，，
又平面平面，
平面．
(2)解：因为，又因为平面，所以，
而，因为，底面是正三角形，
所以，，代入得．
以为轴正方向，为轴正方向，过作的平行线为轴正方向建立空间直角坐标系，
所以，，，，，
因为平面，且平面，
所以，又，且，故平面．
取平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，．
因为，，所以
令，，，则．
又，所以与夹角的余弦值为，
所以二面角的余弦值为．

【点睛】本题考查线面平行的判定，棱锥的体积计算，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题．
21. 已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，离心率，的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆相交于点，，则直线，的斜率分别为，，且，，其中是非零常数，则直线是否经过某个定点？若是，请求出的坐标．
【答案】(1)；(2)直线经过定点.
【解析】
【分析】
(1)由题可得，再结合即可求解椭圆标准方程；
(2)联立直线与椭圆方程，表示出韦达定理，求出，结合韦达定理可得与的代换式，代入整理成点斜式即可求解
【详解】(1)因为，的面积，且，
故解得，，，则，，
则椭圆的标准方程为．
(2)假设，，
直线与椭圆联立得消去整理得，
则，，又因为，
所以，，则，
即，代入韦达定理得，
即，化简得，
因为，则，
即，代入直线得，
所以恒过，故直线经过定点．
点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，由直线与椭圆的位置关系求证直线过定点问题，韦达定理的使用，考查了数学运算的核心素养，属于中档题
22. 已知．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若在上单调递增，求实数的取值范围；
(3)令，存在，且，，求实数的取值范围．
【答案】(1)在上单调递增；(2)；(3)．
【解析】
【分析】
(1)利用导数研究函数的单调性，求导得，则，由此得，从而得到函数的单调性；
(2)分类讨论，当时，，满足要求；当时，有时，恒成立，而，，再分和两种情况讨论即可求出答案；
(3)由题意得，即，进而有，令，则转化为时，方程有解．
解法一：令，则时，有解，结合导数讨论函数的单调性，由此求得结论；
解法二：分离参数后用洛必达法则求得答案．
【详解】解：(1)当时，，则，
∴，
当时，，时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
又∵，
∴时，，
∴在上单调递增；
(2)当时，，在上单调递增，则时满足要求；
当时，在上单调递增，则当时，恒成立，
∵，，
当时，，
∴上单调递减，而，
∵，，
∴，
∴时，，故时不成立，
当时，，当时，，时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
∵时，，
只需，即，
∵，
∴，则，
综上所述，实数的取值范围是；
(3)∵，
∴，，
∵，
∴，即，
又，
∴，即，
令，则，即方程有解．
解法一：令，则时，有解，
，因为时，则，
当时，，即时，，
则在上单调递减，
又，故时，无解，
则时不成立；
当时，当时，，时，，
又，则，，
而，
令，，，
因为，则，则在单调递减，，
则在单调递减，则，即，
故存在，使得，故时满足要求，
综上所述，实数的取值范围是．
解法二：分离参数后用洛必达法则：
即，令，
则，
令，，
∴当时，，故在上单调递增，故，
由洛必达法则知：当时，，则，则，
∴实数的取值范围是．
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查计算能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论思想，属于难题．